1. Движение математического маятника длины $l$ в поле силы тяжести с ускорением $g$ описывается дифференциальным уравнением $\ddot{x}+\omega^{2} \sin x=0, \omega^{2}=g / l$, где $x$ – угол отклонения маятника от вертикали. Если энергия маятника $h=\dot{x}^{2} / 2-\omega^{2} \cos x$ отлична от $\omega^{2}$, то $\sin (x / 2)$ и $\cos (x / 2)$ – эллиптические функции времени. При $h=\omega^{2}$ имеем
\[
\sin (x / 2)=\operatorname{th}\left(\omega\left(t-t_{0}\right)\right) .
\]

Эта формула задает двоякоасимптотические движения маятника к верхнему неустойчивому положению равновесия. На фазовом портрете им отвечают движения по сепаратрисам.
2. Пусть точка подвеса математического маятника длины $l$ совершает колебания по периодическому закону $\varepsilon \xi(t), \varepsilon=$ const. Если $x$ – угол отклонения маятника от вертикали, то его кинетическая энергия есть $T=\frac{v^{2}}{2}=\frac{l^{2} \dot{x}^{2}+\varepsilon^{2} \dot{\xi}^{2}+2 \varepsilon l \dot{x} \dot{\xi} \sin x}{2}$. Потенциальная энергия маятника равна $V=-g(l \cos x+\varepsilon \xi(t))$. Уравнение Лагранжа $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}, L=T-V$, имеет вид
\[
\ddot{x}+\omega^{2}(1+\varepsilon f(t)) \sin x=0,
\]

где $\omega^{2}=g / l, f=\xi / g$ – периодическая функция времени.
Это уравнение, конечно, гамильтоново: канонические координаты суть $x \bmod 2 \pi, p=\dot{x}$, а функция Гамильтона имеет вид
\[
H=p^{2} / 2-\omega^{2}(1+\varepsilon f) \cos x .
\]

Пространство положений – окружность $S^{1}=\{x \bmod 2 \pi\}$, фазовое пространство – цилиндр $S^{1} \times \mathbb{R}$.

При $\varepsilon=0$ имеем интегрируемую задачу с одной степенью свободы (математический маятник постоянной длины).
3. Во многих задачах механики встречаются уравнения, похожие на уравнение (4.2). Рассмотрим, например, плоские колебания спутника на эллиптической орбите. Уравнение колебаний можно представить [16] в следующем виде:
\[
(1+e \cos
u) \frac{d^{2} \delta}{d
u^{2}}-2 e \sin
u \frac{d \delta}{d
u}+\mu \sin \delta=4 e \sin
u .
\]

Здесь $e$-эксцентриситет орбиты, $\mu$ – параметр, характеризующий распределение массы спутника. Смысл переменных $\delta$ и $
u$ ясен из рис. 3. Это уравнение можно представить [36] в гамильтоновой форме:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p}{d
u}=-\frac{\partial H}{\partial \delta}, \quad \frac{d \delta}{d
u}=\frac{\partial H}{\partial p}, \\
H=\frac{1}{2}\left[\frac{p}{1+e \cos
u}-2(1+e \cos
u)\right]^{2}-(1+e \cos
u) \mu \cos \delta .
\end{array}
\]

При движении спутника по почти круговым орбитам ( $e \ll 1$ ) уравнение (4.4) близко к уравнению колебаний обычного маятника.

4. Одномерное движение заряженной частицы в поле волнового пакета описывается уравнением
\[
m \ddot{x}=-e \sum_{k} E_{k} \sin \left(\lambda_{k} x-\omega_{k} t\right) .
\]

Здесь $m$-масса частицы, $e$ – ее заряд; сумма в правой части представляет собой суперпозицию некоторого числа плоских волн, движущихся с разными фазовыми скоростями $\omega_{k}$. Эта задача многократно обсуждалась в физической литературе (см., например, $[56,117])$.

В случае одной волны после замены $z=\lambda x-\omega t$ уравнение (4.5) переходит в уравнение колебаний обычного маятника: $\ddot{z}+\Omega^{2} \sin z=$ $=0, \Omega^{2}=e E \lambda / m$. Замена $x \rightarrow z$ эквивалентна переходу в систему отсчета, движущуюся вместе с волной.

Если имеются две волны ( $k=0$ и $k=1$ ), то уравнение (4.5) можно представить в виде
\[
\ddot{z}+\Omega_{0}^{2} \sin z=-\varepsilon \Omega_{0}^{2} \sin \left(\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{0}} z-
u t\right),
\]

где $z=\lambda_{0} x-\omega_{0} t, \Omega_{0}^{2}=\epsilon E_{0} \lambda_{0} / m, \varepsilon=E_{1} / E_{0},
u=\omega_{1}-\lambda_{1}\left(\omega_{0} / \lambda_{0}\right)$. Если безразмерный параметр $\varepsilon$ мал, то уравнение (4.6) описывает возмущенное движение математического маятника.

