$1^{\circ }$. Зафиксируем момент времени $t$. Вихревым вектором в точке $x\in M^n$ мы назвали касательный вектор $w\in T_{x}M$, такой, что
$$i_w\mathrm{\Omega }=0.$$

В матричных обозначениях это равенство имеет вид $(\mathrm{rot}u)w=0$ (вихревой вектор — это собственный вектор кососимметрической матрицы ротора с нулевым собственным значением).

Согласно (4.1), все вихревые векторы в точке $x$ образуют линейное подпространство ${\mathrm{\Pi }}_x\subset T_{x}M$. Пусть $m=\dim {\mathrm{\Pi }}_x$. Ясно, что
$$m=n-\mathrm{rank}\mathrm{\Omega }\text{. }$$

Так как 2-форма $\mathrm{\Omega }$ замкнута, то ранг $\mathrm{\Omega }$ равен ее классу. Очевидно, $\mathrm{rank}\mathrm{\Omega }$ совпадает с рангом кососимметрической матрицы $\mathrm{rot}u$; это число четное. В частности, $m\ge 1$ в случае нечетной размерности конфигурационного пространства.

В дальнейшем предполагается, что $\mathrm{\Omega }$ — форма постоянного ранга (или класса): ее ранг не зависит от точки $x$ во всем $M$ или в интересующей нас области на $M$. В этом случае семейство $\left\{{\mathrm{\Pi }}_x\right\}$ порождает $m$-мерное распределение касательных плоскостей на $M^n$. Регулярное $m$-мерное многообразие $W\subset M$ называется интегральным многообразием распределения $\mathrm{\Pi }$, если в каждой точке $x\in W$ касательная к $W$ $m$-мерная плоскость совпадает с ${\mathrm{\Pi }}_x$ :
$$T_{x}W={\mathrm{\Pi }}_x.$$

Наконец, распределение П называется интегриремым, если через каждую точку $x\in M$ проходит интегральное многообразие $\mathrm{\Pi }$; другими словами, все $M$ расслоено на $m$-мерные интегральные многообразия распределения П.
Предложение 6. Распределение $\left\{{\mathrm{\Pi }}_x\right\}$ вихревых векторов интегрируемо.

Доказательство.
Пусть $w_1$ и $w_2$ — два векторных поля на $M$, составленные из вихревых векторов. Если распределение П интегрируемо, то поля $w_1$ и $w_2$ касаются интегральных многообразий $W$. Следовательно, их коммутатор $[w_1,w_2]$ также касается $W$, то есть будет вихревым полем. Это необходимое условие интегрируемости распределения плоскостей П является также и достаточным (см., например, [61]).
Итак, пусть
$$i_{w_1}\mathrm{\Omega }=i_{w_2}\mathrm{\Omega }=0.$$

Воспользуемся формулой ([22], гл. IV.)
$$\begin{array}{c}{i}_{[w_1,w_2]}\mathrm{\Omega }=[L_{w_1},i_{w_2}]\mathrm{\Omega }=\\ =L_{w_1}\left(i_{w_2}\mathrm{\Omega }\right)-i_{w_2}\left(L_{w_1}\mathrm{\Omega }\right)=-i_{w_2}\left(L_{w_1}\mathrm{\Omega }\right).\end{array}$$

С другой стороны, для любого вихревого поля $w$ имеем равенство
$$L_w\mathrm{\Omega }=d\left(i_w\mathrm{\Omega }\right)+i_{w}d\mathrm{\Omega }=0,$$

поскольку 2-форма $\mathrm{\Omega }$ замкнута.
Интегральные многообразия распределения вихревых векторов будем называть вихревыми многообразиями. Они являются естественным обобщением вихревых линий из гидродинамики. Подчеркнем, что в общем случае вихревые многообразия будут разными в различиные моменты времени.

