$1^{\circ}$. Рассмотрим наиболее простое из вихревых решений уравнений Ламба, когда
\[
\operatorname{rank}(\operatorname{rot} u)=2
\]

и, следовательно, $k=1$. Согласно условию (b), для интегрируемости в этом случае надо иметь интеграл $F$ уравнений Гамильтона (3.1).

Задача существенно упрощается для автономных систем, когда гамильтониан $H$ не зависит явно от времени. В качестве интеграла $F$ можно взять функцию $H(x, y)$. При этом поле $u(x, c)$, очевидно, удовлетворяет уравнению (3.10), поскольку оно совпадает с исходным автономным уравнениям Ламба. Условие ( $c$ ) вихревой теории интегрирования переходит в условие
\[
d_{x} H(x, u(x, c))
eq 0 .
\]

Итак, справедливо
Предложение 2. Если известно полное замкнутое решение и $(x, c)$ уравнений Ламба, причем выполнены условия (5.1) и (5.2), то уравнения Гамильтона (3.1) интегрируются в квадратурах.

$2^{\circ}$. Оказывается, при $n=3$ условие замкнутости полного решения в предложении 2 можно снять. Доказательство этого утверждения использует теорему Эйлера-Якоби об интегрирующем множителе. Случай $n=3$ представляет особый интерес с точки зрения аналогии между гидродинамикой и вихревой теорией гамильтоновых систем.
Предложение 3 ([71]). Пусть $n=3$ и найдено полное стационарное решение уравнения Ламба, удовлетворяющее условиям (5.1) и (5.2). Тогда уравнение Гамильтона интегрируются в квадратурах.

Если ранг ротора поля $u$ постоянен, то при $n=3$ он может быть равен либо нулю, либо двум. В первом случае решение будет потенциальным и интегрируемость уравнений Гамильтона вытекает из теоремы Якоби. Если ранг равен двум, а функция
\[
h(x, c)=H(x, u(x, c))
\]

не зависит от $x$, то поле
\[
v(x, c)=\left.\frac{\partial H}{\partial y}\right|_{y=u}
\]

коллинеарно ротору и интегральные кривые поля $v$ могут демонстрировать хаотическое поведение. Напомним, что для потенциальных течений функция $h$ зависит лишь от $c$.
$3^{\circ}$. Доказательство предложения 3.
Рассмотрим динамическую систему на $M^{3}$, определяемую полем (5.4):
\[
\dot{x}=v(x, c) .
\]

При каждом значении $c=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$ она допускает непостоянный интеграл (5.3) и интегральный инвариант с плотностью
\[
\rho(x, c)=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial u}{\partial c}\right\| .
\]

Докажем, что при этих предположениях система дифференциальных уравнений (5.5) на трехмерном многообразии интегрируется в квадратурах.

Перейдем от координат $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ к новым координатам $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, полагая
\[
z_{3}=h\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right),
\]

тогда уравнения (5.5) примут вид
\[
\dot{z}_{1}=V_{1}\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right), \quad \dot{z}_{2}=V_{2}\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right), \quad \dot{z}_{3}=0 .
\]

Они допускают интегральный инвариант с плотностью
\[
P\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)=\rho \operatorname{det}\left\|\frac{\partial x}{\partial z}\right\| .
\]

Положим $z_{3}=\alpha=$ const. Очевидно, функция
\[
P\left(z_{1}, z_{2}, \alpha\right)
\]

будет плотностью интегрального инварианта для системы
\[
\dot{z}_{1}=V_{1}\left(z_{1}, z_{2}, \alpha\right), \quad \dot{z}_{2}=V_{2}\left(z_{1}, z_{2}, \alpha\right) .
\]

Поскольку
\[
\frac{\partial P V_{1}}{\partial z_{1}}+\frac{\partial P V_{2}}{\partial z_{2}}=0
\]

то локально 1-форма
\[
P\left(V_{1} d z_{2}-V_{2} d z_{1}\right)
\]
– полный дифференциал некоторой функции $f\left(z_{1}, z_{2}, \alpha\right)$ :
\[
\frac{\partial f}{\partial z_{1}}=-P V_{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial z_{2}}=P V_{1} .
\]

Остается заметить, что функция $f$ – непостоянный интеграл системы (5.6) и ее нахождение, как известно, требует простых квадратур.
$\mathbf{4}^{\circ}$. Для систем на плоскости плотность интегрального инварианта $\rho$ названа Эйлером интегрирующем множителем. Якоби распространил наблюдение Эйлера на систему $n$ дифференциальных уравнений, допускающих $n-2$ независимых интегралов и инвариантную меру. Обсуждение строения потоков на интегральных поверхностях таких систем можно найти в книге [31]. Рассуждения п. $3^{\circ}$ соответствуют в гидродинамике известной теореме Клебша о том, что если для

стационарного течения известна непостоянная функция Бернулли, то движение частиц жидкости можно найти с помощью квадратур. Роль интегрального инварианта здесь, конечно, играет масса вещества.