Если дифференциальные уравнения, представленные в некоторых локальных координатах на гладком многообразии $M^{2 n}$, не имеют канонического вида уравнений Гамильтона, то это еще не означает, что они не гамильтоновы: локальные координаты могут не быть симплектическими. Приведем примеры динамических систем, гамильтоновость которых априори не очевидна.
1. В качестве первого примера рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами
\[
\dot{x}=A x, \quad x \in \mathbb{R}^{n},
\]

имеющую первый интеграл $f=(B x, x) / 2$, где $B$ – невырожденный симметричный оператор. Оказывается, если $\operatorname{det} A
eq 0$, то
1) $\left(\mathbb{R}^{n}, \Omega\right), \Omega\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)=\left(B A^{-1} x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)$ – симплектическое многообразие;
2) векторное поле $A x-$ гамильтоново с гамильтонианом $f$.
Докажем это. Так как $f$ – интеграл уравнений (9.1), то $\dot{f}=$ $=(B x, A x)=(x, B A x)=0$. Следовательно, $B A$ – кососимметричный оператор. Отсюда вытекает, в свою очередь, кососимметричность оператора $B A^{-1}$. Из невырожденности $A$ и $B$ следует невырожденность внешней 2-формы $\Omega$. Эта форма замкнута, как всякая внешняя форма с постоянными коэффициентами. Осталось заметить, что $\Omega(A x, \cdot)=\left(B A^{-1}(A x), \cdot\right)=(B x, \cdot)=d f$.
2. Рассмотрим геометрическое уравнение Пуассона из динамики твердого тела
\[
\dot{e}=e \times \omega,
\]

где $е$ и $\omega$ – векторы трехмерного ориентированного евклидова пространства, причем $\omega$ – известная функция времени. Уравнение (9.2) имеет интеграл $(e, e)=c \geqslant 0$. В динамике твердого тела вектор $е$ является единичным, поэтому положим $c=1$. Снабдим сферу $\mathbf{S}^{2}=\{e:(e, e)=1\}$ симплектической структурой, положив $\Omega\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)=\left(e, x^{\prime} \times x^{\prime \prime}\right)$, где $x^{\prime}$ и $x^{\prime \prime}$ – касательные векторы к $\mathbf{S}^{2}$ в

точке $e$. Форма $\Omega$ – ориентированная площадь $\mathbf{S}^{2}-$ замкнута и невырождена, но не точна: $\int_{S^{2}} \Omega=4 \pi$. Векторное поле $v=e \times \omega(t)$ является нестационарным касательным полем на $\mathbf{S}^{2}$.

Покажем, что уравнение (9.2) является уравнением Гамильтона на симплектическом многообразии ( $\left.S^{2}, \Omega\right)$ с гамильтонианом $H=$ $=-(e, \omega(t))$. Действительно, $\Omega(v, \cdot)=(e,(e \times \omega) \times(\cdot))=(\cdot, e \times(e \times$ $\times \omega))=(\cdot, e(\omega, e)-\omega)=-(\cdot, \omega)=d H$.

Любопытно отметить, что если $e=\xi(t)$ – решение уравнений $(9.2)$, то функция $f=(\xi(t), e)$ является их первым интегралом. Если $\omega-p$-периодическая функция времени, то отображение за период линейной системы (9.2) сохраняет ориентированную площадь $S^{2}$ и, следовательно, имеет по меньшей мере две различные неподвижные точки. В этом случае имеется интеграл, $p$-периодический no $t$.
3. Рассмотрим, следуя Биркгофу [18], “обобщенную проблему Пфаффа\” о стационарных кривых функционала $P(x(\cdot))=$ $=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum_{i=1}^{n} u_{i} \dot{x}_{i}+B\right) d t$. Здесь $u_{i}, B$ – некоторые гладкие функции переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и $t$. Нетрудно показать, что вариационное уравнение $\delta P=0\left(\delta x_{i}\left(t_{1}\right)=\delta x_{i}\left(t_{2}\right)=0\right)$ определяет переменные $x_{i}$ как функции $t$, удовлетворяющие системе уравнений
\[
\frac{\partial u}{\partial t}+(\operatorname{rot} u) \dot{x}=\frac{\partial B}{\partial x}, \quad \operatorname{rot} u=\left\|\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right\| .
\]

Действительно, это уравнение является уравнением Эйлера – Лагранжа $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}$ с лагранжианом $L=u \dot{x}+B$, линейным по скоростям.

