$1^{\circ }$. Пусть
$$F_1,\dots ,F_m$$
— независимые интегралы гамильтоновой системы в $2n$-мерном фазовом пространстве. В автономном случае среди них может быть функция Гамильтона.

Набор функций (2.1) не обязательно инволютивный. Пусть $2r-$ ранг кососимметричной матрицы их скобок Пуассона
$$\Vert \{F_i,F_j\}\Vert ,1\le i,j\le m.$$

Мы рассматриваем область фазового пространства, где этот ранг постоянен. Отметим, что почти всюду ранг матрицы (2.2) принимает максимальное значение.
Из симплектической геометрии хорошо известно неравенство
$$m\le n+r.$$

Например, в книге Картана [28] оно является простым следствием других более глубоких результатов. Предположение
$$m=n+r$$

часто называется условием неком.нтативной интегрируемости уравнений Гамильтона. Смысл этого термина будет разъяснен ниже. В частном случае, когда интегралы (2.1) коммутируют ( $r=0$ ), условие (2.3) переходит в известное условие Лиувилля полной интегрируемости гамильтоновых систем. Условие (2.3) имеет прозрачный смысл: к функциям (2.1) нельзя добавить другие независимые функции без увеличения ранга матрицы их скобок Пуассона.

В теории некоммутативного интегрирования обычно рассматриваются замкнутые наборы интегралов (2.1): их скобки Пуассона являются функциями от $F_1,\dots ,F_n$. Это предположение естественно с точки зрения теоремы Пуассона. Легко понять, что любой набор первых интегралов можно расширить до замкнутого набора с помощью дифференцирований и алгебраических операций (см., например, [26]). Однако предположение замкнутости не всегда необходимо.
$2^{\circ }$. В качестве примера укажем теорему Нехорошева [48], с которой собственно и началась теория некоммутативного интегрирования. Предполагается, что автономная гамильтонова система допускает $n+k$ независимых первых интегралов
$$F_1,\dots ,F_{n+k},$$

причем первые $n-k$ функций находятся в инволюции со всеми интегралами (2.4). Введем ( $n-k$ )-мерные интегральные многообразия в $2n$-мерном фазовом пространстве
$$I_c=\{F_1=c_1,\dots ,F_{n+k}=c_{n+k}\}.$$
Н. Н. Нехорошев доказал, что если $I_c$ связно и компактно, то $I_c$ диффеоморфно ( $n-k$ )-мерному тору, причем в окрестности этого тора найдутся канонические координаты $J,p,\phi mod2\pi ,q$ такие, что
$$J_s=J_s(F_1,\dots ,F_{n-k}),1\le s\le n-k,$$

а сопряженные переменные $p,q$ зависят от всех интегралов (2.4).
Поскольку гамильтониан $H$ системы, очевидно, находится среди первых $n-k$ интегралов, то, согласно (2.6), в новых канонических переменных
$$H=H(J_1,\dots ,J_{n-k}).$$

Следовательно, угловые координаты ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_{n-k}$ на ( $n-k$ )-мерном инвариантном торе равномерно изменяются со временем:
$${\dot{\phi }}_s=\frac{\partial H}{\partial J_s}=\text{ const, }1\le s\le n-k.$$

Докажем первую часть теоремы Нехорошева о том, что компактные связные компоненты интегральных многообразий (2.5) будут торами. Для этого введем $n-k$ гамильтоновых векторных полей $v_1,\dots ,v_{n-k}$, которые порождаются гамильтонианами $F_1,\dots ,F_{n-k}$. Поскольку эти функции по предположению независимы и находятся в инволюции со всеми функциями (2.4), то поля $v_1,\dots ,v_{n-k}$ независимы, касаются $I_c$ и попарно коммутируют. Так как $\dim I_c=n-k$, то отсюда вытекает требуемое (ср. с $\mathrm{\S }1$ ).

Попутно мы доказали, что в предположениях теоремы Нехорошева исходные дифференциальные уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. Действительно, мы конструктивно строим ( $n-k$ )-мерные инвариантные многообразия и указываем в явном виде $n-k$ независимых касательных полей, которые попарно коммутируют между собой. Среди этих полей имеется исходное гамильтоново векторное поле. Остается воспользоваться теоремой Ли об интегрируемости в квадратурах системы уравнений, допускающей полную абелеву группу симметрий.

