$1^{\circ}$. Как известно ( $\S 7$ гл. I), метод Гамильтона-Якоби сводит задачу о решении канонических уравнений
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{i}=\frac{\partial H}{\partial y_{i}}, \quad \dot{y}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}} ; \quad 1 \leq i \leq n \\
H=H(x, y, t)
\end{array}
\]

к исследованию уравнения в частных производных первого порядка
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \frac{\partial S}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial x_{n}}, t\right)=0 .
\]

Пусть $S(x, t, c), c=\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right)$ – полный интеграл уравнения (1.2): при всех $c$ эта функция удовлетворяет уравнению (1.2) и
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial x_{i} \partial c}\right\|
eq 0
\]

Тогда, по теореме Якоби, справедливы соотношения
\[
y=\frac{\partial S}{\partial x}, \quad-a=\frac{\partial S}{\partial c} ; \quad a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right),
\]

из которых находится общее решение системы (1.1): координаты $x$ и импульсы $y$ как функции от $t$ и $2 n$ произвольных постоянных $a_{1}, \ldots, a_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}$.

Согласно условию (1.3), из первой группы уравнений можно найти (по крайней мере локально) $c_{1}, \ldots, c_{n}$ как функции от $x, y, t$. Эти функции – независимые интегралы уравнений (1.1), попарно находящиеся в инволюции: $\left\{c_{i}, c_{j}\right\}=0$ (лемма 1 из $\S 4$ гл. III).

Как заметил Лиувилль (1855 г.), последнее замечание можно обратить.
Теорема 1. Предположим что известны $n$ независимых интегралов $F_{1}(x, y, t), \ldots, F_{n}(x, y, t)$ уравнений (1.1), находящихся попарно в инволюции: $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0$. Тогда уравнения (1.1) интегрируются в квадратурах.

Интегрирование в квадратурах означает возможность отыскания полного решения с помощью алгебраических операций (включая обращение функций) и вычисления интегралов функций одного переменного.
$\mathbf{2}^{\circ}$. С методической точки зрения теорему Лиувилля проще сначала доказать в автономном случае, когда функции $H, F_{1}, \ldots, F_{n}$ не зависят явно от $t$ и, в частности, гамильтониан $H$ является одним из интегралов. Для автономного случая теорема 1 была сформулирована несколько раньше Лиувилля французским математиком Буром. Полезно иметь в виду, что каждая из гамильтоновых систем с гамильтонианом $F_{i}$ имеет тот же самый набор интегралов. Такие системы называют еще вполне интегрируемыми.
Гамильтоновы векторные поля
\[
v_{F_{1}}, \ldots, v_{F_{n}}
\]

касаются интегральных многообразий
\[
N_{c}=\left\{F_{1}=c_{1}, \ldots, F_{n}=c_{n}\right\}
\]

и попарно коммутируют (лемма 3 из $\S 4$ гл. III). Следовательно, каждая компактная компонента $N_{c}$ будет $n$-мерным тором с условнопериодическими движениями. Обсуждение геометрического варианта теоремы Лиувилля можно найти, например, в книге [5].

$\mathbf{3}^{\circ}$. Итак, докажем теорему 1 для автономного случая. Будем дополнительно предполагать, что
\[
\frac{\partial\left(F_{1}, \ldots, F_{n}\right)}{\partial\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)}
eq 0 .
\]

Это предположение носит технический характер и принято для простоты изложения; оно гарантирует независимость функций $F_{1}, \ldots, F_{n}$. Ввиду (1.5), систему алгебраических уравнений
\[
F_{1}(x, y)=c_{1}, \ldots, F_{n}(x, y)=c_{n}
\]

можно локально разрешить относительно импульсов:
\[
y_{1}=u_{1}(x, c), \ldots, y_{n}=u_{n}(x, c) .
\]

Согласно следствию из леммы 1 ( $\S 4$ гл. III), 1-форма
\[
\omega=u_{1} d x_{1}+\cdots+u_{n} d x_{n}
\]

