1. Рассмотрим динамическую систему на $n$-мерном фазовом пространстве, заданную дифференциальным уравнением
\[
\dot{x}=v(x) .
\]

Векторное поле $u$, коммутирующее с полем $v([u, v]=0$, где $[$,$] -$ коммутатор векторных полей; см. п. 4 § 2), называется полем симметрий системы (3.1). Покажем, что фазовый поток системы
\[
\frac{d x}{d \tau}=u(x)
\]
– однопараметрическая группа преобразований $g_{u}^{\tau}$– переводит решения системы (3.1) в решения той же системы. Для этого воспользуемся теоремой о выпрямлении: локально приведем уравнения (3.2) к виду
\[
\frac{d x_{1}}{d \tau}=\frac{d x_{2}}{d \tau}=\ldots=\frac{d x_{n-1}}{d \tau}=0, \quad \frac{d x_{n}}{d \tau}=1 .
\]

Так как $[u, v]=0$, то в этих переменных компоненты $v_{1}, \ldots, v_{n}$ векторного поля $v$ не зависят от $x_{n}$. Следовательно, в результате преобразований $x_{1} \rightarrow x_{1}, \ldots, x_{n-1} \rightarrow x_{n-1}, x_{n} \rightarrow x_{n}+\tau$ решения системы (3.1) действительно переходят в решения той же системы.

Наличие групшы симметрий существенно упрощает исследование динамической системы. Например, в тех же специальных переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ подсистема дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{k}=v_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right), \quad k \leqslant n-1,
\]

замкнута. Если нам удастся проинтегрировать систему (3.4), то оставшаяся переменная $x_{n}$ будет найдена простой квадратурой: $x_{n}=\int_{0}^{t} v_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right) d t+x_{n}^{0}$.

С геометрической точки зрения понижение порядка системы с группой симметрии $g^{\tau}$ означает факторизацию ее фазового пространства по орбитам этой групшы Правда, конструктивное понижение порядка упирается в задачу отыскания траекторий системы (3.2) (орбит группы $g_{u}^{\tau}$ ).

2. Пусть имеется еще одно поле симметрий $w$, и $[u, w]=\lambda u$, где $\lambda$ – некоторая функция от $x$. Воспользуемся локальными координатами $x_{1}, \ldots, x_{n}$, в которых система (3.2) принимает вид (3.3); в отих координатах компоненты $w_{1}, \ldots, w_{n-1}$ поля $w$ не зависят от $\therefore$. Легко понять, что фазовый поток системы уравнений
\[
\frac{d x_{1}}{d \alpha}=w_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right), \quad \ldots, \quad \frac{d x_{n-1}}{d \alpha}=w_{n-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)
\]

чвляется группой симметрий системы (3.4). Используя это обстоятельство, можно понизить порядок исходной системы уравнений ға две единицы.

Эти наблюдения приводят к следуюцей важной конструкции, предложенной Софусом Ли. Пусть $u_{1}, \ldots, u_{n-1}$ – такие линейно независимые поля симметрий системы (3.1), что $\left[u_{i}, u_{j}\right]=\sum_{\hat{k}} c_{i j}^{k} u_{k}$, $c_{i j}^{k}=$ const. Пусть $\mathbf{A}$ – эинейное пространство векторных полей вида $\sum_{s=1}^{n-1} c_{s} u_{s}\left(c_{s} \in \mathbb{R}\right)$. Это ( $\left.n-1\right)$-мерное пространство является алгеброй Ли относительно операции умножения $[$,$] .$

Напомним определение разрешимой алгебры Ли. Пусть В и C- – подалгебры алгебры А. Множество С С В называется идеалом алгебры $\mathbf{B}$, если для всех $f \in \mathbf{C}, g \in \mathbf{B}$ коммутатор $[f, g]$ лежит в С. Алгебра А называется разрешимой, если существует такая последовательность $\mathbf{A}=\mathbf{A}_{0} \supset \mathbf{A}_{1} \supset \ldots \supset \mathbf{A}_{k}=\{0\}$ подалгебр $\mathbf{A}$, что $\mathbf{A}_{i+1}$ – идеал коразмерности 1 в $\mathbf{A}_{i}(i=0, \ldots, k-1)$. В частности, разрешимы коммутативные алгебры $([f, g]=0$ для всех $f, g \in \mathbf{A}$ ).

Теорема (Ли). Если система дифференциальных уравнений (3.1) допускает ( $n-1$ )-мерную разренимую алгебру полей симметрий, то она интегрируется в квадратурах.

