$1^{\circ}$. Зафиксируем момент времени $t$. Вихревым вектором в точке $x \in M^{n}$ мы назвали касательный вектор $w \in T_{x} M$, такой, что
\[
i_{w} \Omega=0 .
\]

В матричных обозначениях это равенство имеет вид $(\operatorname{rot} u) w=0$ (вихревой вектор – это собственный вектор кососимметрической матрицы ротора с нулевым собственным значением).

Согласно (4.1), все вихревые векторы в точке $x$ образуют линейное подпространство $\Pi_{x} \subset T_{x} M$. Пусть $m=\operatorname{dim} \Pi_{x}$. Ясно, что
\[
m=n-\operatorname{rank} \Omega \text {. }
\]

Так как 2-форма $\Omega$ замкнута, то ранг $\Omega$ равен ее классу. Очевидно, $\operatorname{rank} \Omega$ совпадает с рангом кососимметрической матрицы $\operatorname{rot} u$; это число четное. В частности, $m \geq 1$ в случае нечетной размерности конфигурационного пространства.

В дальнейшем предполагается, что $\Omega$ – форма постоянного ранга (или класса): ее ранг не зависит от точки $x$ во всем $M$ или в интересующей нас области на $M$. В этом случае семейство $\left\{\Pi_{x}\right\}$ порождает $m$-мерное распределение касательных плоскостей на $M^{n}$. Регулярное $m$-мерное многообразие $W \subset M$ называется интегральным многообразием распределения $\Pi$, если в каждой точке $x \in W$ касательная к $W$ $m$-мерная плоскость совпадает с $\Pi_{x}$ :
\[
T_{x} W=\Pi_{x} .
\]

Наконец, распределение П называется интегриремым, если через каждую точку $x \in M$ проходит интегральное многообразие $\Pi$; другими словами, все $M$ расслоено на $m$-мерные интегральные многообразия распределения П.
Предложение 6. Распределение $\left\{\Pi_{x}\right\}$ вихревых векторов интегрируемо.

Доказательство.
Пусть $w_{1}$ и $w_{2}$ – два векторных поля на $M$, составленные из вихревых векторов. Если распределение П интегрируемо, то поля $w_{1}$ и $w_{2}$ касаются интегральных многообразий $W$. Следовательно, их коммутатор $\left[w_{1}, w_{2}\right]$ также касается $W$, то есть будет вихревым полем. Это необходимое условие интегрируемости распределения плоскостей П является также и достаточным (см., например, [61]).
Итак, пусть
\[
i_{w_{1}} \Omega=i_{w_{2}} \Omega=0 .
\]

Воспользуемся формулой ([22], гл. IV.)
\[
\begin{array}{c}
i_{\left[w_{1}, w_{2}\right]} \Omega=\left[L_{w_{1}}, i_{w_{2}}\right] \Omega= \\
=L_{w_{1}}\left(i_{w_{2}} \Omega\right)-i_{w_{2}}\left(L_{w_{1}} \Omega\right)=-i_{w_{2}}\left(L_{w_{1}} \Omega\right) .
\end{array}
\]

С другой стороны, для любого вихревого поля $w$ имеем равенство
\[
L_{w} \Omega=d\left(i_{w} \Omega\right)+i_{w} d \Omega=0,
\]

поскольку 2-форма $\Omega$ замкнута.
Интегральные многообразия распределения вихревых векторов будем называть вихревыми многообразиями. Они являются естественным обобщением вихревых линий из гидродинамики. Подчеркнем, что в общем случае вихревые многообразия будут разными в различиные моменты времени.

ЗАмЕчАниЕ. При доказательстве интегрируемости распределения вихревых векторов использовалось лишь свойство замкнутости формы $\Omega$.
\[
2^{\circ} \text {. }
\]

Теорема 5. Поток системы
\[
\dot{x}=v(x, t)
\]

переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия.

Доказательство использует равенство (2.12)
\[
\dot{\Omega}=\frac{\partial \Omega}{\partial t}+L_{v} \Omega=0,
\]

которое является условием «вмороженности» формы $\Omega$ в поток системы (4.2): ее значение на любой паре векторов, переносимых потоком (4.2), не меняется. Это означает следующее. Пусть $w_{1}(0)$ и $w_{2}(0)$ – два вектора, которые касаются $M$ в некоторой точке $x_{0}$ в момент времени $t=0$. Пусть $w_{1}(t)$ и $w_{2}(t)$ – их образы при отображении $g_{v}^{t}$ (точнее, его дифференциа.та $d g^{t}$ ). Это – касательные векторы в точке $x(t)=g^{t}\left(x_{0}\right)$. Из соотношения (4.3) вытекает равенство
\[
\Omega\left(w_{1}(t), w_{2}(t)\right)=\text { const } .
\]

Пусть теперь $w_{1}(0)$ – вихревой вектор. Тогда $\Omega\left(w_{1}(0), \cdot\right)=0$. Следовательно, согласно (4.4), $\Omega\left(w_{1}(t), \cdot\right)=0$. Значит, $w_{1}(t)$ будет вихревым вектором при всех значениях $t$.

