1. Предположим, что твердое тело с неподвижной точкой вращается в силовом поле с потенциалом $V$. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$-векторы неподвижного ортонормированного репера, рассматриваемые как векторы связанного с телом подвижного пространства. Поскольку они однозначно определяют положение тела в неподвижном пространстве, то потенциал $V$ можно считать функцией от $\alpha, \beta, \gamma$. Запишем уравнения Пуанкаре, приняв в качестве пространства положений группу $S O(3)$. Пусть снова (как и в п. 3 § 2) $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ обозначают левоинвариантные векторные поля на группе $S O(3)$, порождаемые постоянными вращениями тела вокруг главных осей инерции с единичной скоростью. Вычислим $u_{i}(V)$ – производные от потенциала вдоль $u_{i}$. Пусть $\omega^{\prime}$ – вектор угловой скорости с координатами (относительно осей инерции) $1,0,0$. При вращении со скоростью $\omega^{\prime}$ векторы $\alpha, \beta, \gamma$ изменяются в соответствии с геометрическими уравнениями Пуассона: $\dot{\alpha}=\alpha \times \omega^{\prime}, \dot{\beta}=\beta \times \omega^{\prime}, \dot{\gamma}=\gamma \times \omega^{\prime}$. Следовательно,
\[
\begin{aligned}
u_{1}(V)=\dot{V} & =\left(\frac{\partial V}{\partial \alpha}, \dot{\alpha}\right)+\left(\frac{\partial V}{\partial \beta}, \dot{\beta}\right)+\left(\frac{\partial V}{\partial \gamma}, \dot{\gamma}\right)= \\
& =\left(\omega^{\prime}, \frac{\partial V}{\partial \alpha} \times \alpha+\frac{\partial V}{\partial \beta} \times \beta+\frac{\partial V}{\partial \gamma} \times \gamma\right)
\end{aligned}
\]

Аналогичные формулы справедливы и для $u_{2}(V), u_{3}(V)$. Полагая в уравнениях (2.1) $\mathcal{L}=T-V$, приходим к уравнениям
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega}+\omega \times \frac{\partial T}{\partial \omega}=\alpha \times \frac{\partial V}{\partial \alpha}+\beta \times \frac{\partial V}{\partial \beta}+\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma} .
\]

Дополняя их уравнениями Пуассона
\[
\dot{\alpha}=\alpha \times \omega, \quad \dot{\beta}=\beta \times \omega, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\]

получим замкнутую систему уравнений вращения твердого тела. Эти уравнения получены Лагранжем в его \”Аналитической механике\” (1788 г.).

Если поле осесимметрично ( $V$ зависит, скажем, лишь от $\gamma$ ), то из $(3.1),(3.2)$ получаем замкнутую систему уравнений ЭйлераПуассона:
\[
I \dot{\omega}+\omega \times I \omega=\gamma \times \frac{\partial V}{\partial \gamma}, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega .
\]
2. Если твердое тело закреплено в его центре масс и на него действуют силы гравитационного притяжения удаленных тел, то с большой точностью потенциал $V$ можно аппроксимировать квадратичной формой
\[
\varepsilon_{1}(I \alpha, \alpha)+\varepsilon_{2}(I \beta, \beta)+\varepsilon_{3}(I \gamma, \gamma),
\]

где $I$ – оператор инерции твердого тела, постоянные $\varepsilon_{i}$ зависят от распределения масс удаленных гравитирующих тел (см., например, [157]). Если тело вращается в гравитационном поле одного удаленного центра, то в (3.4) надо положить $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0$. Эта задача впервые рассмотрена Тиссераном ( 1872 г.), установившим ее интегрируемость (по методу интегрирующего множителя Эйлеpa – Якоби). Общий случай потенциала (3.4) рассмотрен Бруном [183]. Им найдены три инволютивных интеграла, которых достаточно для полной интегрируемости системы (3.1)-(3.2). Явное интегрирование задачи Бруна в $\theta$-функциях выполнено О. И. Богоявленским [181].

