Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Предположим, что твердое тело с неподвижной точкой вращается в силовом поле с потенциалом $V$. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$-векторы неподвижного ортонормированного репера, рассматриваемые как векторы связанного с телом подвижного пространства. Поскольку они однозначно определяют положение тела в неподвижном пространстве, то потенциал $V$ можно считать функцией от $\alpha, \beta, \gamma$. Запишем уравнения Пуанкаре, приняв в качестве пространства положений группу $S O(3)$. Пусть снова (как и в п. 3 § 2) $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ обозначают левоинвариантные векторные поля на группе $S O(3)$, порождаемые постоянными вращениями тела вокруг главных осей инерции с единичной скоростью. Вычислим $u_{i}(V)$ — производные от потенциала вдоль $u_{i}$. Пусть $\omega^{\prime}$ — вектор угловой скорости с координатами (относительно осей инерции) $1,0,0$. При вращении со скоростью $\omega^{\prime}$ векторы $\alpha, \beta, \gamma$ изменяются в соответствии с геометрическими уравнениями Пуассона: $\dot{\alpha}=\alpha \times \omega^{\prime}, \dot{\beta}=\beta \times \omega^{\prime}, \dot{\gamma}=\gamma \times \omega^{\prime}$. Следовательно, Аналогичные формулы справедливы и для $u_{2}(V), u_{3}(V)$. Полагая в уравнениях (2.1) $\mathcal{L}=T-V$, приходим к уравнениям Дополняя их уравнениями Пуассона получим замкнутую систему уравнений вращения твердого тела. Эти уравнения получены Лагранжем в его \»Аналитической механике\» (1788 г.). Если поле осесимметрично ( $V$ зависит, скажем, лишь от $\gamma$ ), то из $(3.1),(3.2)$ получаем замкнутую систему уравнений ЭйлераПуассона: где $I$ — оператор инерции твердого тела, постоянные $\varepsilon_{i}$ зависят от распределения масс удаленных гравитирующих тел (см., например, [157]). Если тело вращается в гравитационном поле одного удаленного центра, то в (3.4) надо положить $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0$. Эта задача впервые рассмотрена Тиссераном ( 1872 г.), установившим ее интегрируемость (по методу интегрирующего множителя Эйлеpa — Якоби). Общий случай потенциала (3.4) рассмотрен Бруном [183]. Им найдены три инволютивных интеграла, которых достаточно для полной интегрируемости системы (3.1)-(3.2). Явное интегрирование задачи Бруна в $\theta$-функциях выполнено О. И. Богоявленским [181]. Вопросы интегрирования уравнений движения твердого тела (3.1)-(3.2) в различных силовых полях рассмотрены в работах $[22$, $44,175]$. Эти уравнения зависят от шести параметров: $I_{1}, I_{2}, I_{3}, \varepsilon r_{1}, \varepsilon r_{2}, \varepsilon r_{3}$, где $I_{i}$ — главные моменты инерции, а $r_{i}$ — координаты центра масс относительно осей инерции. 4. Рассмотрим группу $S p(1)$ — мультипликативную группу кватернионов $q=\chi+\xi i+\eta j+\zeta k$ с единичной нормой: $\chi^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+$ $+\zeta^{2}=1$. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение $T_{q}$ алгебры всех кватернионов $\mathbb{K}$ на себя, определенное формулой $T_{q}(r)=q r q^{-1} \quad(r \in \mathbb{K})$. Легко проверить, что $T_{q}$ отображает множество чистых кватернионов (у которых $\chi=0$ ) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством $\mathbb{R}^{3}$, то $T_{q}$ будет ортогональным преобразованием $\mathbb{R}^{3} \rightarrow$ $\rightarrow \mathbb{R}^{3}$. Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион $q \in S p(1)$. Таким образом, каждому кватерниону $q \in S p(1)$ можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону $-q$ (и только ему) соответствует то же самое положение тела в $\mathbb{R}^{3}$. Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные $(\chi, \xi, \eta, \zeta) \in \mathbb{R}^{4}$ можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг негодвижной точки. Воспользуемся соображениями, изложенными в п. 9 § 1. Известны следующие соотношения [163]: Согласно (1.6), обобщенные импульсы $p_{\chi}, p_{\xi}, p_{\eta}, p_{\zeta}$ определяются по формулам $p_{\chi}=\partial T / \partial \dot{\chi}-\lambda \chi, p_{\xi}=\partial T / \partial \dot{\xi}-\lambda \xi, p_{\eta}=\partial T / \partial \dot{\eta}-\lambda \eta$, $p_{\zeta}=\partial T / \partial \dot{\zeta}-\lambda \zeta, \chi \dot{\chi}+\xi \dot{\xi}+\eta \dot{\eta}+\zeta \dot{\zeta}=0$. Из этой системы с учетом