$1^{\circ}$. Рассмотрим плоскопараллельное течение однородной идеальной жидкости. Пусть
\[
a(x, y, t), \quad b(x, y, t)
\]

– компоненты скорости $v$ частиц жидкости в декартовых координатах $x, y$. Из уравнения неразрывности $\operatorname{div} v=0$ вытекает, что при всех значениях $t 1$-форма
\[
a d y-b d x
\]

является дифференциалом некоторой функции $\Psi(x, y, t)$ :
\[
a=\partial \Psi / \partial y, \quad b=-\partial \Psi / \partial x .
\]

Следовательно, уравнения движения частиц жидкости
\[
\dot{x}=\frac{\partial \Psi}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial \Psi}{\partial x}
\]

имеют каноническую форму дифференциальных уравнений Гамильтона. Роль гамильтониана играет функция $\Psi$. В стационарном случае она постоянна на линиях тока. Поэтому $\Psi$ часто называют функцией тока.
В гидродинамике важную роль играет течение с функцией тока
\[
\Psi=-\frac{æ}{2 \pi} \ln r, \quad r^{2}=\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} .
\]

Ей отвечает поле скоростей
\[
v=\frac{æ}{2 \pi r}\left(-\frac{y-y_{0}}{r}, \frac{x-x_{0}}{r}\right) .
\]

В этом случае говорят, что течение порождает вихрь интенсивносmи æ, расположенный в точке с координатами $x_{0}, y_{0}$. Поле скоростей (2.3) потенциально: оно является градиентом многозначной функции
\[
\Phi=\frac{æ}{2 \pi} \operatorname{arctg} \frac{y-y_{0}}{x-x_{0}} .
\]

Функции (2.2) и (2.4) – сопряженные гармонические функции:
\[
\Delta \Phi=0, \quad \Delta \Psi=0,
\]

п. 7 , уравнения движения можно представить в виде $2(n-m)$ уравнений Гамильтона. Однако можно поступить по-другому. Дифференцируя уравнения (1.8) по $t$, запишем их в виде (1.4): $\frac{\partial f_{1}}{\partial q} \cdot \dot{q}=$ $=\ldots=\frac{\partial f_{m}}{\partial q} \cdot \dot{q}=0$. Вводя затем канонические переменные по формулам (1.6), уравнения движения можно записать в виде $2 n$ дифференциальных уравнений Гамильтона, которые можно трактовать как уравнения в \”избыточных\” переменных. Этот результат фактически принадлежит Г. К. Суслову [154].

В качестве примера рассмотрим задачу о движении точки единичной массы в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{3}=\{r\}$ по гладкой регулярной поверхности $\Sigma=\{f(r)=0\}$ в силовом поле с потенциалом $V(r)$. Положим, согласно (1.5),
\[
p=\dot{r}+\lambda \frac{\partial f}{\partial r}, \quad \lambda=\frac{\left(p, f_{r}^{\prime}\right)}{\left(f_{r}^{\prime}, f_{r}^{\prime}\right)} .
\]

Движение точки описывается уравнениями Гамильтона
\[
\dot{r}=H_{p}^{\prime}, \quad \dot{p}=-H_{r}^{\prime}, \quad H=\frac{1}{2}|\dot{r}|^{2}+V=\frac{1}{2}(p \times n)^{2}+V,
\]

где $n$-единичный вектор нормали к поверхности $\Sigma$. Следовательно, уравнения (1.10) определяются само́й поверхностью $\Sigma$ и не зависят от вида уравнения $f=0$, задающего эту поверхность.

Уравнения (1.10) имеют интеграл энергии $H$ и \”геометрический\” интеграл $F=f(r)$. В стандартной симплектической структуpe $d p \wedge d r$ скобка Пуассона $\{H, F\}$ равна нулю. Пусть $g(\dot{r}, r)$ – первый интеграл \”классических\” уравнений движения $\ddot{r}=-\partial V / \partial r+$ $+\lambda \partial f / \partial r, f(r)=0$, а $G$ – функция $g$, представленная с помощью (1.9) в канонических переменных. Очевидно, что $\{H, G\}=0$, и легко проверить инволютивность функций $G$ и $F$.

