$1^{\circ}$. Для течений жидкости в $E^{3}=\{x\}$ дифференциальная 3-форма $\tau=\rho d^{3} x(\rho(x, t)$ – плотность распределения массы) является инвариантной формой объема:
\[
\int_{g_{v}^{t}(D)} \tau=\text { const }
\]

для любой измеримой трехмерной области $D \subset E^{3}$. Интегральное соотношение (3.1) эквивалентно дифференциальному уравнению неразрывности
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho v)=0 .
\]

Особенно просто это уравнение выглядит в случае однородной жидкости, когда $\rho=$ const: $\operatorname{div} v=0$. Если течение жидкости потенциально $(v=\partial \varphi / \partial x)$, то для потенциала поля скоростей получаем уравнение Лапласа $\Delta \varphi=0$. Следовательно, $\varphi$ – гармоническая функция в $E^{3}$. Таким образом, в сташионарном случае задача сводится к решению уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями. Вся нужная нам информация от динамических уравнений Эйлера – это теорема Лагранжа о сохранении потенциальности течения идеальной жидкости.

В этом параграфе мы изучаем задачу о наличии инвариантных $n$ форм (формы объема на $M$ ) дифференциальных уравнений (1.2). Они играют роль плотностей и отвечают закону сохранения массы.
$\mathbf{2}^{\circ}$. Для дальнейшего существенную роль играет понятие класса дифференцииальной формы, введенное Э. Картаном [28]. Напомним,

что классом $p$-формы $\alpha$ в точке $x \in M$ называется коразмерность линейного подпространства векторов $\xi \in T_{x} M$, таких, что
\[
i_{\xi} \alpha=i_{\xi} d \alpha=0 .
\]

Мы будем рассматривать формы постоянного класса, когда их класс не зависит от точки $x$.

Если форма $\alpha$ замкнута ( $d \alpha=0$ ), то класс $\alpha$ равен коразмерности подпространства таких векторов $\xi$, что $i_{\xi} \alpha=0$. Это число называется также рангом формы $\alpha$. В частности, поскольку любая $n$-форма $\tau$ на $n$-мерном многообразии замкнута, то $\tau$ будет формой объема тогда и только тогда, когда ее класс (или ранг) равен $n$. Отметим также, что класс замкнутой 2-формы всегда четный.

Нам потребуются следующие два простых утверждения (см., например, [22], гл. VI).
(i) Пусть $n=2 s$ четно. Замкнутая 2-форма $\alpha$ имеет максимальный класс $n$ тогда и только тогда, когда
\[
\alpha^{s}=\underbrace{\alpha \wedge \ldots \wedge \alpha}_{\mathrm{s}}
\]
– форма объема.
(ii) Пусть $n=2 s+1$ нечетно. Класс 1-формы $\alpha$ максимальный (равен $n$ ) в том и только том случае, когда $\alpha \wedge(d \alpha)^{s}$ – форма объема.

В $\S \S 1$ и 2 мы ввели две формы $\omega=\sum u_{i} d x_{i}$ и $\Omega=d \omega$. Первая порождает относительный, а вторая – абсолютный интегральные инварианты системы (1.2).

Предложение 4. Пусть $n=2 s$ четно и класс 2-формы $\Omega$ равен $n$. Тогда система (1.2) допускает интегральный инвариант
\[
\int_{\gamma} \tau
\]

где $\tau=\Omega^{s}$.

Доказательство.
Действительно, так как 2-форма $\Omega$ класса $n$ замкнута, то $\tau-$ форма объема на $M^{n}$. Далее,
\[
\dot{\tau}=\left(\Omega^{s}\right)^{\cdot}=\dot{\Omega} \wedge \Omega \wedge \ldots \wedge \Omega+\Omega \wedge \dot{\Omega} \wedge \ldots \wedge \Omega+\cdots=0
\]

ввиду (2.12).
Предложение 4, между прочим, содержит как частный случай знаменитую теорему Лиувилля о сохранении фазового объема в гамильтоновых системах.