ЗАмЕчАниЕ. При доказательстве интегрируемости распределения вихревых векторов использовалось лишь свойство замкнутости формы $\mathrm{\Omega }$.
$$2^{\circ }\text{. }$$

Теорема 5. Поток системы
$$\dot{x}=v(x,t)$$

переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия.

Доказательство использует равенство (2.12)
$$\dot{\mathrm{\Omega }}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial t}+L_v\mathrm{\Omega }=0,$$

которое является условием «вмороженности» формы $\mathrm{\Omega }$ в поток системы (4.2): ее значение на любой паре векторов, переносимых потоком (4.2), не меняется. Это означает следующее. Пусть $w_1(0)$ и $w_2(0)$ — два вектора, которые касаются $M$ в некоторой точке $x_0$ в момент времени $t=0$. Пусть $w_1(t)$ и $w_2(t)$ — их образы при отображении $g_v^t$ (точнее, его дифференциа.та $d{g}^t$ ). Это — касательные векторы в точке $x(t)=g^t\left(x_0\right)$. Из соотношения (4.3) вытекает равенство
$$\mathrm{\Omega }(w_1(t),w_2(t))=\text{ const }.$$

Пусть теперь $w_1(0)$ — вихревой вектор. Тогда $\mathrm{\Omega }(w_1(0),\cdot )=0$. Следовательно, согласно (4.4), $\mathrm{\Omega }(w_1(t),\cdot )=0$. Значит, $w_1(t)$ будет вихревым вектором при всех значениях $t$.

Таким образом, дифференциал фазового потока $d{g}^t$ переводит распределение вихревых векторов при $t=0$ в распределение вихревых векторов, заданных в момент времени $t$. Пусть $W_0$ — вихревое многообразие в начальный момент и $W_t=g^t\left(W_0\right)$. Поскольку векторы $w(0)$ касаются поверхности $W_0$, то их образы $w(t)$ будут касаться $W_t$. Следовательно, $W_t$ — вихревое многообразие в момент $t$.

Теорема 5 — многомерный аналог знаменитой теоремы Гельмгольца-Томсона о вмороженности вихревых линий. При ее доказательстве использовалось уравнение (4.3) и свойство замкнутости формы $\mathrm{\Omega }$. Поэтому теорема 5 включает в себя также теорему о вмороженности магнитных линий из магнитной гидродинамики (см. $\mathrm{\S }1$ гл. I).
$3^{\circ }$. Рассмотрим стационарный случай, когда форма $\omega$, поле $v$ и функция $h$ не зависят явно от времени. Тогда уравнение Ламба (1.7) принимает вид
$$i_v\mathrm{\Omega }=-dh,\mathrm{\Omega }=d\omega .$$

Теорема 6. В стационарном случае функция $h$ постоянна на интегральных кривых поля $v$ и на вихревых многообразиях.

Траектории системы $\dot{x}=v(x)$ можно назвать линиями тока. Таким образом, теорема 6 — многомерное обобщение классической теоремы Бернулли из гидродинамики идеальной жидкости.

Доказательство.
Так как $\mathrm{\Omega }(v,v)=0$, то из (4.5) вытекает равенство
$$i_{v}dh=\frac{\partial h}{\partial x}\cdot v=0.$$

Следовательно, функция $h$ постоянна на линиях тока.
Пусть теперь $w$ — произвольное векторное поле, составленное из вихревых векторов, которые касаются связного вихревого многообразия $W$. Так как $i_w\mathrm{\Omega }=0$, то из (4.5) следует тождество
$$0=i_w{i}_v\mathrm{\Omega }=-i_{w}dh=-\frac{\partial h}{\partial x}\cdot w$$

Таким образом, функция $h$ принимает постоянное значение на $W$.
$4^{\circ }$. Задача нахождения вихревых многообразий существенно упрощается, если ковекторное поле $u(x,t)$ удается представить в виде суммы
$$\frac{\partial S}{\partial x}+A_1\frac{\partial B_1}{\partial x}+\cdots +A_k\frac{\partial B_k}{\partial x}$$

где $S,A_1,B_1,\dots$ — некоторые функции от $x$ и $t$. Ввиду формулы
$$u=\frac{\partial S^{\prime }}{\partial x}-\sum B_s\frac{\partial A_s}{\partial x},S^{\prime }=S+\sum A_i{B}_i$$
$A_s,B_s$ имеют один и тот же смысл. В гидродинамике функции $S,A_1,B_1,\dots$ называются потенциалами Клебиа (см., например, [42], $\mathrm{\S }167)$.

