$1^{\circ}$. Сосчитаем скобку Пуассона двух функций $f$ и $h$, определенных на дуальном пространстве $g^{*}$ : они зависят только от переменных $m_{1}, \ldots, m_{n}$. Для этого надо (следуя общему правилу) рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом $h$ и вычислить полную производную по времени функции $f$ в силу этой системы. В переменных $x, m$ уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (1.7)
\[
\dot{m}_{k}=\sum c_{i k}^{j} m_{j} \frac{\partial h}{\partial m_{i}} ; \quad 1 \leq k \leq n .
\]

Поскольку $f$ не зависит от $x$, то нет смысла записывать замыкающую группу уравнений. Следовательно,
\[
\dot{f}=\{f, h\}=\sum c_{i k}^{j} m_{j} \frac{\partial f}{\partial m_{k}} \frac{\partial g}{\partial m_{i}} .
\]

Итак, скобка Пуассона функций на $g^{*}$ также является функцией на $g^{*}$. Скобка (5.1) называется скобкой Ли- Пуассона; она была впервые введена Софусом Ли в его теории групп преобразований.
Из (5.1) вытекает важная формула
\[
\left\{m_{i}, m_{j}\right\}=\sum c_{i j}^{k} m_{k},
\]

вполне аналогичная (4.3). Она показывает, что пространство линейных функций на $g^{*}$ (канонически изоморфное линейному пространству $g$ ) является алгеброй Ли относительно скобки Ли-Пуассона; эта алгебра, конечно, изоморфна алгебре $g$.

Для скобки Ли-Пуассона выполнены условия (1)-(4). Однако она может оказаться вырожденной: могут существовать непостоянные функции, коммутирующие со всеми функциями на $g^{*}$. Такие функции принято называть функциями Казимира.

Рассмотрим пример. В задаче Эйлера о свободном вращении волчка скобка Ли-Пуассона задается соотношениями
\[
\left\{m_{1}, m_{2}\right\}=m_{3}, \quad\left\{m_{2}, m_{3}\right\}=m_{1}, \quad\left\{m_{3}, m_{1}\right\}=m_{2} .
\]

Она вырождена: функция $k^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}$ (квадрат кинетического момента тела) коммутирует со всеми функциями на ( $s o(3))^{*}$. Согласно вихревой теории волчка Эйлера ( $§ 2$ ), интегральные кривые гамильтоновой системы с гамильтонианом $k^{2}$ являются вихревыми линиями.
$2^{\circ}$. Оказывается, функции Казимира тесно связаны с нетеровыми интегралами (4.1).
Лемма 6. $\left\{m_{i}, F_{j}\right\}=0$ для всех $i, j=1, \ldots, n$.

Доказательство.
Действительно, примем в качестве гамильтониана функцию $m_{i}$. Поскольку она инвариантна при всех левых сдвигах (как и исходная левоинвариантная метрика), то уравнения с исходным гамильтонианом $m_{i}$ допускают $n$ нетеровых интегралов $F_{1}, \ldots, F_{n}$.

Например, для волчка Эйлера лемма 6 утверждает, что коммутируют проекции кинетического момента тела на подвижные и неподвижные оси. Это легко проверить непосредственно, используя канонические координаты $\theta, \phi, \psi, p_{\theta}, p_{\phi}, p_{\psi}$. Действительно (в обозначениях $\S 2$ ), кинетический момент в направлении неподвижного вектора $\gamma$ равен $p_{\psi}$, а его проекции на подвижные оси равны $I_{1} \omega_{1}, I_{2} \omega_{2}, I_{3} \omega_{3}$. Представленные в канонических переменных, они не содержат угла

прецессии $\psi$. Следовательно, их скобка Пуассона с импульсом $p_{\psi}$ равна нулю.