В общем случае уравнения (1.4) неинтегрируемы, т. е. их нельзя представить в виде (1.8). Такие связи Герц назвал неголономными. Не следует думать, что в этой ситуации канонические уравнения с гамильтонианом (1.6)-(1.7) описывают движение неголономной системы с лагранжианом $L$ и связями (1.4). Классические неголономные уравнения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=\sum \mu_{i} a_{i}, \quad a_{j} \cdot \dot{q}=0,
\]

отличаются от уравнений (1.5). Фазовый поток уравнений (1.11) может не иметь абсолютно непрерывной инвариантной меры, поэтому их в общем случае нельзя привести к уравнениям Гамиль-

тона. Уравнения (1.5) лежат в основе вакономной динамики, развитой в работе [85].

В обстоятельной монографии Ф. Гриффитса [45] изложена геометрия гамильтонова формализма общей вариационной проблемы Лагранжа и решен ряд конкретных вариационных задач (однако автор неверно полагает, что при этом он решил некоторые задачи неголономной механики).

§ 2. Уравнения Эйлера – Пуанкаре на алгебрах Ли

1. Пусть $u_{1}, \ldots, u_{n}$ – независимые касательные векторные поля на $n$-мерном многообразии $N$. В каждой точке коммутаторы $\left[u_{i}, u_{j}\right]$ можно разложить по векторам $\left\{u_{k}\right\}$ как по базису: $\left[u_{i}, u_{j}\right]=$ $=\sum c_{i j}^{k}(q) u_{k}$. Если $f$ – гладкая функция на $N$, то $\dot{f}=\frac{\partial f}{\partial q} \cdot \dot{q}=$ $=\sum u_{i}(f) \omega_{i}$, где $u_{i}(f)$ – производная от $f$ вдоль поля $u_{i}$. Переменные $\omega$ – линейные функции от $\dot{q}$ – называются квазискоростями. Представим лагранжиан в виде функции от $q$ и $\omega: \mathcal{L}(\omega, q)=L(\dot{q}, q)$. В новых переменных уравнения Лагранжа примут вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{k}}=\sum_{i, j} c_{i k}^{j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \omega_{j}} \omega_{i}+u_{k}(\mathcal{L}), \quad 1 \leqslant k \leqslant n .
\]

Они впервые получены Пуанкаре [227]. Если в качестве $u_{k}$ взять независимые векторы $\partial / \partial q_{k}$, то уравнения Пуанкаре перейдут в обычные уравнения Лагранжа. Следует иметь в виду, что система уравнений (2.1) незамкнута; для замыкания надо добавить соотношения между $\omega$ и $\dot{q}$.
2. Считая лагранжиан $\mathcal{L}$ функцией, выпуклой по $\omega$ и возрастающей на бесконечности быстрее любой линейной функции, выполним преобразования Лежандра: $m_{k}=\partial \mathcal{L} / \partial \omega_{k}, \mathcal{H}=\left.(m \cdot \omega-\mathcal{L})\right|_{\omega \rightarrow m}$. Тогда, как известно, $\omega_{k}=\partial \mathcal{H} / \partial m_{k}, u_{k}(\mathcal{L})=-u_{k}(\mathcal{H})$. Уравнения (2.1) в переменных $q, m$ примут вид
\[
\dot{m}_{k}=\sum_{i, j} c_{i k}^{j} m_{j} \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial m_{i}}-u_{k}(\mathcal{H}), \quad 1 \leqslant k \leqslant n .
\]

Они отмечены Н. Г. Четаевым [187].

3. Пусть теперь $N$ – група Ли $G$ и $u_{1}, \ldots, u_{n}$ – независимые левоинвариантные поля на $G$. В этом случае $c_{i j}^{k}=$ const. Предположим еще, что лагранжиан $\mathcal{L}$ сводится лишь к кинетической энергии, которая является левоинвариантной метрикой $\langle$,$\rangle на$ $G$. Так как $\dot{q}=\sum u_{i}(q) \omega_{i}$, то $L=\frac{1}{2}\langle\dot{q}, \dot{q}\rangle=\frac{1}{2}\left\langle\sum u_{i} \omega_{i}, \sum u_{j} \omega_{j}\right\rangle=$ $=\frac{1}{2} \sum I_{i j} \omega_{i} \omega_{j}$, где $I_{i j}=\left\langle u_{i}, u_{j}\right\rangle=$ const ввиду предположения о ле-

воинвариантности метрики. В этом случае уравнения (2.1)-(2.2) имеют вид
\[
\dot{m}_{i}=\sum c_{i k}^{l} m_{l} \omega_{k}, \quad m_{s}=\sum I_{s p} \omega_{p} .
\]

Представленные в переменных $\omega$, они являются уравнениями на алгебре $g$ группы $G$, а в переменных $m$ – на двойственном линейном пространстве $g^{*}$.

