$1^{\circ}$. При изучении общих свойств вихревых линий важную роль играет уравнение
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{rot}(u \times v) .
\]

Здесь $v(x, t)$ – скорость частиц сплошной среды в трехмерном евклидовом пространстве $E^{3}=\{x\}, u(x, t)$ – некоторое соленоидальное векторное поле: $\operatorname{div} u=0$. Физический смысл поля $u$ зависит от конкретной постановки задачи. Интегральные кривые векторного поля $u$ (в фиксированный момент времени) будем называть вихревыми линиями.

Например, в магнитной гидродинамике (в которой рассматриваются среды с бесконечной проводимостью), уравнению (1.1) удовлетворяет напряженность магнитного поля. В этом случае вихревые линии совпадают с силовыми линиями магнитного поля.

Более фундаментальный пример представляют баротропные течения идеальной жидкости в потенциальном силовом поле. Напомним, что движение жидкости описывается уравнением Эйлера:
\[
\rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x} v\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\rho F, \quad F=-\frac{\partial V}{\partial x} .
\]

Здесь $\rho-$ плотность жидкости, $p$ – давление, $F$ – плотность внешних массовых сил, $V$ – плотность потенциальной энергии. Для баротропной жидкости найдется функция давления $P(x, t)$, такая, что
\[
d P=d p / \rho .
\]

В частности, однородные жидкости (когда $\rho=$ const) баротропны. К уравнению Эйлера (1.2) следует добавить уравнение неразрывности
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho v)=0
\]

которое выражает постоянство массы подвижного объема.
В указанных предположениях уравнение (1.2) можно преобразовать в уравнение Ламба:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial v}{\partial t}+\left[\frac{\partial v}{\partial x}-\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^{T}\right] v=-\frac{\partial f}{\partial x} \\
f=\frac{v^{2}}{2}+P+V
\end{array}
\]

Символ $T$ означает транспонирование матрицы Якоби
\[
\frac{\partial v}{\partial x}=\left\|\frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}}\right\| .
\]

Функция $f$ в гидродинамике обычно называется функцией Бернулли.
Хорошо известно, что в трехмерном пространстве результат умножения кососимметрической матрицы $\partial v / \partial x-(\partial v / \partial x)^{T}$ на вектор $v$ равен векторному произведению $(\operatorname{rot} v) \times v$. С учетом этого замечания уравнение (1.4) можно записать в эквивалентном виде
\[
\frac{\partial v}{\partial t}=v \times \operatorname{rot} v-\frac{\partial f}{\partial x} .
\]

Применяя к обеим частям этого уравнения операцию ротора и замечая, что ротор градиента функции $f$ равен нулю, приходим к уравнению (1.1), в котором $u=\operatorname{rot} v$. Так как $\operatorname{div} \operatorname{rot}=0$, то поле ротора всегда соленоидальное. Вихревые линии – интегральные кривые поля ротора (вихря) скорости, чем и объясняется выбор термина в общем случае.

Движение частиц жидкости в $E^{3}$ описывается дифференциальным уравнением
\[
\dot{x}=v(x, t), \quad(*)^{*}=\frac{d}{d t}(*) .
\]

Пусть $x\left(t, x_{0}\right)$ – его решение с начальным условием $x\left(0, x_{0}\right)=x_{0}$. Семейство отображений $E^{3} \rightarrow E^{3}$, задаваемое формулой
\[
x_{0} \longrightarrow x\left(t, x_{0}\right),
\]

назовем потоком системы (1.6). В стационарном случае (когда поле $v$ не зависит от $t$ ) семейство преобразований (1.7) образует группу. Отображения (1.7) будем обозначать $g_{v}^{t}$ или просто $g^{t}$, если это не вызовет путаницы.
$2^{\circ}$. Пусть $D$ – измеримая область в $E^{3}$ и $g^{t}(D)$ – ее образ при отображении (1.7). Согласно (1.3), масса подвижной области $g^{t}(D)$ постоянна:
\[
\int_{g^{t}(D)} \rho d^{3} x=\text { const. }
\]

Пусть теперь $\Sigma$ – ограниченная двумерная поверхность с краем $\partial \Sigma=\Gamma$. В механике сплошной среды хорошо известна следующая формула для потока соленоидального поля:
\[
\frac{d}{d t} \int_{g^{t}(\Sigma)}(u, n) d \sigma=\int_{g^{t}(\Sigma)}\left(\frac{\partial u}{\partial t}+\operatorname{rot}(v \times u), n\right) d \sigma,
\]