Интегрирование в квадратурах – это отыскание решений с помощью “алгебраических\” операций (включая обращение функций) и \”квадратур\”, т. е. вычисления интегралов известных функций. Это определение интегрируемости формально носит локальный характер. Решение в квадратурах дифференциального уравнения на многообразии означает его интегрирование в любых локальных координатах. Мы считаем, что переход от одних локальных координат к другим является \”алгебраической” операцией.
Из теоремы Ли вытекает важное
Следствие. Пусть $u_{1}, \ldots, u_{n}$ линейно независимые коммутирующие поля. Тогда каждая из систем дифференциальных уравнений $\dot{x}=u_{k}(x)(1 \leqslant k \leqslant n)$ интегрируется в квадратурах.
Доказательство теоремы Ли разобьем на несколько әтапов.

а) Наша цель – решить \”явно\” уравнение $V(F)=0$, где $V$ оператор дифференцирования $v(x) \partial / \partial x$. Более точно, надо найти $n-1$ независимое решение $F_{1}, \ldots, F_{n-1}$ этого уравнения.

Введем еще $n-1$ линейный дифференциальный оператор $U_{k}=$ $=u_{k}(x) \partial / \partial x$. Алгебра векторных полей $\sum c_{k} u_{k}$ разрешима, поэтому с помощью линейной подстановки можно так ввести новые $n-1$ полей (будем обозначать их снова $u_{1}, \ldots, u_{n-1}$ ), чтобы имели место соотношения
\[
\begin{array}{l}
{\left[u_{1}, u_{j}\right] }=c_{1, j}^{1} u_{1} \\
{\left[u_{2}, u_{j}\right] }=c_{2, j}^{1} u_{1}+c_{2, j}^{2} u_{2} \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
{\left[u_{n-1}, u_{j}\right] }=c_{n-1, j}^{1} u_{1}+\ldots+c_{n-1, j}^{n-1} u_{n-1}
\end{array}
\]

здесь $c_{i j}^{k}=$ const.
б) Рассмотрим систему уравнений
\[
V(F)=U_{1}(F)=\ldots=U_{n-2}(F)=0
\]

и покажем, что локально она имеет решение $F$ без критических точек: $d F
eq 0$. Этот результат легко вытекает из теоремы Фробениуса ввиду равенств (3.5). Однако мы дадим его прямое доказательство.

Поля $v, u_{1}, \ldots, u_{n-1}$ линейно независимы, поэтому $u_{n-2}
eq 0$. По теореме о выпрямлении поле $u_{n-2}$ локально приводится к виду $(0, \ldots, 0,1)$. Ввиду (3.5), в новых координатах $x_{1}, \ldots, x_{n}$ компоненты векторных полей $v, u_{1}, \ldots, u_{n-3}$ не зависят от $x_{n}$, т. е. эти поля можно рассматривать в ( $n-1$ )-мерном пространстве переменных $x_{1}, \ldots, x_{n-1}$, и для них снова будут справедливы коммутационные соотношения (3.5). $\mathrm{K}$ полю $u_{n-3}$ опять можно применить теорему о выпрямлении и привести $n-1$ первых компонент к виду $(0, \ldots, 0,1)$, и т. д. В итоге придем к координатам $z_{1}, \ldots, z_{n}$, в которых компоненты векторных полей $v, u_{1}, \ldots, u_{n-2}$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
v & =(0,1, *, \ldots, *), \\
u_{1} & =(0,0,1, *, \ldots, *) \\
\ldots & \cdots \cdots \\
u_{n-2} & =(0,0,0, \ldots, 1) .
\end{aligned}
\]

В переменных $z_{1}, \ldots, z_{n}$ в качестве искомой функции можно принять $F=z_{1}$.
в) Покажем, что если $F$ – решение системы уравнений (3.6), то $U_{n-1}(F)$ – также решение этой системы. Действительно,

$\left[V, U_{n-1}\right]=V U_{n-1}-U_{n-1} V=0$. Следовательно, $V\left(U_{n-1}(F)\right)=$ $=U_{n-1}(V(F))=U_{n-1}(0)=0$. Далее, согласно (3.5), $U_{1} U_{n-1}(F)-$ – $U_{n-1} U_{1}(F)=c_{1, n-1}^{1} U_{1}(F)$. Поэтому $U_{1} U_{n-1}(F)=0$. Аналогично доказывается, что $U_{k} U_{n-1}(F)=0$ для всех $k<n-1$.

