1. Пусть $M$ — симплектическое многообразие, и $F_1,\dots ,F_n$ независимые функции на $M$, порождающие конечномерную подалгебру алгебры Ли $C^{\mathrm{\infty }}(M)$, т. е. $\{F_i,F_j\}=\sum c_{ij}^k{F}_k$ (c const). В каждой точке $x\in M$ векторы $\sum {\lambda }_i{v}_{F_i}$ образуют $n$-мерное линейное подпространство П $(x)$ в $T_{x}M$. Распределение плоскостей П \»инволютивно\», т. е. из $X,Y\in$ П следует $[X,Y]\in$ П. Следовательно, по теореме Фробениуса, через каждую точку $x\in M$ проходит мак-

симальное интегральное многообразие $N_x$ распределения П. Многообразия $N_x$ могут быть погружены в $M$ весьма сложным образом; так, они не обязательно замкнуты. При $n=(\dim M)/2$ среди интегральных многообразий распределения П есть замкнутые поверхности $M_a=\{x\in M:F_i(x)=a_i,\sum c_{ij}^k{a}_k=0\}$. Если $x\in M_a$, то $N_x$ совпадает с одной из связных компонент $M_a$. В случае, когда функции $F_1,\dots ,F_n$ попарно коммутируют, всё $M$ расслоено на замкнутые многообразия $M_a$, строение которых описывает

Теорема 1. Пусть гладкие функции $F_1,\dots ,{\dot{F}}_n:M\to \mathbb{R}$ находятся в инволюции: $\{F_i,F_j\}=0(1⩽i,j⩽n)$ и $\dim M=2n$. Если
1) они независимы на $M_a$;
2) гамильтоновы поля $v_{F_i}(1⩽i⩽n)$ нестеснены на $M_a$, то
1) каждая связная компонента $M_a$ диффеоморфна ${\mathbb{R}}^k\times {\mathbf{T}}^{n-k}$;
2) на ${\mathbb{R}}^k\times {\mathbf{T}}^{n-k}$ существуют такие координаты $y_1,\dots ,y_k$; ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_{n-k}mod2\pi$, в которых уравнение Гамильтона $\dot{x}=v_{F_i}(x)$ имеет вид ${\dot{y}}_m=c_{mi},{\dot{\phi }}_s={\omega }_{si}(c_{mi},{\omega }_{si}=$ const $)$.

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти; например, в книгах $[11,54]$ ). Рассмотрим $n$ однопараметрических групп $g_i^{t_i}(t_i\in \mathbb{R}$ ), являющихся фазовыми потоками $n$ гамильтоновых полей $v_{F_i}$. Функции $F_1,\dots ,F_n$ находятся в инволюции, поэтому поля $v_{F_i}$ касаются $M_a$. Следовательно, группы $g_i$ переводят гладкие многообразия $M_a$ в себя, поэтому определено действие $g_i$ на $M_a$. В силу условия 2), значения $g_i^{t_i}(x)(x\in M_a)$ определены при всех $t_i$. Поля $v_i$ и $v_j$ коммутируют на $M_a$, поэтому группы $g_i$ и $g_j$ также коммутируют. Следовательно, на $M_a$ определено действие абелевой $n$-мерной группы ${\mathbb{R}}^n=\{t_1,\dots ,t_n\}:g^{t_1,\dots ,t_n}(x)=g_1^{t_1}\dots g_n^{t_n}(x)$. Согласно условию 1), градиенты функций $F_1,\dots ,F_n$ независимы во всех точках $M_a$, поэтому на $M_a$ векторные поля $v_1,\dots ,v_n$ также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности $M_a$ выводится, что действие группы ${\mathbb{R}}^n$ на $M_a$. свободно и транзитивно. Следовательно, $M_a$ диффеоморфно фактормногообразию ${\mathbb{R}}^n/\mathrm{\Gamma }$, где $\mathrm{\Gamma }$ — стационарная группа действия ${\mathbb{R}}^n$ (она состоит из точек $s\in {\mathbb{R}}^n$, для которых $g^{s}x=x$ ). Поля $v_1,\dots ,v_n$ независимы, поэтому $\mathrm{\Gamma }$ — дискретная подгруппа в ${\mathbb{R}}^n$, изоморфная, как известно, ${\mathbb{Z}}^k(0⩽k⩽n)$. Таким образом, $M_a\simeq {\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^k={\mathbf{T}}^k\times {\mathbb{R}}^{n-k}$. Равномерно меняющиеся \»глобальные\» координаты $\phi mod2\pi ,y$ линейно выражаются через $t_1,\dots ,t_n$. Полагая $t_j=$ const при всех $jeqi$, получаем решения гамильтоновой системы $\dot{x}=v_i(x)$ как линейные функции времени $t_i=t$.

Гамильтонова система с гамильтонианом $H=F_i(1⩽i⩽n)$ называется вполне интегрируемой.