Вопросы интегрирования уравнений движения твердого тела (3.1)-(3.2) в различных силовых полях рассмотрены в работах $[22$, $44,175]$.
3. Предположим, что тело вращается в однородном поле силы тяжести. Пусть $\varepsilon$-масса тела, $r$ – радиус-вектор его центра масс в подвижном пространстве. В этой задаче $V=\varepsilon(r, \gamma)$, и уравнения Эйлера – Пуассона (3:3) имеют вид
\[
I \dot{\omega}+\omega \times I \omega=\varepsilon \gamma \times r, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega .
\]

Эти уравнения зависят от шести параметров: $I_{1}, I_{2}, I_{3}, \varepsilon r_{1}, \varepsilon r_{2}, \varepsilon r_{3}$, где $I_{i}$ – главные моменты инерции, а $r_{i}$ – координаты центра масс относительно осей инерции.

4. Рассмотрим группу $S p(1)$ – мультипликативную группу кватернионов $q=\chi+\xi i+\eta j+\zeta k$ с единичной нормой: $\chi^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+$ $+\zeta^{2}=1$. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение $T_{q}$ алгебры всех кватернионов $\mathbb{K}$ на себя, определенное формулой $T_{q}(r)=q r q^{-1} \quad(r \in \mathbb{K})$. Легко проверить, что $T_{q}$ отображает множество чистых кватернионов (у которых $\chi=0$ ) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством $\mathbb{R}^{3}$, то $T_{q}$ будет ортогональным преобразованием $\mathbb{R}^{3} \rightarrow$ $\rightarrow \mathbb{R}^{3}$. Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион $q \in S p(1)$. Таким образом, каждому кватерниону $q \in S p(1)$ можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону $-q$ (и только ему) соответствует то же самое положение тела в $\mathbb{R}^{3}$. Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные $(\chi, \xi, \eta, \zeta) \in \mathbb{R}^{4}$ можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг негодвижной точки.

Воспользуемся соображениями, изложенными в п. 9 § 1. Известны следующие соотношения [163]:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=2(\chi \dot{\xi}-\xi \dot{\chi}+\zeta \dot{\eta}-\eta \dot{\zeta}), \\
\omega_{2}=2(\chi \dot{\eta}-\eta \dot{\chi}+\xi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\xi}), \\
\omega_{3}=2(\chi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\chi}+\eta \dot{\xi}-\xi \dot{\eta}) .
\end{array}
\]

Согласно (1.6), обобщенные импульсы $p_{\chi}, p_{\xi}, p_{\eta}, p_{\zeta}$ определяются по формулам $p_{\chi}=\partial T / \partial \dot{\chi}-\lambda \chi, p_{\xi}=\partial T / \partial \dot{\xi}-\lambda \xi, p_{\eta}=\partial T / \partial \dot{\eta}-\lambda \eta$, $p_{\zeta}=\partial T / \partial \dot{\zeta}-\lambda \zeta, \chi \dot{\chi}+\xi \dot{\xi}+\eta \dot{\eta}+\zeta \dot{\zeta}=0$. Из этой системы с учетом формул (3.6) можно найти:
\[
\begin{array}{l}
2 I_{1} \omega_{1} f=p_{\xi} \chi-p_{\chi} \xi+p_{\eta} \zeta-p_{\zeta} \eta, \\
2 I_{2} \omega_{2} f=p_{\eta} \chi-p_{\chi} \eta+p_{\zeta} \xi-p_{\xi} \zeta, \\
2 I_{3} \omega_{3} f=p_{\zeta} \chi-p_{\chi} \zeta+p_{\xi} \eta-p_{\eta} \xi
\end{array}
\]

где $f=\chi^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}$.