Уравнения (2.3) будем называть уравнениями Эйлера – Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда $G$ есть группа $S O(3)$ вращений твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной точки. Хорошо известно, что ее алгебра $g=s o(3)$ изоморфна алгебре векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со стандартным векторным произведением. В качестве левоинвариантных базисных векторных полей возьмем поля, порождаемые вращениями твердого тела с единичными угловыми скоростями вокруг трех связанных с телом ортогональных осей. Тогда $\left[u_{1}, u_{2}\right]=u_{3},\left[u_{2}, u_{3}\right]=u_{1}$, $\left[u_{3}, u_{1}\right]=u_{2}$. Уравнения (2.3), как легко понять, будут системой динамических уравнений Эйлера: $\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \omega}=\omega \times \frac{\partial T}{\partial \omega}$, или
\[
I \dot{\omega}=\omega \times I \omega
\]

Здесь $\omega-$ вектор угловой скорости тела, $I=\left\|I_{i j}\right\|$ – тензор инерции. Это наблюдение принадлежит Пуанкаре [227].

4. Уравнения (2.3) являются частью гамильтоновой системы, описывающей движение по геодезическим левоинвариантной метрики $I_{i j}$. Вычислим скобку Пуассона двух функций $F$ и $G$, заданных на дуальном пространстве $g^{*}$. Для этого надо рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом $F$ и вычислить производную от функции $G$ в силу этой системы. В переменных $m, q$ эти уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (2.2): $\dot{m}_{k}=\sum c_{i k}^{j} m_{j} \frac{\partial F}{\partial m_{i}}$. Так как $G$ не зависит от $q$, то замыкающую группу уравнений нет смысла записывать. Следовательно,
\[
\dot{G}=\{G, F\}=\sum c_{i k}^{j} m_{j} \frac{\partial F}{\partial m_{i}} \frac{\partial G}{\partial m_{k}} .
\]

Итак, скобка Пуассона функций на $g^{*}$ также является функцией на $g^{*}$. Эта скобка удовлетворяет свойствам 1)-3) скобки Пуассона, но может быть вырожденной (поскольку рассматриваются функции специального вида на $T G=G \times g$ ). Скобка (2.5) называется скобкой Ли – Пуассона; она впервые была рассмэтрена Ли в его теории групп преобразований. Если $F$ и $G$ линейны по \”моментам\” $m$, то

их скобка $\{F, G\}$ также линейна по $m$. Следовательно, пространство линейных функций на $g^{*}$ (канонически изоморфное алгебре g) является алгеброй Ли относительно скобки Ли-Пуассона; эта алгебра, конечно, изоморфна алгебре $g$.

В задаче Эйлера о свободном вращении твердого тела скобка Ли – Пуассона задается соотношениями
\[
\left\{m_{1}, m_{2}\right\}=m_{3}, \quad\left\{m_{2}, m_{3}\right\}=m_{1}, \quad\left\{m_{3}, m_{1}\right\}=m_{2} .
\]

Эта скобка вырождена: функция $k^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}$ коммутирует со всеми функциями на $(s o(3))^{*}$.

