$1^{\circ }$. Сосчитаем скобку Пуассона двух функций $f$ и $h$, определенных на дуальном пространстве $g^{\ast }$ : они зависят только от переменных $m_1,\dots ,m_n$. Для этого надо (следуя общему правилу) рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом $h$ и вычислить полную производную по времени функции $f$ в силу этой системы. В переменных $x,m$ уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (1.7)
$${\dot{m}}_k=\sum c_{ik}^j{m}_j\frac{\partial h}{\partial m_i};1\le k\le n.$$

Поскольку $f$ не зависит от $x$, то нет смысла записывать замыкающую группу уравнений. Следовательно,
$$\dot{f}=\{f,h\}=\sum c_{ik}^j{m}_j\frac{\partial f}{\partial m_k}\frac{\partial g}{\partial m_i}.$$

Итак, скобка Пуассона функций на $g^{\ast }$ также является функцией на $g^{\ast }$. Скобка (5.1) называется скобкой Ли- Пуассона; она была впервые введена Софусом Ли в его теории групп преобразований.
Из (5.1) вытекает важная формула
$$\{m_i,m_j\}=\sum c_{ij}^k{m}_k,$$

вполне аналогичная (4.3). Она показывает, что пространство линейных функций на $g^{\ast }$ (канонически изоморфное линейному пространству $g$ ) является алгеброй Ли относительно скобки Ли-Пуассона; эта алгебра, конечно, изоморфна алгебре $g$.

Для скобки Ли-Пуассона выполнены условия (1)-(4). Однако она может оказаться вырожденной: могут существовать непостоянные функции, коммутирующие со всеми функциями на $g^{\ast }$. Такие функции принято называть функциями Казимира.

Рассмотрим пример. В задаче Эйлера о свободном вращении волчка скобка Ли-Пуассона задается соотношениями
$$\{m_1,m_2\}=m_3,\{m_2,m_3\}=m_1,\{m_3,m_1\}=m_2.$$

Она вырождена: функция $k^2=m_1^2+m_2^2+m_3^2$ (квадрат кинетического момента тела) коммутирует со всеми функциями на ( $so(3){)}^{\ast }$. Согласно вихревой теории волчка Эйлера ( $\S 2$ ), интегральные кривые гамильтоновой системы с гамильтонианом $k^2$ являются вихревыми линиями.
$2^{\circ }$. Оказывается, функции Казимира тесно связаны с нетеровыми интегралами (4.1).
Лемма 6. $\{m_i,F_j\}=0$ для всех $i,j=1,\dots ,n$.

Доказательство.
Действительно, примем в качестве гамильтониана функцию $m_i$. Поскольку она инвариантна при всех левых сдвигах (как и исходная левоинвариантная метрика), то уравнения с исходным гамильтонианом $m_i$ допускают $n$ нетеровых интегралов $F_1,\dots ,F_n$.

Например, для волчка Эйлера лемма 6 утверждает, что коммутируют проекции кинетического момента тела на подвижные и неподвижные оси. Это легко проверить непосредственно, используя канонические координаты $\theta ,\varphi ,\psi ,p_{\theta },p_{\varphi },p_{\psi }$. Действительно (в обозначениях $\mathrm{\S }2$ ), кинетический момент в направлении неподвижного вектора $\gamma$ равен $p_{\psi }$, а его проекции на подвижные оси равны $I_1{\omega }_1,I_2{\omega }_2,I_3{\omega }_3$. Представленные в канонических переменных, они не содержат угла

прецессии $\psi$. Следовательно, их скобка Пуассона с импульсом $p_{\psi }$ равна нулю.

От канонических координат $x,y$ в фазовом пространстве $T^{\ast }G\simeq$ $\simeq G\times g^{\ast }$ мы можем перейти к переменным $x,m$. После этой подстановки нетеровы интегралы становятся функциями от $x,m$, линейными по $m_1,\dots ,m_n$. Пусть $x_1,\dots ,x_n$ — координаты в окрестности единицы группы $G$, которой отвечает значение $x=0$.
Лемма 7. Пусть в единице группы $G$ правоинвариантные поля $w_1,\dots ,w_n$ имеют вид
$$(1,0,\dots ,0{)}^T,\dots ,(0,0,\dots ,1{)}^T.$$

Тогда в этой точке $F_k=m_k(1\le k\le m)$.
Доказательство.
Действительно, как отмечено в $\mathrm{\S }1$, лево- и правоинвариантные поля на группе $G$ получаются переносами одного и того же касательного вектора в единице с помощью левых и правых сдвигов. Следовательно, левоинвариантные поля в единице также имеют вид (5.3) и поэтому матрица их компонент $\Vert v_{ij}\Vert$ будет единичной. Учитывая (1.2) и (5.3), получим
$$F_k=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}\cdot w_k=\frac{\partial T}{\partial \omega }\frac{\partial \omega }{\partial \dot{x}}\cdot w_k=\frac{\partial T}{\partial \omega }\cdot {\left(\frac{\partial \omega }{\partial \dot{x}}\right)}^T{w}_k=\frac{\partial T}{\partial {\omega }_k}=m_k.$$

Для волчка Эйлера лемма 7 имеет простой смысл. Единица группы $SO(3)$ отвечает совпадению подвижных и неподвижных осей. Следовательно, в этом положении совпадают проекции кинетического момента на подвижные и неподвижные оси.