Пусть $G$ – решение (3.6), $d G
eq 0$. Тогда $\varphi(G)=U_{n-1}(G)
eq 0$ (в противном случае $d G=0$ ввиду линейной независимости попей $\left.v, u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)$. Положим $F=\int_{G_{0}}^{G} \frac{d \xi}{\varphi(\xi)}$. Так как $F$ – функция от $G$, то $F$ – решение (3.6), причем $U_{n-1}(F)=U_{n-1}(G) d F / d G=$ $=U_{n-1}(G) / \varphi(G)=1$.
Итак, система уравнений
\[
V(F)=U_{1}(F)=\ldots=U_{n-2}(F)=0, \quad U_{n-1}(F)=1
\]

имеет решение (по крайней мере локально).
г) Чтобы найти его, положим
\[
\begin{array}{c}
V(F)=v_{1} \frac{\partial F}{\partial x_{1}}+\ldots+v_{n} \frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0, \\
U_{1}(F)=u_{1,1} \frac{\partial F}{\partial x_{1}}+\ldots+u_{1, n} \frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0, \\
\ldots \ldots \ldots+\cdots+\cdots+\cdots+u_{n-1, n} \frac{\partial F}{\partial x_{n}}=1 .
\end{array}
\]

Поля $v, u_{1}, \ldots, u_{n-1}$ линейно независимы, поэтому из линейной системы уравнений (3.8) найдем частные производные
\[
\partial F / \partial x_{1}=\xi_{1}(x), \quad \ldots, \quad \partial F / \partial x_{n}=\xi_{n}(x) .
\]

Эта задача –чисто алгебраическая. Далее, 1-форма $\xi_{1} d x_{1}+\ldots+$ $+\xi_{n} d x_{n}$ локально точна. Как хорошо известно из анализа, с помощью квадратур восстанавливается функция $F$, удовлетворяющая (3.9).
д) Пусть $F_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – решение системы (3.7). Тогда $d F_{1}
eq 0$ и можно считать, что $\partial F_{1} / \partial x_{n}
eq 0$. Выполним замену переменных $y_{1}=x_{1}, \ldots, y_{n-1}=x_{n-1}, y_{n}=F_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. В новых переменных
\[
\begin{array}{l}
V=\tilde{v}_{1} \frac{\partial}{\partial y_{1}}+\ldots+\tilde{v}_{n} \frac{\partial}{\partial y_{n}}, \\
U_{1}=\tilde{u}_{1,1} \frac{\partial}{\partial y_{1}}+\ldots+\tilde{u}_{1, n} \frac{\partial}{\partial y_{n}}, \\
\cdots \cdots+\cdots+\cdots+\cdots+\tilde{u}_{n-2, n} \frac{\partial}{\partial y_{n}} .
\end{array}
\]
77
Так как $V\left(y_{n}\right)=U_{1}\left(y_{n}\right)=\ldots=U_{n-2}\left(y_{n}\right)=0$, то $\tilde{v}_{n}=\tilde{u}_{1, n}=\ldots=$ $=\tilde{u}_{n-2, n}=0$, поэтому в формулы для операторов (3.10) координата $y_{n}$ входит как параметр. Выполнив еще раз процедуру, описанную в б)-г), получаем, что система уравнений
\[
V\left(F_{2}\right)=U_{1}\left(F_{2}\right)=\ldots=U_{n-3}\left(F_{2}\right)=0, \quad U_{n-2}\left(F_{2}\right)=1
\]

имеет решение, которое можно найти с помощью квадратур.
е) Аналогично доказывается разрешимость систем уравнений
\[
\begin{array}{l}
V\left(F_{3}\right)=U_{1}\left(F_{3}\right)=\ldots=U_{n-4}\left(F_{3}\right)=0, \quad U_{n-3}\left(F_{3}\right)=1 ; \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
V\left(F_{n-1}\right)=0, \quad U_{1}\left(F_{n-1}\right)=1 .
\end{array}
\]

Из $(3.7),(3.11)$ и (3.12) вытекает, что функции $F_{1}, \ldots, F_{n-1}$ независимы и являются первыми интегралами исходной системы (3.1). Теорема доказана.
3. Предположим, что поля $u, v$ удовлетворяют соотношению
\[
[v, u]=\mu v+
u u
\]

с некоторыми постоянными $\mu,
u$. Покажем, что и в этом случае порядок системы (3.1) можно понизить на единицу.

