$1^{\circ}$. Как известно, в квантовой механике динамика частицы единичной массы в потенциальном поле с потенциалом $V(x), x \in E^{3}$ описывается уравнением Шредингера
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2} \Delta \psi+V \psi
\]

Здесь $\psi(x, t)$ – комплекснозначная волновая функция, $\hbar$ – постоянная Планка, $i^{2}=-1$. Волновая функция имеет следующий физический смысл: $|\psi(x, t)|^{2}$ – плотность вероятности нахождения частицы в момент времени $t$ в точке $x \in E^{3}$. Поэтому принимается, что
\[
\int_{E^{3}} \psi \bar{\psi} d^{3} x=1 .
\]

Это предположение корректно, поскольку интеграл в левой части (2) не зависит от $t$ для любого решения уравнения (1).
Полагая
\[
\psi=\sqrt{\rho} \exp (i S / \hbar),
\]

для скалярных функций $\rho(x, t) \geq 0, S(x, t)$ получим следующую систему уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}\left(\rho \frac{\partial S}{\partial x}\right)=0 \\
\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2}-V-\frac{\hbar^{2}}{2} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}=0 .
\end{array}
\]

Здесь $\Delta$ – оператор Лапласа.

Сколько известно автору, уравнения (4)-(5) получены впервые Э. Маделунгом. Они изучались также Д. Бомом в связи с его гипотезой «скрытых параметров» – попыткой уйти от вероятностной интерпретации квантовой механики [18]. При $\hbar \rightarrow 0$ уравнение (5) перейдет в обычное уравнение Гамильтона – Якоби, описивающее потенциальные семейства траекторий обычной классической частицы с гамильтонианом
\[
H=\frac{y^{2}}{2}+V(x, t),
\]

а уравнение (4) будет совпадать с уравнением Лиувилля для плотности интегрального инварианта градиентной динамической системы
\[
\dot{x}=\frac{\partial S}{\partial x} .
\]

После того, как найден полный интеграл уравнения ГамильтонаЯкоби, решение уравнения (4) сводится к простым квадратурам. Подставляя найденные таким путем функции $S$ и $\rho$ в выражение (3), получим так называемое квазиклассическое приближение к решениям уравнения Шредингера (1).
$\mathbf{2}^{\circ}$. Бом предложил интерпретировать уравнение (5) в общем случае, когда $\hbar
eq 0$, снова как уравнение Гамильтона-Якоби для обычной классической частицы, которая находится в суперпозиции двух потенциальных полей: с потенциалами $V$ и
\[
P=-\frac{\hbar^{2}}{2} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} .
\]

Функцию $P$ Бом назвал квантовомеханическим потенциалом. Конечно, такое представление имеет реальный смысл лишь после того, как найдена функция $\rho$. Поучительное обсуждение и критические замечания по концепции Бома можно найти в работах из сборника [18].

На самом же деле уравнения (4) и (5) имеют прозрачную гидродинамическую интерпретацию. Уравнение (4) – это уравнение неразрывности для поля скоростей (6), а уравнение (5) – это интеграл Лагранжа-Коши для потенциальных течений «идеальной баротропной» жидкости под действием потенциальных массовых сил с плотностью потенциала $V$. Квантовомеханический потенциал $P$ играет роль

функции давления. Только, в отличие от обычных предположений гидродинамики, $P$ зависит не только от плотности $\rho$, но и от ее производных.

Таким образом, решения уравнения Шредингера находятся в однозначном соответствии с потенциальными течениями идеальной обобщенно баротропной жидкости с функцией давления (7). Эта аналогия физикам хорошо известна. Ее обсуждение и применение к динамике сверхпроводимости содержится, например, в известном курсе лекций Р. Фейнмана (т. 3, гл. 19). В связи со сказанным возникает интересный вопрос: имеют ли физический смысл вихревые течения этой воображаемой «квантовой» жидкости?
$3^{\circ}$. Вновь вернемся к предельному переходу от квантовой механики к классической, когда $\hbar \rightarrow 0$. В пределе уравнение (5) будет замкнутым. Пусть $g^{t}$ – поток динамической системы (6). Предположим, что в начальный момент времени частица локализована в некоторой точке $x_{0} \in \mathbb{R}^{3}$. Другими словами, при $t=0$ плотность вероятности $\rho$ является дельта-функцией Дирака $\delta\left(x-x_{0}\right)$. Тогда уравнение (4) дает нам, что в произвольный момент времени $t$ плотность $\rho(x, t)$ будет снова $\delta$-функцией:
\[
\rho(x, t)=\delta\left(x-g^{t}\left(x_{0}\right)\right) .
\]

