1. Пусть $M$ — симплектическое многообразие, и $F_{1}, \ldots, F_{n}$ независимые функции на $M$, порождающие конечномерную подалгебру алгебры Ли $C^{\infty}(M)$, т. е. $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=\sum c_{i j}^{k} F_{k}$ (c const). В каждой точке $x \in M$ векторы $\sum \lambda_{i} v_{F_{i}}$ образуют $n$-мерное линейное подпространство П $(x)$ в $T_{x} M$. Распределение плоскостей П \»инволютивно\», т. е. из $X, Y \in$ П следует $[X, Y] \in$ П. Следовательно, по теореме Фробениуса, через каждую точку $x \in M$ проходит мак-

симальное интегральное многообразие $N_{x}$ распределения П. Многообразия $N_{x}$ могут быть погружены в $M$ весьма сложным образом; так, они не обязательно замкнуты. При $n=(\operatorname{dim} M) / 2$ среди интегральных многообразий распределения П есть замкнутые поверхности $M_{a}=\left\{x \in M: F_{i}(x)=a_{i}, \sum c_{i j}^{k} a_{k}=0\right\}$. Если $x \in M_{a}$, то $N_{x}$ совпадает с одной из связных компонент $M_{a}$. В случае, когда функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ попарно коммутируют, всё $M$ расслоено на замкнутые многообразия $M_{a}$, строение которых описывает

Теорема 1. Пусть гладкие функции $F_{1}, \ldots, \dot{F}_{n}: M \rightarrow \mathbb{R}$ находятся в инволюции: $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0(1 \leqslant i, j \leqslant n)$ и $\operatorname{dim} M=2 n$. Если
1) они независимы на $M_{a}$;
2) гамильтоновы поля $v_{F_{i}}(1 \leqslant i \leqslant n)$ нестеснены на $M_{a}$, то
1) каждая связная компонента $M_{a}$ диффеоморфна $\mathbb{R}^{k} \times \mathbf{T}^{n-k}$;
2) на $\mathbb{R}^{k} \times \mathbf{T}^{n-k}$ существуют такие координаты $y_{1}, \ldots, y_{k}$; $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n-k} \bmod 2 \pi$, в которых уравнение Гамильтона $\dot{x}=v_{F_{i}}(x)$ имеет вид $\dot{y}_{m}=c_{m i}, \dot{\varphi}_{s}=\omega_{s i} \quad\left(c_{m i}, \omega_{s i}=\right.$ const $)$.

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти; например, в книгах $[11,54]$ ). Рассмотрим $n$ однопараметрических групп $g_{i}^{t_{i}}\left(t_{i} \in \mathbb{R}\right.$ ), являющихся фазовыми потоками $n$ гамильтоновых полей $v_{F_{i}}$. Функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ находятся в инволюции, поэтому поля $v_{F_{i}}$ касаются $M_{a}$. Следовательно, группы $g_{i}$ переводят гладкие многообразия $M_{a}$ в себя, поэтому определено действие $g_{i}$ на $M_{a}$. В силу условия 2), значения $g_{i}^{t_{i}}(x)\left(x \in M_{a}\right)$ определены при всех $t_{i}$. Поля $v_{i}$ и $v_{j}$ коммутируют на $M_{a}$, поэтому группы $g_{i}$ и $g_{j}$ также коммутируют. Следовательно, на $M_{a}$ определено действие абелевой $n$-мерной группы $\mathbb{R}^{n}=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\}: \quad g^{t_{1}, \ldots, t_{n}}(x)=g_{1}^{t_{1}} \ldots g_{n}^{t_{n}}(x)$. Согласно условию 1), градиенты функций $F_{1}, \ldots, F_{n}$ независимы во всех точках $M_{a}$, поэтому на $M_{a}$ векторные поля $v_{1}, \ldots, v_{n}$ также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности $M_{a}$ выводится, что действие группы $\mathbb{R}^{n}$ на $M_{a}$. свободно и транзитивно. Следовательно, $M_{a}$ диффеоморфно фактормногообразию $\mathbb{R}^{n} / \Gamma$, где $\Gamma$ — стационарная группа действия $\mathbb{R}^{n}$ (она состоит из точек $s \in \mathbb{R}^{n}$, для которых $g^{s} x=x$ ). Поля $v_{1}, \ldots, v_{n}$ независимы, поэтому $\Gamma$ — дискретная подгруппа в $\mathbb{R}^{n}$, изоморфная, как известно, $\mathbb{Z}^{k}(0 \leqslant k \leqslant n)$. Таким образом, $M_{a} \simeq \mathbb{R}^{n} / \mathbb{Z}^{k}=\mathbf{T}^{k} \times \mathbb{R}^{n-k}$. Равномерно меняющиеся \»глобальные\» координаты $\varphi \bmod 2 \pi, y$ линейно выражаются через $t_{1}, \ldots, t_{n}$. Полагая $t_{j}=$ const при всех $j
eq i$, получаем решения гамильтоновой системы $\dot{x}=v_{i}(x)$ как линейные функции времени $t_{i}=t$.