5. Выпишем в явном виде уравнения (3.5), описывающие вращение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой:
\[
\begin{array}{c}
I_{1} \dot{\omega}_{1}=\left(I_{2}-I_{3}\right) \omega_{2} \omega_{3}-\varepsilon\left(r_{2} \gamma_{3}-r_{3} \gamma_{2}\right) \\
I_{2} \dot{\omega}_{2}=\left(I_{3}-I_{1}\right) \omega_{3} \omega_{1}-\varepsilon\left(r_{3} \gamma_{1}-r_{1} \gamma_{3}\right) \\
I_{3} \dot{\omega}_{3}=\left(I_{1}-I_{2}\right) \omega_{1} \omega_{2}-\varepsilon\left(r_{1} \gamma_{2}-r_{2} \gamma_{1}\right) \\
\dot{\gamma}_{1}=\omega_{3} \gamma_{2}-\omega_{2} \gamma_{3}, \quad \dot{\gamma}_{2}=\omega_{1} \gamma_{3}-\omega_{3} \gamma_{1}, \quad \dot{\gamma}_{3}=\omega_{2} \gamma_{1}-\omega_{1} \gamma_{2} .
\end{array}
\]

Уравнения (4.7), (4.8) имеют три интеграла:
1) $\quad \sum I_{i} \omega_{i}^{2} / 2+\varepsilon \sum r_{i} \gamma_{i}$ – интеграл энергии;
2) $\sum I_{i} \omega_{i} \gamma_{i}$ – интеграл \”площадей\”;
3) $\quad \sum \gamma_{i}^{2}=1$-геометрическое соотношение.

В случае $I_{1}=I_{2}$ можно, не ограничивая общности, считать, что $r_{1}=0$. В подходящих единицах длины и массы $I_{1}=I_{2}=1$. Рассмотрим твердое тело, в котором $I_{3}=\delta, \varepsilon r_{2}=\delta$.

Прежде всего покажем, что такое тело существует. Для этого рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси $x, y, z$ и разместим на оси $x$ по разные стороны от начала координат на единичном расстоянии две одинаковые массы $\delta / 4$; аналогично на оси $z$ разместим точно так же две массы $(1 / 2-\delta / 4)$; наконец, на расстоянии $1 / 2$ от начала координат поместим на оси $y$ точки с массами $\delta(1+1 / g)$ и $\delta(1-1 / g), g>1$. Легко проверить, что все условия, указанные выше, выполнены.

Исключительно для простоты рассмотрим случай $r_{3}=0$. С учетом этих предположений уравнения (4.7) имеют вид
\[
\dot{\omega}_{1}=(1-\delta) \omega_{2} \omega_{3}-\delta \gamma_{3}, \quad \dot{\omega}_{2}=(\delta-1) \omega_{1} \omega_{3}, \quad \dot{\omega}_{3}=\gamma_{1} .
\]

Устремим $\delta$ к нулю. Тогда уравнения (4.9) перейдут в следующие:
\[
\dot{\omega}_{1}=\omega_{2} \omega_{3}, \quad \dot{\omega}_{2}=-\omega_{1} \omega_{3}, \quad \dot{\omega}_{3}=\gamma_{1} .
\]

Эти уравнения вместе с уравнениями (4.8) будут замкнутой системой уравнений ограниченной задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.

Смысл ограниченной постановки задачи заключается в следующем. При $\delta \rightarrow 0$ твердое тело вырождается в прямолинейный отрезок, который вращается вокруг неподвижной точки по закону сферического маятника. Хорошо известная картина движения такого маятника дает ясное представление о нутации и прецессии твердого тела. На первый взгляд может показаться, что при $\delta=0$ теряет всякий смысл задача о собственном вращении тела. Это, однако, не так: при $\delta \rightarrow 0$ одновременно стремятся к нулю момент инерции и момент силы тяжести относительно оси динамической симметрии. В пределе получается нетривиальное уравнение для собственного вращения, которое изучается ниже. Отметим, что переход к ограниченной задаче в динамике твердого тела вполне аналогичен переходу к ограниченной задаче трех тел в небесной механике.