Воспользуемся координатами $x_{1}, \ldots, x_{n}$, в которых уравнения (3.2) приводятся к виду (3.3). Если известно общее решение (3.2), то это осуществляется в явной форме. В переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ коммутационное соотношение (3.13) эквивалентно серии равенств
\[
\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{n}}=\mu v_{i}, \quad 1 \leqslant i \leqslant n-1 ; \quad \frac{\partial v_{n}}{\partial x_{n}}=\mu v_{n}+
u,
\]

где $v_{i}$ – компоненты поля $v$. Из (3.14) получаем
\[
v_{i}=v_{i}^{0} \exp \left(\mu x_{n}\right), \quad 1 \leqslant i \leqslant n-1 ; \quad v_{n}=v_{n}^{0} \exp \left(\mu x_{n}\right)-
u / \mu,
\]

где функции $v_{i}^{0}(1 \leqslant i \leqslant n)$ не зависят от $x_{n}$. Выполним замену времени $d t=\left[\exp \left(\mu x_{n}\right)\right] d s$ и запишем первое $n-1$ уравнение системы (3.1), обозначая штрихом дифференцирование по $s$ :
\[
x_{1}^{\prime}=v_{1}^{0}, \ldots, \quad x_{n-1}^{\prime}=v_{n-1}^{0} ;
\]

эту замкнутую систему можно рассматривать как результат понижения порядка исходной системы (3.1).

Покажем, что если известно общее решение системы (3.16), то уравнения (3.1) интегрируются в квадратурах. Так как $v_{n}^{0}$ не зависит от $x_{n}$, то достаточно проинтегрировать уравнение
\[
x_{n}^{\prime}=-
u \mu^{-1} \exp \left(-\mu x_{n}\right)+f,
\]

где $f$-известная функция $s$ (см. (3.15)). Заменой $z=\exp \left(\mu x_{n}\right)$ это уравнение приводится к уравнению $z^{\prime}=\mu f z-
u$, которое легко нтегрируется. Таким образом, переменные $x_{i}$ находятся явно как bункции $s$. Для того, чтобы выразить $x_{i}$ через исходную переменую $t$, достаточно обратить интеграл $t=\int e^{\mu x_{n}} d s$.

В (3.15)-(3.17) предполагалось, что $\mu
eq 0$. Случай $\mu=0$ тривипен.

Рассмотрим более подробно наиболее важный частный случай, хогда $
u=0$. Из последней формулы (3.15) вытекает, что уравнения (3.16) можно дополнить уравнением длs координаты $x_{n}$ :
\[
x_{n}^{\prime}=v_{n}^{0} .
\]

१ак как $v_{1}^{0}, \ldots, v_{n}^{0}$ не зависят от $x_{n}$, то фазовый поток $g_{u}^{\tau}$ системы (3.3) переводит решения системы (3.16), (3.18) в решения той же системы. Возвращаясь к старой переменной времени $t$, получаем, тто $g_{u}^{\tau}$ переводит траектории (но не решения) исходной системы (3.1) в траектории той же системы. Поэтому поле $и$ можно рассматривать как обобщенное поле симметрий системы (3.1).

В соответствии с последним замечанием, теорема Ли из п. 2 допускает следующее обобщение. Пусть линейно независимые векторные поля $v, u_{1}, \ldots, u_{n-1}$ порождают разрешимую $n$-мерную алгебру Ли, причем $\left[v, u_{k}\right]=\lambda_{k} v$ ( $\lambda=$ const). Тогда система дифференциальных уравнений (3.1) интегрируется в квадратурах. Читатель самостоятельно может провести доказательство обобщенной теоремы Ли методом п. 2.
4. Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности каждой неособой точки векторного поля $v$ система (3.1) имеет $n$-мерную абелеву группу симметрий. Таким образом, задача о существовании гладкого (или аналитического) поля симметрий является содержательной либо в окрестности равновесия, либо во всем фазовом пространстве.

