Англичане преподают механику как науку экспериментальную; на континенте же ее всегда излагают как науку более или менее дедуктивную и априорную. Бесспорно, правы англичане …
Анри Пуанкаре «Наука и гипотеза»

Декарт, Лейбниц и Ньютон

Как известно, основные принципы динамики изложены Ньютоном в его знаменитом сочинении «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», изданном в 1687 году на средства его друга астронома Галлея. По существу, эта книга написана с единственной целью доказать эквивалентность законов Кеплера и предположения (подсказанного Ньютону Гуком), что ускорение планеты направлено к центру Солнца и что величина ускорения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между планетой и Солнцем. Для этого Ньютону потребовалось систематизировать принципы динамики (так появились знаменитые законы Ньютона) и изложить основы «теории флюксий» (математический анализ функций одной переменной). Соединение принципа равенства действия и противодействия и закона обратных квадратов привело Ньютона к теории гравитации – взаимодействию на расстоянии. Кроме этого, в своей книге Ньютон обсуждает широкий круг вопросов механики и математики: от законов подобин и теории удара до специальных вариационных задач и условий алгебраичности абелевых интегралов.
Практически все в «Principia» впоследствии стало классическим. А. Н. Крылов – переводчик «Principia» на русский язык
Между тем, труды Ньютона встретили на континенте сильную оппозицию, которая продолжалась не один десяток лет. Кроме Лейбница, в числе ее убежденных противников были такие выдающиеся ученые, как Гюйгенс, Вариньон, Иоганн и Даниил Бернулли и др. «Немецкие и французские ученые яростно нападают на философию Ньютона и остаются на позициях Декарта», писал ньютонианец Джонс к Котсу в 1711 году (см. [26], с. 210). Среди аргументов в защиту теории Ньютона выдвигался и тезис свободы мнений: «Пусть они (картезианцы – B. $К$.) остаются при своем мнении, но пусть они будут справедливы и предоставят другим такую же свободу, какую они желают, чтобы была предоставлена им. Пусть же нам будет предоставлено право придерживаться ньютоновской философии, которую мы считаем более правильной … \” (из предисловия Котса ко второму изданию «Principia»).

Чтобы лучше разобраться в существе полемики, напомним основные идеи теории Декарта. Они изложены Декартом в «Discours de la méthode» (1637) и в капитальном труде «Principia philosophiae» (1644). Космология Декарта исходит из признания первоначального $х а о с а$, который путем движения в соответствии с фиксированными законами упорядочивается в известную схему космос (как тут не вспомнить современные идеи синергетики!). По Декарту, Вселенную заполняет тончайшая всепроникающая жидкость (прототип эфира), которая находится в постоянном вихревом движении. Это движение удаляет от оси вихря наиболее крупные частицы материи, из которых затем образуются планеты. Далее, как пишет Де-
карт в своем «Трактате о свете»: «Материя неба должна вращать планеты не только вокруг Солнца, но и вокруг собственного центра … и, следовательно, образовывать вокруг планет малые неба, вращающиеся в том же направлении, что и большое небо». Сам термин «вихры» (tourbillon) навеян сравнением с течением реки, завихряющейся вокруг несомых ею предметов.
Основная идея вихревой теории разъяснялась Гюйгенсом на простом примере вихревого вращения воды в ведре. Два одинаковых тела, помещенных на разных расстояниях от оси вихря, вращаются с различными скоростями: ближе к оси скорость оказывается большей. Это наблюдение находится в качественном совпадении с законом убывания скоростей планет по мере их удаления от Солнца. Но имеется ли здесь согласие с законами Кеплера?

Ньютон и Бернулли

Этот вопрос рассматривался самим Ньютоном в «Principia» (отдел IX). Согласно Ньютону, если однородная вязкая жидкость приводится в движение равномерно вращающимся вокруг своей оси цилиндром (шаром), то в стационарном случае времена обращений частиц жидкости пропорциональны первой (соответственно, второй) степени их расстояния до оси вращения. В соответствие же с третьим законом Кеплера должна была бы получиться полукубическая функция от расстояния. Поучение к своим теоремам Ньютон заключает словами: «Пусть философы сами посмотрят, при каком условии может быть объяснено вихрями явление, заключающееся в существовании указанного полукубического отношения».

В работе 1730 г., премированной Парижской академией наук, Иоганн Бернулли указал на ошибки в рассуждениях Ньютона. Тема конкурса, объявленного академией, – объяснение эллиптической формы орбит планет (спустя сорок лет после выхода книги Ньютона!). Кстати, в этой работе Бернулли привел аналитический вывод эллиптичности орбит из закона тяготения (который теперь повторяется в руководствах по механике). Ньютон использовал громоздкие геометрические рассуждения в подражание античным авторам. Полученная Бернулли зависимость периода обращения частицы от расстояния тоже не
соответствовала закону Кеплера, к тому же его выводы оказались не вполне корректными. Первое правильное решение гидродинамической задачи получено Стоксом в 1845 году: при вращении цилиндра и шара степени расстояний равны соответственно двум и трем.

