$1^{\circ}$. Пусть $v_{1}, \ldots, v_{n}$ – касательные векторные поля на $n$-мерном конфигурационном пространстве $M$, линейно независимые в каждой точке $M$ (или некоторой его части). Их коммутаторы можно разложить по векторам $\left\{v_{k}\right\}$ как по базису:
\[
\left[v_{i}, v_{j}\right]=\sum c_{i j}^{k} v_{k} .
\]

Коэффициенты $c_{i j}^{k}$ – функции от точки $x \in M$.
Скорость системы $\dot{x}$ – также касательный вектор. Следовательно, можно положить
\[
\dot{x}=\sum \omega_{k} v_{k} .
\]

Коэффициенты $\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)=\omega$ – линейные функции от $\dot{x}$ – называются квазискоростями, они зависят от выбора полей $v$. В частности, если в качестве $v_{k}$ взять векторные поля с операторами дифференцирования
\[
\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}},
\]

то, очевидно, $\omega_{k}=\dot{x}_{k}$.
Лагранжиан механической системы $L(\dot{x}, x, t)$ можно представить в виде функции от $\omega, x$, и $t: L=\mathcal{L}(\omega, x, t)$. Оказывается, в новых переменных уравнения Лагранжа с лагранжианом $L$ примут следующий вид:
\[
\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{k}}\right)^{\cdot}=\sum_{i, j=1}^{n} c_{k i}^{j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{j}} \omega_{i}+X_{k}(\mathcal{L}),
\]

где $X_{k}$ – производная Ли вдоль векторного поля $v_{k}$.
Уравнения (1.4) получены впервые Анри Пуанкаре в 1901 г. [76]. Если операторы дифференцирования $X_{k}$ имеют вид (1.3), то уравнения Пуанкаре перейдут в обычные уравнения Лагранжа. Следует иметь в виду, что система уравнений (1.4) незамкнута; для ее замыкания надо добавить соотношения (1.2).
$\mathbf{2}^{\circ}$. Выведем уравнения Пуанкаре. Пусть
\[
X_{i}=\sum_{s} a_{i s} \frac{\partial}{\partial x_{s}}
\]
– явный вид опсратора дифферспцирования вдоль поля $v_{i}$. По опрсделению коммутатора,
\[
\left[X_{i}, X_{j}\right]=X_{i} X_{j}-X_{i} X_{j}=\sum c_{i j}^{k} X_{k}
\]

или, что то же самое,
\[
\sum_{l} \frac{\partial a_{i s}}{\partial x_{l}} a_{j l}=\sum_{l} \frac{\partial a_{j s}}{\partial x_{l}} a_{i l}+\sum_{k} c_{i j}^{k} a_{k s} .
\]

Учитывая покомпонентную запись соотношения (1.2)
\[
\dot{x}_{s}=\sum_{k} a_{k s} \omega_{k}, \quad 1 \leq s \leq n,
\]

получаем
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{k}}=\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{s}} \frac{\partial \dot{x}_{s}}{\partial \omega_{k}}=\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{s}} a_{k s} .
\]

Далее, используя уравнения Лагранжа, имеем
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{k}}\right)^{\cdot} & =\sum\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{s}}\right)^{\cdot} a_{k s}+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{s}} \frac{\partial a_{k s}}{\partial x_{l}} \dot{x}_{l}= \\
& =\sum \frac{\partial L}{\partial x_{s}} a_{k s}+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{s}} \frac{\partial a_{k s}}{\partial x_{l}} a_{i l} \omega_{i} .
\end{aligned}
\]

Учитывая соотношения
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{s}}=\frac{\partial L}{\partial x_{s}}+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{l}} \frac{\partial a_{i l}}{\partial x_{s}} \omega_{i},
\]

преобразуем полученное равенство:
\[
\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{k}}\right)^{\cdot}=\sum \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{s}} a_{k s}+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{s}}\left(\frac{\partial a_{k s}}{\partial x_{l}} a_{i l} \frac{\partial a_{i s}}{\partial x_{l}} a_{k l}\right) \omega_{i} .
\]

Используя теперь (1.5), приходим к соотношению
\[
\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{k}}\right)^{\cdot}=\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{s}} a_{j e} e_{k i}^{j} \omega_{i}+X_{k}(\mathcal{L}) .
\]

Наконец, с учетом (1.6) получаем уравнения Пуанкаре (1.4).
$3^{\circ}$ Считая лагранжиан $\mathcal{L}$ функцией, выпуклой по $\omega$ и возрастающей на бесконечности быстрей любой линейной функции, выполним преобразование Лежандра:
\[
m_{k}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{k}}, \quad \mathcal{H}=(m \cdot \omega-\mathcal{L})_{\omega \rightarrow m} .
\]