Относительно скобки Ли – Пуассона уравнения Эйлера – Пуанкаре имеют гамильтонов вид:
\[
\dot{m}_{i}=\left\{m_{i}, H\right\}, \quad H=\left\langle I^{-1} m, m\right\rangle / 2 .
\]

Эти уравнения, однако, не являются \”настоящими\” уравнениями Гамильтона ввиду вырожденности скобки $\{$,$\} . Пусть F_{1}, \ldots, F_{r}-$ интегралы уравнений (2.7), независимые на интегральном многообразии $M_{c}=\left\{m \in g^{*}: F_{i}=c_{i}, 1 \leqslant i \leqslant r\right\}$ и коммутирующие со всеми функциями на $g^{*}$. Ограничим скобку Ли – Пуассона $\{$, и функцию Гамильтона $H$ на $M_{c}$; ограничения обозначим $\{,\}^{\prime}$ и $H^{\prime}$. Уравнения (2.7) на $M_{c}$ снова будут иметь гамильтонов вид: $\dot{F}=\left\{F, H^{\prime}\right\}^{\prime}, F: M_{\text {с }} \rightarrow \mathbb{R}$. Если скобка $\{,\}^{\prime}$ (удовлетворяющая свойствам 1)-3) скобки Пуассона) окажется невырожденной на $M_{c}$, то мы получим обычную гамильтонову систему на симплектическом многообразии $\left(M_{c},\{,\}^{\prime}\right)$ с функцией Гамильтона $H^{\prime}$. Общая теория сведения уравнений Эйлера – Пуанкаре к уравнениям Гамильтона изложена, например, в книге [11, добавление 2].

Вернемся вновь к задаче Эйлера. В некоторых ортогональных осях (осях инерции) квадратичная форма $T=(I \omega, \omega) / 2$ имеет вид $T=\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right) / 2$. Запишем в этих осях уравнения Эйлера (2.4): $I_{1} \dot{\omega}_{1}=\left(I_{3}-I_{2}\right) \omega_{3} \omega_{2}, I_{2} \dot{\omega}_{2}=\left(I_{1}-I_{3}\right) \omega_{1} \omega_{3}, I_{3} \dot{\omega}_{3}=\left(I_{2}-I_{1}\right) \omega_{2} \omega_{1}$. Они имеют интеграл момента $k^{2}=\left(I_{1} \omega_{1}\right)^{2}+\left(I_{2} \omega_{2}\right)^{2}+\left(I_{3} \omega_{3}\right)^{2}$. Напомним, что эта функция коммутирует со всеми функциями на дуальном пространстве $(s o(3))^{*}$. Поверхность уровня этого интеграла $M_{c}=\left\{\omega: k^{2}=c^{2}\right\}$ при $c>0$ является двумерной сферой. Покажем, что ограничение скобки Ли – Пуассона (2.6) на $M_{c}$ задает стандартную симплектическую структуру (2-форму ориентированной площади сферы $M_{c}$ ). Пусть $F=f_{1} m_{1}+f_{2} m_{2}+f_{3} m_{3}$ – линейная функция с постоянными коэффициентами. Оператор $v_{F}=$ $=\{F, \cdot\}$ является дифференцированием. Представляя его в виде $\sum_{i=1}^{3} a_{i} \frac{\partial}{\partial m_{i}}$, получим, что числа $a_{i}$ являются компонентами вектора

$m \times f$. Аналогично, функции $G=\sum g_{j} m_{j}$ отвечает вектор $m \times g$. Так как
\[
\Omega\left(v_{G}, v_{F}\right)=\{F, G\}=\left(m, \frac{\partial F}{\partial m} \times \frac{\partial G}{\partial m}\right)=(m, f \times g),
\]

то, следовательно, значение 2-формы $\Omega$ на векторах $m \times f$ и $m \times$ $\times g$ равно смешанному произведению векторов $m, f$ и $g$. Пусть $f$ и $g$ касаются сферы $M_{c}=\left\{m^{2}=c^{2}\right\}$. Тогда векторы $\xi=m \times f$ и $\eta=m \times g$ также касаются $M_{c}$. По формуле (2.8) имеем
\[
\Omega(\eta, \xi)=\left(\frac{n}{|m|}, \xi \times \eta\right),
\]

где $n$ – единичный вектор нормали к $M_{c}$. Эта формула задает (с точностью до постоянного множителя) обычную форму площади на $M_{c}$.