Таким образом, дифференциал фазового потока $d g^{t}$ переводит распределение вихревых векторов при $t=0$ в распределение вихревых векторов, заданных в момент времени $t$. Пусть $W_{0}$ – вихревое многообразие в начальный момент и $W_{t}=g^{t}\left(W_{0}\right)$. Поскольку векторы $w(0)$ касаются поверхности $W_{0}$, то их образы $w(t)$ будут касаться $W_{t}$. Следовательно, $W_{t}$ – вихревое многообразие в момент $t$.

Теорема 5 – многомерный аналог знаменитой теоремы Гельмгольца-Томсона о вмороженности вихревых линий. При ее доказательстве использовалось уравнение (4.3) и свойство замкнутости формы $\Omega$. Поэтому теорема 5 включает в себя также теорему о вмороженности магнитных линий из магнитной гидродинамики (см. $\S 1$ гл. I).
$3^{\circ}$. Рассмотрим стационарный случай, когда форма $\omega$, поле $v$ и функция $h$ не зависят явно от времени. Тогда уравнение Ламба (1.7) принимает вид
\[
i_{v} \Omega=-d h, \quad \Omega=d \omega .
\]

Теорема 6. В стационарном случае функция $h$ постоянна на интегральных кривых поля $v$ и на вихревых многообразиях.

Траектории системы $\dot{x}=v(x)$ можно назвать линиями тока. Таким образом, теорема 6 – многомерное обобщение классической теоремы Бернулли из гидродинамики идеальной жидкости.

Доказательство.
Так как $\Omega(v, v)=0$, то из (4.5) вытекает равенство
\[
i_{v} d h=\frac{\partial h}{\partial x} \cdot v=0 .
\]

Следовательно, функция $h$ постоянна на линиях тока.
Пусть теперь $w$ – произвольное векторное поле, составленное из вихревых векторов, которые касаются связного вихревого многообразия $W$. Так как $i_{w} \Omega=0$, то из (4.5) следует тождество
\[
0=i_{w} i_{v} \Omega=-i_{w} d h=-\frac{\partial h}{\partial x} \cdot w
\]

Таким образом, функция $h$ принимает постоянное значение на $W$.
$4^{\circ}$. Задача нахождения вихревых многообразий существенно упрощается, если ковекторное поле $u(x, t)$ удается представить в виде суммы
\[
\frac{\partial S}{\partial x}+A_{1} \frac{\partial B_{1}}{\partial x}+\cdots+A_{k} \frac{\partial B_{k}}{\partial x}
\]

где $S, A_{1}, B_{1}, \ldots$ – некоторые функции от $x$ и $t$. Ввиду формулы
\[
u=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial x}-\sum B_{s} \frac{\partial A_{s}}{\partial x}, \quad S^{\prime}=S+\sum A_{i} B_{i}
\]
$A_{s}, B_{s}$ имеют один и тот же смысл. В гидродинамике функции $S, A_{1}, B_{1}, \ldots$ называются потенциалами Клебиа (см., например, [42], $\S 167)$.

Если потенциалы $A_{1}, B_{1}, \ldots, B_{k}$ независимы как функции $x$, то $\operatorname{rank}(\operatorname{rot} u)=2 k$. Поскольку
\[
\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=\sum\left(\frac{\partial A_{s}}{\partial x_{j}} \frac{\partial B_{s}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial A_{s}}{\partial x_{i}} \frac{\partial B_{s}}{\partial x_{j}}\right),
\]

то вихревые векторы совпадают с касательными векторами к ( $n-2 k$ )мерным поверхностям
\[
\left\{x \in M: A_{1}(x, t)=a_{1}, B_{1}(x, t)=b_{1}, \ldots, B_{k}(x, t)=b_{k}\right\}, a, b=\text { const } .
\]

Следовательно, эти поверхности являются искомыми вихревыми многообразиями.