Тогда как известно,
\[
\omega_{k}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial m_{k}}, \quad X_{k}(\mathcal{L})=-X_{k}(\mathcal{H}) .
\]

Уравнения (1.4) в переменных $x, m$ примут вид
\[
\dot{m}_{k}=\sum_{i, j} c_{k i}^{j} m_{j} \frac{\partial H}{\partial m_{i}}-X_{k}(\mathcal{H}), \quad 1 \leq k \leq n .
\]

Они называются уравнениями Четаева [66].
$4^{\circ}$. Пусть теперь конфигурационное пространство $M$ является группой Ли $G$. Напомним, что $G$ – группа (с операцией умножения $\tau, \sigma \rightarrow \tau \sigma$ ) и одновременно – гладкое многообразие, причем
(a) $\tau \rightarrow \tau^{-1}$ – гладкое отображение $G \rightarrow G$,
(б) $\tau, \sigma \rightarrow \tau \sigma-$ гладкое отображение $G \times G \rightarrow G$.

Для нас основным примером будет группа $S O(3)$ – группа поворотов трехмерного евклидова пространства. Она состоит из ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице. Произвольная $3 \times 3$-матрица задается девятью произвольными параметрами. Шесть независимых условий ортогональности выделяют в девятимерном пространстве гладкую регулярную трехмерную поверхность – многообразие $S O(3)$. С топологической точки зрения это трехмерная сфера, у которой отождествлены антиподальные точки. Легко проверить, что операция умножения матриц будет гладким преобразованием этой поверхности. Как уже отмечалось ( $\S 5$ главы I), группа $S O(3)$ – конфигурационное пространство в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки.

Поскольку $G$ – группа, то для любых $\sigma, \tau$ найдется единственное $\rho$, такое, что $\rho \sigma=\tau\left(\rho=\tau \sigma^{-1}\right)$. Через $\Phi_{\rho}$ обозначим левый сдвиг группы $G$, порожденный элементом $\rho$ :
\[
\Phi_{\rho}: \xi \rightarrow \rho \xi, \quad \xi \in G .
\]

Согласно условию (б), $\Phi_{\rho}$ – гладкое отображение группы $G$ на себя. Ясно, что $\Phi_{\rho}^{-1}=\Phi_{\rho^{-1}}$ – тоже гладкое отображение (условие (а)). Следовательно, $\Phi_{\rho}$ – диффеоморфизм и поэтому его дифференциал $d \Phi_{\rho}$ есть изоморфизм касательных пространств $T_{\sigma}$ и $T_{\tau}$.

Гладкое векторное поле $v$ на $G$ называется левоинвариантным, если
\[
d \Phi_{\rho} v(\sigma)=v(\tau)
\]

для всех $\tau$ и $\sigma$. Это условие можно упростить, положив в (1.7) $\sigma=e$ $(e-$ единица группы $G$ ):
\[
d \Phi_{\tau} v(e)=v(\tau)
\]

для всех $\tau \in G$. Таким образом, левоинвариантные векторные поля на $G$ образуют $n$-мерное линейное пространство $g$, изоморфное $T_{e} G$.

Если $u, v$ – гладкие векторные поля и $\Phi$ – гладкое отображение, то, как легко проверить,
\[
d \Phi([u, v])=[d \Phi(u), d \Phi(v)] .
\]

С учетом формулы (1.8) из этого факта вытекает важное следствие: коммутатор левоинвариантных полей является левоинвариантным векторным полем. Таким образом, линейное пространство $g$ превращается в алгебру Ли, если умножение элементов из $g$ определить как операцию коммутирования. Это умножение обладает следующими свойствами:
1) $[u, v]=-[v, u]$,
2) $\left[c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}, v\right]=c_{1}\left[u_{1}, v\right]+c_{2}\left[u_{2}, v\right] ; \quad c_{1}, c_{2} \in R$,
3) $[[u, v], w]+[[v, w], u]+[[w, u], v]=0$ для любых $u, v, w \in g$ (тождество Якоби).

Алгебра $g$ называется алгеброй Ли группы $G$.
Если $v_{1}, \ldots, v_{k}$ – набор линейно независимых левоинвариантных векторных полей на $G$, то в равенстве (1.1) коэффициенты $c_{i j}^{k}$ будут постоянными. Они называются структурными постоянными алгебры Ли. Очевидно, $c_{i j}^{k}=-c_{j i}^{k}$.