От канонических координат $x, y$ в фазовом пространстве $T^{*} G \simeq$ $\simeq G \times g^{*}$ мы можем перейти к переменным $x, m$. После этой подстановки нетеровы интегралы становятся функциями от $x, m$, линейными по $m_{1}, \ldots, m_{n}$. Пусть $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – координаты в окрестности единицы группы $G$, которой отвечает значение $x=0$.
Лемма 7. Пусть в единице группы $G$ правоинвариантные поля $w_{1}, \ldots, w_{n}$ имеют вид
\[
(1,0, \ldots, 0)^{T}, \ldots,(0,0, \ldots, 1)^{T} .
\]

Тогда в этой точке $F_{k}=m_{k}(1 \leq k \leq m)$.
Доказательство.
Действительно, как отмечено в $\S 1$, лево- и правоинвариантные поля на группе $G$ получаются переносами одного и того же касательного вектора в единице с помощью левых и правых сдвигов. Следовательно, левоинвариантные поля в единице также имеют вид (5.3) и поэтому матрица их компонент $\left\|v_{i j}\right\|$ будет единичной. Учитывая (1.2) и (5.3), получим
\[
F_{k}=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}} \cdot w_{k}=\frac{\partial T}{\partial \omega} \frac{\partial \omega}{\partial \dot{x}} \cdot w_{k}=\frac{\partial T}{\partial \omega} \cdot\left(\frac{\partial \omega}{\partial \dot{x}}\right)^{T} w_{k}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{k}}=m_{k} .
\]

Для волчка Эйлера лемма 7 имеет простой смысл. Единица группы $S O(3)$ отвечает совпадению подвижных и неподвижных осей. Следовательно, в этом положении совпадают проекции кинетического момента на подвижные и неподвижные оси.

Предложение 4. Функции Казимира – это функции от нетеровых интегралов, не зависящие от кооринат на группе.

Доказательство состоит из двух частей.
1) Пусть функция
\[
\Phi\left(F_{1}, \ldots, F_{n}\right)
\]

не зависит от координат $x_{1}, \ldots, x_{n}$ на группе $G$. Поскольку $F_{k}=m_{k}$ при $x=0$ (лемма 2), то функция (5.4) совпадает с функцией
\[
\Phi\left(m_{1}, \ldots, m_{n}\right) .
\]

Согласно лемме 6 , эта функция (а, значит, и (5.4)) коммутирует со всеми нетеровыми интегралами. Ввиду совпадения вида коммутационных соотношений (4.3) и (5.2), функция (5.5) коммутирует со всеми $m_{1}, \ldots, m_{n}$. Значит, она – функция Казимира.
2) Обратно, пусть (5.5) – функция Казимира. Тогда (5.4) коммутирует со всеми нетеровыми интегралами. Следовательно, она не зависит от точки на группе. Поскольку функции (5.4) и (5.5) совпадают при $x=0$, то они равны тождественно.
$3^{\circ}$. При фиксированных значениях нетеровых интегралов
\[
F_{1}=c_{1}, \ldots, F_{n}=c_{n}
\]

канонические импульсы можно представить как однозначные функции на группе $G$ :
\[
y_{1}=u_{1}(x, c), \ldots, y_{n}=u_{n}(x, c) .
\]

Пусть $T$ – левоинвариантная метрика (кинетическая энергия) на группе $G$, представленная в канонических переменных. Положим
\[
\dot{x}=\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=u(x, c)}=v(x, c), \quad x \in G .
\]

Поле $v$, очевидно, совпадает с полем (3.3).
Пусть $\Phi_{1}(x, y), \ldots, \Phi_{k}(x, y)$ – функции Казимира. Им можно сопоставить $k$ векторных полей на группе $G$ :
\[
w_{1}(x, c)=\left.\frac{\partial \Phi_{1}}{\partial y}\right|_{y=u}, \ldots, w_{k}(x, c)=\left.\frac{\partial \Phi_{k}}{\partial y}\right|_{y=u} .
\]

Векторные поля $v, w_{1}, \ldots, w_{k}$ имеют прозрачный геометрический смысл. Пусть
\[
v_{T}, v_{\Phi_{1}}, \ldots, v_{\Phi_{k}}
\]