где $n$ – единичный вектор нормали к $\Sigma,(\cdot, \cdot)$ – скалярное произведение в евклидовом пространстве $E^{3}, d \sigma$ – элемент площади поверхности $\Sigma$. Используя соотношение (1.1), из (1.8) получаем закон сохранения потока поля $u$ через подвижную поверхность:
\[
\int_{g^{t}(\Sigma)}(u, n) d \sigma=\text { const } .
\]

Отсюда, в свою очередь, выводится теорема Гельмгольца-Томсона о вмороженности вихревых линий: поток системы (1.5) переводит вихревые линии в вихревые линии. Кстати сказать, этот результат объясняет появление магнитных бурь на Земле. Дело в том, что Солнце представляет собой бушующий плазменный шар (практически бесконечной проводимости). Время от времени на Солнце наблюдаются протуберанцы: вещество с огромной скоростью выбрасывается на поверхность и затем постепенно рассеивается, двигаясь от Солнца. По

теореме Гельмгольца-Томсона, это вещество несет с собой магнитное поле и, достигая Земли, создает магнитные бури.

Пусть теперь $\Gamma$ – замкнутый контур; он является границей некоторой ограниченной поверхности $\Sigma$. Рассмотрим 1-форму
\[
(v, d x)=\sum v_{i} d x^{i} .
\]

Согласно Томсону, интеграл этой формы по Г
\[
\oint_{\Gamma}(v, d x)
\]

называется циркуляцией скорости вдоль контура Г. Применяя формулу Стокса
\[
\oint_{\Gamma}(v, d x)=\int_{\Sigma}(u, n) d \sigma, \quad u=\operatorname{rot} v
\]

и учитывая (1.9), приходим к теореме о постоянстве циркуляции скорости по «жидкому» контуру:
\[
\oint_{g^{t}(\Sigma)}(v, d x)=\text { const. }
\]

Важным следствием этого результата является теорема Лагранжа о потенциальных течениях. Напомним, что поле скоростей $v(x, t)$ называется потенциальным, если
\[
v=\frac{\partial \varphi}{\partial x} .
\]

Функция $\varphi(x, t)$ называется потенциалом. Теорема Лагранжа утверждает, что если поле скоростей баротропной идеальной жидкости в потенциальном силовом поле потенциально в начальный момент времени (скажем, $t=0$ ), то оно потенциально при всех значениях $t$.

Подставляя потенциальное поле (1.11) в уравнение Ламба (1.5) и используя очевидное тождество
\[
\operatorname{rot}(\partial \varphi / \partial x)=0,
\]

приходим к равенству
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}+f\right)=0 .
\]

Следовательно, выражение в скобках будет функцией только времени:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+P+V=g(t)
\]

Это соотношение называется интегралом Лагранжа-Коши. После калибровочного преобразования
\[
\varphi \rightarrow \varphi-\int g(t) d t
\]

не меняющего поля скорости, функция $g$ в (1.12) будет равна нулю.
$3^{\circ}$. Вернемся к исследованию исходных уравнений (1.1) и (1.3). Положим $w=u / \rho$. Ясно, что интегральные кривые поля $w$ будут введенными ранее вихревыми линиями.
Теорема 1. Поле $w(x, t)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial w}{\partial t}=[v, w]
\]

Скобка $[\cdot, \cdot]$ – коммутатор векторных полей. Напомним его определение. Пусть $a=\left\{a_{i}\right\}$ и $b=\left\{b_{j}\right\}$ – два векторных поля. Их коммутатором $[a, b]$ называется поле $c=\left\{c_{k}\right\}$, компоненты которого вычисляются по правилу
\[
c_{j}=\sum_{i}\left(b_{i} \frac{\partial a_{j}}{\partial x^{i}}-a_{i} \frac{\partial b_{j}}{\partial x^{i}}\right),
\]

или, что то же самое,
\[
c=\frac{\partial a_{r}}{\partial x} b-\frac{\partial b}{\partial x} a .
\]

Если $L_{a}, L_{b}, L_{c}$ – операторы дифференцирования вдоль полей $a, b, c$, то
\[
L_{c}=L_{b} L_{a}-L_{a} L_{b} .
\]

Выражение справа – коммутатор операторов $L_{a}$ и $L_{b}$.
Поля $a, b$ коммутируют, если $[a, b]=0$. Это свойство имеет место тогда и только тогда, когда фазовые потоки полей $a, b$ перестановочны:
\[
g_{a}^{p} g_{b}^{q}=g_{b}^{q} g_{a}^{p}
\]

для всех $p, q \in \mathbb{R}$.
Теорема 1 сначала была установлена В. И. Арнольдом [4] для однородной идеальной жидкости, когда $\rho=$ const. Здесь можно положить $w=\operatorname{rot} v$. Общий случай рассмотрен в [32]. Если движение среды стационарно, то поля $v$ и $u / \rho$ коммутируют (хотя на первый взгляд кажется, что должны коммутировать поля $u$ и $\rho v$ – плотность импульса). Уравнение (1.13) обычно называют уравнением Эйлера для изменения момента. Оно является бесконечномерным аналогом известных уравнений Эйлера, описывающих вращение волчка (см. [64]).

