$1^{\circ}$. Пусть $w(x, t)$ – гладкое векторное поле на $M$, состоящее из вихревых векторов. Справедливо
Предложение 7. Векторное поле
\[
\frac{\partial w}{\partial t}+[w, v]
\]

также является вихревым полем.
Следствие 1. Пусть $w^{(1)}, \ldots, w^{(m)}(m=n-\operatorname{rank}(\operatorname{rot} u))-$ базис вихревых векторных полей. Тогда
\[
\frac{\partial w^{(i)}}{\partial t}+\left[w^{(i)}, v\right]=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{i j} w^{(j)}, \quad i=1, \ldots, m,
\]

где $\lambda_{i j}$ – гладкие функции от х и $t$.

Доказательство предложения 7.
Воспользуемся результатами $\S 2$ и сведем уравнения Ламба (1.1) к автономному случаю. Для этого положим
\[
\tilde{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}, 1\right), \quad \tilde{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}, 0\right),
\]

где $v_{i}, w_{j}$ – компоненты векторных полей $v$ и $w$ соответственно. Согласно (2.2) и (2.3), $\tilde{v}$ и $\tilde{w}$ – вихревые поля некоторой замкнутой 2-формы $\phi$ :
\[
i_{\tilde{v}} \phi=i_{\tilde{w}} \phi=0 .
\]

Воспользуемся следующей формулой (см. [22], гл. IV)
\[
i_{[\tilde{w}, \tilde{v}]} \phi=L_{\tilde{v}} i_{\tilde{w}} \phi-i_{\tilde{w}} L_{\tilde{v}} \phi .
\]

Так как $i_{\tilde{w}} \phi=0$ и $L_{\tilde{v}} \phi=i_{\tilde{v}} d \phi+d i_{\tilde{v}} \phi=0$, то $[\tilde{w}, \tilde{v}]$ – вихревой вектор, компоненты которого равны
\[
\frac{\partial w_{1}}{\partial t}+[w, v]_{1}, \ldots, \frac{\partial w_{n}}{\partial t}+[w, v]_{n}, 0 .
\]

Если $w^{(1)}, \ldots, w^{(m)}$ – базис вихревых векторов, то $\tilde{w}^{(1)}, \ldots, \tilde{w}^{(m)}$, $\tilde{v}$ – базис вихревых векторов в расширенном пространстве. Следовательно,
\[
[\tilde{w}, \tilde{v}]=\sum \lambda_{i} \tilde{w}^{(i)}+\mu \tilde{v} .
\]

Поскольку $t$-компонента поля $\tilde{v}$ равна 1 , то, согласно (5.1), $\mu \equiv 0$. Следовательно, $\partial w / \partial t+[w, v]$ – вихревой вектор при всех значениях $t$.

ЗАмЕчаниЕ. Предложение 1 хорошо известно в трехмерном случае. Действительно, Пуанкаре, Жоравский и Фридман (см. [75, 60]) нашли критерий вмороженности интегральных кривых векторного поля $w(x, t)$ в поток, порожденный полем скоростей $v(x, t)$ : векторы
\[
\dot{w}-L_{w} v \quad \text { и } \quad w
\]

коллинеарны. Поскольку
\[
\dot{w}=\frac{\partial w}{\partial t}+L_{v} w
\]

и
\[
L_{v} w-L_{w} v=[w, v]
\]

то
\[
\frac{\partial w}{\partial t}+[w, v]=\lambda w
\]
$2^{\circ}$. Рассмотрим важный частный случай, когда $n$ нечетно и 2 форма $\Omega$ неособая при всех значениях $t$. Тогда в каждой точке $x \in M$ вихревые векторы образуют одномерное подпространство. Справедлива локальная

Теорема 7 ([33]). При нечетнол $n$ в неособом случае найдется гладкое вихревое векторное поле $w(x, t)$, удовлетворяющее уравнению
\[
\frac{\partial w}{\partial t}+[w, v]=0
\]

Это уравнение – аналог известного уравнения Эйлера для изменения момента. Теорема 1 содержит как частный случай теорему 1