Следовательно, в новых переменных $\chi, p_{\chi}, \ldots$ уравнения движения имеют каноническую форму с гамильтонианом
\[
\begin{array}{r}
H=\frac{1}{8 f^{2}}\left[\frac{\left(p_{\xi} \chi-p_{\chi} \xi+p_{\eta} \zeta-p_{\zeta} \eta\right)^{2}}{I_{1}}+\frac{\left(p_{\eta} \chi-p_{\chi} \eta+p_{\zeta} \xi-p_{\xi} \zeta\right)^{2}}{I_{2}}+\right. \\
\left.+\frac{\left(p_{\zeta} \chi-p_{\chi} \zeta+p_{\xi} \eta-p_{\eta} \xi\right)^{2}}{I_{3}}\right]+V(\chi, \xi, \eta, \zeta)
\end{array}
\]

Рассмотрим случай, когда силовое поле инвариантно относительно группы $g$ поворотов тела вокруг некоторой неподвижной оси $l$. Направляющие косинусы этой оси относительно осей инерции обозначим $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Можно показать, что
\[
\gamma_{1}=2(\xi \zeta-\eta \chi), \quad \gamma_{2}=2(\xi \chi+\eta \zeta), \quad \gamma_{3}=\chi^{2}+\zeta^{2}-\xi^{2}-\eta^{2} .
\]

Критерий инвариантности потенциала $V$ относительно действия группы $g$ – постоянство проекции кинетического момента на ось $l$ : $M=I_{1} \omega_{1} \gamma_{1}+I_{2} \omega_{2} \gamma_{2}+I_{3} \omega_{3} \gamma_{3}=$ const. В канонических переменных $\chi, p_{\chi}, \ldots$ момент $M$ равен $\left(p_{\zeta} \chi-p_{\chi} \zeta+p_{\eta} \xi-p_{\xi} \eta\right) / 2$. Используя этот линейный интеграл, можно понизить число степеней свободы рассматриваемой системы на единицу.

5. Рассмотрим некоторые аспекты теории понижения порядка галильтоновых систем с силметрией. Пусть система уравнений Гамильтона $\dot{q}_{i}=\partial H / \partial p_{i}, \dot{p}_{i}=-\partial H / \partial q_{i}(1 \leqslant i \leqslant n)$ имеет линейный интеграл $F=\sum f_{i}(q) p_{i}$. Ему естественным образом соответствует однопараметрическая группа симметрий $g^{*}$ пространства положений $N$-фазовый поток системы уравнений
\[
\frac{d q_{i}}{d s}=\frac{\partial F}{\partial p_{i}}=f_{i}(q), \quad 1 \leqslant i \leqslant n .
\]

Орбиты действия групшы $g^{*}$ – фазовые траектории этой системы – локально выпрямляются: в окрестности неособдй точки можно так выбрать координаты $Q_{1}, \ldots, Q_{n}$, что $d Q_{i} / d s=0(1 \leqslant i \leqslant$ $\leqslant n-1) ; d Q_{n} / d s=1$. Функции $Q_{1}, \ldots, Q_{n-1}$ – первые интегралы уравнений $(3.8)$, а $Q_{n}(q)$ удовлетворяет уравнению
\[
\sum \frac{\partial Q_{n}}{\partial q_{i}} f_{i}=1 .
\]

Так как $\operatorname{det}\|\partial Q / \partial q\|
eq 0$, то существует каноническое преобразование $(p, q) \rightarrow(P, Q)$ с производящей функцией $S(q, P)=$ $=\sum P_{i} Q_{i}(q)$. В новых координатах $F=\sum f_{i} p_{i}=\sum f_{i} \frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}} P_{j}=P_{n}$.

Поскольку $F$ – первый интеграл системы с гамильтонианом $H$, то $H(P, Q)$ не зависит от $Q_{n}$. Итак, при фиксированном значении

линейного интеграла $F=P_{n}$ мы понизили (по крайней мере локально) порядок исходной гамильтоновой системы. При этом переменные $Q_{1}, \ldots, Q_{n-1}$ \”нумеруют\” орбиты группы $g$.