Выпишем интегралы системы (4.8) (4.10), получающиеся из интегралов 1)-3) исходной задачи предельным переходом:
\[
\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}=2 h, \quad \omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}=c, \quad \gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1 .
\]

При $2 h>c^{2}$ соотношения (4.11) высекают в шестимерном фазовом пространстве системы (4.8), (4.10) трехмерное интегральное многообразие $M_{h, c}$. Положим $\omega_{1}=\sqrt{2 h} \sin \xi, \omega_{2}=\sqrt{2 h} \cos \xi$. Переменные $\xi, \dot{\xi}=\omega_{3}$ и $\gamma_{3}$ являются координатами на $M_{h, c}$. Нетрудно показать, что координата $\xi$ удовлетворяет уравнению
\[
\ddot{\xi}=\frac{c}{\sqrt{2 h}} \sin \xi-\sqrt{1-\frac{c^{2}}{2 h}} \sin (\sqrt{2 h} t) \cos \xi .
\]

Представим его в гамильтоновой форме:
\[
\begin{array}{c}
\dot{\xi}=H_{\eta}^{\prime}, \quad \dot{\eta}=-H_{\xi}^{\prime}, \\
H=\frac{\eta^{2}}{2}+\frac{c}{\sqrt{2 h}} \cos \xi+\sqrt{1-\frac{c^{2}}{2 h}} \sin (\sqrt{2 h} t) \sin \xi .
\end{array}
\]

Положим $\sqrt{1-c^{2} /(2 h)}=
u$ и будем считать $
u$ малым параметром. Отметим, что уравнения (4.13) имеют смысл и при $
u=0$, когда происходит вырождение многообразия $M_{h, c}$. Гамильтониан системы (4.13) представляется в виде
\[
\begin{array}{c}
H=H_{0}+
u H_{1}+o(
u), \quad H_{0}=\eta^{2} / 2+\cos \xi, \\
H_{1}=\sin \xi \sin (\sqrt{2 h} t) .
\end{array}
\]

При $
u=0$ снова имеем интегрируемую задачу – математический маятник.
6. Рассмотрим задачу Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости в случае отсутствия в гамильтониане (3.16) \”перекрестных\” членов $(B=0)$. При этом можно положить $2 L=$ $=(I \omega, \omega)+\left(J^{-1} v, v\right)$, где $I, J$ – положительно определенные симметричные операторы, и ввести переменные $\omega, p=J^{-1} v$. В этих переменных уравнения (3.14) имеют вид
\[
I \dot{\omega}=I \omega \times \omega+p \times J p, \quad \dot{p}=p \times \omega .
\]

По форме уравнения (4.15) имеют вид уравнений Эйлера – Пуассона задачи о движении твердого тела в силовом поле с потенциалом $(J p, p) / 2$. Это наблюдение-один из вариантов уже известной нам аналогии Стеклова (см. п. 7 §).

Предположим, что в некотором ортонормированном базисе матрицы операторов $I$ и $J$ имеют диагональный вид с элементами на диагонали $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ и $J_{1}, J_{2}, J_{3}$. Следуя п. 5 , перейдем к ограниченной постановке рассматриваемой задачи. Для этого зафиксируем значения параметров $I_{1}=I_{2}$ и $J_{3}$, а параметры $I_{3}$, $J_{1}$ и $J_{2}$ заменим на $\delta I_{3}, \delta J_{1}$ и $\delta J_{2}$. В уравнениях (4.15) положим затем $\delta=0$, разделив предварительно на $\delta$ обе части уравнения для изменения переменной $\omega_{3}$. Полученная система будет иметь первые интегралы $\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\alpha p_{3}^{2}=h, \omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}=c, p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+$ $+p_{3}^{2}=p^{2}$. Здесь $\alpha=J_{3} / I_{1} ; h, c, p=$ const. С помощью уравнений движения нетрудно установить уравнения для изменения удвоен: ного угла \”собственного вращения\” $\varphi=2 \operatorname{arctg}\left(p_{1} / p_{2}\right)$ :
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\varphi}+\Lambda\left(p^{2}-u^{2}\right) \sin \varphi=\left(\frac{c u}{p^{2}-u^{2}}\right), \quad \Lambda=\frac{J_{1}-J_{2}}{I_{3}}, \\
\dot{u}^{2}=\left(h-\alpha u^{2}\right)\left(p^{2}-u^{2}\right)-c^{2} .
\end{array}
\]

В общем случае переменная $u$-эллиптическая функция времени, и уравнение (4.16) имеет сложный вид. Положим $h p^{2}=c^{2}+
u^{2}$ и будем считать параметр $
u$ малым. Многочлен в правой части равенства (4.17) имеет два близких к нулю корня, между которыми принимает положительные значения. В этом случае $u(t)=$ $=
u u_{0}(t)+o(
u), u_{0}=-\cos \left[\sqrt{h+\alpha p^{2}}\left(t-t_{0}\right)\right], t_{0}=$ const. При малых $
u$ уравнение (4.16) можно представить в виде
\[
\ddot{\varphi}+\Lambda p^{2} \sin \varphi=\frac{
u c \sqrt{h+\alpha p^{2}}}{p^{2}} \sin \left[\sqrt{h+\alpha p^{2}}\left(t-t_{0}\right)\right]+o(
u) .
\]

Это уравнение описывает колебания маятника под действием малой вынуждающей периодической силы.