Предложение 4. Функции Казимира — это функции от нетеровых интегралов, не зависящие от кооринат на группе.

Доказательство состоит из двух частей.
1) Пусть функция
$$\mathrm{\Phi }(F_1,\dots ,F_n)$$

не зависит от координат $x_1,\dots ,x_n$ на группе $G$. Поскольку $F_k=m_k$ при $x=0$ (лемма 2), то функция (5.4) совпадает с функцией
$$\mathrm{\Phi }(m_1,\dots ,m_n).$$

Согласно лемме 6 , эта функция (а, значит, и (5.4)) коммутирует со всеми нетеровыми интегралами. Ввиду совпадения вида коммутационных соотношений (4.3) и (5.2), функция (5.5) коммутирует со всеми $m_1,\dots ,m_n$. Значит, она — функция Казимира.
2) Обратно, пусть (5.5) — функция Казимира. Тогда (5.4) коммутирует со всеми нетеровыми интегралами. Следовательно, она не зависит от точки на группе. Поскольку функции (5.4) и (5.5) совпадают при $x=0$, то они равны тождественно.
$3^{\circ }$. При фиксированных значениях нетеровых интегралов
$$F_1=c_1,\dots ,F_n=c_n$$

канонические импульсы можно представить как однозначные функции на группе $G$ :
$$y_1=u_1(x,c),\dots ,y_n=u_n(x,c).$$

Пусть $T$ — левоинвариантная метрика (кинетическая энергия) на группе $G$, представленная в канонических переменных. Положим
$$\dot{x}={\frac{\partial T}{\partial y}|}_{y=u(x,c)}=v(x,c),x\in G.$$

Поле $v$, очевидно, совпадает с полем (3.3).
Пусть ${\mathrm{\Phi }}_1(x,y),\dots ,{\mathrm{\Phi }}_k(x,y)$ — функции Казимира. Им можно сопоставить $k$ векторных полей на группе $G$ :
$$w_1(x,c)={\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_1}{\partial y}|}_{y=u},\dots ,w_k(x,c)={\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_k}{\partial y}|}_{y=u}.$$

Векторные поля $v,w_1,\dots ,w_k$ имеют прозрачный геометрический смысл. Пусть
$$v_T,v_{{\mathrm{\Phi }}_1},\dots ,v_{{\mathrm{\Phi }}_k}$$

— гамильтоновы векторные поля на $G\times g^{\ast }$, порожденные гамильтонианами $T,{\mathrm{\Phi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_k$. Поскольку эти функции левоинвариантны, то интегралы Нетер будут интегралами каждого поля (5.7). Следовательно, векторные поля (5.7) касаются каждой $n$-мерной регулярной поверхности
$${\mathrm{\Sigma }}_c=\{F_1=c_1,\dots ,F_n=c_n\}\subset G\times g^{\ast }.$$

Образы гамильтоновых полей (5.7) при естественном проектировании ${\mathrm{\Sigma }}_c\to G$ (точка $x,y$ переходит в точку $x$ ) — это как раз наши векторные поля $v,w_1,\dots ,w_k$.

Теорема 3. Справедливы следующие заключения:
(1) поля $w_1,\dots ,w_k$ — вихревые,
(2) они коммутируют с полем v и между собой,
(3) $\omega \left(w_j\right)=$ const, где $\omega =\sum u_{i}d{x}_i$.
Это утверждение, отмеченное в работе [71], распространяет на многомерный случай свойства $\mathbf{a}$-с вихревой теории волчка (§2).

Доказательство.
Заключение (1) — прямое следствие леммы 4 из §4. Поскольку
$$\{T,{\mathrm{\Phi }}_i\}=0,\{{\mathrm{\Phi }}_i,{\mathrm{\Phi }}_j\}=0,$$

то гамильтоновы поля (5.7) коммутируют между собой (лемма 3 из $\mathrm{\$}4$ ). Следовательно, коммутируют проекции на группу $G$ сужений этих полей на инвариантные многообразия ${\mathrm{\Sigma }}_c$.

Докажем, наконец, заключение (3). Сперва заметим, что каждая однородная часть разложения функции Казимира в ряд Маклорена по однородным формам переменных $m_1,\dots ,m_n$ сама является функцией Казимира. Поэтому можно ограничиться рассмотрением однородных многочленов. Далее,
$$i_{w_s}\omega ={(y\cdot \frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_s}{\partial y})}_{y=u}$$

равно $p{\mathrm{\Phi }}_s$, где $p$ — степень однородности ${\mathrm{\Phi }}_s$ (формула Эйлера). Согласно предложению 2 , функция Казимира — полином от нетеровых интегралов. Поэтому после подстановки $y=u(x,c)$ получаем, что правая часть (5.8) зависит лишь от $c_1,\dots ,c_n$.
$4^{\circ }$. В связи с теоремой 3 возникает естественный вопрос: исчерпывают ли комбинации векторных полей $w_1,\dots ,w_k$ все вихревые поля? Ответ на этот вопрос существенно зависит от постоянных нетеровых интегралов $c_1,\dots ,c_n$. Например, если $c=0$, то и $\omega =0$ и поэтому любое ненулевое векторное поле будет вихревым.