Координаты $Q_{1}, \ldots, Q_{n}$, участвующие в понижении порядка гамильтоновой системы, определены конечно неоднозначно: к ним можно добавить произвольные первые интегралы уравнения (3.9). Гамильтониан понйженной системы в общем случае зависит от выбора решения $Q_{n}$ уравнения (3.9). Если же постоянная линейного интеграла $F$ равна нулю, то функция Гамильтона приведенной системы однозначно определена на кокасательном расслоении локального приведенного пространства положений, точки которого являются орбитами действия группы $g$. Иногда такое приведение при $F=0$ можно осуществить не только локально, но и в целом.
6. В задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле уравнения (3.8) имеют вид
\[
\begin{aligned}
\chi^{\prime} & =\frac{\partial M}{\partial p_{\chi}}=-\frac{\zeta}{2}, & \zeta^{\prime} & =\frac{\partial M}{\partial p_{\zeta}}=\frac{\chi}{2} \\
\xi^{\prime} & =\frac{\partial M}{\partial p_{\xi}}=-\frac{\eta}{2}, & \eta^{\prime} & =\frac{\partial M}{\partial p_{\eta}}=\frac{\xi}{2}
\end{aligned}
\]

Фазовые траектории этой системы (орбиты действия группы $g$ ) устроены достаточно просто: они являются большими кругами трехмерных сфер $S_{r}^{3}=\left\{\chi^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=r^{2}\right\} \subset \mathbb{R}^{4}$. Фактормножество $S_{r}^{3} / g$ (множество орбит $g$ на $S_{r}^{3}$ ) является двумерной сферой $S_{r^{2}}^{2}$. Можно считать, что $S_{r^{2}}^{2}$ – стандартная сфера $\left\{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\right.$ $\left.+\gamma_{3}^{2}=r^{4}\right\} \subset \mathbb{R}^{3}$. Действительно, функции $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$, определяемые формулами (3.7), образуют независимый набор первых интегралов уравнений (3.10), и точки на сфере $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=r^{4}$ взаимно однозначно соответствуют большим кругам трехмерной сферы $\xi_{r}^{3}$. Наше расслоение трехмерной сферы на одномерные известно в геометрии под названием расслоения Хопфа.

Будем считать $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ избыточными координатами приведенной системы. Чтобы выписать ее гамильтониан, надо согласно п. 5 найти решение уравнения (3.9): $-\frac{\partial \varphi}{\partial \chi} \zeta+\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta} \chi-\frac{\partial \varphi}{\partial \xi} \eta+\frac{\partial \varphi}{\partial \eta} \xi=2$.

Одним из его решений является функция $\varphi=\operatorname{arctg}(\zeta / \chi)+$ $+\operatorname{arctg}(\eta / \xi)$. Отметим, что любое решение этого уравнения имеет особенности в $\mathbb{R}^{4}$.

Канонические переменные $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, сопряженные с переменными $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$, можно найти из системы уравнений
\[
\begin{array}{r}
2 p_{1} \zeta+2 p_{2} \chi-2 p_{3} \xi+M \frac{\partial \varphi}{\partial \xi}=p_{\xi}, \\
-2 p_{1} \chi+2 p_{2} \zeta-2 p_{3} \eta+M \frac{\partial \varphi}{\partial \eta}=p_{\eta}, \\
2 p_{1} \xi+2 p_{2} \eta+2 p_{3} \zeta+M \frac{\partial \varphi}{\partial \zeta}=p_{\zeta}, \\
-2 p_{1} \eta+2 p_{2} \xi+2 p_{3} \chi+M \frac{\partial \varphi}{\partial \chi}=p_{\chi} .
\end{array}
\]