Аналогично определяются правоинвариантные векторные поля на группе Ли G, которые переходят в себя при всех правых сдвигах группы $G$. Легко проверить что линейное пространство правоинвариантных полей с операцией коммутирования является алгеброй, изоморфной алгебре Ли группы $G$.

Более подробно с этими вопросами можно познакомиться, например, по книге Шевалье [61]. Изложение, ориентированное на применение к дифференциальным уравнениям, см. в [49].
$5^{\circ}$. В качестве важного примера рассмотрим группу невырожденных матриц $n \times n$, которая обычно обозначается $G L(n)$. Известные формулы для элементов произведения матриц и обратной матрицы показывают, что $G L(n)$ – группа Ли, размерность которой равна $n^{2}$. Вычислим ее алгебру Ли $\operatorname{gl}(n)$.

Пусть $e$ – единичная матриша. Рассмотрим касательные векторы к $G L$ в точке $e$. Пусть $t \rightarrow x(t)$ – гладкая кривая на $G L$ и $x(0)=e$. Тогда
\[
x(t)=e+t A+o(t),
\]

где $A$ – некоторая $n \times n$ матрица, и, следовательно, $\dot{x}(0)=A$. Таким образом, касательное пространство $T_{e}$ совпадает с линейным пространством квадратных матриц порядка $n$.

При левом сдвиге $x \rightarrow z x(t)$ кривая (1.9) перейдет в кривую $t \rightarrow z x(t)$. Ее производная при $t=0$ равна $z A$. Следовательно, при этом сдвиге вектор $A$ из $T_{e}$ перейдет в вектор $z A$, касательный к $G L$ в точке $z$.

Пусть $z=\left\|z_{i j}\right\|$ и $A=\left\|a_{i j}\right\|$. Левоинвариантному полю $z \rightarrow z A$ отвечает оператор дифференцирования
\[
\sum z_{i s} a_{s j} \frac{\partial}{\partial z_{i j}} .
\]

Пусть $z \rightarrow z B$ – еще одно левоинвариантное векторное поле. Их коммутатор в точке $z=e$ равен, очевидно, $[A, B]=B A-A B$. Следовательно, алгебра Ли $\operatorname{gl}(n)$ изоморфна пространству всех вещественных $n \times n$-матриц с естественным законом коммутирования.

Алгебра $g l(n)$ играет важную роль в теории алгебр Ли. Согласно теореме $A$ до, каждая алгебра Ли изоморфна некоторой подалгебpe $\operatorname{gl}(n)$ при подходящем выборе $n$.

Пусть $z \rightarrow A z$ и $z \rightarrow B z$ – два правоинвариантных векторных поля на $G L$. Их коммутатор равен $A B-B A$; он отличается только знаком от $[A, B]$.

Важное значение с точки зрения приложений играет специальная ортогональная группа $S O(n)$, состоящая из ортогональных $n \times n$ матриц с определителем +1. Ясно, что $S O(n) \subset G L(n), \operatorname{so}(n) \subset g l(n)$, и $\operatorname{dim}(S O(n))=n(n-1) / 2$.

В этом случае матрицы $x(t)$ из (1.9) удовлетворяют соотношению $x x^{T}=e$. Следовательно,
\[
e=(e+t A+o(t))\left(e+t A^{T}+o(t)\right)=e+t\left(A+A^{T}\right)+o(t),
\]

откуда $A^{T}+A=0$. Таким образом, алгебра $s o(n)$ состоит из кососимметричных матриц порядка $n$.
$\mathbf{6}^{\circ}$. При $n=3$ каждой кососимметричной матрице
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & a_{3} & -a_{2} \\
-a_{3} & 0 & a_{1} \\
a_{2} & -a_{1} & 0
\end{array}\right)
\]

можно поставить в соответствие вектор $a$ трехмерного ориентированного евклидова пространства с компонентами $a_{1}, a_{2}, a_{3}$. Легко проверить, что по этому правилу коммутатор матриц $[A, B]$ переходит в обычное векторное произведение $a \times b$. Таким образом, алгебра $s o(3)$ изоморфна линейному пространству векторов трехмерного пространства, в котором коммутатор совпадает с операцией векторного умножения.

Группа $S O(3)$ – конфигурационное пространство задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки: все положения тела можно получить из некоторого его фиксированного положения с помощью поворотов. Вращение твердого тела задается функцией $t \rightarrow x(t)$, где $x$ – ортогональная матрица из $S O(3)$. Скорость вращения $\dot{x}(t)$ есть касательный вектор к группе в точке $x(t)$. Его можно перенести в единицу группы (то есть в алгебру so(3)) двумя естественными способами: левым и правым сдвигом. В результате мы получили две кососимметричные матрицы $x^{-1} \dot{x}$ и $\dot{x} x^{-1}$.