При $n=3$ умножение матрицы $\operatorname{rot} u$ на вектор $\xi$ эквивалентно векторному умножению $\eta \times \xi$, причем $\eta$ совпадает с ротором векторного поля $u$. Этим объясняется целесообразность обозначения кососимметричной матрицы $\left\|\partial u_{i} / \partial x_{j}-\partial u_{j} / \partial x_{i}\right\|$ через $\operatorname{rot} u$ в многомерном случае.

Матрица $\operatorname{rot} u$ предполагается невырожденной для всех рассматриваемых значений переменных $x$ и $t$. Следовательно, $n$ четно, и уравнения (9.3) однозначно определяют нестационарное векторное поле в переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Если функции $u_{j}$ не зависят от $t$, то уравнения (9.3), очевидно, гамильтоновы с гамильтонианом $B$. Фазовым пространством служит $\mathbb{R}^{n}=\{x\}$, а симплектическая структура задается формулой
\[
\Omega=d \sum_{j} u_{j} d x_{j}=\sum_{i, j} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} d x_{i} \wedge d x_{j}=\sum_{i \cup j}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right) d x_{i} \wedge d x_{j} .
\]

В общем нестационарном случае, когда поле $u$ зависит явно от $t$, форму $\Omega$ также можно привести к стационарному виду. Для этого рассмотрим систему дифференциальных уравнений $\dot{x}=v(x, t)$, определяемую (9.3). Пусть $x(t, z)$ – решение этой системы с начальными данными $x(0, z)=z$. Соответствие $z \rightarrow x=x(t, z)$ будем трактовать как неавтономную замену переменных. Положим $u(x, t) d x+B(x, t) d t=u_{*}(z, t) d z+B_{*}(z, t) d t$. В силу свойства ковариантности уравнений Эйлера – Лагранжа, в новых переменных уравнение (9.3) принимает тот же вид:
\[
\frac{\partial u_{*}}{\partial t}+\left(\operatorname{rot} u_{*}\right) \dot{z}=\frac{\partial B_{*}}{\partial z} .
\]

Так как $\dot{z}=0$, то $\partial u_{*} / \partial t=\partial B_{*} / \partial z$. Отсюда следует, что $\partial \Omega_{*} / \partial t=$ $=0$, где $\Omega_{*}=d_{z}\left(u_{*}(z, t) d z\right)$. Итак, в новых переменных $z \quad 2$-форма $\Omega_{*}$ стационарна. Согласно лемме Пуанкаре, локально найдутся такие ковекторное поле $u^{\prime}(z)$ и функция $S(z, t)$, что $u_{*}(z, t) d z=$ $=u^{\prime}(z) d z+d_{z} S(z, t)$. Уравнение (9.4) принимает при этом вид $\left(\operatorname{rot} u^{\prime}\right) \dot{z}=\partial B^{\prime} / \partial z, B^{\prime}=B+\partial S / \partial t$. Эти уравнения гамильтоновы; гамильтонианом служит функция $B^{\prime}$.

Смысл поправки $\partial S / \partial t$ к гамильтониану $B$ ясен из следующего замечания: задача Пфаффа не изменится, если добавить в выражение для $P$ подынтегральное слагаемое $d S=(\partial S / \partial t) d t+$ $+(\partial S / \partial x) d x$.
4. Задача о представимости динамической системы в виде уравнений Гамильтона включает отыскание двух объектов: функции Гамильтона и подходящей симплектической структуры. Оказывается, в малой окрестности каждой неособой точки динамическая система на четномерном многообразии является гамильтоновой. Это вытекает из теоремы о выпрямлении фазовых траекторий: в подходящих локальных координатах уравнения приводятся к виду
\[
\dot{x}_{1}=1, \quad \dot{x}_{2}=\ldots=\dot{x}_{2 n}=0 .
\]

Система (9.5), очевидно, гамильтонова: симплектическая структура задается скобкой Пуассона $\{f, g\}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i+n}}-\frac{\partial f}{\partial x_{i+n}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}}\right)$, и функция Гамильтона $H$ равна $x_{n+1}$. Это замечание принадлежит Биркгофу $[18$, гл. II].

Таким образом, задача о представимости дифференциальных уравнений в виде уравнений Гамильтона является содержательной либо в окрестности положения равновесия, либо в достаточно большой области фазового пространства, где траектории обладают свойством возвращаемости (например, в окрестности периодической траектории). $\mathrm{K}$ сожалению, она пока совсем не изучена.