С помощью этих формул нетрудно вычислить
\[
\begin{array}{l}
I_{1} \omega_{1}= \frac{1}{2 f}\left(p_{\xi} \chi-p_{\chi} \xi+p_{\eta} \zeta-p_{\zeta} \eta\right)=\frac{1}{2 f}\left[2\left(p_{2} \gamma_{3}-p_{3} \gamma_{2}\right)+\right. \\
\left.\quad+M\left(\chi \frac{\partial \varphi}{\partial \xi}-\xi \frac{\partial \varphi}{\partial \chi}+\zeta \frac{\partial \varphi}{\partial \eta}-\eta \frac{\partial \varphi}{\partial \zeta}\right)\right]= \\
= \frac{p_{2} \gamma_{3}-p_{3} \gamma_{2}}{f}+\frac{M \gamma_{1}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \\
I_{2} \omega_{2}= \frac{p_{3} \gamma_{1}-p_{1} \gamma_{3}}{f}+\frac{M \gamma_{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \quad I_{3} \omega_{3}=\frac{p_{1} \gamma_{2}-p_{2} \gamma_{1}}{f}
\end{array}
\]

Здесь $f^{2}=\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}$. Гамильтониан приведенной системы равен $H=\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right) / 2+V$, где вместо $I_{1} \omega_{1}, I_{2} \omega_{2}$ и $I_{3} \omega_{3}$ подставлены их выражения через $p_{i}, \gamma_{i}$ с помощью формул (3.11). Наиболее простой вид гамильтониан имеет в случае $M=0$ :
\[
\begin{aligned}
H=\frac{1}{2 f^{2}}\left[\frac{\left(p_{2} \gamma_{3}-p_{3} \gamma_{2}\right)^{2}}{I_{1}}\right. & +\frac{\left(p_{3} \gamma_{1}-p_{1} \gamma_{3}\right)^{2}}{I_{2}}+ \\
& \left.+\frac{\left(p_{1} \gamma_{2}-p_{2} \gamma_{1}\right)^{2}}{I_{3}}\right]+V\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

В случае Эйлера ( $V \equiv 0$ ), как известно, сохраняется квадрат модуля кинетического момента
\[
\begin{aligned}
\left(I_{1} \omega_{1}\right)^{2}+ & \left(I_{2} \omega_{2}\right)^{2}+\left(I_{3} \omega_{3}\right)^{2}= \\
\quad= & \frac{1}{f^{2}}\left[\left(p_{2} \gamma_{3}-p_{3} \gamma_{2}\right)^{2}+\left(p_{3} \gamma_{1}-p_{1} \gamma_{3}\right)^{2}+\left(p_{1} \gamma_{2}-p_{2} \gamma_{1}\right)^{2}\right]
\end{aligned}
\]

Интересно отметить, что эта функция является гамильтонианом канонических уравнений задачи о движении точки массы $m=2$ по инерции по неподвижной сфере $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1$, записанных в естественных избыточных координатах $\gamma_{i}, p_{i}(1 \leqslant i \leqslant 3)$ (см. (1.10)).

7. Рассмотрим группу $E(3)$ движений твердого тела в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве и ее алгебру $\epsilon(3)$. Ясно, что $\operatorname{dim} E(3)=6$. Выберем в твердом теле ортонормированный базис с началом в некоторой точке $O$. Постоянным вращениям тела с единичной скоростью вокруг векторов базиеа отвечают левоинвариантные поля $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ на группе $E(3)$. Точно так же движениям твердого тела, при которых скорость точки $O$ постоянна и равна одному из векторов выделенного базиса, отвечают левоинвариантные поля $u_{1}, u_{2}, u_{3}$. Ясно, что поля $v_{i}, u_{j}$ всюду линейно независимы. Можно показать, что структурные константы алгебры $e(3)$ определяются таблицей
\[
\left[v_{i}, v_{j}\right]=\sum_{k} \varepsilon_{i j k} v_{k}, \quad\left[v_{i}, u_{j}\right]=\sum_{k} \varepsilon_{i j k} u_{k}, \quad\left[u_{i}, u_{j}\right]=0 .
\]

Здесь числа $\varepsilon_{i j k}$ равны 1 , если перестановка $i, j, k$ – четная, равны -1 , если она нечетная, и, наконец, обращаются в нуль, когда среди индексов $i, j, k$ есть совпадающие.