Доказательство теоремы 1.
Вычислим сначала
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{u}{\rho}\right)=\frac{1}{\rho} \operatorname{rot}(v \times u)+\frac{u}{\rho^{2}} \operatorname{div}(\rho v) .
\]

С другой стороны,
\[
\left[v, \frac{u}{\rho}\right]=\frac{1}{\rho}[v, u]+\frac{u}{\rho^{2}} L_{v} \rho .
\]

Воспользовавшись известным тождеством векторного анализа
\[
\operatorname{rot}(a \times b)=[a, b]+a \operatorname{div} b-b \operatorname{div} a
\]

и соленоидальностью поля $u$, преобразуем (1.15):
\[
\left[v, \frac{u}{\rho}\right]=\frac{1}{\rho} \operatorname{rot}(v \times u)+\frac{u}{\rho} \operatorname{div} v+\frac{u}{\rho^{2}} L_{v} \rho .
\]

Так как $L_{v} \rho+\rho \operatorname{div} v=\operatorname{div}(\rho v)$, то из (1.14) и (1.16) будет следовать (1.13).

Рассмотим теперь стационарные движения сплошной среды, когда все характеристики движения не зависят явно от времени. Предположим сначала, что $u \times v
eq 0$ (вихревые движения в сильном смысле).

Тогда вихревые линии будут отличаться от линий тока – траекторий частиц жидкости (интегральных линий поля $v$ ). В этом случае каждой точке $x$ из области течения естественно поставить в соответствие плоскость $\pi(x)$, порожденную линейными комбинациями независимых векторов $v(x)$ и $u(x)$ (или, что то же самое, $v$ и $w=u / \rho$ ). Согласно теореме 1 , поля $v$ и $w$ коммутируют: $[v, w]=0$. Поэтому, по теореме Фробениуса, распределение плоскостей инволютивно (или интегрируемо): через каждую точку $x$ проходит единственная максимальная интегральная поверхность $M_{x}$ этого распределения, у которой касательная плоскость в любой точке $z \in M_{x}$ совпадает с $\pi(z)$. Ясно, что линии тока и вихревые линии лежат на интегральных поверхностях. В самом общем случае поверхности $M$ могут быть погружены в $E^{3}$ весьма сложным образом: они, вообще говоря, не замкнуты.

Свойство интегрируемости распределения плоскостей $\pi(x)$ можно получить по-другому. Рассмотрим векторное поле $s=u \times v$ : в каждой точке $x \in E^{3}$ ненулевой вектор $s(x)$ ортогонален $\pi(x)$. Спрашивается, существует ли семейство поверхностей
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=c, \quad c \in \mathbb{R},
\]

ортогональное полю $s$ ? Условие ортогональности сводится к равенству
\[
s=g \frac{\partial f}{\partial x}
\]

где $g
eq 0$ – некоторая гладкая функция. Так как
\[
\operatorname{rot} s=\frac{\partial g}{\partial x} \times \frac{\partial f}{\partial x}
\]

то
\[
(\operatorname{rot} s, s)=0 \text {. }
\]

Итак, необходимое условие интегрируемости распределения $\pi(x)$ сводится к равенству (1.17). Несложно доказать, что оно достаточно для интегрируемости.

В нашем случае условие (1.17) заведомо выполнено, так как $\operatorname{rot} s=\operatorname{rot}(u \times v)=0$ ввиду (1.1).

Наиболее просто описывается движение частиц сплошной среды по компактным интегральным поверхностям. Пусть $M$ – компактная поверхность без края. Так как поля $v$ и $w$ касаются $M$, линейно независимы во всех точках и коммутируют, то поверхность $M$ – двумерный тор (точнее, $M$ диффеоморфна тору) и в некоторых угловых координатах $\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 2 \pi$ на этом торе дифференциальные уравнения для линий тока и вихревых линий
\[
\dot{x}=v(x), \quad x^{\prime}=w(x)
\]

имеют следующий вид:
\[
\dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}, \quad \dot{\varphi}_{2}=\omega_{2} ; \quad \varphi_{1}^{\prime}=\Omega_{1}, \quad \varphi_{2}^{\prime}=\Omega_{2} \quad(\omega, \Omega=\text { const }) .
\]

Доказательство этой дифференциально-топологической теоремы можно найти, например, в книге [5] (гл.10), где рассмотрен более общий случай $n$-мерных многообразий, допускающих $n$ попарно коммутирующих касательных векторных полей.