будет полным дифференциалом некоторой функции $W(x, c)$. Кстати, для ее построения достаточно несколько раз вычислить интегралы от функции одного переменного.
Покажем теперь, что
\[
H(x, u(x, c))=h(c) .
\]

Действительно, вычислим производную левой части равенства (1.7) по координате $x_{i}$ :
\[
\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=\sum_{j} \frac{\partial H}{\partial y_{j}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=a_{i} .
\]

Поскольку
\[
F_{k}(x, u(x, c)) \equiv c_{k},
\]

то
\[
\frac{\partial F_{k}}{\partial x_{i}}+\sum_{j} \frac{\partial F_{k}}{\partial y_{j}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Из (1.8) и (1.10) вытекают равенства
\[
\sum_{i} a_{i} \frac{\partial F_{k}}{\partial y_{i}}=\left\{H, F_{k}\right\}+\sum_{i, j} \frac{\partial H}{\partial y_{j}} \frac{\partial F_{k}}{\partial y_{i}}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right) .
\]

Поскольку функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ – первые интегралы и 1-форма (1.6) замкнута, то $a \cdot \xi_{k}=0$, где
\[
a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)^{T}, \quad \xi_{k}=\left(\frac{\partial F_{k}}{\partial y_{1}}, \ldots, \frac{\partial F_{k}}{\partial y_{n}}\right)_{y=u} .
\]

Ввиду неравенства (1.5) векторы $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ линейно независимы. Следовательно, $a=0$, что доказывает (1.7).
Положим
\[
S(x, t, c)=-h(c) t+W(x, c) .
\]

Поскольку гамильтониан $H$ не зависит явно от $t$ и выполнено (1.7), то при фиксированных значениях $c$ функция (1.11) удовлетворяет уравнению Гамильтона – Якоби (1.2). Осталось проверить неравенство (1.3). Из (1.9) вытекают соотношения
\[
\sum_{i} \frac{\partial F_{k}}{\partial y_{i}} \frac{\partial u_{i}}{\partial c_{j}}=\delta_{k j}
\]

или, что то же самое
\[
\left\|\frac{\partial F}{\partial y}\right\|\left\|\frac{\partial u}{\partial c}\right\|=E
\]

Следовательно, матрица
\[
\left\|\frac{\partial u}{\partial c}\right\|=\left\|\frac{\partial^{2} W}{\partial x \partial c}\right\|=\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial x \partial c}\right\|
\]

невырождена.
Для завершения доказательства теоремы 1 осталось воспользоваться теоремой Якоби о полном интеграле.

$4^{\circ}$. В неавтономном случае (следуя §6 гл. I) полезно расширить фазовое пространство, ввести новые канонические координаты $x_{n+1}=t, y_{n+1}$ и перейти к гамильтониану
\[
\mathcal{H}=y_{n+1}+H\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}, x_{n+1}\right) .
\]

Дифференциальные уравнения Гамильтона
\[
\dot{x}_{s}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial y_{s}}, \quad \dot{y}_{s}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_{s}} ; \quad 1 \leq s \leq n+1,
\]

очевидно, эквивалентны исходным уравнениям (1.1). Первые интегралы из теоремы 1 будут теперь иметь вид
\[
\mathcal{F}_{k}=F_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}, x_{n+1}\right), \quad 1 \leq k \leq n .
\]

Ясно, что
\[
\begin{array}{l}
\left\{\mathcal{F}_{k}, \mathcal{H}\right\}=\frac{\partial F_{k}}{\partial t}+\left\{F_{k}, H\right\}=\dot{F}_{k}=0, \\
\left\{\mathcal{F}_{i}, \mathcal{F}_{j}\right\}=\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, гамильтонова система (1.12) с $n+1$ степенями свободы допускает $n+1$ независимых интегралов $\mathcal{H}, \mathcal{F}_{1}, \ldots, \mathcal{F}_{n}$, находящихся попарно в инволюции. Остается применить к (1.12) автономный вариант теоремы Лиувилля.
$5^{\circ}$. Как мы видели ( $\$ 1$ гл. II), гамильтоновы системы дифференциальных уравнений допускают более общее описание:
\[
(\operatorname{rot} u) \dot{x}=-\frac{\partial h}{\partial x} .
\]