Если потенциалы $A_1,B_1,\dots ,B_k$ независимы как функции $x$, то $\mathrm{rank}(\mathrm{rot}u)=2k$. Поскольку
$$\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}=\sum (\frac{\partial A_s}{\partial x_j}\frac{\partial B_s}{\partial x_i}-\frac{\partial A_s}{\partial x_i}\frac{\partial B_s}{\partial x_j}),$$

то вихревые векторы совпадают с касательными векторами к ( $n-2k$ )мерным поверхностям
$$\{x\in M:A_1(x,t)=a_1,B_1(x,t)=b_1,\dots ,B_k(x,t)=b_k\},a,b=\text{ const }.$$

Следовательно, эти поверхности являются искомыми вихревыми многообразиями.

По теореме Дарбу, если 1-форма $\omega$ имеет постоянный класс, то потенциалы Клебша всегда существуют. Более того, функции $A_1,B_1,\dots ,B_k$ можно принять за новые координаты; обозначим их $x_1,\dots ,x_{2k}$. Запишем в явном виде формулы (4.6)
$$u_1=\frac{\partial S}{\partial x_1},u_2=\frac{\partial S}{\partial x_2}+x_1,\dots ,u_{2k+1}=\frac{\partial S}{\partial x_{2k+1}},\dots ,u_n=\frac{\partial S}{\partial x_n}$$

и уравнения Ламба (1.1)
$${\dot{x}}_1=-\frac{\partial }{\partial x_2}(\frac{\partial S}{\partial t}+h),{\dot{x}}_2=\frac{\partial }{\partial x_1}(\frac{\partial S}{\partial t}+h),$$
$$\begin{array}{c}{\dot{x}}_{2k-1}=-\frac{\partial }{\partial x_{2k}}(\frac{\partial S}{\partial t}+h),{\dot{x}}_{2k}=\frac{\partial }{\partial x_{2k-1}}(\frac{\partial S}{\partial t}+h),\\ \frac{\partial }{\partial x_{2k+1}}(\frac{\partial S}{\partial t}+h)=\cdots =\frac{\partial }{\partial x_n}(\frac{\partial S}{\partial t}+h)=0.\end{array}$$

Из (4.8) вытекает, что $\partial S/\partial t+h$ — функция лишь от координат $x_1,\dots ,x_{2k}$ и времени $t$. Это соотношение обобщает уравнение Гамильтона-Якоби и переходит в него при $k=0$ (когда поле $u$ потенциально). Тогда (4.7) будет замкнутой канонической системой дифференциальных уравнений для потенциалов Клебша с гамильтонианом $\partial S/\partial t+h$. Эти наблюдения обобщают известные результаты Клебша и Стюарта (см. [42]) о вихревых течениях идеальной жидкости (когда $n=3)$.

Равенства (4.8) дают нам обобщение второй части теоремы Бернулли: функция $h+\partial S/\partial t$ постоянна на вихревых многообразиях.
${\mathbf{5}}^{\circ }$. Согласно предложению 6 , если 2-форма $\mathrm{\Omega }$ имеет постоянный ранг, то все $n$-мерное многообразие $M$ расслоено на ( $n-2k$ )-мерные $(2k=\mathrm{rank}\mathrm{\Omega })$ вихревые многообразия $W_x$. Введем на $M$ отношение эквивалентности, отождествив точки, лежащие в одной связной компоненте вихревых многообразий. Это отношение позволяет определить фактор-пространство
$$N=M/W.$$

Локально множество $N$ имеет структуру гладкого $2k$-мерного многообразия. Однако в целом $N$ может иметь сложное топологическое строение. Характер трудностей можно увидеть на примере двумерного тора, расслоенного иррациональными обмотками. Отображение
$$\pi :M\to N$$

которое каждой точке $x\in M$ ставит в соответствие вихревое многообразие $W_x$ (проходящее через $x$ ), является расслоением: $M$ — расслоенное пространство, $N$ — база расслоения, а вихревые многообразия $W_x$ — его слои.