Согласно теореме Дарбу, уравнения Эйлера на $M_{c}$ можно привести к каноническим уравнениям Гамильтона. Это можно осуществить явно, вводя специальные симплектические координаты $l \bmod 2 \pi, L \quad(|L| \leqslant c)$ по формулам $I_{1} \omega_{1}=\sqrt{c^{2}-L^{2}} \sin l, I_{2} \omega_{2}=$ $=\sqrt{c^{2}-L^{2}} \cos l, I_{3} \omega_{3}=L$. В этих переменных уравнения Эйлера имеют канонический вид:
\[
i=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial L}, \quad \dot{L}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial l}, \quad H^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin ^{2} l}{I_{1}}+\frac{\cos ^{2} l}{I_{2}}\right)\left(c^{2}-L^{2}\right)+\frac{L^{2}}{2 I_{3}} .
\]

Фазовый портрет функции $H^{\prime}$ изображен на рис. 1. Отождествляя в полосе $|L| \leqslant c$ точки, $l$-координаты которых отличаются на $2 \pi$, а также точки каждой из прямых $L=-c$ и $L=c$, получим сферу $M_{с}$ с хорошо известной картиной полодий Пуансо. Можно показать также, что симплектическая структура (2.9) в переменных $L, l$ равна Рис. 1 именно $d L \wedge d l$.

5. Уравнения Эйлера – Пуанкаре (2.3) не для каждой алгебры Ли $g$ можно привести к гамильтонову виду. Препятствием является отсутствие инвариантной меры. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Пусть $f: \mathbb{R}^{n}=\{z\} \rightarrow \mathbb{R}$ – неотрицательная суммируемая функция. Мера $d \mu=f(z) d^{n} z$ называется абсолютно непрерывной, если для каждой измеримой области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ с положительной лебеговой мерой значение интеграла $\operatorname{mes}(D)=\int_{D} f d^{n} z$ положительно. Пусть $\dot{z}=v(z)$ – динамическая система и $g^{t}$-ее фазовый поток. Мера $d \mu$ называется инвариантной мерой этой динамической системы, если $\operatorname{mes}\left(g^{t}(D)\right)=\operatorname{mes}(D)$ для любой измеримой области $D$ и для всех значений времени $t$. Если $f$ – положительная функция класса $C^{1}$, то инвариантная мера называется интегральным инвариантом.

Согласно теореме Лиувилля, мера $f d^{n} z$ является интегральным инвариантом в том и только том случае, когда $\operatorname{div}(f v)=$ $=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial\left(f v_{i}\right)}{\partial z_{i}}=0$. В частности, фазовый поток гамильтоновой системы сохраняет стандартную меру в фазовом пространстве $\mathbb{R}^{2 n}=$ $=\{x, y\}$ (здесь $x, y$-канонические координаты).

Следуя [98], рассмотрим задачу о наличии у системы уравнений Эйлера – Пуанкаре (2.3) инвариантной меры на алгебре $g=\{\omega\}$.

Т е орема 1. Уравнения Эйлера-Пуанкаре имеют интегральный инвариант в том и только том случае; когда группа $G$ унимодулярна.

Напомним, что унимодулярность группы означает наличие двусторонней инвариантной меры. Критерий унимодулярности имеет следующий вид: для каждого $i$ выполнено равенство $\sum_{k} c_{i k}^{k}=$ $=0$, где $c_{i k}^{k}$-структурные константы алгебры Ли группы $G$.

Для доказательства достаточности условия теоремы вычислим дивергенцию правой части (2.3) как системы на $g^{*}$. Она равна $\sum_{i, k} c_{i k}^{k} \omega_{i}$ : Следовательно, по теореме Лиувилля, фазовый поток системы (2.3) сохраняет меру $d^{n} \omega$. Необходимость вытекает из следующего утверждения.

Предложение 1. Система дифференциальных уравнений с однородными правыми частями имеет интегральный инвариант в том и только том случае, когда ее фазовый поток сохраняет стандартную меру. При этом плотность интегрального инварианта (функция $f$ ) является ее первым интегралом.

Доказательство. Пусть $f>0$ – плотность интегрального инварианта системы $\dot{z}=v(z)$. Критерий Лиувилля $\operatorname{div}(f v)=0$ с помощью замены $f=\exp (-w)$ представляется в виде уравнения $\dot{w}=\operatorname{div} v$. Его правая часть – однородная форма степени $m-1$ ( $m$-степень однородности векторного поля $v$ ). Так как $w \in C^{1}$, то

$\dot{w}=O\left(|z|^{m}\right)$. Следовательно, $\dot{w} \equiv 0$ и $\operatorname{div} v \equiv 0$, что и требовалось доказать.