В теореме Нехорошева $m=n+k$, а ранг матрицы скобок Пуассона функций (2.4) допускает очевидную оценку
$$2r\le n+k-(n-k)=2k.$$

Следовательно, неравенство $m\le n+k$ превращается в равенство и поэтому выполнено условие некоммутативной интегрируемости.
$3^{\circ }$. Теорема о торическом строении интегральных многообразий при общем условии (2.3) была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко

в предположении, что интегралы (2.1) порождают конечномерную алгебру Ли (их скобки Пуассона линейно выражаются через функции (2.1)). Для замкнутых наборов интегралов общего вида этот результат был получен позже А.В.Стрельцовым. А.В.Браилов доказал интегрируемость в квадратурах гамильтоновых систем с замкнутым набором интегралов, удовлетворяющих условию (2.3). Его идея состоит в том, что в предположении замкнутости можно конструктивно (с помощью алгебраических операций) указать полный набор касательных коммутирующих полей на интегральных многообразиях.

Обзор результатов по теории некоммутативного интегрирования гамильтоновых систем и связь этой теории со старыми результатами Ли, Картана и Дирака можно найти в книге А. Т. Фоменко [59].
${\mathbf{4}}^{\circ }$. В качестве примера вновь рассмотрим волчок Эйлера. Здесь $n=3$, а $m=4$ : уравнения движения допускают интеграл энергии $H$ и три нетеровых интеграла — проекции кинетического момента $K_x,K_y,K_z$ на неподвижные оси. Ввиду коммутационных соотношений
$$\{H,K_x\}=0,\dots ,\{K_x,K_y\}=K_z,\dots$$

ранг матрицы скобок Пуассона в типичных точках равен двум; следовательно, $r=1$ и выполнено условие некоммутативной интегрируемости (2.3).

Покажем, как в этой задаче применяется теорема Нехорошева. Мы имеем четыре ( $3+1$ ) интеграла: $H,K^2$ (квадрат модуля кинетического момента), $K_y,K_z$. Функции $H$ и $K^2$ (в количестве $3-1$ ) коммутируют со всеми интегралами.

Стоит еще отметить, что $H,K^2$ и $K_x$ образуют полный независимый набор интегралов в инволюции. Таким образом, все шестимерное фазовое пространство расслаивается на трехмерные инвариантные торы с условно-периодическими движениями. Однако, ввиду наличия еще одного независимого интеграла, эти трехмерные торы расслоены на двумерные торы, целиком лежащие на трехмерных инвариантных многообразиях, выделяемых условиями постоянства проекций $K_x,K_y,K_z$. При естественном проектировании на конфигурационное пространство, эти двумерные торы переходят в поверхности Бернулли из гидродинамической теории волчка Эйлера.

$5^{\circ }$. Все сказанное выше касалось автономного случая. Однако условие некоммутативной интегрируемости (2.3) легко переносится на неавтономный случай. Действительно, предположим, что интегралы (2.1) и функция Гамильтона $H(x,y,t)$ могут явно зависеть от времени. Расширим фазовое пространство, вводя новые сопряженные канонические переменные $x_{n+1}=t,y_{n+1}$ и новый гамильтониан
$$\mathcal{H}=y_{n+1}+H(x,y,x_{n+1}).$$

Функции (2.1) будут интегралами ${\mathcal{F}}_s=F_s(x,y,x_{n+1}$ ) расширенной системы:
$$\{{\mathcal{F}}_s,\mathcal{H}\}=0,1\le s\le m.$$

Кроме того, согласно $\mathrm{\S }1$,
$$\{{\mathcal{F}}_i,{\mathcal{F}}_j\}=\{F_i,F_j\}$$

Итак, мы имеем гамильтонову систему с $n+1$ степенями свободы, которая допускает $m+1$ независимых первых интегралов
$$\mathcal{H},{\mathcal{F}}_1,\dots ,{\mathcal{F}}_m.$$

В соответствии с (2.7) и (2.8) ранг матрицы их скобок Пуассона не увеличился и остался равным
$$r=\mathrm{rank}\Vert \{F_i,F_j\}\Vert .$$

Следовательно, для расширенной автономной гамильтоновой системы справедливо равенство (2.3).
Из этих замечаний вытекает, в частности,

Теорема 2. Предположим, что неавтономная гамильтонова система с $n$ степенями свободы допускает $n+k$ независимых интегралов (2.4) (зависящих, вообще говоря, от времени), причем первые $n-k$ из них находятся в инволюции со всеми интегралами (2.4). Тогда уравнения Гамильтона можно проинтегрировать с помощью квадратур.