Пусть $R(t)$ – радиус-вектор точки тела в неподвижном пространстве. Тогда $R(t)=x(t) R(0)$ и, следовательно,
\[
V(t)=\dot{R}(t)=\dot{x}(t) R(0)=\dot{x x^{-1} R(t) .}
\]

В трехмерном ориентированном пространстве кососимметрический оператор $\dot{x} x^{-1}$ есть оператор векторного умножения $\Omega \times(\cdot)$. В результате получаем формулу Эйлера $V=\Omega \times R$. Вектор $\Omega$ называется вектором угловой скорости в неподвижном пространстве. Таким образом, правоинвариантные векторные поля на $S O(3)$ соответствуют вращениям твердого тела с постоянной угловой скоростью вокруг оси, фиксированной в неподвижном пространстве.

Ортогональное преобразование с матрицей $x^{-1}$ переводит твердое тело в начальное положение. Следовательно, $v(t)=x^{-1}(t) V(t)$ – скорость точки тела в подвижной системе отчета, связанной с твердым телом. Таким образом, $v=x^{-1} \dot{x} r=\omega \times r$, где $\omega-$ вектор угловой скорости, а $r=x^{-1}(t) R(t)=R(0)$ – радиус-вектор точки тела в подвижном пространстве. Отсюда вытекает, что левоинвариантные поля на $S O(3)$ отвечают вращениям твердого тела с угловой скоростью, постоянной в подвижном пространстве.

Выберем в твердом теле три взаимно ортогональные оси, проходящие через неподвижную точку (например, главные оси инериии тела). Пусть $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ – независимые левоинвариантные поля на $S O(3)$, порожденные вращениями твердого тела с единичной угловой скоростью вокруг этих осей. В силу отмеченного изоморфизма алгебры so(3) и алгебры векторов трехмерного евклидова пространства, получаем следующие формулы для коммутаторов:
\[
\left[v_{1}, v_{2}\right]=v_{3}, \quad\left[v_{2}, v_{3}\right]=v_{1}, \quad\left[v_{3}, v_{1}\right]=v_{2} .
\]
$7^{\circ}$. Пусть $\langle\cdot, \cdot\rangle$ — некоторая риманова метрика на группе $G$ :
\[
\langle\dot{x}, \dot{x}\rangle=\sum a_{i, j}(x) \dot{x}_{i} \dot{x}_{j} .
\]

С точки зрения динамики эта метрика определяется кинетической энергией Т и задает инерционные свойства системы: $T=\langle\dot{x}, \dot{x}\rangle / 2$.

Метрика $\langle\cdot, \cdot\rangle$ называется левоинвариантной, если она не меняет значений при всех левых сдвигах. Другими словами, значение билинейной формы $\langle\cdot, \cdot\rangle$ на любой паре левоинвариантных векторных полей постоянно (не зависит от точки на $G$ ).

Пусть $v_{1}, \ldots, v_{n}$ – базис независимых левоинвариантных полей. Положительно определенная матрица Грама
\[
I=\left\|I_{i j}\right\|, \quad I_{i j}=\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=\mathrm{const}
\]

называется тензором инерции механической системы в этом базисе. По формуле (1.2),
\[
T=\frac{1}{2}\left\langle\sum \omega_{i} v_{i}, \sum \omega_{j} v_{j}\right\rangle=\frac{1}{2} \sum I_{i j} \omega_{i} \omega_{j} .
\]

В отсутствие внешних сил уравнения Пуанкаре (1.4) принимают следующий вид:
\[
\dot{m}_{i}=\sum c_{i k}^{j} m_{j} \omega_{k}, \quad m_{s}=\sum I_{s p} \omega_{p} .
\]

Представленные в переменных $\omega$, они являются дифференциальными уравнениями на алгебре $g$ группы $G$, и в переменных $m$ – на двойственном линейном пространстве $g^{*}$.

Уравнения (1.11) будем называть уравнениями Эйлера-Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда $G$ есть группа $S O(3)$. Свойство левоинвариантности кинетической энергии вращающегося волчка очевидно. Используя коммутационные соотношения (1.10), уравнения (1.11) легко привести к форме
\[
I \dot{\omega}+\omega \times I \omega=0,
\]

где $\omega$ – угловая скорость, а $I$ – тензор инерции тела. Это – знаменитые динамические уравнения Эйлера, опубликованные им в 1758 году.

Уравнения (1.11) составляют половину уравнений движения. К ним следует добавить геометрические уравнения (1.2). С дифференциально-геометрической точки зрения эти уравнения описывают геодезические линии левоинвариантной метрики на группе Ли.