В случае малой размерности $g$ можно дать более точную информацию об инвариантных мерах системы (2.3). Если $n=2$ и алгебра $g$ неабелева, то уравнения (2.3) не имеют инвариантной меры с суммируемой (а не только гладкой) плотностью.

Действительно, найдутся базисные векторы $\epsilon_{1}$ и $\epsilon_{2}$, для которых выполнено коммутационное соотношение $\left[\epsilon_{1}, \epsilon_{2}\right]=\epsilon_{1}[48]$. Поэтому уравнения (2.3) принимают вид
\[
\dot{m}_{1}=m_{1} \omega_{2}, \quad \dot{m}_{2}=-m_{1} \omega_{1} .
\]

Все точки прямой $m_{1}=I_{11} \omega_{1}+$ $+I_{12} \omega_{2}=0$, и только они, являются положениями равновесия. Фазовые траектории – дуги эллипсов $\sum I_{i j} \omega_{i} \omega_{j} / 2=$ const. Фазовый портрет системы (2.10) изображен на рис. 2. Ясно, что каждая область $D \subset \mathbb{R}^{2}=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\}$ при $t \rightarrow \infty$ неограниченно приближается к прямой $m_{1}=0$. Поэтому система (2.10) не может иметь абсолютно непрерывной инвариРис. 2 антной меры.

При $n=3$ условие теоремы может не выполняться лишь для разрешимых алгебр. Последние можно описать с помощью соотношений $\left[e_{1}, e_{2}\right]=0, \quad\left[e_{1}, e_{3}\right]=\alpha e_{1}+\beta e_{2}, \quad\left[e_{2}, e_{3}\right]=\gamma e_{1}+\delta e_{2}$, где дем различать случаи, когда собственные значения матрицы $A$ : (a) вещественные числа одного знака; (б) вещественные числа разных знаков; (в) комплексные числа с ненулевой вещественной частью;
– (r) чисто мнимые числа.
Предложение 2. В случае (г) уравнения Эйлера – Пуанкаре имеют интегральный инвариант, в случае (б) нет интегрального инварианта, однако имеется инвариантная мера с плотностью любой конечной гладкости, в случаях (а) и (в) нет инвариантной меры с суммируемой плотностью.
В случае (г) алгебра $g$ удовлетворяет условию теоремы. Механизм существования инвариантной меры конечной гладкости при условии (б) легко уяснить на примере уравнений $\dot{x}=2 x, \dot{y}=-y$,

имеющих инвариантную меру с плотностью $|x|^{s}|y|^{2 s+1}$ при всех $s>$ $>0$. В случаях (а) и (в) на каждом эллипсоиде интеграла энергии $\sum m_{i} \omega_{i}=h>0$ имеется асимптотически устойчивое положение равновесия. Подчеркнем, что сформулированные выше условия существования инвариантной меры определяются лишь структурой алгебры $g$ и не зависят от выбора левоинвариантной метрики.

Неунимодулярная группа, как известно, всегда имеет унимодулярный нормальный делитель коразмерности единица [34]. Пусть $\left\{e_{k}\right\}$ – базис в $g$, причем векторы $e_{1}, \ldots, e_{n-1}$ образуют базис в соответствующем \”унимодулярном\” идеале алгебры $g$, а вектор $e_{n}$ ортогонален $\epsilon_{1}, \ldots, e_{n-1}$ в метрике $I_{i j}$.

Предложение 3. Если все собственные числа ( $n-$ $-1) \times(n-1)$-матрицы $A=\left\|c_{n k}^{s}\right\| \quad\left(c_{n k}^{s}\right.$-структурные константы, $k, s<n$ ) лежат в левой (или правой) полуплоскости, то уравнения (2.3) не имеют инвариантной меры с суммируемой плотностью.

Это утверждение вытекает из того факта, что равновесие $m_{s}=0$ $(s<n), m_{n}=$ const $
eq 0$ асимптотически устойчиво (при $t \rightarrow+\infty$ или $t \rightarrow-\infty$ ) на соответствующей поверхности интеграла энергии.