Этот факт легко понять из следующих рассуждений. Пусть $D-$ любая область в $\mathbb{R}^{3}$, не содержащая точку $x_{0}$. Тогда при $t=0$ будем иметь, что
\[
\int_{D} \rho d^{3} x=0 .
\]

Согласно (4), $\rho$ – плотность интегрального инварианта системы (6). Следовательно, равенство (8) будет иметь место в любой момент времени $t$ для любой области $D$, не содержащей точку $g^{t}\left(x_{0}\right)$. Что и требовалось. Отметим, что этот вывод, конечно, справедлив для систем дифференциальных уравнений общего вида (не только градиентных).

Таким образом, если при $t=0$ частица локализована в некоторой точке $x_{0}$, то в момент времени $t$ она будет локализована в точке $g^{t}\left(x_{0}\right)$ и ее закон движения
\[
t \rightarrow g^{t}\left(x_{0}\right),
\]

конечно, удовлетворяет уравнению Ньютона
\[
\ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x} .
\]

При $\hbar
eq 0$ ситуация совсем другая. Уравнения (4) и (5) связаны друг с другом и поэтому из-за присутствия квантовомеханического потенциала $P$ сосредоточенная в точке плотность вероятности $\rho$ будет «расплываться» по всему пространству. Это явление, тесно связанное с соотношением неопределенности Гейзенберга, напоминает явление диффузии вихрей в вязкой жидкости ( $\S 2$ гл.I).

Расплывание плотности вероятности проще всего продемонстрировать на примере свободной частицы на прямой $\mathbb{R}=\{x\}$. Уравнение Шредингера принимает вид
\[
i \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\Delta \psi
\]

Для простоты записи формул мы положили $\hbar=2$. В так называемом импульсном представлении решения уравнения (9) имеют вид
\[
\psi(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2} \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(p) e^{i\left(p x-p^{2} t\right)} d p
\]

где $\varphi$ – произвольная квадратично суммируемая функция на прямой:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}|\varphi(p)|^{2} d p=1
\]
(см., например, [58]). Положим, например,
\[
\varphi=\left(\frac{\varepsilon}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{\varepsilon p^{2}}{2}}, \quad \varepsilon>0 .
\]

Условие нормировки (11), очевидно, выполнено. Используя известные свойства преобразования Фурье, из формулы (10) получаем явное выражение для плотности вероятности:
\[
\rho(x, t)=\frac{\sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{\pi}\left(\varepsilon^{2}+4 t^{2}\right)} e^{-\frac{\varepsilon x^{2}}{\varepsilon^{2}+4 t^{2}}} .
\]

При $t=0$ получаем формулу
\[
\rho=\frac{1}{\sqrt{\pi} \varepsilon} e^{-\frac{x^{2}}{\varepsilon}} .
\]

Когда $\varepsilon \rightarrow 0$, то это выражение стремится к $\delta$-функции:
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi} \varepsilon} e^{-\frac{x^{2}}{\varepsilon}} f(x) d x=f(0) .
\]

С другой стороны, при больших значениях $t$ из (12) получаем асимптотическое представление
\[
\rho \sim \frac{\sqrt{\varepsilon}}{2 \sqrt{\pi} t} e^{-\frac{\varepsilon x^{2}}{4 t^{2}}} .
\]

Ясно, что при фиксированном $\varepsilon>0$ эта функция стремится к нулю (равномерно по $x$ ), когда $t \rightarrow \infty$.