Гамильтонова система с гамильтонианом $H=F_{i}(1 \leqslant i \leqslant n)$ называется вполне интегрируемой.

2. Наиболее интересен случай, когда $M_{a}$ компактно. Тогда $k=$ $=0$, следовательно, $M_{a} \simeq \mathbf{T}^{n}$. Равномерное движение на $\mathbf{T}^{n}=$ $=\{\varphi \bmod 2 \pi\}$ по закону $\varphi_{i}=\varphi_{i}^{0}+\omega_{i} t(1 \leqslant i \leqslant n)$ называется условно-периодическим. Числа $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ — его частоты. Тор с набором частот $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ называется нерезонансныл, если из равенства $\sum k_{i} \omega_{i}=0$ с целыми $k_{1}, \ldots, k_{n}$ вытекает, что все $k_{i}$ равны нулю. На нерезонансных торах каждая фазовая траектория всюду плотна. Это утверждение является простым следствием следующего общего результата, принадлежащего Г. Вейлю: пусть $f: \mathrm{T}^{n} \rightarrow$ $\rightarrow \mathbb{R}$ — интегрируемая по Риману функция, $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ — рационально независимые числа. Тогда для любой точки $\varphi^{0} \in \mathbf{T}^{n}$ предел $\lim _{s \rightarrow \infty} \frac{1}{s} \int_{0}^{s} f\left(\omega t+\varphi^{0}\right) d t$ существует и равен $\frac{1}{(2 \pi)^{n}} \int_{\mathbf{T}^{n}} f(\varphi) d \varphi_{1} \ldots d \varphi_{n}$.

Пусть, в частности, $f$-характеристическая функция измеримой по Жордану области $D$ на $\mathbf{T}^{n}$. Применяя к $f$ теорему Вейля, получим следующее утверждение: средняя доля времени, которое фазовая траектория проводит в $D$, пропорциональна мере $D$. Этот факт характеризует свойство равномерного распределения траекторий на нерезонансных торах. Если тор резонансный, фазовые траектории заполняют торы меньшей размерности:

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и интегральное многообразие $M_{a}$ компактно. Тогда:
1) малая окрестность многообразия $M_{a}$ в симплектическом многообразии $M$ диффеоморфна прямому произведению $D \times \mathbf{T}^{n}$, где $D$ — малая область в $\mathbb{R}^{n}$;
2) в. $D \times \mathrm{T}^{n}$ существуют симплектические координаты $I$, $\varphi \bmod 2 \pi\left(I \in D, \varphi \in \mathbf{T}^{n}\right)$, в которых функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ зависят лишь от $I$, а симплектическая структура имеет вид $d I \wedge d \varphi$.

В частности, в переменных $I, \varphi \bmod 2 \pi$ функция Гамильтона вполне интегрируемой системы с инвариантными торами принимает вид $H=H(I)$. При этом $\dot{I}=-\partial H / \partial \varphi=0, \dot{\varphi}=\partial H / \partial I=$ $=\omega(I)$. Следовательно, $I(t)=I_{0}, \omega(I)=\omega\left(I_{0}\right)$. Переменные $I$, \»нумерующие\» инвариантные торы в $D \times \mathbf{T}^{n}$, называются переменными действия, а равномерно меняющиеся координаты $\varphi-$ угловыми переменными; вместе они называются переменными действие — угол.

