$\mathbf{1}^{\circ}$. Цель настоящей главы – изучение многомерных уравнений Ламба самих по себе. Они связывают конвекторное поле $u(x, t)$, векторное поле $v(x, t)$ и функцию $h(x, t)$ :
\[
\frac{\partial u}{\partial t}+(\operatorname{rot} u) v=-\frac{\partial h}{\partial x}
\]

Тензорные объекты $u, v, h$ заданы на некотором связном гладком многообразии $M^{n}=\{x\}$.

Векторному полю $v$ отвечает система дифференциальных уравнений на $M^{n}$
\[
\dot{x}=v(x, t),
\]

фазовый поток $g_{v}^{t}$ которой можно представлять себе как течение жидкости по $M^{n}$. Оказывается, это течение по своим свойствам вполне аналогично течению идеальной жидкости в трехмерном евклидовом пространстве.

Конечно, уравнения (1.1)-(1.2) можно изучать безотносительно их происхождения из гамильтоновой механики. Однако с методической точки зрения проще действовать по-другому. Мы покажем, что каждое уравнение (1.1) есть уравнение Ламба для $n$-мерной инвариантной поверхности некоторой гамильтоновой системы. Это обстоятельство дает возможность воспользоваться известными результатами об уравнениях Гамильтона из первой главы.

Предложение 1. Пусть $u, v, h$ связаны уравнением (1.1). Тогда в фазовом пространстве $P=T^{*} M$ найдется гамильтонова система $c$

n-мерным инвариантным многообразием
\[
\Sigma^{n}=\{x, y: y=u(x, t)\},
\]

такая, что уравнение Ламба для $\Sigma$ совпадает с уравнением (1.1).

Доказательство.
Положим
\[
H=\sum\left(y_{i}-u_{i}\right) v_{i}+h .
\]

Так как $y, u$ – конвекторы, а $v$ – вектор, то эта формула корректно определяет функцию в $T^{*} M$, линейную по импульсам. Поскольку справедливо (1.1), $\left.H\right|_{y=u}=h$ и
\[
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}=v(x, t),
\]

то (1.3) будет инвариантным многообразием гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$.

Следующий пример показывает, что по уравнению (1.1) гамильтониан $H$ определяется неоднозначно. Положим
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)-\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \sin x_{1} \cos x_{3}- \\
-\varepsilon_{2} \varepsilon_{3} \sin x_{2} \cos x_{1}-\varepsilon_{3} \varepsilon_{1} \sin x_{3} \cos x_{2},
\end{array}
\]

где $\varepsilon_{i}=$ const. Эта обратиман гамильтонова система, заданная в $P=\mathbb{T}^{3} \times \mathbb{R}^{3}$, допускает инвариантные соотношения
\[
\begin{array}{c}
y_{1}=\varepsilon_{1} \sin x_{3}+\varepsilon_{3} \cos x_{2}, \quad y_{2}=\varepsilon_{2} \sin x_{1}+\varepsilon_{1} \cos x_{3}, \\
y_{3}=\varepsilon_{3} \sin x_{2}+\varepsilon_{2} \cos x_{1} .
\end{array}
\]

Они задают течение несжимаемой жидкости по трехмерному тоpy $\mathbb{T}^{3}=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, \bmod 2 \pi\right\}$, причем скорость коллинеарна своему ротору (см. (1.18) из гл. I). Для почти всех значений $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ имеются зоны квазислучайного движения частиц.

Теорема 1 (вариационный принцип). Гладкая кривая $t \rightarrow x(t)$, $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ является решением системы
\[
\frac{\partial u}{\partial t}+(\operatorname{rot} u) \dot{x}=-\frac{\partial h}{\partial x}
\]

тогда и только тогда, когда эта кривая доставляет стационарное значение функционалу
\[
P=\int_{t_{1}}^{t_{2}}(u \cdot \dot{x}-h) d t
\]

в классе кривых с закрепленными концами.
Это утверждение – следствие вариационного принципа Пуанкаpe-Гельмгольца в фазовом пространстве ( $\S 6$, гл.I): функционал $P$ есть ограничение функционала действия
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}}(y \cdot \dot{x}-H) d t
\]

на кривые в пространстве положений $M$ с помощью инвариантного соотношения $y=u(x, t)$. Можно поступить по-другому, заметив, что уравнения Лагранжа с лагранжианом $\mathcal{L}=\sum u_{i} \dot{x}_{i}-h$ совпадают с (1.4).

Биркгоф назвал интеграл вида (1.5) действием Пфаффа, а уравнения (1.4) – уравнениями Пфаффа. Он рассмотрел случай, когда кососимметричная матрица $\operatorname{rot} u$ невырождена (в частности, $n$ четно). Тогда из (1.4) можно однозначно выразить $\dot{x}$ через $x$ и $t$. В своих знаменитых «Динамических системах» [11] Биркгоф сформулировал программу изучения уравнений (1.4) (когда $\operatorname{det}(\operatorname{rot} u)
eq 0$ ). Результаты в этом направлении, полученные до 1983 г., подытожены в монографии Р. Сантилли [77]. Сам Бирюгоф особое внимание уделил случаю, когда поле $u$ не зависит явно от времени, не заметив, что тогда (1.4) является обычной гамильтоновой системой.