Пусть $\omega$-вектор угловой скорости твердого тела, $
u$-вектор скорости точки $O$. Если лагранжиан $\mathcal{L}$ есть функция только от $\omega$ и $
u$, то уравнения Пуанкаре (2.1) с учетом коммутационных соотношений (3.13) можно записать в векторном виде:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega} \times \omega+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial
u} \times
u, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial
u}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial
u} \times \omega .
\]

От уравнений (3.14) можно перейти к уравнениям Четаева:
\[
\dot{m}=m \times \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial m}+p \times \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}, \quad \dot{p}=p \times \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial m}
\]

где $m=\partial \mathcal{L} / \partial \omega, p=\partial \mathcal{L} / \partial
u, \mathcal{H}$ – функция от $m$ и $p$. Как известно из гидродинамики [115], такой вид имеют уравнения движения твердого тела в безграничном объеме идеальной жидкости, покоящейся на бесконечности и совершающей безвихревое движение. При этом функция $\mathcal{H}$ является положительно определенной квадратичной формой:
\[
(A m, m) / 2+(B m, p)+(C p, p) / 2 .
\]

Операторы $A$ и $C$, разумеется, симметричны. Уравнения (3.15) с функцией Гамильтона (3.16) получены Кирхгофом (1870г.). Уравнения Кирхгофа в общем случае содержат 21 параметр. Приводя оператор $A$ (или $C$ ) к диагональному виду, их число можно

уменьшить на три. Векторы $m$ и $p$ называются соответственно импульсивным моментом и импульсивной силой.

Отметим, что уравнения Эйлера – Пуассона (3.3) можно записать в виде (3.15), если положить $\mathcal{H}=\left(I^{-1} m, m\right) / 2+V(p)$. Это замечание принадлежит В. А. Стеклову (1901г.), указавшему, что задача Тиссерана является частным случаем задачи Кирхгофа.

Скобка Ли – Іуассона для алгебры $\epsilon(3)$, порожденная соотношениями (3.13) при соответствии $m_{i} \leftrightarrow v_{i}$ и $p_{j} \leftrightarrow u_{j}$, вырождена: функции ( $m, p$ ) и $p^{2}$ коммутируют со всеми функциями на $(e(3))^{*}$; они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов $\mathcal{H}$, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 § 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности $M_{\mathrm{c}}=\{m, p:(m, p)=$ $\left.=c_{1},(p, p)=c_{2}\right\}\left(c_{2}>0\right)$, диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли- Пуассона на $M_{c}$ является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает $M_{c}$ в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на $M_{c}$ являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом $\mathcal{H}$, ограниченным на $M_{c}$; этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая $c_{1}=0$. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при $c_{1}=0$. Положим $m=e \times p$. Если $(m, p)=0$ и $(p, p)>$ $>0$, то вектор $e$ существует и единственен с точностью до сдвигов вдоль вектора $p$. Положим $K(p, e)=H(e \times p, p)$. Утверждается, что если функции $e(t)$ и $p(t)$ удовлетворяют каноническим уравнениям $\dot{e}=-\partial K / \partial p, \dot{p}=\partial K / \partial \epsilon$, то функции $m(t)=\epsilon(t) \times p(t)$ и $p(t)$ удовлетворяют уравнениям Четаева (3.15). Для доказательства вычислим сначала $\dot{p}=\frac{\partial K}{\partial e}=\frac{\partial H}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial e}=p \times \frac{\partial H}{\partial m}$. Так как $m=e \times p$, тo $\dot{m}=\dot{e} \times p+e \times \dot{p}=-\frac{\partial K}{\partial p} \times p+e \times\left(p \times \frac{\partial H}{\partial m}\right), \frac{\partial K}{\partial p}=\frac{\partial H}{\partial p}+$ $+\frac{\partial H}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial p}=\frac{\partial H}{\partial p}+\frac{\partial H}{\partial m} \times e$. Значит, $\dot{m}=-\frac{\partial H}{\partial p} \times p+p \times\left(\frac{\partial H}{\partial m} \times e\right)+$ $+e \times\left(p \times \frac{\partial H}{\partial m}\right)=p \times \frac{\partial H}{\partial p}+(e \times p) \times \frac{\partial H}{\partial m}=m \times \frac{\partial H}{\partial m}+p \times \frac{\partial H}{\partial p}$, что и требовалось доказать. Этот формальный результат дополняет вычисления п. 6.