Приведем два простых примера динамических систем, допускающих нетривиальные аналитические поля симметрий, но не имеющих непостоянных непрерывных интегралов.
a) Рассмотрим условно-периодическое движение на $n$-мерном торе $\mathbf{T}^{n}=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \bmod 2 \pi\right\}$, задаваемое системой $\dot{x}_{i}=\omega_{i}$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ с независимыми над кольцом целых чисел постоянными частотами $\omega_{i}$ (ср. сп. $1 \S 1$ ), Эта система эргодична на $\mathbf{T}^{n}$ и поэтому не допускает даже измеримых (а не только непрерывных) непостоянных первых интегралов. Однако, любое постоянное (в координатах $x_{1}, \ldots, x_{n}$ ) векторное поле на $\mathrm{T}^{n}$ является ее полем симметрий.
б) Пусть $v(x)=A x$, причем все собственнье значения постоянного оператора $A$ лежат в левой (или правой) полуилоскости.

Ввиду асимптотической устойчивости равновесия $x=0$ при $t \rightarrow$ $\rightarrow+\infty$ (или $t \rightarrow-\infty$ ), соответствующая система (3.1) не имеет непостоянных непрерывных интегралов. Действительно, пусть $f(x)$ – первый интеграл, $x_{0}$ – любая точка $\mathbb{R}^{n}$, а $x(t)$ – решение $(3.1)$ с начальным условием $x(0)=x_{0}$. Так как $x(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow$ $\rightarrow+\infty(t \rightarrow-\infty)$, то (ввиду непрерывности $f) f(x(t)) \rightarrow f(0)$ при $t \rightarrow+\infty(t \rightarrow-\infty)$. Поскольку $f(x(t))$ постоянна как функция $t$, то $f\left(x_{0}\right)=f(0)$ для всех $x_{0}$. Следовательно, $f(x)=$ const. С другой стороны, поле $u(x)=x$ – поле симметрий линейной системы $\dot{x}=A x ;$ оно порождает группу растяжений $x \rightarrow e^{\tau} x, \tau \in \mathbb{R}$.

Более интересный пример доставляет гамильтонова система из п. $3 \S 1$, имеющая в целом интегралы лишь конечной гладкости. Однако, нетривиальная группа преобразований $y \rightarrow y+\alpha, x \rightarrow x$, $t \rightarrow t$ является ее группой симметрий. Она порождается векторным полем с компонентами $1,0,0$ в координатах $y, x, t$.

Говоря о \”нетривиальной\” группе симметрий, мы предполагаем, что ее поле $u$ линейно независимо с полем $v$. Заметим, что если $u=\lambda(x) v$ и $[u, v]=0$, то $\lambda$ – первый интеграл системы (3.1).

Следует иметь в виду, что аналитическая система дифференциальных уравнений может иметь векторные поля симметрий конечной гладкости. В качестве примера рассмотрим на двумерном торе $\mathbf{T}^{2}=\left\{x_{1}, x_{2} \bmod 2 \pi\right\}$ динамическую систему вида
\[
\dot{x}_{1}=\omega_{1} R, \quad \dot{x}_{2}=\omega_{2} R,
\]

где $\omega_{i}=$ const, $R$ – положительная аналитическая функция на $\mathrm{T}^{2}$. Эта система имеет инвариантную меру $\operatorname{mes}(D)=\iint_{D} \frac{d x_{1} d x_{2}}{R}$ и поэтому является локально гамильтоновой. А. Н. Колмогоров [108] доказал, что для почти всех значений $\omega_{1} / \omega_{2}$ система (3.19) приводится к виду
\[
\dot{x}_{1}=\lambda_{1}, \quad \dot{x}_{2}=\lambda_{2}, \quad \lambda_{i}=4 \pi^{2} \omega_{i} / \operatorname{mes}\left(\mathbf{T}^{2}\right) .
\]

Следовательно, в этих случаях уравнения (3.19) допускают нетривиальное поле симметрий с аналитическими компонентами. С другой стороны, в [108] показано, что при надлежащем выборе иррационального $\omega_{1} / \omega_{2}$ и аналитической функции $R$ система (3.19) приводится к виду (3.20) $k$-кратно дифференцируемым, но не дифференцируемым ( $k+1$ )-кратно, преобразованием тора $\mathbf{T}^{2}$ в себя.