из $\S 1$ главы 1. Уравнение (5.2) будем также называть уравнением Эйлера.
Доказательство теоремы 7.
Согласно предложению 7, в указанных предположениях любое ненулевое вихревое поле удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial w}{\partial t}+[w, v]=\mu w
\]

где $\mu(x, t)$ – некоторая гладкая функция. Заменим в этом уравнении $w$ на вихревое поле $\lambda w$ и подберем множитель $\lambda$ так, чтобы новое поле $w$ удовлетворяло уравнению (5.2). Для этого должно выполняться соотношение
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial t}+L_{v} \lambda=\mu \lambda
\]

или, что то же самое, $\dot{\lambda}=\mu \lambda$, где точка означает полную производную по времени в силу системы (1.2).

Покажем, что уравнение (5.3) локально всегда разрешимо. Прежде всего заметим, что (5.3) можно переписать в эквивалентной форме
\[
L_{\tilde{v}} \lambda=\mu \lambda,
\]

где $\tilde{v}$ – естественное продолжение поля $v$ в расширенное пространство-время $M \times \mathbb{R}_{t}$. Поскольку $\tilde{v}
eq 0$, то (по теореме о выпрямлении) в некоторых новых локальных координатах $z_{1}, \ldots, z_{n+1}$ в $M \times \mathbb{R}$ поле $\tilde{v}$ имеет компоненты $1,0, \ldots, 0$. Поэтому уравнение (5.4) принимает вид
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial z_{1}}=\mu \lambda
\]

Оно легко решается:
\[
\lambda=\exp \left(\int \mu d z_{1}\right) .
\]
$3^{\circ}$. Особый интерес, конечно, представляет случай, когда $\operatorname{dim} M=3$. Очевидно, 2 -форма $\Omega=d \omega$ будет неособой тогда и только тогда, когда $\Omega
eq 0$.

Рассмотрим натуральную механическую систему с конфигурационным пространством $M$, гамильтониан которой есть сумма кинетической $T$ и потенциальной $V$ энергий. Наличие метрики
\[
T=\frac{1}{2} \sum g_{i j}(x) \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}
\]

позволяет в трехмерном случае вычислить ротор поля скорости $v$ (векторного поля на $M$, зависящего, возможно, от времени). Приведем инвариантное определение поля $\operatorname{rot} v$. Для этого сначала сопоставим векторному полю $v=\left\{v_{i}\right\}$ ковекторное поле $u=\left\{u_{j}\right\}$ с компонентами
\[
u_{j}=\sum_{i} g_{i j} v_{i} .
\]

Положим $\omega=\sum u_{j} d x_{j}$ и $\Omega=d \omega$. Пусть
\[
\tau=\sqrt{g} d^{3} x
\]
– 3-форма ориентированного объема на $M$ ( $g$ – определитель матрицы $\left.\left\|g_{i j}\right\|\right)$. Положим, наконец,
\[
i_{\text {rot } v} \tau=\Omega .
\]

В случае евклидова пространства (матрица $\left\|g_{i j}\right\|$ ) единичная) эта формула задает векторное поле обычного ротора. Заметим, что $u$ значение канонического импульса $y=\partial T / \partial \dot{x}$, вычисленного по полю $v$. С помощью (5.6) можно указать в явном виде компоненты поля $\operatorname{rot} v:$
\[
\frac{1}{\sqrt{g}}\left(\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}}\right), \quad \frac{1}{\sqrt{g}}\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}}\right), \quad \frac{1}{\sqrt{g}}\left(\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}\right) .
\]

В этих формулах компоненты $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ вычисляются согласно (5.5). Другой вывод формул для ротора (отличающийся от нашего лишь по форме) можно найти в классической книге Освальда Веблена [17] (см. также [53]).

Рассмотрим еще одну 3-форму $\tau^{\prime}=\rho \tau$ на $M$, где $\rho-$ некоторая гладкая положительная функция от $x$ и $t$, и предположим, что $\tau^{\prime}$ порождает абсолютный интегральный инвариант
\[
\int \tau^{\prime}
\]

системы (1.2). Это означает, что произведение $\rho \sqrt{g}$ удовлетворяет уравнению Лиувилля (3.2).
Как видно из (5.6), поле $\operatorname{rot} v$ является вихревым.