Доказ ательство теоремы 2. В окрестности тора $M_{a} \simeq \mathbf{T}^{n}$ за координаты можно принять функции $I_{i}=F_{i}$ и углы $\varphi_{i} \bmod 2 \pi$, существующие по теореме 1 . Ввиду линейной независимости $d F_{i}$, функции $I_{i}, \varphi_{i}(1 \leqslant i \leqslant n)$ задают диффеоморфизм окрестности $M_{a}$ на прямое произведение $D \times \mathbf{T}^{n}$ ( $D$ — область в $\mathbb{R}^{n}=\{I\}$ ). Введем в рассмотрение невырожденную матрицу скобок Пуассона $\|\left\{\begin{array}{ll}\left\{I_{i}, I_{j}\right\} & \left\{I_{i}, \varphi_{j}\right\} \\ \left\{\varphi_{i}, I_{j}\right\} & \left\{\varphi_{i}, \varphi_{j}\right\}\end{array}\|=\| \begin{array}{cc}0 & a_{i j} \\ -a_{j i} & b_{i j}\end{array} \|\right.$.

Согласно теореме 1 , скобки $\left\{I_{i}, \varphi_{j}\right\}$ постоянны на $M_{a}$; следовательно, $a_{i j}=a_{i j}(I)$. Покажем, что $b_{i j}$ тоже зависят лишь от $I$. Действительно, из тождества Якоби $\left\{F_{m},\left\{\varphi_{i}, \varphi_{j}\right\}\right\}+\left\{\varphi_{i},\left\{\varphi_{j}, F_{m}\right\}\right\}+$ $+\left\{\varphi_{j},\left\{F_{m}, \varphi_{i}\right\}\right\}=0$ следует, что скобки $\left\{F_{m}, b_{i j}\right\}=\alpha_{i j}^{m}$ не зависят т $\varphi$. С другой стороны, $\alpha_{i j}^{m}=\sum_{s} \frac{\partial b_{i j}}{\partial \varphi_{s}}\left\{F_{m}, \varphi_{s}\right\}=\sum_{s} \frac{\partial b_{i j}}{\partial \varphi_{s}} a_{m s}$. Так как $\operatorname{det}\left\|a_{m s}\right\|
eq 0$, то отсюда найдем $\partial b_{i j} / \partial \varphi_{s}$ как функции только I. Следовательно, $b_{i j}=\left\{\varphi_{i}, \varphi_{j}\right\}=\sum f_{i j}^{s}(I) \varphi_{s}+g_{i j}(I)$. Поскольку $d \varphi_{i}$ — однозначные 1-формы вблизи $M_{a}$, то $f_{i j}^{*}=0$.

Выполним замену переменных $I_{s}=I_{s}\left(J_{1}, \ldots, J_{n}\right)$ так, чтобы $\left\{J_{i}, \varphi_{j}\right\}=\delta_{i j}$. Для этого надо решить систему уравнений $a_{i j}(I)=$ $=\left\{I_{i}, \varphi_{j}\right\}=\sum_{s} \frac{\partial I_{i}}{\partial J_{s}} \delta_{s j}=\frac{\partial I_{i}}{\partial J_{j}}$. Условие разрешимости этой системы
\[
\frac{\partial a_{i j}}{\partial J_{s}}=\frac{\partial a_{i s}}{\partial J_{j}} \Longleftrightarrow \sum_{k} \frac{\partial a_{i j}}{\partial I_{k}} a_{k s}=\sum_{k} \frac{\partial a_{i s}}{\partial I_{k}} a_{k j}
\]

вытекает из тождества Якоби, примененного к $I_{i}, \varphi_{j}$ и $\varphi_{k}$.
Если переменные $\varphi_{i}$ не коммутируют, следует выполнить переход к новым угловым координатам $\psi_{i} \bmod 2 \pi$ с помощью сдвига $\varphi_{i}=\psi_{i}+f_{i}(J)$. Функции $f_{i}$ определяются системой уравнений $b_{i j}=\frac{\partial f_{i}}{\partial J_{j}}-\frac{\partial f_{j}}{\partial J_{i}}$. Условием ее локальной разрешимости является замкнутость 2-формы $\sum b_{i j} d I_{i} \wedge d I_{j}$, вытекающая из замкнутости исходной симплектической структуры. Итак, существование симплектических переменных действие — угол $J, \psi \bmod 2 \pi$ полностью доказано.
3амечание. Пусть $p, q$ — симплектические координаты в $\mathbb{R}^{2 n}$, и пусть $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}$ — непрерывно зависящие от постоянных $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ базисные циклы на $M_{a}$. Форма $p d q-I d \varphi$ замкнута, поэтому разность $\oint_{\gamma_{s}} p d q-\oint_{\gamma_{s}} I d \varphi=\oint_{\gamma_{s}} p d q-2 \pi I_{s}$ постоянна. Следовательно,
\[
I_{s}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma,} p d q, \quad 1 \leqslant s \leqslant n,
\]

поскольку переменные действия сами определены с точностью до аддитивной постоянной. Формулы (4.1) наиболее эффективны при анализе систем с разделенными переменными (см. §7).

