$1^{\circ }$. Общая теория интегральных инвариантов создана Пуанкаре и изложена им в III томе «Новых методов небесной механики». Ряд важных дополнений сделал Эли Картан. Они подытожены в его «Интегральных инвариантах» [28]. Основная идея книги Картана — автономизация дифференциальных уравнений, т. е. переход от пространства положений к пространству-времени, в котором координаты $x$ и

время $t$ считаются совершенно равноправными переменными. Эта последовательная релятивистская точка зрения оказалась весьма плодотворной и мы применим ее к уравнениям Ламба.

Введем $(n+1)$-мерное пространство-время $\tilde{M}=M^n\times {\mathbb{R}}_t$. Его точки (наборы переменных $x_1,\dots ,x_n,t$ ) будем обозначать буквой $z$. Для дальнейшего несущественно, что пространство-время имеет структуру прямого произведения.
Дифференциальные уравнения (1.2) заменяются следующим:
$$\dot{x}=v(x,t),\dot{t}=1,$$

или, более кратко,
$$\dot{z}=\tilde{v}(z).$$

В координатах $z=\{x,t\}$ поле $\tilde{v}$, конечно, имеет компоненты $v,1$. Для уравнения (2.1) на самом деле несущественно, что его решения параметризованы временем $t$. Ключевую роль здесь играют интегральные кривые поля $\tilde{v}$ : они касаются во всех своих точках векторов из поля $\tilde{v}$. Если параметризовать интегральные кривые в $\tilde{M}$ переменной $t$ и затем спроектировать их на $M$, то получим решения исходного уравнения (2.1). С этой точки зрения важно не само поле $\tilde{v}$, а определяемое им поле направлений (векторы $\tilde{v}$ можно умножить на любую функцию от $z$, отличную от нуля). Следуя релятивистской механике, интегральные кривые поля $\tilde{v}$ можно называть мировыми линиями.

Уравнения Ламба (1.1) имеют следующее эквивалентное представление:

Первые $n$ уравнений (по строкам) в точности совпадают с соответствующими уравнениями Ламба, а последнее уравнение
$$\sum (\frac{\partial u_i}{\partial t}-\frac{\partial h}{\partial x_i})v_i=0$$

есть простое следствие (1.1) (с учетом кососимметричности матрицы $\mathrm{rot}u$ ).

Кососимметричная матрица ( $n+1$ )-го порядка в левой части (2.2) есть матрица ротора 1-формы
$$\phi =\omega -hdt,\omega =\sum u_{i}d{x}_i,$$

определенной на $\tilde{M}$. Следовательно, уравнение (2.2) допускает следующую инвариантную запись:
$$i_{\tilde{v}}\varphi =0,\varphi =d\phi .$$
${\mathbf{2}}^{\circ }$. В соответствии с терминологией, принятой в $\mathrm{\S }5$ гл. I, вектор $\tilde{v}$ — вихревой вектор для замкнутой 2 -формы $\varphi$. Если $\phi$ — форма энергии-импульса в расширенном фазовом пространстве, то равенство (2.3) представляет вихревой принцип гамильтоновой механики (см. §5).

Пусть $n$ четно и 2-форма $\varphi$ является неособой. Тогда вектор $\tilde{v}$ определен однозначно с точностью до ненулевого множителя. В общем случае у формы $\varphi$ имеются другие линейно независимые вихревые векторы. Среди них — векторы $\tilde{w}$, имеющие в координатах $x,t$ компоненты $w,0$, где $w-$ вихревой вектор 2 -формы $\mathrm{\Omega }=d\omega$ в $n$ мерном пространстве $M$. Число независимых вихревых векторов $w$ равно $n-\mathrm{rank}(\mathrm{rot}u)$. Эти векторы играют в нашей теории ключевую роль. Ясно, что векторы вида $\tilde{v}+\tilde{w}$ также будут вихревыми для формы $\varphi$.

Приведем еще один пример из электродинамики (заимствованный у Картана $[28]$, п.81), где появляется уравнение (2.3). Пусть $E$ и $H-$ электрическое и магнитное поля в пустоте, $c$ — скорость света. Рассмотрим тензор электромагнитного поля $\Vert F_{ij}\Vert$ — кососимметрическую матрицу
$$\left(\begin{array}{cccc}0& H_3& -H_2& c{E}_1\\ -H_3& 0& H_1& c{E}_2\\ H_2& -H_1& 0& c{E}_3\\ -c{E}_1& -c{E}_2& -c{E}_3& 0\end{array}\right).$$

Ей можно поставить в соответствие внешнюю 2-форму
$$F=\sum F_{ij}d{x}_i\wedge d{x}_j$$

где $x_1,x_2,x_3$ — пространственные декартовы координаты в трехмерном евклидовом пространстве, а $x_4=t$ — время.