Теорема 8. Вихревое векторное поле
\[
w(x, t)=\frac{\operatorname{rot} v}{\rho}
\]

удовлетворяет уравнению Эйлера (5.2).
Это утверждение является непосредственным обобщением теоремы 1 из $§ 1$ главы I, относящейся к динамике сжимаемой жидкости. Здесь $M=E^{3}$, метрика евклидова, а инвариант (5.7) — масса вещества в подвижном объеме.

Доказательство теоремы 8.
Из (5.6) и (5.8) имеем равенство
\[
i_{w} \tau^{\prime}=\Omega .
\]

Применяя к обеим частям операцию $\partial / \partial t$, получаем
\[
i_{\partial w / \partial t} \tau^{\prime}+i_{w} \frac{\partial \tau^{\prime}}{\partial t}=\frac{\partial \Omega}{\partial t} .
\]

Далее,
\[
L_{v} i_{w} \tau^{\prime}=i_{w} L_{v} \tau^{\prime}+i_{[w, v]} \tau^{\prime}=L_{v} \Omega .
\]

Поскольку формы $\Omega$ и $\tau^{\prime}$ порождают абсолютные интегральные инварианты, то
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial t}+L_{v} \Omega=0, \quad \frac{\partial \tau^{\prime}}{\partial t}+L_{v} \tau^{\prime}=0
\]

Складывая равенства (5.9), (5.10) и учитывая (5.11), получаем
\[
i_{\partial w / \partial t} \tau^{\prime}+i_{[w, v]} \tau^{\prime}=0 .
\]

Так как 3-форма $\tau^{\prime}$ невырождена, то
\[
\frac{\partial w}{\partial t}+[w, v]=0
\]

ЗАМЕчАниЕ. В евклидовом пространстве дивергенция поля ротора равна нулю. Это свойство сохраняется и для произвольного риманова пространства, если дивергенцию векторного поля $v=\left\{v_{i}\right\}$ определить равенством
\[
\frac{1}{\sqrt{g}} \sum \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sqrt{g} v_{i}\right) .
\]

В римановой геометрии эта величина называется абсолютной дивергенцией, а сумма
\[
\sum \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}}
\]
– дивергенцией векторной плотности $\left\{v_{i}\right\}$. Последнее выражение является инвариантом (т.е. не зависит от выбора локальных координат) и для полей вида $\rho v$, где $\rho$ – плотность некоторой формы объема. Именно в таком виде дивергенция входит в уравнение Лиувилля (3.2). Отметим, что (5.12) вообще не зависит от выбора римановой метрики.
$\mathbf{4}^{\circ}$. Теорема 8 допускает некоторое обобщение на случай произвольного нечетного $n=\operatorname{dim} M$. Пусть $\tau=\sqrt{g} d^{n} x$ – форма объема, а замкнутая 2-форма $\Omega$ имеет постоянный класс $n-1$. Определим векторное поле $w(x, t)$ формулой
\[
i_{w} \tau=\Omega^{k}, \quad n=2 k+1 .
\]

Поскольку $n$-форма $\tau$ невырождена, то поле $w$ определяется этой формулой однозначно. Поле $w=\operatorname{rot} v$ называется обобщенным ротором векторного поля $v$ (см. например: [17]). Его абсолютная дивергенция, конечно, равна нулю. Так как класс 2 -формы $\Omega$ равен $2 k=n-1$, то $w$ – вихревой вектор при всех значениях $x$ и $t$.

Теорема 9. Предположим, что система (1.2) допускает интегральный инвариант (5.7), где $\tau^{\prime}=\rho \tau$. Тогда векторное поле $w / \rho$ удовлетворяет уравнению Эйлера.

Теорема 8 вытекает из этого утверждения, если положить $n=3$ : предположения о том, что 2-форма $\Omega$ неособая и ее класс равен двум, очевидно, эквивалентны.