По теореме Дарбу, если 1-форма $\omega$ имеет постоянный класс, то потенциалы Клебша всегда существуют. Более того, функции $A_{1}, B_{1}, \ldots, B_{k}$ можно принять за новые координаты; обозначим их $x_{1}, \ldots, x_{2 k}$. Запишем в явном виде формулы (4.6)
\[
u_{1}=\frac{\partial S}{\partial x_{1}}, u_{2}=\frac{\partial S}{\partial x_{2}}+x_{1}, \ldots, u_{2 k+1}=\frac{\partial S}{\partial x_{2 k+1}}, \ldots, u_{n}=\frac{\partial S}{\partial x_{n}}
\]

и уравнения Ламба (1.1)
\[
\dot{x}_{1}=-\frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+h\right), \quad \dot{x}_{2}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+h\right),
\]
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{2 k-1}=-\frac{\partial}{\partial x_{2 k}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+h\right), \quad \dot{x}_{2 k}=\frac{\partial}{\partial x_{2 k-1}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+h\right), \\
\frac{\partial}{\partial x_{2 k+1}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+h\right)=\cdots=\frac{\partial}{\partial x_{n}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+h\right)=0 .
\end{array}
\]

Из (4.8) вытекает, что $\partial S / \partial t+h$ – функция лишь от координат $x_{1}, \ldots, x_{2 k}$ и времени $t$. Это соотношение обобщает уравнение Гамильтона-Якоби и переходит в него при $k=0$ (когда поле $u$ потенциально). Тогда (4.7) будет замкнутой канонической системой дифференциальных уравнений для потенциалов Клебша с гамильтонианом $\partial S / \partial t+h$. Эти наблюдения обобщают известные результаты Клебша и Стюарта (см. [42]) о вихревых течениях идеальной жидкости (когда $n=3)$.

Равенства (4.8) дают нам обобщение второй части теоремы Бернулли: функция $h+\partial S / \partial t$ постоянна на вихревых многообразиях.
$\mathbf{5}^{\circ}$. Согласно предложению 6 , если 2-форма $\Omega$ имеет постоянный ранг, то все $n$-мерное многообразие $M$ расслоено на ( $n-2 k$ )-мерные $(2 k=\operatorname{rank} \Omega)$ вихревые многообразия $W_{x}$. Введем на $M$ отношение эквивалентности, отождествив точки, лежащие в одной связной компоненте вихревых многообразий. Это отношение позволяет определить фактор-пространство
\[
N=M / W .
\]

Локально множество $N$ имеет структуру гладкого $2 k$-мерного многообразия. Однако в целом $N$ может иметь сложное топологическое строение. Характер трудностей можно увидеть на примере двумерного тора, расслоенного иррациональными обмотками. Отображение
\[
\pi: M \rightarrow N
\]

которое каждой точке $x \in M$ ставит в соответствие вихревое многообразие $W_{x}$ (проходящее через $x$ ), является расслоением: $M$ – расслоенное пространство, $N$ – база расслоения, а вихревые многообразия $W_{x}$ – его слои.

По теореме Гельмгольца-Томсона (теорема 5) фазовый поток $g_{v}^{t}$ системы (1.2) переводит вихревые многообразия на $M$ в вихревые многообразия. Следовательно, корректно определено действие $g^{t}$ на базе $N$. Дифференцируя отображение
\[
z \rightarrow g^{t}(z), \quad z \in N
\]

по $t$, получим векторное поле $V(z, t)$ и систему дифференциальных уравнений на $N$
\[
\dot{z}=V(z, t) \text {. }
\]

Эту систему естественно назвать фактор-системой.
Ясно, что дифференциал отображения $\pi$ переводит поле $v$ в поле $V$. Это – следствие теоремы Гельмгольца-Томсона. Образ произвольного векторного поля на $M$ при отображении $d \pi$ вообще не определен: он зависит от выбора точки на вихревом многообразии. Ясно также,

что $d \pi$ переводит вихревые векторы $w$ в нуль. Поэтому вихревые векторы являются вертикальными векторами. Кроме того, образ векторного поля $v+\sum \lambda_{i} w_{i}$ при отображении $d \pi$ равен $V$ для всех $\lambda$. Чтобы избежать подобной неопределенности, на $M$ не вводят распределение вертикальных векторов; такие векторы называют горизонтальными. Распределение горизонтальных векторов на $M$ задает связность в расслоении $\pi: M \rightarrow N$.

Идею введения связности можно проиллюстрировать на примере задачи о поднятии путей на базе $N$ до горизонтальных путей на $M$. Путь $\Gamma(t):[a, b] \rightarrow M$ называется горизонтальным, если касательный вектор $\dot{\Gamma}$ является горизонтальным для всех $t \in[a, b]$. Пусть $\gamma:[a, b] \rightarrow N$ – произвольный гладкий путь на базе и $\pi\left(x_{0}\right)=\gamma(a)$. Легко понять, что найдется единственный горизонтальный путь $\Gamma:[a, b] \rightarrow M$, такой, что $\Gamma(a)=x_{0}$ и $\pi(\Gamma(t))=\gamma(t)$ для всех $t$. Эта конструкция Рис. 19. Фактор-система позволяет определить параллельный перенос векторов на $M$. С теорией расслоенных пространств можно познакомиться, например, по книге [44].
$\mathbf{6}^{\circ}$. Оказывается, система уравнений (4.9) на базе расслоения $N$ имеет вид уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора. Чтобы это показать, зададим вихревые многообразия $W$ как совместные поверхности уровня $2 k$ независимых функций
\[
f_{1}(x, t), \ldots, f_{2 k}(x, t) .
\]