По теореме Гельмгольца-Томсона (теорема 5) фазовый поток $g_v^t$ системы (1.2) переводит вихревые многообразия на $M$ в вихревые многообразия. Следовательно, корректно определено действие $g^t$ на базе $N$. Дифференцируя отображение
$$z\to g^t(z),z\in N$$

по $t$, получим векторное поле $V(z,t)$ и систему дифференциальных уравнений на $N$
$$\dot{z}=V(z,t)\text{. }$$

Эту систему естественно назвать фактор-системой.
Ясно, что дифференциал отображения $\pi$ переводит поле $v$ в поле $V$. Это — следствие теоремы Гельмгольца-Томсона. Образ произвольного векторного поля на $M$ при отображении $d\pi$ вообще не определен: он зависит от выбора точки на вихревом многообразии. Ясно также,

что $d\pi$ переводит вихревые векторы $w$ в нуль. Поэтому вихревые векторы являются вертикальными векторами. Кроме того, образ векторного поля $v+\sum {\lambda }_i{w}_i$ при отображении $d\pi$ равен $V$ для всех $\lambda$. Чтобы избежать подобной неопределенности, на $M$ не вводят распределение вертикальных векторов; такие векторы называют горизонтальными. Распределение горизонтальных векторов на $M$ задает связность в расслоении $\pi :M\to N$.

Идею введения связности можно проиллюстрировать на примере задачи о поднятии путей на базе $N$ до горизонтальных путей на $M$. Путь $\mathrm{\Gamma }(t):[a,b]\to M$ называется горизонтальным, если касательный вектор $\dot{\mathrm{\Gamma }}$ является горизонтальным для всех $t\in [a,b]$. Пусть $\gamma :[a,b]\to N$ — произвольный гладкий путь на базе и $\pi \left(x_0\right)=\gamma (a)$. Легко понять, что найдется единственный горизонтальный путь $\mathrm{\Gamma }:[a,b]\to M$, такой, что $\mathrm{\Gamma }(a)=x_0$ и $\pi (\mathrm{\Gamma }(t))=\gamma (t)$ для всех $t$. Эта конструкция Рис. 19. Фактор-система позволяет определить параллельный перенос векторов на $M$. С теорией расслоенных пространств можно познакомиться, например, по книге [44].
${\mathbf{6}}^{\circ }$. Оказывается, система уравнений (4.9) на базе расслоения $N$ имеет вид уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора. Чтобы это показать, зададим вихревые многообразия $W$ как совместные поверхности уровня $2k$ независимых функций
$$f_1(x,t),\dots ,f_{2k}(x,t).$$

Примем их за первые $2k$ локальных координат и сохраним за новыми переменными прежние обозначения $x_1,\dots ,x_n$. В новых координатах уравнения (1.1) будут иметь тот же вид, а вихревые векторы — линейные комбинации векторов
$$w_{2k+1}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0{)}^T,\dots ,w_n=(0,\dots ,0,0,0,\dots ,1{)}^T.$$

Соотношение (4.1) эквивалентно следующей серии равенств
$$\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}=0;i=1,\dots ,n,j=2k+1,\dots ,n.$$

Пусть $peqq$ — произвольные индексы. Тогда
$$\frac{\partial u_p}{\partial x_j}=\frac{\partial u_j}{\partial x_p},\frac{\partial u_q}{\partial x_j}=\frac{\partial u_j}{\partial x_q}.$$