– гамильтоновы векторные поля на $G \times g^{*}$, порожденные гамильтонианами $T, \Phi_{1}, \ldots, \Phi_{k}$. Поскольку эти функции левоинвариантны, то интегралы Нетер будут интегралами каждого поля (5.7). Следовательно, векторные поля (5.7) касаются каждой $n$-мерной регулярной поверхности
\[
\Sigma_{c}=\left\{F_{1}=c_{1}, \ldots, F_{n}=c_{n}\right\} \subset G \times g^{*} .
\]

Образы гамильтоновых полей (5.7) при естественном проектировании $\Sigma_{c} \rightarrow G$ (точка $x, y$ переходит в точку $x$ ) – это как раз наши векторные поля $v, w_{1}, \ldots, w_{k}$.

Теорема 3. Справедливы следующие заключения:
(1) поля $w_{1}, \ldots, w_{k}$ – вихревые,
(2) они коммутируют с полем v и между собой,
(3) $\omega\left(w_{j}\right)=$ const, где $\omega=\sum u_{i} d x_{i}$.
Это утверждение, отмеченное в работе [71], распространяет на многомерный случай свойства $\mathbf{a}$-с вихревой теории волчка (§2).

Доказательство.
Заключение (1) – прямое следствие леммы 4 из §4. Поскольку
\[
\left\{T, \Phi_{i}\right\}=0, \quad\left\{\Phi_{i}, \Phi_{j}\right\}=0,
\]

то гамильтоновы поля (5.7) коммутируют между собой (лемма 3 из $\$ 4$ ). Следовательно, коммутируют проекции на группу $G$ сужений этих полей на инвариантные многообразия $\Sigma_{c}$.

Докажем, наконец, заключение (3). Сперва заметим, что каждая однородная часть разложения функции Казимира в ряд Маклорена по однородным формам переменных $m_{1}, \ldots, m_{n}$ сама является функцией Казимира. Поэтому можно ограничиться рассмотрением однородных многочленов. Далее,
\[
i_{w_{s}} \omega=\left(y \cdot \frac{\partial \Phi_{s}}{\partial y}\right)_{y=u}
\]

равно $p \Phi_{s}$, где $p$ – степень однородности $\Phi_{s}$ (формула Эйлера). Согласно предложению 2 , функция Казимира – полином от нетеровых интегралов. Поэтому после подстановки $y=u(x, c)$ получаем, что правая часть (5.8) зависит лишь от $c_{1}, \ldots, c_{n}$.
$4^{\circ}$. В связи с теоремой 3 возникает естественный вопрос: исчерпывают ли комбинации векторных полей $w_{1}, \ldots, w_{k}$ все вихревые поля? Ответ на этот вопрос существенно зависит от постоянных нетеровых интегралов $c_{1}, \ldots, c_{n}$. Например, если $c=0$, то и $\omega=0$ и поэтому любое ненулевое векторное поле будет вихревым.

Однако для почти всех значений $c_{1}, \ldots, c_{n}$ других вихревых полей нст. Эти эшчсния опрсделяотся условисм, что рапг $r$ гососимметрической матрицы скобок Пуассона
\[
\left\|\left\{F_{i}, F_{j}\right\}\right\|=\left\|\sum_{k} c_{i j}^{k} c_{k}\right\|
\]

максимальный. Кстати сказать, $r$ – число четное. Можно показать, что количество независимых функций Казимира равно $k=n-r$. Тогда, по лемме 3 из $\S 4$, все вихревые векторы сводятся к линейным комбинациям векторов $w_{1}, \ldots, w_{k}$.

Поскольку поля $w_{1}, \ldots, w_{k}$ левоинвариантные, то эти векторы линейно независимы во всех точках группы $G$. Так как они коммутируют, то (по теореме Фробениуса) их линейные комбинации порождают интегрируемое $k$-мерное распределение касательных векторов на $G$. Интегральные $k$-мерные многообразия этого распределения будут как раз вихревыми многообразиями.