Примем их за первые $2 k$ локальных координат и сохраним за новыми переменными прежние обозначения $x_{1}, \ldots, x_{n}$. В новых координатах уравнения (1.1) будут иметь тот же вид, а вихревые векторы – линейные комбинации векторов
\[
w_{2 k+1}=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)^{T}, \ldots, w_{n}=(0, \ldots, 0,0,0, \ldots, 1)^{T} .
\]

Соотношение (4.1) эквивалентно следующей серии равенств
\[
\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=0 ; \quad i=1, \ldots, n, \quad j=2 k+1, \ldots, n .
\]

Пусть $p
eq q$ – произвольные индексы. Тогда
\[
\frac{\partial u_{p}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{p}}, \quad \frac{\partial u_{q}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{q}} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial^{2} u_{p}}{\partial x_{q} \partial x_{j}}=\frac{\partial^{2} u_{j}}{\partial x_{q} \partial x_{p}}, \quad \frac{\partial^{2} u_{q}}{\partial x_{p} \partial x_{j}}=\frac{\partial^{2} u_{j}}{\partial x_{p} \partial x_{q}} .
\]

Откуда имеем
\[
\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial u_{p}}{\partial x_{q}}-\frac{\partial u_{q}}{\partial x_{p}}\right)=0 .
\]

Таким образом, в новых переменных элементы матрицы $\operatorname{rot} u$ не зависят от $x_{2 k+1}, \ldots, x_{n}$. Учитывая равенства (4.10), получим, что замкнутая 2-форма $\Omega$ имеет вид
\[
\sum_{i, j=1}^{2 k} \omega_{i j} d x_{i} \wedge d x_{j}
\]

причем коэффициенты $\omega_{i j}$ зависят лишь от $x_{1}, \ldots, x_{2 k}$ и $t$.
В соответствии с локальной леммой Пуанкаре,
\[
\Omega=d\left(U_{1} d x_{1}+\cdots+U_{2 k} d x_{2 k}\right),
\]

где $U_{s}$ – функции от переменных $x_{1}, \ldots, x_{2 k}, t$. Поскольку 1-форма
\[
\sum_{j=1}^{n} u_{j} d x_{j}-\sum_{i=1}^{2 k} U_{i} d x_{i}
\]

замкнута, то (по той же лемме Пуанкаре) она является дифференциалом некоторой функции $S\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$. Следовательно,
\[
\begin{array}{ll}
u_{i}=U_{i}+\frac{\partial S}{\partial x_{i}}, & i=1, \ldots, 2 k, \\
u_{j}=\frac{\partial S}{\partial x_{j}}, & j=2 k+1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Итак, в новых переменных уравнения (1.1) распадаются на две подсистемы
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial U}{\partial t}+(\operatorname{rot} U) V=-\frac{\partial}{\partial X}\left(h+\frac{\partial S}{\partial t}\right), \\
\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+h\right)=0, \quad j=2 k+1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Здесь $X$ – набор локальных координат $x_{1}, \ldots, x_{2 k}$ на базе $N$. В соответствии с (4.12), функция $h+\partial S / \partial t$ зависит лишь от $x_{1}, \ldots, x_{2 k}, t$ и поэтому (4.11) является уравнением Ламба на $N$, при этом динамика описывается уравнением $\dot{X}=U(X, t)$. Матрица $\operatorname{rot} U$, конечно, невырождена. С помощью теоремы Дарбу уравнение (4.11) можно преобразовать к каноническому виду дифференциальных уравнений Гамильтона (как это сделано в п.4).

Отметим, что равенства (4.12) представляют локальное обобщение теоремы Бернулли: при каждом фиксированном значении $t$ функция $h+\partial S / \partial t$ постоянна на вихревых многообразиях. Этому наблюдению можно придать глобальный характер, если предположить, что 2 -форма $\Omega=d \omega$ стационарная (не зависит явно от $t$ ). Если конфигурационное многообразие $M$ односвязно, то найдется такая функция $S(x, t)$ на $M$, что $\omega=\tilde{\omega}+d S$, где 1 -форма $\tilde{\omega}$ не зависит от $t$. Уравнение Ламба принимает вид
\[
i_{v} \Omega=-d \tilde{h}, \quad \tilde{h}=h+\partial S / \partial t .
\]

В этом случае вихревые многообразия стационарны и на них функция $\tilde{h}$ принимает значения, которые могут зависеть лишь от времени. Из (4.13) вытекает равенство
\[
\frac{d \tilde{h}}{d t}=\frac{\partial \tilde{h}}{\partial t}
\]

В частности, если функция $\tilde{h}$ не зависит явно от $t$, то она постоянна на линиях тока.