Следовательно, в компактном случае линии тока либо замкнуты (и тогда периоды обращения частиц по разным замкнутым траекториям совпадают), либо всюду плотны на $M$. Первый случай реализуется, когда отношение частот $\omega_{1} / \omega_{2}$ рационально, а во втором $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально.
В координатах $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ уравнение
\[
\frac{d x}{d s}=u(x)=\rho(x) w(x)
\]

приводится, очевидно, к виду
\[
\frac{d \varphi_{i}}{d s}=\Omega_{i} \rho, \quad i=1,2
\]

и интегральные линии векторного поля $u$ (в магнитой гидродинамике – силовые линии магнитного поля) тоже прямые. Следовательно, они либо все замкнуты, либо всюду плотно обматывают $M$. Однако, если $\rho
eq$ const, то (в отличие от линий тока) интегральные линии поля $u$ замыкаются через разные промежутки параметра $s$.

Если касательные поля $u$ и $v$ полны на $M$ (то есть их фазовые потоки $g_{u}^{p}$ и $g_{v}^{q}$ определены для всех $p, q \in \mathbb{R}$ ), то в некомпактном случае $M$ диффеоморфна цилиндру или плоскости и в некоторых координатах на $M$ линии тока и вихревые линии тоже выпрямляются в целом.
$4^{\circ}$. Описанная конструкция находит наиболее содержательное применение в задаче о баротропных течениях идеальной жидкости в потенциальном силовом поле. Согласно теореме Бернулли, функция Бернулли $f$ постоянна на линиях тока и вихревых линиях. Следовательно, интегральные поверхности $M$ совпадают с поверхностями уровня интеграла Бернулли $f=c$.

Теорема 2. Предположим, что область течения жидости компактна и ограничена регулярной аналитической поверхностью, а поле скоростей $v$ аналитично и $v \times \operatorname{rot} v
eq 0$. Тогда почти все связные повер ности Бернулли
\[
M=\{x: f(x)=c\}
\]
(кроме, быть может, конечного числа) диффеоморфны либо двумерному тору, либо кольиу (прямое произведение отрезка на окружность). При этом на каждом из торов все линии тока либо замкнуты, либо всюду плотны, а на каждом кольце линии тока замкнуты. Периоды обращения частиц жидкости по разным замкнутым траекториям, лежацим на одной поверхности Бернулли, совпадают.

Для несжимаемой жидкости это утверждение доказано в работе [4], а в общем случае – в работе [32].

Доказательство.
Так как $v \times \operatorname{rot} v
eq 0$, то из уравнения Ламба (1.5) вытекает, что $f$ – непостоянная аналитическая функция: $d f
eq 0$. Следовательно, все поверхности Бернулли $f=c$ (за исключением, быть может, некоторого конечного числа) регулярны. Это вытекает из изолированности критических значений аналитической функции, заданной на компактном множестве [79]. На регулярных поверхностях Бернулли, очевидно, $v \times \operatorname{rot} v
eq 0$. Если $M=\{f=c\}$ не имеет общих точек с границей, то остается воспользоваться описанной выше общей конструкцией. Случай, когда $M$ пересекается с границей, более простой; он

рассмотрен в работе [4]. Линии тока в этих двух задачах изображены на рисунке, заимствованном из [4].
Рис. 2. Линии тока вихревых течений
Пусть теперь $u
eq 0$, однако $u \times v=0$ (вихревое движение в слабом смысле). Тогда линии тока и вихревые линии будут совпадать, а $f \equiv$ const. Здесь уже линии тока могут иметь сложное запутанное поведение и уравнение движения частиц жидкости $\dot{x}=v(x)$ может вообще не иметь непостоянных интегралов. Примером служит так называемое $A B C$-течение Арнольда на трехмерном торе $\mathbb{T}^{3}=\{x, y, z \bmod 2 \pi\}$ с евклидовой метрикой. Компоненты поля скоростей $v$ имеют вид
\[
A \sin z+C \cos y, \quad B \sin x+A \cos z, \quad C \sin y+B \cos x .
\]

Здесь $\operatorname{rot} v=v$. Как показано С. Л. Зиглиным [24], для почти всех значений $A, B, C$ поле (1.18) не допускает непостоянных аналитических интегралов. Численные расчеты М. Хэннона показывают, что некоторые траектории всюду плотно заполняют трехмерные области на тоpe $\mathbb{T}^{3}$. Это свидетельствует о хаотизации течения.