Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Если дифференциальные уравнения, представленные в некоторых локальных координатах на гладком многообразии $M^{2 n}$, не имеют канонического вида уравнений Гамильтона, то это еще не означает, что они не гамильтоновы: локальные координаты могут не быть симплектическими. Приведем примеры динамических систем, гамильтоновость которых априори не очевидна. имеющую первый интеграл $f=(B x, x) / 2$, где $B$ — невырожденный симметричный оператор. Оказывается, если $\operatorname{det} A где $е$ и $\omega$ — векторы трехмерного ориентированного евклидова пространства, причем $\omega$ — известная функция времени. Уравнение (9.2) имеет интеграл $(e, e)=c \geqslant 0$. В динамике твердого тела вектор $е$ является единичным, поэтому положим $c=1$. Снабдим сферу $\mathbf{S}^{2}=\{e:(e, e)=1\}$ симплектической структурой, положив $\Omega\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)=\left(e, x^{\prime} \times x^{\prime \prime}\right)$, где $x^{\prime}$ и $x^{\prime \prime}$ — касательные векторы к $\mathbf{S}^{2}$ в точке $e$. Форма $\Omega$ — ориентированная площадь $\mathbf{S}^{2}-$ замкнута и невырождена, но не точна: $\int_{S^{2}} \Omega=4 \pi$. Векторное поле $v=e \times \omega(t)$ является нестационарным касательным полем на $\mathbf{S}^{2}$. Покажем, что уравнение (9.2) является уравнением Гамильтона на симплектическом многообразии ( $\left.S^{2}, \Omega\right)$ с гамильтонианом $H=$ $=-(e, \omega(t))$. Действительно, $\Omega(v, \cdot)=(e,(e \times \omega) \times(\cdot))=(\cdot, e \times(e \times$ $\times \omega))=(\cdot, e(\omega, e)-\omega)=-(\cdot, \omega)=d H$. Любопытно отметить, что если $e=\xi(t)$ — решение уравнений $(9.2)$, то функция $f=(\xi(t), e)$ является их первым интегралом. Если $\omega-p$-периодическая функция времени, то отображение за период линейной системы (9.2) сохраняет ориентированную площадь $S^{2}$ и, следовательно, имеет по меньшей мере две различные неподвижные точки. В этом случае имеется интеграл, $p$-периодический no $t$. Действительно, это уравнение является уравнением Эйлера — Лагранжа $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}$ с лагранжианом $L=u \dot{x}+B$, линейным по скоростям. При $n=3$ умножение матрицы $\operatorname{rot} u$ на вектор $\xi$ эквивалентно векторному умножению $\eta \times \xi$, причем $\eta$ совпадает с ротором векторного поля $u$. Этим объясняется целесообразность обозначения кососимметричной матрицы $\left\|\partial u_{i} / \partial x_{j}-\partial u_{j} / \partial x_{i}\right\|$ через $\operatorname{rot} u$ в многомерном случае. Матрица $\operatorname{rot} u$ предполагается невырожденной для всех рассматриваемых значений переменных $x$ и $t$. Следовательно, $n$ четно, и уравнения (9.3) однозначно определяют нестационарное векторное поле в переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Если функции $u_{j}$ не зависят от $t$, то уравнения (9.3), очевидно, гамильтоновы с гамильтонианом $B$. Фазовым пространством служит $\mathbb{R}^{n}=\{x\}$, а симплектическая структура задается формулой В общем нестационарном случае, когда поле $u$ зависит явно от $t$, форму $\Omega$ также можно привести к стационарному виду. Для этого рассмотрим систему дифференциальных уравнений $\dot{x}=v(x, t)$, определяемую (9.3). Пусть $x(t, z)$ — решение этой системы с начальными данными $x(0, z)=z$. Соответствие $z \rightarrow x=x(t, z)$ будем трактовать как неавтономную замену переменных. Положим $u(x, t) d x+B(x, t) d t=u_{*}(z, t) d z+B_{*}(z, t) d t$. В силу свойства ковариантности уравнений Эйлера — Лагранжа, в новых переменных уравнение (9.3) принимает тот же вид: Так как $\dot{z}=0$, то $\partial u_{*} / \partial t=\partial B_{*} / \partial z$. Отсюда следует, что $\partial \Omega_{*} / \partial t=$ $=0$, где $\Omega_{*}=d_{z}\left(u_{*}(z, t) d z\right)$. Итак, в новых переменных $z \quad 2$-форма $\Omega_{*}$ стационарна. Согласно лемме Пуанкаре, локально найдутся такие ковекторное поле $u^{\prime}(z)$ и функция $S(z, t)$, что $u_{*}(z, t) d z=$ $=u^{\prime}(z) d z+d_{z} S(z, t)$. Уравнение (9.4) принимает при этом вид $\left(\operatorname{rot} u^{\prime}\right) \dot{z}=\partial B^{\prime} / \partial z, B^{\prime}=B+\partial S / \partial t$. Эти уравнения гамильтоновы; гамильтонианом служит функция $B^{\prime}$. Смысл поправки $\partial S / \partial t$ к гамильтониану $B$ ясен из следующего замечания: задача Пфаффа не изменится, если добавить в выражение для $P$ подынтегральное слагаемое $d S=(\partial S / \partial t) d t+$ $+(\partial S / \partial x) d x$. Система (9.5), очевидно, гамильтонова: симплектическая структура задается скобкой Пуассона $\{f, g\}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i+n}}-\frac{\partial f}{\partial x_{i+n}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}}\right)$, и функция Гамильтона $H$ равна $x_{n+1}$. Это замечание принадлежит Биркгофу $[18$, гл. II]. Таким образом, задача о представимости дифференциальных уравнений в виде уравнений Гамильтона является содержательной либо в окрестности положения равновесия, либо в достаточно большой области фазового пространства, где траектории обладают свойством возвращаемости (например, в окрестности периодической траектории). $\mathrm{K}$ сожалению, она пока совсем не изучена.
|
1 |
Оглавление
|