Гамильтонова система с функцией Гамильтона $H(I)$ называется невырожденной (в области $D \times \mathbf{T}^{n}$ ), если якобиан $\frac{\partial \omega}{\partial I}=$ $=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} H}{\partial I^{2}}\right\|$ не обращается в нуль в области $D$. В этом случае

почти все (в смысле меры Лебега) инвариантные торы нерезонансны, а резонансные торы всюду плотны в $D \times \mathbf{T}^{n}$.

3. Согласно II. Болю, непрерывная функция $t \rightarrow g(t), t \in \mathbb{R}$, называется условно-периодической, если $g(t)=f\left(\omega_{1} t, \ldots, \omega_{n} t\right)$, где $f$ — некоторая непрерывная функция на $n$-мерном торе $\mathbf{T}^{n}=$ $=\left\{\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n} \bmod 2 \pi\right\}, \omega_{1}, \ldots, \omega_{n}=$ const.

Пусть $F: M^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}$ — непрерывная функция на симплектическом многообразии, $\dot{x}=v_{H}(x)$ — вполне интегрируемая гамильтонова система с компактными инвариантными поверхностями $M_{a}$. Рассмотрим решение $x\left(t, x_{0}\right)$ с начальным условием $x_{0}$ на регулярной поверхности $M_{a} \simeq \mathbf{T}^{n}$. По теореме $1, f(t)=F\left(x\left(t, x_{0}\right)\right)$ условно-периодическая функция времени; роль чисел $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ играют частоты условно-периодического движения на $n$-мерном тоpe $M_{a}$. В частности, при $M^{2 n}=\mathbb{R}^{2 n}$ все глобальные канонические координаты представлены условно-периодическими функциями.
По теореме Г. Вейля существует временно́е среднее
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} F\left(x\left(t, x_{0}\right)\right) d t
\]

разумеется, зависящее от начального значения $x_{0}$. Оказывается, если точка $x_{0}$ принадлежит нерезонансному инвариантному тору, то это среднее непрерывно в $x_{0}$. В общем случае функция (4.2) разрывна на $M^{2 n}$. Обсуждение этих вопросов можно найти в [83].

4. В ряде задач гамильтоновой механики количество известных интегралов превосходит число степеней свободы, однако не все интегралы коммутируют друг с другом. Некоторые условия интегрируемости гамильтоновых систем с \»избыточным\» набором интегралов указаны в работах $[137,126]$.

Теорема 3. Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии $M^{2 n}$ имеет $n+k$ интегралов $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n+k}$, причем на поверхности $M_{c}=\left\{x \in M^{2 n}: F_{i}(x)=\right.$ $\left.=c_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n+k\right\}$ эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона
\[
\left\|\left\{F_{i}, F_{j}\right\}\right\| .
\]

Тогда, если поверхность $M_{\text {с }}$ связна и компактна, и ранг матрицы (4.3) не превосходит $2 k$, то поверхность $M_{\text {с ди ди }}$ дифеоморфна ( $n-k$ )мерному тору и на ней можно так выбрать угловые переменные $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n-k} \bmod 2 \pi$, чтобы уравнения Гамильтона приняли вид $\dot{\varphi}_{s}=\omega_{s}=$ const $(1 \leqslant s \leqslant n-k)$.

Следствие. Пусть гамильтонова система с $n$ степенями свободы имеет $2 n-2$ независимых интеграла. Тогда связные ком-

пактные поверхности уровня этих интегралов — двумерные торы, д движение на этих торах условно-периодическое.

Действительно, матрица (4.3) кососимметрична и функция Гаильтона коммутирует со всеми интегралами, поэтому ранг мат;ицы (4.3) не превосходит $2 n-4=2(n-2)=2 k$. Интегрируемость « квадратурах гамильтоновой системы с $n$ степенями свободы, допускающей $2 n-2$ независимых интеграла, установлена Якоби с юмощью метода интегрирующего множителя Эйлера [174]. Теорема Якоби уже использовалась нами в п. 7 § 2 .

Теорема 3 выводится из теоремы Ли-Картана [12, гл. 3] и результатов работы [137].