1. Рассмотрим задачу о движении точки по плоскости в гравитационном поле $n$ неподвижных центров. Гамильтониан этой системы с двумя степенями свободы удобно записать с использованием комплексных чисел. Пусть $z_{1}, \ldots, z_{n}$ – различные точки комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Функция Гамильтона задачи $n$ центров имеет вид
\[
\begin{aligned}
H(p, z) & =|p|^{2} / 2+V(z), \quad p \in \mathbb{C}, \quad z \in \mathbb{C} \backslash\left\{z_{1}, \ldots, z_{n}\right\}, \quad \text { (5.1) } \\
\text { где } V(z) & =-\sum_{k=1}^{n} \mu_{k} /\left|z-z_{k}\right| \text {-гравитационный потенциал }\left(\mu_{k}>0\right) .
\end{aligned}
\]
47

При $n=1$ и $n=2$ имеем интегрируемые задачи Кеплера и Эйлера. В задаче Кеплера дополнительным интегралом является интеграл момента, а задача Эйлера интегрируется разделением переменных (в эллиптических координатах). Задача Кеплера вполне интегрируема и в многомерном евклидовом пространстве [220]. Наиболее интересный с точки зрения релятивистской механики случай пространства Минковского рассмотрен в работе [93]. В литературе, по-видимому, не отмечалась полная интегрируемость многомерной задачи двух центров.

2. Предположим, что Солнце $S$ и Юпитер $J$ вращаются вокруг общего центра масс по круговым орбитам. Единицы длины, времени и массы выберем так, чтобы угловая скорость вращения, сумма масс $S$ и $J$, а также гравитационная постоянная были равны единице. Нетрудно понять, что при этом расстояние $S J$ тоже равно единице.

Уравнения движения астероида $A$ в подвижной системе координат можно записать в виде двух уравнений:
\[
\ddot{x}-2 \dot{y}=-\partial V / \partial x, \quad \ddot{y}+2 \dot{x}=-\partial V / \partial y,
\]

где $-V=\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2+(1-\mu) / \rho_{1}+\mu / \rho_{2}, \mu$ – масса Юпитера, $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ – расстояния от астероида $A$ соответственно до $S$ и $J$. Уравнения (5.2) имеют интеграл $H=\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right) / 2+V(x, y)$, называемый интегралом Якоби. Эти уравнения можно представить в канонической форме: функцией Гамильтона является полная энергия астероида $A$. Хорошо известно, что система (5.2) имеет пять положений равновесия $L_{1}, \ldots, L_{5}$, которые называются точками либрации. Равновесия $L_{1}, L_{2}$, $L_{3}$ расположенные на линии Солнце — Юпитер, обнаружены Эйлером; они всегда неустойчивы. Оставшиеся два равновесия $L_{4}$ и $L_{5}$ (открытые Лагранжем) дополняют точки $S$ и $J$ до вершин равносторонних треугольников (рис. 4); равновесия $L_{4}, L_{5}$ устойчивы в линейном приближении, если выполнено условие $\mu(1-\mu)<1 / 27$. Задача об их устойчивости в смысле определения Ляпунова оказалась значительно

сложнее. С помощью теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений, различными авторами установлено, что треугольные точки либрации устойчивы при всех $\mu$ (удовлетворяющих условию устойчивости в линейном приближении), кроме двух значений: $\mu_{1}=0,0242938 \ldots$ и $\mu_{2}=0,013560 \ldots$ Если $\mu=\mu_{1}\left(\mu_{2}\right)$, то частоты линейных колебаний находятся в резонансе $1: 2(1: 3)$. А. П. Маркеев [122] доказал неустойчивость в смысле Ляпунова треугольных точек либрации при этих исключительных значениях параметра.

Можно рассматривать более общую плоскую круговую ограниченную задачу $n$ тел: $n-1$ массивных тел совершают круговое равномерное вращение вокруг их общего центра масс, а $n$-е тело пренебрежимо малой массы движется в плоскости орбит массивных тел в их гравитационном поле. При $n>3$ полное описание точек либрации в ограниченной задаче $n$ тел-интересная нерешенная алгебраическая задача.

Уравнения ограниченной задачи $n$ тел являются гамильтоновой системой с гироскопическими силами (в смысле определения п. 8 $\S 1$ ), причем форма гироскопических сил совпадает с 2-формой обычной площади $d x \wedge d y$.

3. Рассмотрим еще один вариант ограниченной задачи трех тел, в котором две точки одинаковой массы описывают эллиптические орбиты в плоскости $x, y$, симметричные относительно оси $z$, а третья точка нулевой массы все время остается на оси $z$ (пылинка в поле двойной звезды, рис. 5). Движение последней описывается дифференциРис. 5 альным уравнением
\[
\ddot{z}=-z\left[z^{2}+r^{2}(t)\right]^{-3 / 2},
\]

где расстояние $r$ от массивной точки до оси $z$ находится по формуле конического сечения $r=\frac{p}{1+e \cos \varphi} \quad(p, e=$ const), а угол $\varphi$ как функция времени находится из известных формул Кеплера $\operatorname{tg} \frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \operatorname{tg} \frac{u}{2}, u-e \sin u=n t, n=p^{-3 / 2}$.

При $e=0$ уравнение (5.3) становится автономным и поэтому просто интегрируется в квадратурах.