$1^{\circ}$. Рассмотрим баротронное течение идеальной жидкости в потенциальном силовом поле. Оно описывается уравнением Ламба (1.5) (гл. I):
\[
\frac{\partial v}{\partial t}=v \times \operatorname{rot} v-\frac{\partial f}{\partial x}
\]

Будем рассматривать периодические граничные условия: все характеристики течения $2 \pi$-периодически зависят от координат $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Можно представлять себе течение по трехмерному евклидовому тору $M=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3} \bmod 2 \pi\right\}$.

Пусть $u(x, t)$ – соленоидальное поле на $M$, удовлетворяющее уравнению (1.1):
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{rot}(v \times u) .
\]

Как уже отмечалось, это уравнение играет важную роль в механике сплошной среды. В частности, ему удовлетворяет поле ротора скорости частиц жидкости.

Теорема 1. Интеграл
\[
I(t)=\int_{M}(u, v) d^{3} x
\]

не зависит от времени.
Для случая $u=\operatorname{rot} v$ эта теорема установлена Жан-Жаком Моpo [74].

Доказательство.

Воспользуемся очевидной формулой
\[
\dot{I}=\int_{M}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial t}, v\right)+\left(u, \frac{\partial v}{\partial t}\right)\right] d^{3} x .
\]

Ввиду (1) и (2) подынтегральное выражение приводится к виду
\[
(v \times \operatorname{rot} u, u)+(v, \operatorname{rot}(v \times u))-\left(\frac{\partial f}{\partial x}, u\right) .
\]

С помощью известной формулы
\[
(\operatorname{rot} a, b)-(\operatorname{rot} b, a)=\operatorname{div}(a \times b)
\]

преобразуем второе слагаемое в (5):
\[
(v, \operatorname{rot}(v \times u))=(v \times u, \operatorname{rot} v)+\operatorname{div}((v \times u) \times v) .
\]

Далее, ввиду соленоидальности поля $u$,
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial x}, u\right)=\operatorname{div} f u .
\]

Таким образом, выражении (4) приводится к дивергентному виду:
\[
\operatorname{div}((v \times u) \times v-f u) .
\]

По формуле Гаусса-Остроградского, интеграл (4) равен нулю.
$\mathbf{2}^{\circ}$. Теорема 1 имеет ряд интересных следствий для случая несжимаемой жидкости, когда $\operatorname{div} v=0$. Рассмотрим соленоидальные поля $w(x, t)$, удовлетворяющие уравнению Эйлера
\[
\frac{\partial w}{\partial t}=[v, w]
\]

Прежде всего докажем простое
Предложение 1. Если поле $w$, удовлетворяющее (6), соленоидально при некотором значении $t$, то оно будет соленоидальным при всех $t$.

Доказательство предложения 1.

Используя известное тождество векторного анализа
\[
\operatorname{rot}(a \times b)=[a, b]+a \operatorname{div} b-b \operatorname{div} a
\]

и предположение о несжимаемости, перепишем уравнение (6):
\[
\frac{\partial w}{\partial t}=\operatorname{rot}(v \times w)-v \operatorname{div} w
\]

Применим теперь к обеим частям этого равенства операцию div и учтем, что div rot $=0$ :
\[
\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} w=-L_{v}(\operatorname{div} w)
\]

Следовательно,
\[
(\operatorname{div} w)^{\bullet}=0 .
\]

Из предложения 1 вытекает корректность предположения о соленоидальности поля $w$. Из равенства (7) вытекает также, что соленоидальное поле $w$ удовлетворяет уравнению (2). Таким образом, из теоремы 1 получаем

Следствие.
\[
\int_{M}(w, v) d^{3} x=\text { const } .
\]

Напомним, что уравнение (2) является условием вмороженности в поток жидкости интегральных кривых поля $u$, а уравнение Эйлера (6) – критерий вмороженности векторного поля $w$.
$\mathbf{3}^{\circ}$. Интегральные инварианты (8) имеют интересную интерпретацию в динамике несжимаемой идеальной жидкости.

Рассмотрим группу диффеоморфизмов $M$, сохраняющих элемент объема. Обозначим эту бесконечномерную группу SDiff $M$. Алгебра

Ли группы SDiff $M$ состоит из векторных полей на $M$ с нулевой дивергенцией. Определим скалярное произведение двух элементов этой алгебры (т. е. двух соленоидальных векторных полей $v_{1}$ и $v_{2}$ ) с помощью формулы
\[
\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle=\int\left(v_{1}, v_{2}\right) d^{3} x .
\]

Рассмотрим теперь течение однородной идеальной жидкости в области $M$; для простоты мы считаем плотность жидкости равной единице. Уравнение неразрывности приводит к условию несжимаемости: $\operatorname{div} v=0$. Течения жидкости описываются кривыми $g^{t}$ на группе SDiff $M$ : диффеоморфизм $g^{t}: M \rightarrow M$ переводит каждую частицу из ее начального положения в положение, которое она занимает в момент времени $t$.
Несложно проверить, что кинетическая энергия жидкости
\[
T=\frac{\langle v, v\rangle}{2}
\]
– правоинариантная риманова метрика на группе SDiff $M$. В 60ые годы было подмечено следующее важное обстоятельство: течения идеальной несжимаемой жидкости – геодезические линии метрики (9). Это – следствие принципа наименьшего действия, который, если угодно, можно считать определением идеальной жидкости (см. $[73,62,64]$ ).

