Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Движение математического маятника длины $l$ в поле силы тяжести с ускорением $g$ описывается дифференциальным уравнением $\ddot{x}+\omega^{2} \sin x=0, \omega^{2}=g / l$, где $x$ — угол отклонения маятника от вертикали. Если энергия маятника $h=\dot{x}^{2} / 2-\omega^{2} \cos x$ отлична от $\omega^{2}$, то $\sin (x / 2)$ и $\cos (x / 2)$ — эллиптические функции времени. При $h=\omega^{2}$ имеем Эта формула задает двоякоасимптотические движения маятника к верхнему неустойчивому положению равновесия. На фазовом портрете им отвечают движения по сепаратрисам. где $\omega^{2}=g / l, f=\xi / g$ — периодическая функция времени. Пространство положений — окружность $S^{1}=\{x \bmod 2 \pi\}$, фазовое пространство — цилиндр $S^{1} \times \mathbb{R}$. При $\varepsilon=0$ имеем интегрируемую задачу с одной степенью свободы (математический маятник постоянной длины). Здесь $e$-эксцентриситет орбиты, $\mu$ — параметр, характеризующий распределение массы спутника. Смысл переменных $\delta$ и $ При движении спутника по почти круговым орбитам ( $e \ll 1$ ) уравнение (4.4) близко к уравнению колебаний обычного маятника. 4. Одномерное движение заряженной частицы в поле волнового пакета описывается уравнением Здесь $m$-масса частицы, $e$ — ее заряд; сумма в правой части представляет собой суперпозицию некоторого числа плоских волн, движущихся с разными фазовыми скоростями $\omega_{k}$. Эта задача многократно обсуждалась в физической литературе (см., например, $[56,117])$. В случае одной волны после замены $z=\lambda x-\omega t$ уравнение (4.5) переходит в уравнение колебаний обычного маятника: $\ddot{z}+\Omega^{2} \sin z=$ $=0, \Omega^{2}=e E \lambda / m$. Замена $x \rightarrow z$ эквивалентна переходу в систему отсчета, движущуюся вместе с волной. Если имеются две волны ( $k=0$ и $k=1$ ), то уравнение (4.5) можно представить в виде где $z=\lambda_{0} x-\omega_{0} t, \Omega_{0}^{2}=\epsilon E_{0} \lambda_{0} / m, \varepsilon=E_{1} / E_{0}, 5. Выпишем в явном виде уравнения (3.5), описывающие вращение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой: Уравнения (4.7), (4.8) имеют три интеграла: В случае $I_{1}=I_{2}$ можно, не ограничивая общности, считать, что $r_{1}=0$. В подходящих единицах длины и массы $I_{1}=I_{2}=1$. Рассмотрим твердое тело, в котором $I_{3}=\delta, \varepsilon r_{2}=\delta$. Прежде всего покажем, что такое тело существует. Для этого рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси $x, y, z$ и разместим на оси $x$ по разные стороны от начала координат на единичном расстоянии две одинаковые массы $\delta / 4$; аналогично на оси $z$ разместим точно так же две массы $(1 / 2-\delta / 4)$; наконец, на расстоянии $1 / 2$ от начала координат поместим на оси $y$ точки с массами $\delta(1+1 / g)$ и $\delta(1-1 / g), g>1$. Легко проверить, что все условия, указанные выше, выполнены. Исключительно для простоты рассмотрим случай $r_{3}=0$. С учетом этих предположений уравнения (4.7) имеют вид Устремим $\delta$ к нулю. Тогда уравнения (4.9) перейдут в следующие: Эти уравнения вместе с уравнениями (4.8) будут замкнутой системой уравнений ограниченной задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Смысл ограниченной постановки задачи заключается в следующем. При $\delta \rightarrow 0$ твердое тело вырождается в прямолинейный отрезок, который вращается вокруг неподвижной точки по закону сферического маятника. Хорошо известная картина движения такого маятника дает ясное представление о нутации и прецессии твердого тела. На первый взгляд может показаться, что при $\delta=0$ теряет всякий смысл задача о собственном вращении тела. Это, однако, не так: при $\delta \rightarrow 0$ одновременно стремятся к нулю момент инерции и момент силы тяжести относительно оси динамической симметрии. В пределе получается нетривиальное уравнение для собственного вращения, которое изучается ниже. Отметим, что переход к ограниченной задаче в динамике твердого тела вполне аналогичен переходу к ограниченной задаче трех тел в небесной механике. Выпишем интегралы системы (4.8) (4.10), получающиеся из интегралов 1)-3) исходной задачи предельным переходом: При $2 h>c^{2}$ соотношения (4.11) высекают в шестимерном фазовом пространстве системы (4.8), (4.10) трехмерное интегральное многообразие $M_{h, c}$. Положим $\omega_{1}=\sqrt{2 h} \sin \xi, \omega_{2}=\sqrt{2 h} \cos \xi$. Переменные $\xi, \dot{\xi}=\omega_{3}$ и $\gamma_{3}$ являются координатами на $M_{h, c}$. Нетрудно показать, что координата $\xi$ удовлетворяет уравнению Представим его в гамильтоновой форме: Положим $\sqrt{1-c^{2} /(2 h)}= При $ По форме уравнения (4.15) имеют вид уравнений Эйлера — Пуассона задачи о движении твердого тела в силовом поле с потенциалом $(J p, p) / 2$. Это наблюдение-один из вариантов уже известной нам аналогии Стеклова (см. п. 7 §). Предположим, что в некотором ортонормированном базисе матрицы операторов $I$ и $J$ имеют диагональный вид с элементами на диагонали $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ и $J_{1}, J_{2}, J_{3}$. Следуя п. 5 , перейдем к ограниченной постановке рассматриваемой задачи. Для этого зафиксируем значения параметров $I_{1}=I_{2}$ и $J_{3}$, а параметры $I_{3}$, $J_{1}$ и $J_{2}$ заменим на $\delta I_{3}, \delta J_{1}$ и $\delta J_{2}$. В уравнениях (4.15) положим затем $\delta=0$, разделив предварительно на $\delta$ обе части уравнения для изменения переменной $\omega_{3}$. Полученная система будет иметь первые интегралы $\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\alpha p_{3}^{2}=h, \omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}=c, p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+$ $+p_{3}^{2}=p^{2}$. Здесь $\alpha=J_{3} / I_{1} ; h, c, p=$ const. С помощью уравнений движения нетрудно установить уравнения для изменения удвоен: ного угла \»собственного вращения\» $\varphi=2 \operatorname{arctg}\left(p_{1} / p_{2}\right)$ : В общем случае переменная $u$-эллиптическая функция времени, и уравнение (4.16) имеет сложный вид. Положим $h p^{2}=c^{2}+ Это уравнение описывает колебания маятника под действием малой вынуждающей периодической силы.
|
1 |
Оглавление
|