Однако для почти всех значений $c_1,\dots ,c_n$ других вихревых полей нст. Эти эшчсния опрсделяотся условисм, что рапг $r$ гососимметрической матрицы скобок Пуассона
$$\Vert \{F_i,F_j\}\Vert =\Vert \sum _k{c}_{ij}^k{c}_k\Vert$$

максимальный. Кстати сказать, $r$ — число четное. Можно показать, что количество независимых функций Казимира равно $k=n-r$. Тогда, по лемме 3 из $\mathrm{\S }4$, все вихревые векторы сводятся к линейным комбинациям векторов $w_1,\dots ,w_k$.

Поскольку поля $w_1,\dots ,w_k$ левоинвариантные, то эти векторы линейно независимы во всех точках группы $G$. Так как они коммутируют, то (по теореме Фробениуса) их линейные комбинации порождают интегрируемое $k$-мерное распределение касательных векторов на $G$. Интегральные $k$-мерные многообразия этого распределения будут как раз вихревыми многообразиями.

Если группа $G$ компактна (как для волчка Эйлера), то вихревые многообразия — замкнутые поверхности. Это — аналог свойства замкнутости вихревых линий в случае вращающегося волчка. Поскольку $k$-мерные вихревые многообразия компактны и допускают $k$ независимых коммутирующих касательных полей, то они будут $k$-мерными торами. Top, содержащий единицу группы, будет подгруппой группы $G$; он называется максимальным тором группы $G$. Максимальные торы играют ключевую роль в классификации компактных групп Ли (см., например, [1]).

Свойство компактности вихревых многообразий позволяет осуществить в целом факторизацию группы $G$ по вихревым многообразиям. После факторизации система уравнений $\dot{x}=v(x,c)$ становится гамильтоновой на фактор-пространстве четной размерности $n-k$. Обсуждение различных аспектов понижения порядка систем с симметриями можно найти в книге [10].
$5^{\circ }$. Пусть $H_1,\dots ,H_s$ — функции на дуальном пространстве $g^{\ast }$, которые являются первыми интегралами уравнений движения: их скобка Ли-Пуассона с кинетической энергией, представленной в переменных $m_1,\dots ,m_n$, равна нулю. Эти интегралы можно продолжить до функций, заданных во всем пространстве. Положим
$$h_1(x,c)=H_1(x,u(x,c)),\dots ,h_s(x,c)=H_s(x,u(x,c)).$$

Если $H_1,\dots ,H_s$ не являются функциями Казимира, то для почти всех значений $c\in R^n$ функции $h_1,\dots ,h_s$ непостоянные на группе $G$. Положим еще
$$v_1={\frac{\partial H_1}{\partial y}|}_{y=u},\dots ,v_s={\frac{\partial H_s}{\partial y}|}_{y=u}.$$

Теорема 4. Функции $h_1,\dots ,h_s$ — функиии Бернулли (они постоянны на линиях тока и на вихревых линиях), а векторные поля $v_1,\dots ,v_s$ на группе $G$ коммутируют с вихревыми полями $w_1,\dots ,w_k$.

Это утверждение — следствие коммутируемости функций $H_1,\dots ,H_s$ с нетеровыми интегралами и функциями Казимира. Поскольку к функциям $H_1,\dots ,H_s$ можно добавить кинетическую энергию, то теорема 4 — обобщение свойства $\mathbf{f}$ вихревой теории волчка.
Рассмотрим важный частный случай, когда
$$s=(n-k)/2$$

и независимые интегралы $H_1,\dots ,H_s$ попарно находятся в инволюции. Тогда, очевидно,
$$[v_i,v_j]=0,1\le i,j\le s.$$

Пусть
$$B_{\alpha }=\{x:h_1\left(x_1\right)={\alpha }_1,\dots ,h_s(x)={\alpha }_s\}$$
— поверхности Бернулли. Для некритических значений $\alpha \in R^n$ они являются регулярными многообразиями размерности $s+k$, которые (по теореме 2) допускают $s+k$ независимых касательных полей
$$v_1,\dots ,v_s,w_1,\dots ,w_k.$$

Согласно теореме 4 и (5.10), эти поля попарно коммутируют. Следовательно, если группа $G$ компактна, то каждая связная компонента поверхности Бернулли будет ( $s+k$ )-мерным тором.

Для волчка Эйлера $n=3,k=1$ (единственная функция Казимира — квадрат модуля момента), $s=1$ (если тензор инерции не шаровой, то интеграл энергии независим с функцией Казимира). Соотношение (5.9) выполнено и поэтому группа $SO(3)$ расслоена на двумерные торы — поверхности Бернулли.