Предположим, что система (3.19) имеет поле симметрий с дифференцируемыми компонентами $X_{1}$ и $X_{2}$. Эти функции $2 \pi$ периодичны по $x_{1}$ и $x_{2}$. Условия коммутирования векторных полей

$\left(\omega_{1} R, \omega_{2} R\right)$ и $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ сводятся к двум соотношениям:
\[
\sum \omega_{i} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{i}}=\omega_{1} \sum X_{i} \frac{\partial R}{\partial x_{i}}, \quad \sum \omega_{i} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{i}}=\omega_{2} \sum X_{i} \frac{\partial R}{\partial x_{i}} .
\]

Положим $\varphi=\omega_{2} X_{1}-\omega_{1} X_{2}$. Тогда $\frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}} \omega_{1}+\frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}} \omega_{2}=0$. Если отношение $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально, то $\varphi=$ const. Положим $X_{1}=\omega_{1} S$. Следовательно, $X_{2}=\omega_{2} S+\mu, \mu=$ const. Ввиду (3.21), функция $S$ удовлетворяет уравнению $\sum \omega_{i} \frac{\partial S}{\partial x_{i}}=S \sum \omega_{i} \frac{\partial N}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial N}{\partial x_{2}}, N=$ $=\ln R$. Его решение будем искать в виде произведения $K R$. Для отыскания функции $K$ получим уравнение $\frac{\partial K}{\partial x_{1}} \omega_{1}+\frac{\partial K}{\partial x_{2}} \omega_{2}=\mu \frac{\partial F}{\partial x_{2}}$, $F=-1 / R$. Будем решать его методом Фурье. Положим
\[
K=\sum_{m_{1}, m_{2}} k_{m_{1} m_{2}} \epsilon_{m_{1} m_{2}}, \quad F=\sum_{m_{1}, m_{2}} f_{m_{1} m_{2}} \epsilon_{m_{1} m_{2}}
\]

где $e_{m_{1} m_{2}}=\exp \left[i\left(m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}\right)\right]$. При $|m|=\left|m_{1}\right|+\left|m_{2}\right|
eq 0$ имеем $k_{m_{1} m_{2}}=\mu m_{2} f_{m_{1} m_{2}} /\left(m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}\right)$.

Если $\mu=0$, то $K=$ const, поэтому поле симметрий будет отличаться от исходного поля (3.19) постоянным множителем. Оставляя в стороне этот тривиальный случай, будем считать $\mu
eq 0$. Положим при $m_{2}
eq 0 \quad\left|m_{2} f_{m_{1} m_{2}}\right|=e^{-|m|}$. Можно показать, что тогда, в зависимости от диофантовых свойств иррационального отношения $\omega_{1} / \omega_{2}$, числа $k_{m_{1} m_{2}}$ будут коэффициентами Фурье функции из класса $C^{n}$, но не $C^{n+1}$ (ср. с п. $3 \S 1$ ).

Итак, при подходящем выборе аналитической функции $F=$ $=-1 / R$ числовая ось значений $\alpha=\omega_{1} / \omega_{2}$ разбивается на такие множества $M_{\omega}, M_{\infty}, \ldots, M_{n}, \ldots, M_{1}, M_{\varnothing}$, что:
– при $\alpha \in M_{\omega}$ система (3.19) имеет аналитическое поле симметрий;
– при $\alpha \in M_{\infty}$ имеется поле симметрий с бесконечно дифференцируемыми компонентами, но нет аналитического поля симметрий;
– при $\alpha \in M_{n}$ система (3.19) допускает поле симметрий класса $C^{n}$, но нет полей симметрий класса гладкости $C^{n+1}$;
– наконец, при $\alpha \in M_{\varnothing}$ система (3.19) вообще не допускает поля симметрий с дифференцируемыми компонентами.

Все множества $M_{\omega}, M_{\infty}, \ldots, M_{n}, \ldots, M_{\varnothing}$ имеют мощность континуума и всюду плотны на числовой прямой, причем мера множеств $M_{\infty}, \ldots, M_{n}, \ldots, M_{\varnothing}$ равна нулю.

Эти замечания следует иметь в виду при решении задачи о наличии нетривиальных групп симметрий динамических систем.

5. Обсудим теперь свойства групп симметрий гамильтоновых систем. Пусть $F$ – первый интеграл гамильтоновой системы
\[
\dot{z}=v_{H}(z) .
\]

Тогда гамильтоново поле $v_{F}(z)$ – поле симметрий системы (3.22). Действительно, пусть $L_{H}$ и $L_{F}$ – операторы дифференцирования, отвечающие гамильтоновым полям $v_{H}$ и $v_{F}$. Из тождества Якоби для скобок Пуассона следует, что
\[
\left[L_{H}, L_{F}\right]=L_{\{F, H\}} .
\]

Таким образом, если $\{H, F\}=0$, то $\left[v_{H}, v_{F}\right]=0$. Заметим, что этот вывод справедлив и в более общем случае $\{H, F\}=$ const.