Пусть теперь $n=2 s+1$ нечетно и класс 1-формы $\omega$ равен $n$. Тогда $n$-форма $\tau=\omega \wedge \Omega^{s}$ будет формой объема. Однако в общем случае она не будет инвариантной. Действительно, по формуле (1.8),
\[
\begin{array}{c}
\dot{\tau}=\dot{\omega} \wedge \Omega^{s}+\omega \wedge \dot{\Omega} \wedge \Omega \wedge \ldots \wedge \Omega+\cdots= \\
=\dot{\omega} \wedge \Omega^{s}=d g \wedge \Omega^{s},
\end{array}
\]

где $g=i_{v} \omega-h$ – «лагранжиан».
Таю как форма $\Omega$ замкнута, то
\[
d g \wedge \Omega^{s}=d\left(g \Omega^{s}\right) .
\]

Следовательно, для компактного $M$ имеем
\[
\frac{d}{d t} \int_{M} \tau=\int_{M} d g \wedge \Omega^{s}=\int_{M} d\left(g \Omega^{s}\right)=0 .
\]

Таким образом, $\tau$ – объем всего $M$ сохраняется. Это замечание содержательно лишь в неавтономном случае.

Рассмотрим важный частный случай, когда уравнения (1.1) являются уравнениями Ламба для стационарной $n$-мерной инвариантной поверхности гамильтоновой системы с квадратичным гамильтонианом
\[
H=\left(\sum g_{i j}(x) y_{i} y_{j}\right) / 2 .
\]

По формуле Эйлера для однородных функций
\[
i_{v} \omega=\left.\sum y_{i} \frac{\partial H}{\partial y_{i}}\right|_{y=u}=2 h .
\]

Предложение 5 ([35]). В расслатриваемом случае уравнения (1.2) допускают интегральный инвариант (3.3), где $\tau=\omega \wedge \Omega^{s}$.

Доказательство.
Действительно, согласно (3.5), $g=2 h-h=h$. Уравнение (1.7) в стационарном случае дает нам равенство $d h=-i_{v} \Omega$. Следовательно,
\[
\dot{\tau}=-i_{v} \Omega \wedge \Omega^{s} .
\]

Так как $\Omega^{s+1}-0$, то $i_{v} \Omega^{s+1}-(s+1) i_{v} \Omega \wedge \Omega^{s}-0$. Значит, $\dot{\tau}-0$.
$3^{\circ}$. Если класс форм $\omega$ и $\Omega$ не максимальный, то с их помощью вообще не удается получить форму объема. Таким образом, вопрос о наличии инвариантных мер уравнений (1.2) является содержательной задачей.

В §8 гл. I мы видели, что эта задача просто решается в случае, когда известно полное решение $u(x, t, c), c=\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right)$ уравнений Ламба для гамильтоновой системы с $n$ степенями свободы. Действительно, для фиксированных значений $c$ уравнения (1.2) допускают инвариант
\[
\int_{\gamma} \rho d^{n} x
\]

где
\[
\rho=\frac{\partial\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}{\partial\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right)} .
\]

Плотность $\rho(x, t)$ удовлетворяет уравнению неразрывности
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum \frac{\partial\left(\rho v_{i}\right)}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Для потенциальных течений $u=\partial \varphi / \partial x$ полное решение уравнений Ламба переходит в полный интеграл $\varphi(t, x, c)$ уравнения Гамильтона-Якоби
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+H\left(x, \frac{\partial \varphi}{\partial x}, t\right)=0 .
\]

В этом случае формула (3.6) принимает вид
\[
\rho=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial c_{j}}\right\| .
\]

Невырожденность матрицы вторых производных для потенциала является одним из свойств полного интеграла.

Рассмотрим стационарное решение для гамильтоновой системы с натуральным гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum a_{i, j}(x) y_{i} y_{j}+V(x) .
\]

Тогда
\[
v_{i}=\sum a_{i j} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{j}}
\]

и поэтому уравнение (3.7) принимает следующий явный вид:
\[
\sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\rho \sum_{j} a_{i j} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{j}}\right)=0 .
\]

Это – аналог уравнения Лапласа для потенциала скоростей однородной жидкости. Если
\[
\rho=c \sqrt{g}, \quad g=\operatorname{det}\left\|a_{i j}\right\|, \quad c=\text { const },
\]

то уравнение (3.8) превращается в уравнение Лапласа-Бельтрами на $M$ с римановой метрикой, определяемой кинетической энергией. В этом случае потенциал $\varphi$ будет гармонической функцией на $M$.