8. Известно, что \”нейтральный\” ферромагнетик при вращении становится намагниченным вдоль оси вращения (эффект Барнетта, имеющий квантовомеханическое происхождение [72]). Магнитный момент тела $B$ связан с его угловой скоростью $\omega$ соотношением $B=\Lambda \omega$, где $\Lambda$ – некоторый симметричный линейный оператор. Аналогичное явление имеет место и при вращении сверхпро-

водящего твердого тела (эффект Лондона). Если тело вращается в однородном магнитном поле с напряженностью $\mathrm{H}$, то на него действуют магнитные силы с моментом $B \times$. Применяя теорему моментов, запишем уравнения вращения твердого тела в форме уравнений Эйлера – Пуассона (в подвижном пространстве):
\[
I \dot{\omega}+\omega \times I \omega=(\Lambda \omega) \times \mathrm{H}, \quad \dot{\mathrm{H}}+\omega \times \mathrm{H}=0 .
\]

Мы пренебрегли гиромагнитным эффектом де Гааза-Эйнштейна (двойственным эффекту Барнетта), состоящим в закручивании ферромагнетика вокруг оси при его намагничивании. Полная теория вращения твердого тела в магнитном поле содержится в работе [38]; впрочем, при $\Lambda=\lambda E, \lambda=$ const уравнения (3.17) являются точными. В этом важном частном случае их можно переписать в более удобной форме:
\[
I \dot{\omega}+\omega \times I \omega=\varepsilon(\omega \times \gamma), \quad \dot{\gamma}+\omega \times \gamma=0,
\]

где $\gamma=\mathrm{H} /|\mathrm{H}|, \varepsilon=\lambda|\mathrm{H}|$.
Поскольку $(\omega \times \gamma, \omega)=0$, магнитные силы не совершают работы и поэтому являются гироскопическими. Введем по обычному правилу 2-форму гироскопических сил $\Gamma$, положив $\Gamma\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=\varepsilon\left(\omega_{1} \times\right.$ $\left.\times \gamma, \omega_{2}\right)=-\varepsilon\left(\gamma, \omega_{1} \times \omega_{2}\right)$. Можно проверить, что форма $\Gamma$ точна: $\Gamma=d \varphi$, где 1 -форма $\varphi$ задана равенством $\varphi(\omega)=-\varepsilon(\gamma, \omega)$. Отсюда следует возможность представления уравнений (3.18) в форме уравнений Лагранжа с глобально определенным лагранжианом (см. [91]; ср. с замечаниями п. 8 §1). Действительно, вводя функцию $L=(I \omega, \omega) / 2+\lambda(\omega, \gamma)$ уравнения (3.18) можно записать в виде $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \omega}+\omega \times \frac{\partial L}{\partial \omega}=\frac{\partial L}{\partial \gamma} \times \gamma, \dot{\gamma}+\omega \times \gamma=0$, и трактовать как уравнения Пуанкаре на групе $S O(3)$ с лагранжианом $L$. Представим уравнения Пуанкаре в виде уравнений Гамильтона. Для этого положим $m=\partial L / \partial \omega=I \omega+\lambda \gamma$ и введем гамильтониан $H(m, \gamma)=[(m, \omega)-$ $-L(\omega, \gamma)]\left.\right|_{\omega \rightarrow m}$. В переменных $m, \gamma$ уравнения (3.18) приобретают вид уравнений Кирхгофа
\[
\dot{m}=m \times \frac{\partial H}{\partial m}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma}, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial m}
\]