Векторные поля, порожденные интегралами $F$ гамильтоновой системы (3.22), естественно назвать гамильтоновыми полями симлетрий. Конечно, далеко не всякое поле симметрий гамильтоновой системы является гамильтоновым.

Эти наблюдения можно обобщить. Пусть $f$ – замкнутая 1-форма в фазовом пространстве системы с гамильтонианом $H$. Локально $f=d F$, поэтому форме $f$ можно поставить в соответствие локально-гамильтоново поле $v_{F}$ с функцией гамильтона $F$. Если $\{H, F\}=0$, то поле $v_{F}$ является полем симметрий системы (3.22). Форму $f$ (или многозначную функцию $F$ ) можно назвать многозначным интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$. Если форма $f$ точна, то $F$ – \”глобальный\” однозначный интеграл.

Приведем пример многозначного интеграла. Рассмотрим движение заряженной частицы по плоскому тору $\mathbf{T}^{2}=\{x, y \bmod 2 \pi\}$ в постоянном магнитном поле. Уравнения движения $\ddot{x}-\alpha \dot{y}=0$, $\ddot{y}+\alpha \dot{x}=0$ ( $\alpha=$ const) гамильтоновы. Они имеют два линейных по скорости интеграла, $\dot{x}-\alpha y$ и $\dot{y}+\alpha x$, которые являются многозначными функциями в фазовом пространстве $\mathbf{T}^{2} \times \mathbb{R}^{2}$.
6. Предположим, что в $2 n$-мерном фазовом пространстве $M^{2 n}=\{z\}$ заданы такие $n$ независимых функций $F_{1}=H$, $F_{2}, \ldots, F_{n}$, что $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=\sum_{k} c_{i j}^{k} F_{k}, c_{i j}^{k}=$ const. Тогда, очевидно, линейное пространство функций $\mathbf{A}$, натянутое на элементы $F_{1}, \ldots, F_{n}$, будет $n$-мерной алгеброй Ли. Числа $c_{i j}^{k}$-структурные константы алгебры А в базисе $F_{1}, \ldots, F_{n}$.

Теорема 1 [82]. Предположим, что выполнены следующие условия:
1) во всех точках множества $I_{a}=\left\{z: F_{1}(z)=a_{1}, \ldots, F_{n}(z)=a_{n}\right\}$ функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ независимы;
2) $\sum c_{i j}^{k} a_{k}=0$ для всех $i, j=1, \ldots n$;
3) алгебра А разрешима, причем $\left\{F_{1}, F_{i}\right\}=c_{1 i}^{1} F_{1}$.

Тогда решения системы $\dot{z}=v_{H}(z)$, лежащие на $I_{a}$, можно найти з квадратурах.

Множество П наборов $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$, удовлетворяющих услозию 2), является линейным подпространством $\mathbb{R}^{n}$, размерность которого не меньше $\operatorname{dim} \mathbf{A}-\operatorname{dim}\{\mathbf{A}, \mathbf{A}\}$, где $\{\mathbf{A}, \mathbf{A}\}$ – коммутант алгебры $\mathbf{A}$ (линейное подпространство, порожденное элементами вида $\{f, g\}$, где $f, g \in \mathbf{A}$ ). Так как $\mathbf{A}$ разрешима, то $\operatorname{dim} \Pi \geqslant 1$. независимы и попарно находятся в инволюции, то каждая из гамильтоновых систем $\dot{z}=v_{F_{k}}(z)(1 \leqslant k \leqslant n)$ интегрируется в квадратурах.

В этом случае, очевидно, $\Pi=\mathbb{R}^{n}$. Гамильтоновы системы с $n$ степенями свободы, имеющие $n$ независимых интегралов в инводюции, называются вполне интегрируемыли.

Доказательство теоремы 1 базируется на применении обобщенной теоремы Ли из п. 3. Естественное отображение алгебры Ли функций $F_{1}, \ldots, F_{n}$ на алгебру Ли гамильтоновых векторных полей $v_{F_{1}}, \ldots, v_{F_{n}}$ является изоморфизмом ввиду (3.23) и того факта, что линейная комбинация $\sum \lambda_{k} F_{k}$ есть тождественная константа только при $\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{n}=0$ (так как $F_{1}, \ldots, F_{n}$ функционально независимы).