Форма $F$ — замкнута: $dF=0$. Это — следствие двух уравнений Максвелла
$$\frac{1}{c}\frac{\partial H}{\partial t}+\mathrm{rot}E=0,\mathrm{div}H=0.$$

Следовательно, $F=df$, где 1-форма
$$f=\sum f_{i}d{x}_i$$

называется 4-потенциалом электромагнитного поля. Оставшиеся два уравнения Максвелла приводят к волновому уравнению для коэффициентов $f_i$.

Ранг кососимметрической матрицы (2.4) может быть одним из чисел: $4,2,0$. Ее определитель равен $c^2(E,H{)}^2$. Следовательно, $\mathrm{rank}F=2$, если поля $E$ и $H$ ортогональны и отличны от нуля. Именно этот случай представляет наибольший интерес с точки зрения теории электромагнитных волн.

Итак, пусть всюду $(E,H)=0$ и $E^2+H^{2}eq0$. Тогда замкнутая 2 -форма $F$ имеет два вихревых вектора. Их пространственные и временные компоненты равны соответственно
$$\text{ H, }0$$

и
$$c[E,H],H^2.$$

Проекции интегральных кривых поля (2.6) на ${\mathbb{R}}^3=\{x_1,x_2,x_3\}$ будут магнитными силовыми линиями, а пространственные компоненты поля (2.7) определяют направление распространения электромагнитной волны.
$3^{\circ }$. Форму $\phi$ можно интегрировать по ориентированным кривым $\gamma$ в $\tilde{M}$, что позволяет задать функционал «действия»
$$I[\gamma ]={\int }_{\gamma }\phi .$$

Из леммы о вариации действия ( $\S 6$ гл. I) сразу же выводится вариационный принцип: интегральные кривые поля $\tilde{v}$ являются экстремалями функционала (2.8) в классе кривых с фиксированными концами.

Это принцип справедлив и для вихревых полей $\tilde{w}$. Поскольку $t$ компоненты векторов $\tilde{w}$ равны нулю, то интегральные кривые поля $\tilde{w}$ (вихревые линиии) лежат на гиперповерхностях $t=$ const и поэтому их можно считать кривыми на конфигурационном пространстве $M$. В этом случае вариационный принцип можно слегка изменить: вихревые линии являются экстремалями функционала
$${\int }_{\gamma }\omega$$

где $\gamma$ — ориентированные кривые на $M$. Здесь время $t$ считается параметром.

Если коэффициенты 1-формы $\phi$ периодичны по $t$ (скажем, с периодом $\tau$ ), то в качестве пространства-времени $\tilde{M}$ можно принять «цилиндр» — прямое произведение $M$ и окружности $\{tmod\tau \}$. В этом случае среди мировых линий могут оказаться замкнутые кривые. Легко понять, что они доставляют стационарные значения функционалу (2.8), определенному на пространстве всех замкнутых кривых. Этот простой результат может оказаться полезным для доказательства существования периодических решений системы (2.1). Примером может служить теорема Конли-Цендера [67] о наличии $n+1$ различных $\tau$-периодических решений уравнений Гамильтона на $2n$-мерном торе с $\tau$-периодическим гамильтонианом.
$4^{\circ }$. Пусть ${\gamma }_1$ — некоторая замкнутая кривая в $\tilde{M}$. Через каждую точку ${\gamma }_1$ проходит единственная мировая линия. Их совокупность образует цилиндрическую поверхность $\mathrm{\Gamma }$ (рис. 18). Пусть ${\gamma }_2$ — еще одна замкнутая кривая на $\mathrm{\Gamma }$, гомологичная ${\gamma }_1$. Тогда
$${\int }_{{\gamma }_1}\phi ={\int }_{{\gamma }_2}\phi .$$

Действительно, по теореме Стокса, разность этих интегралов равна
$${\iint }_{\mathrm{\Gamma }}\varphi ,\varphi =d\phi .$$

Однако этот интеграл равен нулю, поскольку 2-форма $\varphi$ обращается в нуль на любой паре линейно независимых векторов, касающихся $\mathrm{\Gamma }$ (ввиду (2.3), поскольку $\tilde{v}$ касается $\mathrm{\Gamma }$ по построению).

Равенство (2.9) содержит как частный случай интегральный инвариант Пуанкаре -Картана ( $\mathrm{\S }6$ гл. I). В качестве формы $\phi$ надо взять 1-форму энергии-импульса в расширенном фазовом пространстве.