Следовательно,
$$\frac{{\partial }^2{u}_p}{\partial x_q\partial x_j}=\frac{{\partial }^2{u}_j}{\partial x_q\partial x_p},\frac{{\partial }^2{u}_q}{\partial x_p\partial x_j}=\frac{{\partial }^2{u}_j}{\partial x_p\partial x_q}.$$

Откуда имеем
$$\frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_p}{\partial x_q}-\frac{\partial u_q}{\partial x_p})=0.$$

Таким образом, в новых переменных элементы матрицы $\mathrm{rot}u$ не зависят от $x_{2k+1},\dots ,x_n$. Учитывая равенства (4.10), получим, что замкнутая 2-форма $\mathrm{\Omega }$ имеет вид
$$\sum _{i,j=1}^{2k}{\omega }_{ij}d{x}_i\wedge d{x}_j$$

причем коэффициенты ${\omega }_{ij}$ зависят лишь от $x_1,\dots ,x_{2k}$ и $t$.
В соответствии с локальной леммой Пуанкаре,
$$\mathrm{\Omega }=d(U_{1}d{x}_1+\cdots +U_{2k}d{x}_{2k}),$$

где $U_s$ — функции от переменных $x_1,\dots ,x_{2k},t$. Поскольку 1-форма
$$\sum _{j=1}^n{u}_{j}d{x}_j-\sum _{i=1}^{2k}{U}_{i}d{x}_i$$

замкнута, то (по той же лемме Пуанкаре) она является дифференциалом некоторой функции $S(x_1,\dots ,x_n,t)$. Следовательно,
$$\begin{array}{ll}{u}_i=U_i+\frac{\partial S}{\partial x_i},& i=1,\dots ,2k,\\ u_j=\frac{\partial S}{\partial x_j},& j=2k+1,\dots ,n.\end{array}$$

Итак, в новых переменных уравнения (1.1) распадаются на две подсистемы
$$\begin{array}{c}\frac{\partial U}{\partial t}+(\mathrm{rot}U)V=-\frac{\partial }{\partial X}(h+\frac{\partial S}{\partial t}),\\ \frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial S}{\partial t}+h)=0,j=2k+1,\dots ,n.\end{array}$$

Здесь $X$ — набор локальных координат $x_1,\dots ,x_{2k}$ на базе $N$. В соответствии с (4.12), функция $h+\partial S/\partial t$ зависит лишь от $x_1,\dots ,x_{2k},t$ и поэтому (4.11) является уравнением Ламба на $N$, при этом динамика описывается уравнением $\dot{X}=U(X,t)$. Матрица $\mathrm{rot}U$, конечно, невырождена. С помощью теоремы Дарбу уравнение (4.11) можно преобразовать к каноническому виду дифференциальных уравнений Гамильтона (как это сделано в п.4).

Отметим, что равенства (4.12) представляют локальное обобщение теоремы Бернулли: при каждом фиксированном значении $t$ функция $h+\partial S/\partial t$ постоянна на вихревых многообразиях. Этому наблюдению можно придать глобальный характер, если предположить, что 2 -форма $\mathrm{\Omega }=d\omega$ стационарная (не зависит явно от $t$ ). Если конфигурационное многообразие $M$ односвязно, то найдется такая функция $S(x,t)$ на $M$, что $\omega =\tilde{\omega }+dS$, где 1 -форма $\tilde{\omega }$ не зависит от $t$. Уравнение Ламба принимает вид
$$i_v\mathrm{\Omega }=-d\tilde{h},\tilde{h}=h+\partial S/\partial t.$$

В этом случае вихревые многообразия стационарны и на них функция $\tilde{h}$ принимает значения, которые могут зависеть лишь от времени. Из (4.13) вытекает равенство
$$\frac{d\tilde{h}}{dt}=\frac{\partial \tilde{h}}{\partial t}$$

В частности, если функция $\tilde{h}$ не зависит явно от $t$, то она постоянна на линиях тока.