формул (3.6) можно найти: где $f=\chi^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}$. Следовательно, в новых переменных $\chi, p_{\chi}, \ldots$ уравнения движения имеют каноническую форму с гамильтонианом Рассмотрим случай, когда силовое поле инвариантно относительно группы $g$ поворотов тела вокруг некоторой неподвижной оси $l$. Направляющие косинусы этой оси относительно осей инерции обозначим $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Можно показать, что Критерий инвариантности потенциала $V$ относительно действия группы $g$ — постоянство проекции кинетического момента на ось $l$ : $M=I_{1} \omega_{1} \gamma_{1}+I_{2} \omega_{2} \gamma_{2}+I_{3} \omega_{3} \gamma_{3}=$ const. В канонических переменных $\chi, p_{\chi}, \ldots$ момент $M$ равен $\left(p_{\zeta} \chi-p_{\chi} \zeta+p_{\eta} \xi-p_{\xi} \eta\right) / 2$. Используя этот линейный интеграл, можно понизить число степеней свободы рассматриваемой системы на единицу. 5. Рассмотрим некоторые аспекты теории понижения порядка галильтоновых систем с силметрией. Пусть система уравнений Гамильтона $\dot{q}_{i}=\partial H / \partial p_{i}, \dot{p}_{i}=-\partial H / \partial q_{i}(1 \leqslant i \leqslant n)$ имеет линейный интеграл $F=\sum f_{i}(q) p_{i}$. Ему естественным образом соответствует однопараметрическая группа симметрий $g^{*}$ пространства положений $N$-фазовый поток системы уравнений Орбиты действия групшы $g^{*}$ — фазовые траектории этой системы — локально выпрямляются: в окрестности неособдй точки можно так выбрать координаты $Q_{1}, \ldots, Q_{n}$, что $d Q_{i} / d s=0(1 \leqslant i \leqslant$ $\leqslant n-1) ; d Q_{n} / d s=1$. Функции $Q_{1}, \ldots, Q_{n-1}$ — первые интегралы уравнений $(3.8)$, а $Q_{n}(q)$ удовлетворяет уравнению Так как $\operatorname{det}\|\partial Q / \partial q\| Поскольку $F$ — первый интеграл системы с гамильтонианом $H$, то $H(P, Q)$ не зависит от $Q_{n}$. Итак, при фиксированном значении линейного интеграла $F=P_{n}$ мы понизили (по крайней мере локально) порядок исходной гамильтоновой системы. При этом переменные $Q_{1}, \ldots, Q_{n-1}$ \»нумеруют\» орбиты группы $g$. Координаты $Q_{1}, \ldots, Q_{n}$, участвующие в понижении порядка гамильтоновой системы, определены конечно неоднозначно: к ним можно добавить произвольные первые интегралы уравнения (3.9). Гамильтониан понйженной системы в общем случае зависит от выбора решения $Q_{n}$ уравнения (3.9). Если же постоянная линейного интеграла $F$ равна нулю, то функция Гамильтона приведенной системы однозначно определена на кокасательном расслоении локального приведенного пространства положений, точки которого являются орбитами действия группы $g$. Иногда такое приведение при $F=0$ можно осуществить не только локально, но и в целом. Фазовые траектории этой системы (орбиты действия группы $g$ ) устроены достаточно просто: они являются большими кругами трехмерных сфер $S_{r}^{3}=\left\{\chi^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=r^{2}\right\} \subset \mathbb{R}^{4}$. Фактормножество $S_{r}^{3} / g$ (множество орбит $g$ на $S_{r}^{3}$ ) является двумерной сферой $S_{r^{2}}^{2}$. Можно считать, что $S_{r^{2}}^{2}$ — стандартная сфера $\left\{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\right.$ $\left.+\gamma_{3}^{2}=r^{4}\right\} \subset \mathbb{R}^{3}$. Действительно, функции $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$, определяемые формулами (3.7), образуют независимый набор первых интегралов уравнений (3.10), и точки на сфере $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=r^{4}$ взаимно однозначно соответствуют большим кругам трехмерной сферы $\xi_{r}^{3}$. Наше расслоение трехмерной сферы на одномерные известно в геометрии под названием расслоения Хопфа. Будем считать $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ избыточными координатами приведенной системы. Чтобы выписать ее гамильтониан, надо согласно п. 5 найти решение уравнения (3.9): $-\frac{\partial \varphi}{\partial \chi} \zeta+\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta} \chi-\frac{\partial \varphi}{\partial \xi} \eta+\frac{\partial \varphi}{\partial \eta} \xi=2$. Одним из его решений является функция $\varphi=\operatorname{arctg}(\zeta / \chi)+$ $+\operatorname{arctg}(\eta / \xi)$. Отметим, что любое решение этого уравнения имеет особенности в $\mathbb{R}^{4}$. Канонические переменные $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, сопряженные с переменными $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$, можно найти из системы уравнений С помощью этих формул нетрудно вычислить Здесь $f^{2}=\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}$. Гамильтониан приведенной системы равен $H=\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right) / 2+V$, где вместо $I_{1} \omega_{1}, I_{2} \omega_{2}$ и $I_{3} \omega_{3}$ подставлены их выражения через $p_{i}, \gamma_{i}$ с помощью формул (3.11). Наиболее простой вид гамильтониан имеет в случае $M=0$ : В случае Эйлера ( $V \equiv 0$ ), как известно, сохраняется квадрат модуля кинетического момента Интересно отметить, что эта функция является гамильтонианом канонических уравнений задачи о движении точки массы $m=2$ по инерции по неподвижной сфере $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1$, записанных в естественных избыточных координатах $\gamma_{i}, p_{i}(1 \leqslant i \leqslant 3)$ (см. (1.10)). 7. Рассмотрим группу $E(3)$ движений твердого тела в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве и ее алгебру $\epsilon(3)$. Ясно, что $\operatorname{dim} E(3)=6$. Выберем в твердом теле ортонормированный базис с началом в некоторой точке $O$. Постоянным вращениям тела с единичной скоростью вокруг векторов базиеа отвечают левоинвариантные поля $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ на группе $E(3)$. Точно так же движениям твердого тела, при которых скорость точки $O$ постоянна и равна одному из векторов выделенного базиса, отвечают левоинвариантные поля $u_{1}, u_{2}, u_{3}$. Ясно, что поля $v_{i}, u_{j}$ всюду линейно независимы. Можно показать, что структурные константы алгебры $e(3)$ определяются таблицей Здесь числа $\varepsilon_{i j k}$ равны 1 , если перестановка $i, j, k$ — четная, равны -1 , если она нечетная, и, наконец, обращаются в нуль, когда среди индексов $i, j, k$ есть совпадающие. Пусть $\omega$-вектор угловой скорости твердого тела, $ От уравнений (3.14) можно перейти к уравнениям Четаева: где $m=\partial \mathcal{L} / \partial \omega, p=\partial \mathcal{L} / \partial Операторы $A$ и $C$, разумеется, симметричны. Уравнения (3.15) с функцией Гамильтона (3.16) получены Кирхгофом (1870г.). Уравнения Кирхгофа в общем случае содержат 21 параметр. Приводя оператор $A$ (или $C$ ) к диагональному виду, их число можно уменьшить на три. Векторы $m$ и $p$ называются соответственно импульсивным моментом и импульсивной силой. Отметим, что уравнения Эйлера — Пуассона (3.3) можно записать в виде (3.15), если положить $\mathcal{H}=\left(I^{-1} m, m\right) / 2+V(p)$. Это замечание принадлежит В. А. Стеклову (1901г.), указавшему, что задача Тиссерана является частным случаем задачи Кирхгофа. Скобка Ли — Іуассона для алгебры $\epsilon(3)$, порожденная соотношениями (3.13) при соответствии $m_{i} \leftrightarrow v_{i}$ и $p_{j} \leftrightarrow u_{j}$, вырождена: функции ( $m, p$ ) и $p^{2}$ коммутируют со всеми функциями на $(e(3))^{*}$; они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов $\mathcal{H}$, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 § 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности $M_{\mathrm{c}}=\{m, p:(m, p)=$ $\left.=c_{1},(p, p)=c_{2}\right\}\left(c_{2}>0\right)$, диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли- Пуассона на $M_{c}$ является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает $M_{c}$ в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на $M_{c}$ являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом $\mathcal{H}$, ограниченным на $M_{c}$; этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая $c_{1}=0$. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при $c_{1}=0$. Положим $m=e \times p$. Если $(m, p)=0$ и $(p, p)>$ $>0$, то вектор $e$ существует и единственен с точностью до сдвигов вдоль вектора $p$. Положим $K(p, e)=H(e \times p, p)$. Утверждается, что если функции $e(t)$ и $p(t)$ удовлетворяют каноническим уравнениям $\dot{e}=-\partial K / \partial p, \dot{p}=\partial K / \partial \epsilon$, то функции $m(t)=\epsilon(t) \times p(t)$ и $p(t)$ удовлетворяют уравнениям Четаева (3.15). Для доказательства вычислим сначала $\dot{p}=\frac{\partial K}{\partial e}=\frac{\partial H}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial e}=p \times \frac{\partial H}{\partial