В конкурсных сочинениях 1732 и 1734 гг. о причине наклонности орбит планет к солнечному экватору И. Бернулли постепенно отходит от теории вихрей. Аналогично эволюционировали взгляды и Даниила Бернулли, разделившего с отцом премии Парижской академии.

Ньютон и Бернулли рассматривали вязкую жидкость. Между прочим, если считать эфир Декарта идеальной жидкостью, то задача получения полукубического отношения легко решается. Для простоты, ограничимся случаем плоскопараллельного течения и найдем условия реализации равномерного вращения частиц жидкости по окружности. Пусть $r$ – расстояние до оси вращения, $v$ – скорость частицы, $\rho$ плотность жидкости, а $p$ – давление ( $v, \rho, p$ – функции от $r$ ). Легко показать, что уравнение неразрывности
\[
\operatorname{div}(\rho v)=0
\]

выполняется автоматически, а два других уравнения динамики сводятся к одному соотношению
\[
\rho \frac{v^{2}}{r}=p^{\prime},
\]

где штрих обозначает производную по $r$. Это уравнение фактически имеется у Гюйгенса в его теории центробежной силы. Согласно закону Кеплера, $v=c r^{-1 / 2}, c=$ const. Полагая, например, $\rho=\rho_{0}=$ const (однородная жидкость), из (1) получаем:
\[
p=p_{0}-\frac{\rho_{0} c^{2}}{r}, \quad p_{0}=\text { const } .
\]

Правда, при малых значениях $r$ давление всегда отрицательно, что не соответствует свойствам реальных жидкостей при обычных условиях. Отметим еще, что ротор поля скоростей кругового движения ортогонален плоскости течения и по величине равен $\left(r v^{\prime}\right) / r$. По Ньютону (с уточнениями Стокса), $v=C_{1} / r, C_{1}=$ const. Следовательно, в

этом случае жидкость совершает безвихревое движение (с многозначным потенциалом). Если принять закон Кеплера, то получим вихревое течение (как и должно быть по Декарту).

Ньютон привел еще один более простой и более сильный аргумент против теории Декарта. По Ньютону, движение небесных тел описывается дифференциальными уравнениями второго порядка: чтобы задать траекторию тела, надо фиксировать не только положения, но и их скорости в некоторый момент времени. Если же справедлива теория Декарта, то тела переносятся эфиром и, следовательно, уравнения движения имеют первый порядок: скорость частиц однозначно определяется их положением. Однако, как замечает Ньютон, наблюдались кометы, которые двигались в сторону, противоположную направлению движения всех планет.

Вольтер, Мопертюи и Клеро

Надо сказать, что далеко не все ученые на континенте разделяли идеи вихревой теории Декарта. Ряд известнейших французских ученых (Паскаль, Ферма, Роберваль и др.) воспринимали идеи Декарта весьма настороженно. Однако в популяризации теории Ньютона главная роль, пожалуй, принадлежала не ученым, а писателю и философу Вольтеру. Как бы мы сейчас сказали, Вольтер был диссидентом. Его «Lettres philosophiques…» основаны на сравнении и противопоставлении положения дел в Англии и Франции. По Вольтеру, Англия родина человеческого разума; все хорошо на благословенном острове: граждане наслаждаются политической свободой и свободой мысли, и все плохо на родине во Франции. Сравнение Лондонского королевского общества и Парижской академии наук, конечно, не в пользу последней. Согласно Вольтеру, общество независимо, бесплатно и занимается делом, а академия оторвана от практических задач и издает только тома комплиментов. В том же ключе сравниваются Ньютон и Декарт. Ньютон – мудрец, притом скромный, взявшийся за объяснение природы, а Декарт – мечтатель и вся его философия – роман. «Француз, прибывающий в Лондон, находит все в ином виде, как в философии, так и в прочем. Он оставил наполненную Вселенную, а находит пустую. В Париже ее рассматривают как состоящую из эфирных вихрей;

здесь же в том же мировом пространстве ведут свою игру неведомые силы. У нас давление Луны вызывает морской прилив, у англичан море тяготеет к Луне … В Париже Землю представляют себе в виде дыни; в Лондоне она сплющена с двух сторон» (письмо 14-ое). Насмешка Вольтера в сравнении двух систем вроде бы распределена поровну, однако реакция в Париже и Лондоне оказалась противоположной: во Франции его книга была запрещена, а в Англии ее встретили весьма одобрительно.

Парижская академия наук организовала несколько экспедиций для определения длины дуги меридиана с целью выяснения формы Земли. Экспедиция в Лапландию (1735-1742 гг.) под руководством Мопертюи оказалась успешной: Зем.тя оказалась сплюснутой с полюсов, как предсказывала теория Ньютона. Мопертюи был ньютонианцем и именно он разъяснил Вольтеру суть теории Ньютона. Однако это не спасло впоследствии Мопертюи от злых насмешек Вольтера в связи с теологическими аспектами вариационного принципа динамики, который теперь носит имя Мопертюи.

