$1^{\circ}$. Пусть
\[
F_{1}, \ldots, F_{m}
\]
– независимые интегралы гамильтоновой системы в $2 n$-мерном фазовом пространстве. В автономном случае среди них может быть функция Гамильтона.

Набор функций (2.1) не обязательно инволютивный. Пусть $2 r-$ ранг кососимметричной матрицы их скобок Пуассона
\[
\left\|\left\{F_{i}, F_{j}\right\}\right\|, \quad 1 \leq i, j \leq m .
\]

Мы рассматриваем область фазового пространства, где этот ранг постоянен. Отметим, что почти всюду ранг матрицы (2.2) принимает максимальное значение.
Из симплектической геометрии хорошо известно неравенство
\[
m \leq n+r .
\]

Например, в книге Картана [28] оно является простым следствием других более глубоких результатов. Предположение
\[
m=n+r
\]

часто называется условием неком.нтативной интегрируемости уравнений Гамильтона. Смысл этого термина будет разъяснен ниже. В частном случае, когда интегралы (2.1) коммутируют ( $r=0$ ), условие (2.3) переходит в известное условие Лиувилля полной интегрируемости гамильтоновых систем. Условие (2.3) имеет прозрачный смысл: к функциям (2.1) нельзя добавить другие независимые функции без увеличения ранга матрицы их скобок Пуассона.

В теории некоммутативного интегрирования обычно рассматриваются замкнутые наборы интегралов (2.1): их скобки Пуассона являются функциями от $F_{1}, \ldots, F_{n}$. Это предположение естественно с точки зрения теоремы Пуассона. Легко понять, что любой набор первых интегралов можно расширить до замкнутого набора с помощью дифференцирований и алгебраических операций (см., например, [26]). Однако предположение замкнутости не всегда необходимо.
$2^{\circ}$. В качестве примера укажем теорему Нехорошева [48], с которой собственно и началась теория некоммутативного интегрирования. Предполагается, что автономная гамильтонова система допускает $n+k$ независимых первых интегралов
\[
F_{1}, \ldots, F_{n+k},
\]

причем первые $n-k$ функций находятся в инволюции со всеми интегралами (2.4). Введем ( $n-k$ )-мерные интегральные многообразия в $2 n$-мерном фазовом пространстве
\[
I_{c}=\left\{F_{1}=c_{1}, \ldots, F_{n+k}=c_{n+k}\right\} .
\]
Н. Н. Нехорошев доказал, что если $I_{c}$ связно и компактно, то $I_{c}$ диффеоморфно ( $n-k$ )-мерному тору, причем в окрестности этого тора найдутся канонические координаты $J, p, \varphi \bmod 2 \pi, q$ такие, что
\[
J_{s}=J_{s}\left(F_{1}, \ldots, F_{n-k}\right), \quad 1 \leq s \leq n-k,
\]

а сопряженные переменные $p, q$ зависят от всех интегралов (2.4).
Поскольку гамильтониан $H$ системы, очевидно, находится среди первых $n-k$ интегралов, то, согласно (2.6), в новых канонических переменных
\[
H=H\left(J_{1}, \ldots, J_{n-k}\right) .
\]

Следовательно, угловые координаты $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n-k}$ на ( $n-k$ )-мерном инвариантном торе равномерно изменяются со временем:
\[
\dot{\varphi}_{s}=\frac{\partial H}{\partial J_{s}}=\text { const, } \quad 1 \leq s \leq n-k .
\]

Докажем первую часть теоремы Нехорошева о том, что компактные связные компоненты интегральных многообразий (2.5) будут торами. Для этого введем $n-k$ гамильтоновых векторных полей $v_{1}, \ldots, v_{n-k}$, которые порождаются гамильтонианами $F_{1}, \ldots, F_{n-k}$. Поскольку эти функции по предположению независимы и находятся в инволюции со всеми функциями (2.4), то поля $v_{1}, \ldots, v_{n-k}$ независимы, касаются $I_{c}$ и попарно коммутируют. Так как $\operatorname{dim} I_{c}=n-k$, то отсюда вытекает требуемое (ср. с $\S 1$ ).

Попутно мы доказали, что в предположениях теоремы Нехорошева исходные дифференциальные уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. Действительно, мы конструктивно строим ( $n-k$ )-мерные инвариантные многообразия и указываем в явном виде $n-k$ независимых касательных полей, которые попарно коммутируют между собой. Среди этих полей имеется исходное гамильтоново векторное поле. Остается воспользоваться теоремой Ли об интегрируемости в квадратурах системы уравнений, допускающей полную абелеву группу симметрий.