Здесь $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x$ – локальные координаты на гладком многообразии $M^{n}, \operatorname{rot} u$ – невырожденная матрица ротора ковекторного поля $u(x), h$ – гладкая функция на $M^{n}$. В силу предположения невырожденности $\operatorname{rot} u, n$ будет обязательно четным. По теореме Дарбу, заменой переменных $x$ систему (1.13) локально всегда можно привести к каноническому виду уравнений Гамильтона. Однако это приведение лишь в исключительных случаях удается осуществить в явном виде.

Легко понять, что скобку Пуассона можно определить не только с использованием канонических переменных. Действительно, пусть $g$ гладкая функция на $M^{n}$. Вычислим ее производную в силу системы (1.13):
\[
\dot{g}=\{g, h\}=\sum \gamma_{i j} \frac{\partial g}{\partial x_{i}} \frac{\partial h}{\partial x_{j}} .
\]

Здесь $\gamma_{i j}$ – элементы матрицы, обратной $\operatorname{rot} u$. Скобки (1.14), очевидно, обладают всеми свойствами скобки Пуассона.

Предположим теперь, что система дифференциальных уравнений (1.13) допускает $n / 2$ независимых интегралов
\[
f_{1}=h, f_{2}, \ldots, f_{n / 2},
\]

попарные скобки Пуассона (1.14) которых равны нулю. Спрашивается, можно ли в этом случае проинтегрировать в квадратурах систему (1.13)? Ввиду неконструктивности теоремы Дарбу мы не можем воспользоваться методом Гамильтона-Якоби. Тем не менее для систем вида (1.13) также справедлива теорема Лиувилля, однако ее доказательство основано на других идеях.

Пусть $v_{1}, \ldots, v_{n / 2}$ – гамильтоновы поля, порожденные гамильтонианами (1.15):
\[
(\operatorname{rot} u) v_{k}=-\frac{\partial f_{k}}{\partial x}, \quad 1 \leq k \leq n / 2 .
\]

Поле $v_{1}$ отвечает исходному векторному полю (1.13). Эти поля попарно коммутируют и касаются $n / 2$-мерных интегральных многообразий
\[
I_{c}=\left\{x \in M: f_{1}(x)=c_{1}, \ldots, f_{n / 2}(x)=c_{n / 2}\right\} .
\]

Таким образом, мы приходим к следующей общей картине: на $k$-мерном многообразии $I^{k}$ заданы $k$ векторных полей, которые линейно независимы в каждой точке $I$ и попарно коммутируют между собой. Тогда, оказывается, интегральные кривые каждого из этих полей можно найти с помощью квадратур. Это утверждение является частным случаем теоремы Софуса Ли об интегрируемости систе-

мы $k$ дифференциальных уравнений, допускающей $k$-мерную разрешимую группу симметрий. В нашем случае фазовые потоки векторных полей $v_{1}, \ldots, v_{k}(k=n / 2)$ переводят интегральные кривые каждого поля $v_{i}$ в интегральные кривые того же поля. Таким образом, мы имеем $k$-мерную коммутативную группу симметрий (как известно, все абелевы группы являются разрешимыми).

Теорема Ли – это непрерывный аналог знаменитой теории Галуа о решении в радикалах алгебраического уравнения с разрешимой группой перестановок его корней. Ее подробное доказательство с приложениями к уравнениям Гамильтона можно найти в книге [37].

Отметим, что компактные связные компоненты неособых интегральных многообразий $I_{c}$ будут $n / 2$-мерными торами, причем в некоторых угловых координатах на этих торах компоненты векторных полей $v_{1}, \ldots, v_{n / 2}$ постоянны одновременно. Таким образом, фазовые потоки векторных полей $v_{k}$ сводятся к равномерному движению по прямым линиям (см., например, [5]).