Постепенно, благодаря в первую очередь работам Алексиса Клеро (кстати, участника экспедиции Мопертюи) теория гравитации Ньютона получает всеобщее признание. Во-первых, это его «Теория фигуры Земли», построенная на законе всемирного притяжения, во-вторых, предвычисление Клеро появления кометы Галлея в 1759 году, основанное на применении теории возмущений. Стоит еще упомянуть, что под редакцией Клеро в 1759 году в Париже вышел французский перевод «Principia» Ньютона, выполненный маркизой Эмилией дю-Шатле. Инициатором издания был все тот же Вольтер.

Согласно Пуанкаре, каждой истине суждено одно мгновение торжества между бесконечностью, когда её считают неверной, и бесконечностью, когда ее считают тривиальной. Правда, для теории гравитационного взаимодействия Ньютона это мгновение растянулось на жизнь целого поколения. Более того, наша история на этом не заканчивается.

Гельмгольц и Томсон

Интерес к вихревой теории материи оживился в середине XIX века в связи с работами Гельмгольца и Томсона (лорда Кельвина) по вихревому движению идеальной жидкости. Было доказано, что циркуляция скорости по замкнутому контуру, который перемещается вместе с частицами жидкости, постоянна, и, как следствие, был установлен закон вмороженности вихревых линий (вспомним идею Декарта о том, что завихряющийся эфир переносит вместе с собой материальные тела!).

Теория вихревого движения привлекла еще больший интерес, когда Кельвин предложил вихревую теорию атомов (On Vortex Atoms. Phil. Mag. 1867). По Кельвину, мир должен быть понят как чистая жидкость (эфир), которая заполнена отдельными, неразрывно связанными друг с другом вихрями Гельмгольца (атомами, связанными в молекулы). С этой точки зрения гравитация должна объясняться статистически (в духе теории Лесажа 1764 г.) как результат толчков со стороны большого числа маленьких вихрей, движущихся с большой скоростью. Томсон предложил их красиво назвать «ихтиодами». Как пишет Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX столетии», «… теория не вышла за рамки наметок, не превратившихся ни во что ощутимое, но для восприимчивой фантазии она все же сохраняет известное обаяние». Несмотря на это, теория Кельвина послужила поводом к ряду важных исследований по устойчивости и колебаниям различных вихревых структур (см. [46]).

Руководящей идеей программы исследований Томсона было желание найти механическую модель сложных физических явлений, где действие на расстоянии заменялось бы передачей усилий при непосредственном контакте (как и в теории Декарта). Буквально понимаемое высказывание, что механика является основой физики, в то время было популярным и весьма актуальным. В качестве еще одного поучительного примера можно указать на ранние работы Максвелла по электромагнетизму, в которых действие магнита и возникновение индукционных токов моделировалось вращением среды вокруг магнитных силовых линий, причем между вращающимися частями среды помещались небольшие фрикционные шарики (для устранения трения). Эти шарики Максвелл рассматривал как истинное положение электричества. Несмотря на значительные усилия, Максвеллу не удалось далеко продвинуться в построении адекватных механических моделей электромагнетизма. Впоследствии он перешел к привычной теперь полевой точке зрения.

Упомянем еще про попытку решения «проблемы дальнодействия» с помощью теории «скрытых движений». Основную идею можно пояснить на примере вращающегося симметричного волчка: поскольку вращение волчка вокруг его оси симметрии заметить невозможно, то можно считать волчок невращающимся и странности в его поведении объяснить действием дополнительных гироскопических и потенциальных сил. В общем случае эту идею можно пытаться реализовать в рамках теории Рауса понижения порядка систем с симметриями. Предположим, что механическая система с $n+1$ степенями свободы движется по инерции и ее лагранжиан, представляющий только кинетическую энергию, допускает однопараметрическую группу симметрий. Понижая порядок системы факторизацией по орбитам действия этой группы, мы видим, что функция Рауса, представляющая лагранжиан приведенной системы с $n$ степенями свободы, содержит слагаемое, не зависящее от скоростей. Это слагаемое можно интерпретировать как потенциал сил, действующих на приведенную систему. Гельмгольц, В. Томсон (лорд Кельвин), Дж. Дж. Томсон, Герц настаивали на том, что все механические величины, проявляющиеся как «потенциальные энергии», на самом деле обусловлены скрытыми «циклическими» движениями. Эта концепция кинетической теории наиболее полно выражена в книге Генриха Герца «Принципы механики, изложенные в новой связи» [20]. Оказывается, системы с компактным конфигурационным пространством действительно можно получить из геодезических потоков с помощью метода Рауса [13]. Однако, в некомпактном случае (наиболее интересном с точки зрения теории гравитации) это уже не так (см. $[23,13]$ ).