В силу условия 2) имеем $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0$ на $I_{a}$, поэтому поля $v_{F_{1}}, \ldots, v_{F_{n}}$ касаются $n$-мерной поверхности $I_{a}$. Легко понять, что ограничения этих полей на $I_{a}$ удовлетворяют условиям обобщенной теоремы Ли, что и требовалось доказать.

Оказывается, теорему Ли, в свою очередь, можно вывести из теоремы 1. Для этого воспользуемся конструкцией Лиувилля, позволяющей включить фазовый поток динамической системы (3.1) в фазовый поток гамильтоновой системы удвоенной размерности. Пусть $u$-поле на $n$-мерном многообразии $N=\{x\}$. Поставим ему в соответствие функцию $F=y \cdot u(x) \quad\left(y \in T_{x} N\right)$, определенную на кокасательном расслоении $M=T^{*} N$, снабженном естественной симплектической структурой. Координаты $y_{1}, \ldots, y_{n}-$ частные интегралы гамильтоновой системы
\[
\dot{z}=v_{F}(z),
\]

поскольку $\dot{x}=\partial F / \partial y=u(x), \dot{y}=-\partial F / \partial x=-(\partial u / \partial x)^{\top} y$. Инвариантная поверхность $I=\{y=0\} \subset M$ диффеоморфна $N$. Диффеоморфизм $(x, 0) \rightarrow x$ позволяет отождествить ограничение гамильтоновой системы (3.24) на поверхность $I$ с исходной динамической системой на $N$.

Пусть $u_{1}, \ldots, u_{n}$ – поля на $N$, и $F_{1}=y \cdot u_{1}, \ldots, F_{n}=y \cdot u_{n}$ – соответствующие функции на $M$. Нетрудно проверить, что $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=$

$=y \cdot\left[u_{i}, u_{j}\right]$. Если $\left[u_{i}, u_{j}\right]=\sum c_{i j}^{k} u_{k}$, то $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=-\sum c_{i j}^{k} F_{k}$. Многообразие $I=\left\{x, y: F_{1}=\ldots=F_{n}=0\right\}=\{y=0\}$ является инвариантным для гамильтоновой системы с гамильтонианом $F_{1}$. Применяя теорему 1 к множеству $I$ и отождествляя $I$ с $N$, получим обобщенную теорему Ли.

Таким образом, теорему 1 можно рассматривать как гамильтонов вариант теоремы Ли.
7. В качестве примера рассмотрим задачу о движении по прямой трех точек, притягивающихся с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния между ними. Пусть $x_{i}$– координаты, $m_{i}$–массы, $y_{i}=m_{i} \dot{x}_{i}$ – импульсы точек. Потенциальная энергия $V$ имеет вид $\sum_{i<j} \frac{a_{i j}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}\left(a_{i j}=\right.$ const $)$. Рассмотрим три функции $F_{1}=\sum y_{i}^{2} / 2 m_{i}+V, F_{2}=\sum x_{i} y_{i}, F_{3}=\sum y_{i}$. Ясно, что $F_{1}$ – полная энергия системы, $2 F_{2}=\frac{d}{d t} \sum m_{i} x_{i}^{2}, F_{3}$ – суммарный импульс. Нетрудно проверить, что эти функции независимы, и
\[
\left\{F_{1}, F_{3}\right\}=0, \quad\left\{F_{2}, F_{3}\right\}=-F_{3}, \quad\left\{F_{1}, F_{2}\right\}=2 F_{1} .
\]

Соответствующая алгебра Ли $\mathbf{A}$ разрешима, поскольку $\mathbf{A} \supset \mathbf{B} \supset$ $\supset \mathbf{C} \supset\{0\}$, где одномерная алгебра $\mathbf{C}$ порождается функцией $F_{1}$, а двумерная подалгебра В порождается функциями $F_{1}$ и $F_{3}$. Подалгебры В и С в силу (3.25) являются идеалами коразмерности 1 соответственно в А и В.

Согласно теореме 1 , движения трех точек, лежащие на нулевых уровнях интегралов энергии и площадей, можно найти квадратурами. Эту возможность нетрудно реализовать непосредственно. Отметим, что в рассмотренном примере потенциал $V$ можно заменить произвольной однородной функцией степени -2 относительно разностей $x_{i}-x_{j}$.

8. Современное систематическое изложение применений теории групп Ли к дифференциальным уравнениям (в том числе в частных производных) содержится в [141]. Анализ приемов точного интегрирования уравнений классической динамики с точки зрения теории групп и алгебр Ли проведен в монографии [144].