m}$. Так как $m=e \times p$, тo $\dot{m}=\dot{e} \times p+e \times \dot{p}=-\frac{\partial K}{\partial p} \times p+e \times\left(p \times \frac{\partial H}{\partial m}\right), \frac{\partial K}{\partial p}=\frac{\partial H}{\partial p}+$ $+\frac{\partial H}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial p}=\frac{\partial H}{\partial p}+\frac{\partial H}{\partial m} \times e$. Значит, $\dot{m}=-\frac{\partial H}{\partial p} \times p+p \times\left(\frac{\partial H}{\partial m} \times e\right)+$ $+e \times\left(p \times \frac{\partial H}{\partial m}\right)=p \times \frac{\partial H}{\partial p}+(e \times p) \times \frac{\partial H}{\partial m}=m \times \frac{\partial H}{\partial m}+p \times \frac{\partial H}{\partial p}$, что и требовалось доказать. Этот формальный результат дополняет вычисления п. 6. 8. Известно, что \»нейтральный\» ферромагнетик при вращении становится намагниченным вдоль оси вращения (эффект Барнетта, имеющий квантовомеханическое происхождение [72]). Магнитный момент тела $B$ связан с его угловой скоростью $\omega$ соотношением $B=\Lambda \omega$, где $\Lambda$ — некоторый симметричный линейный оператор. Аналогичное явление имеет место и при вращении сверхпро- водящего твердого тела (эффект Лондона). Если тело вращается в однородном магнитном поле с напряженностью $\mathrm{H}$, то на него действуют магнитные силы с моментом $B \times$. Применяя теорему моментов, запишем уравнения вращения твердого тела в форме уравнений Эйлера — Пуассона (в подвижном пространстве): Мы пренебрегли гиромагнитным эффектом де Гааза-Эйнштейна (двойственным эффекту Барнетта), состоящим в закручивании ферромагнетика вокруг оси при его намагничивании. Полная теория вращения твердого тела в магнитном поле содержится в работе [38]; впрочем, при $\Lambda=\lambda E, \lambda=$ const уравнения (3.17) являются точными. В этом важном частном случае их можно переписать в более удобной форме: где $\gamma=\mathrm{H} /|\mathrm{H}|, \varepsilon=\lambda|\mathrm{H}|$. с функцией Гамильтона Эта функция неотрицательна, но не является положительно определенной. С точки зрения задачи Кирхгофа, уравнения (3.19) с гамильтонианом (3.20) описывают динамику безмассового твердого тела с винтовой симметрией в безграничном объеме идеальной жидкости. 9. Гиростатом (по Кельвину) называется система, состоящая из твердого тела с неподвижной точкой и симметричного ротора, который может свободно вращаться вокруг некоторой оси, неподвижной относительно твердого тела. Эта система имеет четыре степени свободы; пространством положений является пряміое произведение $S O(3) \times S^{1}$. Кинетический момент ротора как вектор подвижного пространства постоянен; обозначим его $\lambda$. Полный кинетический момент системы относительно неподвижной точки равен $m+\lambda=I \omega+\lambda$. Если на систему не действуют внешние силы, то вектор угловой скорости $\omega$ удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера Это уравнение впервые получено Жуковским ( 1885 г.) в задаче о вращении твердого тела с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Впоследствии ( 1895 г.) оно было проинтегрировано в эллиптических функциях Вито Вольтерра в работе, посвященной теории движения полюсов Земли. Уравнение (3.21) есть уравнение Пуанкаре на алгебре $s o(3)$ с лагранжианом $T=(I \omega+\lambda, \omega) / 2$. Уравнения движения более общей задачи о вращении твердого тела с несимметричным ротором уже не имеют простой группвой структуры. Гамильтонов формализм в этой задаче изложен в работе [67]. 10. В заключение рассмотрим задачу Чаплыгина из неголономной механики — задачу о качении без скольжения уравновешенного, но динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Динамика шара описывается в $\mathbb{R}^{6}=\{\omega, \gamma\}$ системой Здесь $\omega$ — вектор угловой скорости вращения шара, $\gamma$ — единичный вектор вертикали, $I$ — оператор инерции шара относительно его центра, $\mu$-масса шара, $a$-его радиус. Формально при $a=0$ получаем уравнения Эйлера. Уравнения (3.22) имеют четыре интеграла: $(m, \omega),(m, \gamma),(m, m),(\gamma, \gamma)$, и интегральный инвариант с плотностью Это обстоятельство позволило Чаплыгину свести интегрирование уравнений (3.22) к гиперэллиптическим квадратурам (детали см. в [172]). Интегрируемые обобщения задачи Чаплыгина даны в работах $[90,124]$.
|
1 |
Оглавление
|