В теореме Нехорошева $m=n+k$, а ранг матрицы скобок Пуассона функций (2.4) допускает очевидную оценку
\[
2 r \leq n+k-(n-k)=2 k .
\]

Следовательно, неравенство $m \leq n+k$ превращается в равенство и поэтому выполнено условие некоммутативной интегрируемости.
$3^{\circ}$. Теорема о торическом строении интегральных многообразий при общем условии (2.3) была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко

в предположении, что интегралы (2.1) порождают конечномерную алгебру Ли (их скобки Пуассона линейно выражаются через функции (2.1)). Для замкнутых наборов интегралов общего вида этот результат был получен позже А.В.Стрельцовым. А.В.Браилов доказал интегрируемость в квадратурах гамильтоновых систем с замкнутым набором интегралов, удовлетворяющих условию (2.3). Его идея состоит в том, что в предположении замкнутости можно конструктивно (с помощью алгебраических операций) указать полный набор касательных коммутирующих полей на интегральных многообразиях.

Обзор результатов по теории некоммутативного интегрирования гамильтоновых систем и связь этой теории со старыми результатами Ли, Картана и Дирака можно найти в книге А. Т. Фоменко [59].
$\mathbf{4}^{\circ}$. В качестве примера вновь рассмотрим волчок Эйлера. Здесь $n=3$, а $m=4$ : уравнения движения допускают интеграл энергии $H$ и три нетеровых интеграла – проекции кинетического момента $K_{x}, K_{y}, K_{z}$ на неподвижные оси. Ввиду коммутационных соотношений
\[
\left\{H, K_{x}\right\}=0, \ldots,\left\{K_{x}, K_{y}\right\}=K_{z}, \ldots
\]

ранг матрицы скобок Пуассона в типичных точках равен двум; следовательно, $r=1$ и выполнено условие некоммутативной интегрируемости (2.3).

Покажем, как в этой задаче применяется теорема Нехорошева. Мы имеем четыре ( $3+1$ ) интеграла: $H, K^{2}$ (квадрат модуля кинетического момента), $K_{y}, K_{z}$. Функции $H$ и $K^{2}$ (в количестве $3-1$ ) коммутируют со всеми интегралами.

Стоит еще отметить, что $H, K^{2}$ и $K_{x}$ образуют полный независимый набор интегралов в инволюции. Таким образом, все шестимерное фазовое пространство расслаивается на трехмерные инвариантные торы с условно-периодическими движениями. Однако, ввиду наличия еще одного независимого интеграла, эти трехмерные торы расслоены на двумерные торы, целиком лежащие на трехмерных инвариантных многообразиях, выделяемых условиями постоянства проекций $K_{x}, K_{y}, K_{z}$. При естественном проектировании на конфигурационное пространство, эти двумерные торы переходят в поверхности Бернулли из гидродинамической теории волчка Эйлера.

$5^{\circ}$. Все сказанное выше касалось автономного случая. Однако условие некоммутативной интегрируемости (2.3) легко переносится на неавтономный случай. Действительно, предположим, что интегралы (2.1) и функция Гамильтона $H(x, y, t)$ могут явно зависеть от времени. Расширим фазовое пространство, вводя новые сопряженные канонические переменные $x_{n+1}=t, y_{n+1}$ и новый гамильтониан
\[
\mathcal{H}=y_{n+1}+H\left(x, y, x_{n+1}\right) .
\]

Функции (2.1) будут интегралами $\mathcal{F}_{s}=F_{s}\left(x, y, x_{n+1}\right.$ ) расширенной системы:
\[
\left\{\mathcal{F}_{s}, \mathcal{H}\right\}=0, \quad 1 \leq s \leq m .
\]

Кроме того, согласно $\S 1$,
\[
\left\{\mathcal{F}_{i}, \mathcal{F}_{j}\right\}=\left\{F_{i}, F_{j}\right\}
\]

Итак, мы имеем гамильтонову систему с $n+1$ степенями свободы, которая допускает $m+1$ независимых первых интегралов
\[
\mathcal{H}, \mathcal{F}_{1}, \ldots, \mathcal{F}_{m} .
\]

В соответствии с (2.7) и (2.8) ранг матрицы их скобок Пуассона не увеличился и остался равным
\[
r=\operatorname{rank}\left\|\left\{F_{i}, F_{j}\right\}\right\| .
\]

Следовательно, для расширенной автономной гамильтоновой системы справедливо равенство (2.3).
Из этих замечаний вытекает, в частности,

Теорема 2. Предположим, что неавтономная гамильтонова система с $n$ степенями свободы допускает $n+k$ независимых интегралов (2.4) (зависящих, вообще говоря, от времени), причем первые $n-k$ из них находятся в инволюции со всеми интегралами (2.4). Тогда уравнения Гамильтона можно проинтегрировать с помощью квадратур.