Если ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ — сечения трубки мировых линий гиперповерхностями $t=t_1$ и $t=t_2$, то равенство (2.9) переходит в теорему 2 из $\mathrm{\S }1$.

Заменим теперь мировые линии вихревыми линиями — интегральными Рис. 18. Трубка мировых линий

кривыми вихревого поля $\tilde{w}$. Поскольку поле $\tilde{w}$ также удовлетворяет (2.3), то интеграл по замкнутому циклу от 1-формы $\phi$ будет относительным инвариантом для системы уравнений
$$\frac{dz}{d\alpha }=\tilde{w}(z)$$
$\alpha$ — некоторый вещественный параметр, играющий роль времени. Так как $t$-компонента вектора $\tilde{w}$ равна нулю, то в качестве интересного следствия получаем, что система дифференциальных уравнений на $M$
$$\frac{dx}{d\alpha }=w(x,t)$$

задающая вихревые линии, при каждом значении $t$ допускает (как и система $\dot{x}=v(x,t))$ интегральный инвариант
$${\int }_{\gamma }\omega .$$

Здесь $\gamma$ — любой замкнутый контур на конфигурационном пространстве $M$. Этот факт обобщает наблюдение Картана ([28], п.24), что дифференциальные уравнения траекторий и дифференциальные уравнения вихревых линий в гидродинамике идеальной жидкости допускают один и тот же линейный интегральный инвариант.

$5^{\circ }$. По формуле Стокса
$${\int }_{\partial \gamma }\omega ={\int }_{\gamma }d\omega$$

каждому относительному интегральному инварианту (порождаемому $k$-формой $\omega$ ) отвечает абсолютный интегральный инвариант (порождаемый $(k+1)$-формой $\mathrm{\Omega }=d\omega )$. Это замечание принадлежит Пуанкаре (как и общая формула (2.10)).

Таким образом, система дифференциальных уравнений (1.2) допускает абсолютный инвариант
$${\iint }_{\sigma }\mathrm{\Omega }$$

где $\sigma$ — произвольная двумерная поверхность (в общем случае с краем).

Этот результат несложно получить прямым вычислением. Для этого применим операцию внешнего дифференцирования к обеим частям равенства (1.8):
$$\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial t}+L_v\mathrm{\Omega }=0.$$

Мы использовали известные тождества:
$$\frac{\partial }{\partial t}d=d\frac{\partial }{\partial t},d{L}_v=L_{v}d,dd=0.$$

Для доказательства инвариантности интеграла (2.11) осталось использовать равенство (1.9).
Уравнение (2.12) в матричной форме имеет следующий вид:
$$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{rot}u+\mathrm{rot}((\mathrm{rot}u)v)=0.$$

Точнее говоря, это — матричная форма уравнения
$$\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial t}+d{i}_v\mathrm{\Omega }=0.$$

Поскольку форма $\mathrm{\Omega }$ замкнута ( $d\mathrm{\Omega }=0$ ), то (2.12) и (2.14) эквивалентны.

К уравнению (2.14) приводится известное уравнение (1.1) (гл. I) для изменения соленоидального поля, вмороженного в поток. Для обычного уравнения Ламба в трехмерном евклидовом пространстве уравнение (2.13) принимает вид хорошо известного уравнения для изменения вихря:
$$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{rot}v=\mathrm{rot}(v\times \mathrm{rot}v).$$
$6^{\circ }$. Поскольку система (2.1) имеет относительный инвариант (2.9), то она допускает также абсолютный инвариант
$${\int }_{\sigma }\varphi ,\varphi =d\phi$$

Легко показать, что 2-формы $\mathrm{\Omega }$ и $\varphi$ связаны соотношением
$$\varphi =\mathrm{\Omega }+\left(i_v\mathrm{\Omega }\right)\wedge dt.$$

Действительно, так как $\phi =\omega -hdt$, то
$$\mathrm{\Phi }=d\omega -\frac{\partial \omega }{\partial t}\wedge dt-dh\wedge dt.$$

Согласно (1.7), $-dh=\partial \omega /\partial t+i_v\mathrm{\Omega }$. Отсюда сразу следует (2.16).
Формула (2.16) допускает обобщение. Справедливо

Предложение 2. Предположим, что система (1.2) имеет абсолютный интегральный инвариант с $k$-формой $\mathrm{\Omega }$. Тогда система (2.1) допускает абсолютный инвариант (2.15) с $k$-формой
$$\varphi =\mathrm{\Omega }+(-1{)}^k\left(i_v\mathrm{\Omega }\right)\wedge dt.$$

При $k=2$ получаем (2.16). Предложение 2 фактически принадлежит Картану ([28], п.30), только вместо явной формулы для $\varphi$ Картан приводит правило ее вывода: в явное выражение для формы $\mathrm{\Omega }$ вместо дифференциалов $d{x}_i$ надо подставить разности $d{x}_i-v_{i}dt$.