с функцией Гамильтона
\[
\begin{aligned}
H=\frac{1}{2}\left(I^{-1} m, m\right)-\lambda\left(I^{-1} m, \gamma\right) & +\frac{\lambda^{2}}{2}\left(I^{-1} \gamma, \gamma\right)= \\
& =\left(I^{-1}(m-\lambda \gamma),(m-\lambda \gamma)\right) .
\end{aligned}
\]

Эта функция неотрицательна, но не является положительно определенной. С точки зрения задачи Кирхгофа, уравнения (3.19) с

гамильтонианом (3.20) описывают динамику безмассового твердого тела с винтовой симметрией в безграничном объеме идеальной жидкости.

9. Гиростатом (по Кельвину) называется система, состоящая из твердого тела с неподвижной точкой и симметричного ротора, который может свободно вращаться вокруг некоторой оси, неподвижной относительно твердого тела. Эта система имеет четыре степени свободы; пространством положений является пряміое произведение $S O(3) \times S^{1}$. Кинетический момент ротора как вектор подвижного пространства постоянен; обозначим его $\lambda$. Полный кинетический момент системы относительно неподвижной точки равен $m+\lambda=I \omega+\lambda$. Если на систему не действуют внешние силы, то вектор угловой скорости $\omega$ удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера
\[
I \dot{\omega}+\omega \times(I \omega+\lambda)=0 .
\]

Это уравнение впервые получено Жуковским ( 1885 г.) в задаче о вращении твердого тела с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Впоследствии ( 1895 г.) оно было проинтегрировано в эллиптических функциях Вито Вольтерра в работе, посвященной теории движения полюсов Земли. Уравнение (3.21) есть уравнение Пуанкаре на алгебре $s o(3)$ с лагранжианом $T=(I \omega+\lambda, \omega) / 2$.

Уравнения движения более общей задачи о вращении твердого тела с несимметричным ротором уже не имеют простой группвой структуры. Гамильтонов формализм в этой задаче изложен в работе [67].

10. В заключение рассмотрим задачу Чаплыгина из неголономной механики – задачу о качении без скольжения уравновешенного, но динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Динамика шара описывается в $\mathbb{R}^{6}=\{\omega, \gamma\}$ системой
\[
\dot{m}+\omega \times m=0, \quad \dot{\gamma}+\omega \times \gamma=0, \quad m=I \omega+\mu a^{2}[\gamma \times(\omega \times \gamma)] .
\]

Здесь $\omega$ – вектор угловой скорости вращения шара, $\gamma$ – единичный вектор вертикали, $I$ – оператор инерции шара относительно его центра, $\mu$-масса шара, $a$-его радиус. Формально при $a=0$ получаем уравнения Эйлера. Уравнения (3.22) имеют четыре интеграла: $(m, \omega),(m, \gamma),(m, m),(\gamma, \gamma)$, и интегральный инвариант с плотностью
\[
f=\left[\left(\mu a^{2}\right)^{-1}-\left(\gamma,\left(I+\mu a^{2} E\right)^{-1} \gamma\right)\right]^{-1 / 2}
\]

Это обстоятельство позволило Чаплыгину свести интегрирование уравнений (3.22) к гиперэллиптическим квадратурам (детали см. в [172]). Интегрируемые обобщения задачи Чаплыгина даны в работах $[90,124]$.