Если группа $G$ компактна (как для волчка Эйлера), то вихревые многообразия – замкнутые поверхности. Это – аналог свойства замкнутости вихревых линий в случае вращающегося волчка. Поскольку $k$-мерные вихревые многообразия компактны и допускают $k$ независимых коммутирующих касательных полей, то они будут $k$-мерными торами. Top, содержащий единицу группы, будет подгруппой группы $G$; он называется максимальным тором группы $G$. Максимальные торы играют ключевую роль в классификации компактных групп Ли (см., например, [1]).

Свойство компактности вихревых многообразий позволяет осуществить в целом факторизацию группы $G$ по вихревым многообразиям. После факторизации система уравнений $\dot{x}=v(x, c)$ становится гамильтоновой на фактор-пространстве четной размерности $n-k$. Обсуждение различных аспектов понижения порядка систем с симметриями можно найти в книге [10].
$5^{\circ}$. Пусть $H_{1}, \ldots, H_{s}$ – функции на дуальном пространстве $g^{*}$, которые являются первыми интегралами уравнений движения: их скобка Ли-Пуассона с кинетической энергией, представленной в переменных $m_{1}, \ldots, m_{n}$, равна нулю. Эти интегралы можно продолжить до функций, заданных во всем пространстве. Положим
\[
h_{1}(x, c)=H_{1}(x, u(x, c)), \ldots, h_{s}(x, c)=H_{s}(x, u(x, c)) .
\]

Если $H_{1}, \ldots, H_{s}$ не являются функциями Казимира, то для почти всех значений $c \in R^{n}$ функции $h_{1}, \ldots, h_{s}$ непостоянные на группе $G$. Положим еще
\[
v_{1}=\left.\frac{\partial H_{1}}{\partial y}\right|_{y=u}, \ldots, v_{s}=\left.\frac{\partial H_{s}}{\partial y}\right|_{y=u} .
\]

Теорема 4. Функции $h_{1}, \ldots, h_{s}$ – функиии Бернулли (они постоянны на линиях тока и на вихревых линиях), а векторные поля $v_{1}, \ldots, v_{s}$ на группе $G$ коммутируют с вихревыми полями $w_{1}, \ldots, w_{k}$.

Это утверждение – следствие коммутируемости функций $H_{1}, \ldots, H_{s}$ с нетеровыми интегралами и функциями Казимира. Поскольку к функциям $H_{1}, \ldots, H_{s}$ можно добавить кинетическую энергию, то теорема 4 – обобщение свойства $\mathbf{f}$ вихревой теории волчка.
Рассмотрим важный частный случай, когда
\[
s=(n-k) / 2
\]

и независимые интегралы $H_{1}, \ldots, H_{s}$ попарно находятся в инволюции. Тогда, очевидно,
\[
\left[v_{i}, v_{j}\right]=0, \quad 1 \leq i, j \leq s .
\]

Пусть
\[
B_{\alpha}=\left\{x: h_{1}\left(x_{1}\right)=\alpha_{1}, \ldots, h_{s}(x)=\alpha_{s}\right\}
\]
– поверхности Бернулли. Для некритических значений $\alpha \in R^{n}$ они являются регулярными многообразиями размерности $s+k$, которые (по теореме 2) допускают $s+k$ независимых касательных полей
\[
v_{1}, \ldots, v_{s}, w_{1}, \ldots, w_{k} .
\]

Согласно теореме 4 и (5.10), эти поля попарно коммутируют. Следовательно, если группа $G$ компактна, то каждая связная компонента поверхности Бернулли будет ( $s+k$ )-мерным тором.

Для волчка Эйлера $n=3, k=1$ (единственная функция Казимира – квадрат модуля момента), $s=1$ (если тензор инерции не шаровой, то интеграл энергии независим с функцией Казимира). Соотношение (5.9) выполнено и поэтому группа $S O(3)$ расслоена на двумерные торы – поверхности Бернулли.