В качестве примера рассмотрим движение сплошной среды в евклидовом пространстве $E^3=\{x_1,x_2,x_3\}$, описываемое системой уравнений
$${\dot{x}}_1=v_1,{\dot{x}}_2=v_2,{\dot{x}}_3=v_3.$$

Функции $v_i$, разумеется, зависят от $x$ и $t$. Пусть $\rho (x,t)$ — плотность вещества в точке $x$ и в момент времени $t$. Масса, заполняющая трехмерный объем $\tau$ в момент времени $t$, равна интегралу
$${\int }_{\tau }\rho d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge d{x}_3.$$

Этот интеграл представляет, конечно, абсолютный инвариант системы (2.18). Сохранность интеграла (2.19) выражается известным уравнением неразрывности (1.3) из гл. I.

Применяя к 3 -форме $\mathrm{\Omega }=\rho d^{3}x$ преобразование (2.17), приходим к 3 -форме
$$\begin{array}{c}\varphi =\rho (d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge d{x}_3-v_{1}d{x}_2\wedge d{x}_3\wedge dt-\\ -v_{2}d{x}_3\wedge d{x}_1\wedge dt-v_{3}d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge dt).\end{array}$$

Картан назвал эту форму элементом материи. Если мы рассмотрим трехмерную совокупность частиц сплошной среды, причем каждая частица рассматривается в свой определенный момент ее движения, то в четырехмерном пространстве-времени $\{x_1,x_2,x_3,t\}$ получим трехмерную область ${\tau }^{\ast }$. Интеграл от 3-формы $\varphi$ по ${\tau }^{\ast }$, очевидно, равен общей массе совокупности рассматриваемых частиц.

Как заметил Картан, в общем случае предложение 2 не справедливо для относительных инвариантов. Мы дополним наблюдения Картана следующим утверждением.

Предложение 3. Предположим, что система (1.2) имеет относительный интегральный инвариант с $k$-формой $\mathrm{\Omega }$ :
$$\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial t}+L_v\mathrm{\Omega }=d\mathrm{\Lambda }$$

причем $(k-1)$-форма $\mathrm{\Lambda }$ порождает абсолютный инвариант:
$$\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial t}+L_v\mathrm{\Lambda }=0$$

Тогда система (2.1) допускает относительный инвариант с $k$-формой (2.17), причем
$$L_v\varphi =\tilde{d}\mathrm{\Psi }$$

где
$$\mathrm{\Psi }=\mathrm{\Lambda }+(-1{)}^{k-1}\left(i_v\mathrm{\Lambda }\right)\wedge dt.$$

Здесь $\tilde{d}$ обозначает операцию внешнего дифференцирования в $(n+1)$-мерном пространстве-времени.
$7^{\circ }$. Переход к пространству-времени позволяет просто сформулировать теорему Нетер для уравнений Ламба. Пусть $u(z)$ — векторное поле на $\tilde{M}$. Ему отвечает система дифференциальных уравнений
$$\frac{dz}{d\alpha }=u(z),-ϵ<\alpha <ϵ(ϵ>0).$$

Фазовый поток этой системы $g_u^{\alpha }$ при малых значениях $\alpha$ можно трактовать как операцию варьирования.

Пусть $\gamma$ — любой отрезок на мировой линии. Будем говорить, что действие (2.8) инвариантно относительно однопараметрической группы $g_u^{\alpha }$, если
$${\int }_{g_u^{\alpha }(\gamma )}\phi =\text{ const. }$$

Теорема 4. Если группа преобразований g ${}_{\text{и }}$ пространства-времени не меняет значений функционала действия, то уравнения (1.2) имеют первый интеграл $\phi (u)$.

Доказательство.
Дифференцируя (2.20) по $\alpha$ и используя лемму о вариации действия, получаем:
$$0=\delta I={\phi (u)|}_{z_1}^{z_2}+{\int }_{\gamma }{i}_u\varphi .$$

Здесь $z_1,z_2$ — концевые точки отрезка $\gamma$. Поскольку вектор $\tilde{v}$ касается $\gamma$ и справедливо равенство (2.3), то интеграл в правой части равенства (2.21) обращается в нуль. Следовательно, функция $\phi (u)$ принимает постоянные значения на каждой мировой линии.