Как уже отмечалось в гл. III (§3), правые сдвиги включаются в фазовые потоки левоинвариантных полей. Левоинвариантные поля на группе SDiff $M$ – это соленоидальные поля на $M$, удовлетворяющие уравнению Эйлера (6). Следовательно, по теореме Нетер уравнения геодезических на группе SDiff $M$ допускают бесконечную серию линейных интегралов (8): $\langle w, v\rangle=$ const.
Отметим, что точно такой же вид имеют нетеровы интегралы и в конечномерном случае. Действительно, пусть
\[
T=\frac{1}{2} \sum g_{i j}(x) \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}
\]
— кинетическая энергия, задающая скалярное произведение

\[
\begin{array}{c}
\langle\xi, \eta\rangle=\sum g_{i j} \xi_{i} \eta_{j}, \\
\xi=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right), \eta=\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}\right) .
\end{array}
\]

Если $w=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right)$ – поле симметрий, то интеграл Нетер имеет вид
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{x}} \cdot w=\sum g_{i j} \dot{x}_{i} w_{j}=\langle w, \dot{x}\rangle
\]

Строение линейных по скорости интегралов натуральных механических систем и их связь с группами симметрий было исследовано в работе Мориса Леви 1878 года (за 40 лет до публикации Эмми Нетер). В дифференциальной геометрии (где роль кинетической энергии играет риманова метрика) поля симметрий обычно называются полями Киллинга; они изучались Киллингом в работе 1892 года.

Поскольку кинетическая энергия (9) представляет собой невырожденную квадратичную форму, то бесконечная серия интегралов (8) позволяет в принципе найти скорость течения $v$ как функцию на группе SDiff $M$. Таким образом, на SDiff $M$ естественным образом возникает бесконечномерная динамическая система, фазовый поток которой схож по своим свойствам со стационарным течением невязкой жидкости. Было бы интересным изучить эту систему с гидродинамической точки зрения, изложенной в гл. III (вихревые векторы и многообразия, поверхности Бернулли, инвариантные меры…). Такой подход можно назвать вторичной гидродинамикой.
$4^{\circ}$. Теорема Моро на самом деле является частным случаем одного общего наблюдения из $\S 3$ гл. II. Пусть 1 -форма $\omega$ удовлетворяет уравнению Ламба
\[
\frac{\partial \omega}{\partial t}+i_{v} d \omega=-d h
\]

и $\Omega=d \omega$. Если $M$ замкнуто и $\operatorname{dim} M=2 s+1$, то
\[
\int_{M} \omega \wedge \Omega^{s}=\text { const. }
\]

Для течений идеальной жидкости с периодическими граничными условиями $M=T^{3}$
\[
\omega=v_{1} d x_{1}+v_{2} d x_{2}+v_{3} d x_{3}
\]
– 1-форма циркуляции. Легко сосчитать, что
\[
\omega \wedge \Omega=(\operatorname{rot} v, v) d x^{3} .
\]

Соотношение (10) можно обобщить, заменяя $\Omega$ любой замкнутой $m$-формой $\Phi$, вмороженной в поток:
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial t}+L_{v} \Phi=0 .
\]

Теорема 2. Пусть $M$ замкнуто $и \operatorname{dim} M=m s+1, s$ – целое. Тогда
\[
\int \omega \wedge \Phi^{s}=\text { const . }
\]

Доказательство.
Пусть $\tau=\omega \wedge \Phi^{s}$. Тогда
\[
\dot{\tau}=\dot{\omega} \wedge \Phi^{s}+\omega \wedge \dot{\Phi} \wedge \cdots \wedge \Phi+\cdots=\dot{\omega} \wedge \Phi^{s}=d g \wedge \Phi^{s},
\]

где $g=\omega(v)-h$ – лагранжиан. Так как форма $\Phi$ замкнута, то
\[
d g \wedge \Phi^{s}=d\left(g \Phi^{s}\right) .
\]

Следовательно, по формуле Стокса
\[
\frac{d}{d t} \int_{M} \tau=\int_{M} d g \wedge \Phi^{s}=\int_{M} d\left(g \Phi^{s}\right)=0 .
\]