Действительно, по теореме Дарбу, найдется локальное преобразование $x \rightarrow z$, такое, что
\[
J^{T}(\operatorname{rot} u) J
\]

имеет вид
\[
I=\left(\begin{array}{cc}
0 & E \\
-E & 0
\end{array}\right),
\]

где $J$ – матрица Якоби $\partial x / \partial z, E$ – единичная матрица размера $n / 2$. В новых переменных $z_{1}, \ldots, z_{n}$ уравнение (1.4)
\[
J^{T}(\operatorname{rot} u) J \dot{z}=-J^{T} \frac{\partial h}{\partial x}
\]

имеет каноническую форму
\[
I \dot{z}=-\frac{\partial h}{\partial z} .
\]

Сопряженными каноническими переменными являются координаты $z_{i}, z_{n / 2+i}(1 \leq i \leq n / 2)$.

Для дальнейшего особый интерес представляют случаи вырождения матрицы ротора.
\[
\mathbf{3}^{\circ} \text {. }
\]

Теорема 2. Система (1.2) допускает относительный интегральный инвариант
\[
\int_{g_{v}^{t}(\gamma)} u \cdot d x=\text { const. }
\]

Здесь $\gamma$ – любой замкнутый контур на $M$. Теорема 2 есть следствие теоремы Пуанкаре (из $\S 6$ гл. I): интеграл (1.6) – ограничение инварианта Пуанкаре на замкнутые кривые, целиком лежащие на инвариантной поверхности $\Sigma^{n}$. Этот простой, но важный результат распространяет теорему Томсона о сохранности циркуляции на многомерный случай.

Теорему 2 можно доказать и непосредственно. Для этого введем 1-форму
\[
\omega=\sum u_{i} d x_{i}
\]

и запишем уравнение Ламба (1.1) в эквивалентном виде
\[
\frac{\partial \omega}{\partial t}+i_{v} d \omega=-d h
\]

Используя формулу гомотопии
\[
L_{v}=i_{v} d+d i_{v},
\]

получаем
\[
\frac{\partial \omega}{\partial t}+L_{v} \omega=d g
\]

где $g=i_{v} \omega-h$. Функция $g$ имеет простой механический смысл: это лагранжиан, в котором скорость $\dot{x}$ заменена векторным полем $v$. Слева в (1.8) стоит $\dot{\omega}$ – полная производная по времени от 1 -формы $\omega$ в силу системы (1.2).
Пусть $\gamma$ – некоторый путь (1-цепь) на $M$. Положим
\[
I(t)=\int_{g_{v}^{t}(\gamma)} \omega .
\]

Нетрудно получить следующую формулу для изменения интеграла $I$ :
\[
\dot{I}=\int_{g_{v}^{t}(\gamma)} \frac{\partial \omega}{\partial t}+L_{v} \omega .
\]

Если путь $\gamma$ замкнутый (является циклом), то согласно (1.8) и формуле Ньютона-Лейбница, $\dot{I}=0$. Надо сказать, что формула (1.9) справедлива для любой $k$-формы $\omega$ и любой $k$-цепи $\gamma$.
$\mathbf{4}^{\circ}$. Из теоремы 2 выводится важное следствие.

Теорема 3. Если поле $u(x, t)$ потенциально при $t=0$, то оно будет потенциальным для всех $t$.

Это – аналог знаменитой теоремы Лагранжа из гидродинамики идеальной жидкости. Ее доказательство очень простое. Если локально $u=\partial \varphi / \partial x$ при $t=0$, то интеграл (1.6) по достаточно малому замкнутому контуру $\gamma$ равен нулю. Следовательно, он равен нулю

при всех значениях $t$. Однако, как хорошо известно из анализа, тогда подынтегральное выражение является замкнутой 1-формой.

Легко понять, что если поле $u$ имеет однозначный потенциал $\varphi$ в целом на $M$ при $t=0$ (т. е. форма $\omega$ точна), то это свойство имеет место при всех $t$.

В потенциальном случае из уравнений Ламба (1.1) выводится «интеграл Лагранжа-Коши». Действительно, если $u=\partial \varphi / \partial x$, то $\operatorname{rot} u=0$ и уравнение (1.1) принимает следующий вид:
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}+h\right)=0 .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+h(x, t)=g(t)
\]

Это и есть интеграл Лагранжа-Коши. После замены
\[
\varphi \rightarrow \varphi-\int g(t) d t
\]

не меняющей поля импульсов, функция $g$ в правой части (1.10) становится равной нулю.

Если уравнения (1.1) получены как уравнения Ламба для потенциальной инвариантной поверхности уравнений Гамильтона, то (1.10) превращается в известное уравнение в частных производных Гамильтона-Якоби.