2. Наиболее интересен случай, когда $M_a$ компактно. Тогда $k=$ $=0$, следовательно, $M_a\simeq {\mathbf{T}}^n$. Равномерное движение на ${\mathbf{T}}^n=$ $=\{\phi mod2\pi \}$ по закону ${\phi }_i={\phi }_i^0+{\omega }_{i}t(1⩽i⩽n)$ называется условно-периодическим. Числа ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ — его частоты. Тор с набором частот ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ называется нерезонансныл, если из равенства $\sum k_i{\omega }_i=0$ с целыми $k_1,\dots ,k_n$ вытекает, что все $k_i$ равны нулю. На нерезонансных торах каждая фазовая траектория всюду плотна. Это утверждение является простым следствием следующего общего результата, принадлежащего Г. Вейлю: пусть $f:{\mathrm{T}}^n\to$ $\to \mathbb{R}$ — интегрируемая по Риману функция, ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ — рационально независимые числа. Тогда для любой точки ${\phi }^0\in {\mathbf{T}}^n$ предел $\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{s}{\int }_0^{s}f(\omega t+{\phi }^0)dt$ существует и равен $\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{{\mathbf{T}}^n}f(\phi )d{\phi }_1\dots d{\phi }_n$.

Пусть, в частности, $f$-характеристическая функция измеримой по Жордану области $D$ на ${\mathbf{T}}^n$. Применяя к $f$ теорему Вейля, получим следующее утверждение: средняя доля времени, которое фазовая траектория проводит в $D$, пропорциональна мере $D$. Этот факт характеризует свойство равномерного распределения траекторий на нерезонансных торах. Если тор резонансный, фазовые траектории заполняют торы меньшей размерности:

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и интегральное многообразие $M_a$ компактно. Тогда:
1) малая окрестность многообразия $M_a$ в симплектическом многообразии $M$ диффеоморфна прямому произведению $D\times {\mathbf{T}}^n$, где $D$ — малая область в ${\mathbb{R}}^n$;
2) в. $D\times {\mathrm{T}}^n$ существуют симплектические координаты $I$, $\phi mod2\pi (I\in D,\phi \in {\mathbf{T}}^n)$, в которых функции $F_1,\dots ,F_n$ зависят лишь от $I$, а симплектическая структура имеет вид $dI\wedge d\phi$.

В частности, в переменных $I,\phi mod2\pi$ функция Гамильтона вполне интегрируемой системы с инвариантными торами принимает вид $H=H(I)$. При этом $\dot{I}=-\partial H/\partial \phi =0,\dot{\phi }=\partial H/\partial I=$ $=\omega (I)$. Следовательно, $I(t)=I_0,\omega (I)=\omega \left(I_0\right)$. Переменные $I$, \»нумерующие\» инвариантные торы в $D\times {\mathbf{T}}^n$, называются переменными действия, а равномерно меняющиеся координаты $\phi -$ угловыми переменными; вместе они называются переменными действие — угол.

Доказ ательство теоремы 2. В окрестности тора $M_a\simeq {\mathbf{T}}^n$ за координаты можно принять функции $I_i=F_i$ и углы ${\phi }_{i}mod2\pi$, существующие по теореме 1 . Ввиду линейной независимости $d{F}_i$, функции $I_i,{\phi }_i(1⩽i⩽n)$ задают диффеоморфизм окрестности $M_a$ на прямое произведение $D\times {\mathbf{T}}^n$ ( $D$ — область в ${\mathbb{R}}^n=\{I\}$ ). Введем в рассмотрение невырожденную матрицу скобок Пуассона $\Vert \{\begin{array}{ll}\{I_i,I_j\}& \{I_i,{\phi }_j\}\\ \{{\phi }_i,I_j\}& \{{\phi }_i,{\phi }_j\}\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{cc}0& a_{ij}\\ -a_{ji}& b_{ij}\end{array}\Vert$.

Согласно теореме 1 , скобки $\{I_i,{\phi }_j\}$ постоянны на $M_a$; следовательно, $a_{ij}=a_{ij}(I)$. Покажем, что $b_{ij}$ тоже зависят лишь от $I$. Действительно, из тождества Якоби $\{F_m,\{{\phi }_i,{\phi }_j\}\}+\{{\phi }_i,\{{\phi }_j,F_m\}\}+$ $+\{{\phi }_j,\{F_m,{\phi }_i\}\}=0$ следует, что скобки $\{F_m,b_{ij}\}={\alpha }_{ij}^m$ не зависят т $\phi$. С другой стороны, ${\alpha }_{ij}^m=\sum _s\frac{\partial b_{ij}}{\partial {\phi }_s}\{F_m,{\phi }_s\}=\sum _s\frac{\partial b_{ij}}{\partial {\phi }_s}{a}_{ms}$. Так как $\det \Vert a_{ms}\Vert eq0$, то отсюда найдем $\partial b_{ij}/\partial {\phi }_s$ как функции только I. Следовательно, $b_{ij}=\{{\phi }_i,{\phi }_j\}=\sum f_{ij}^s(I){\phi }_s+g_{ij}(I)$. Поскольку $d{\phi }_i$ — однозначные 1-формы вблизи $M_a$, то $f_{ij}^{\ast }=0$.

Выполним замену переменных $I_s=I_s(J_1,\dots ,J_n)$ так, чтобы $\{J_i,{\phi }_j\}={\delta }_{ij}$. Для этого надо решить систему уравнений $a_{ij}(I)=$ $=\{I_i,{\phi }_j\}=\sum _s\frac{\partial I_i}{\partial J_s}{\delta }_{sj}=\frac{\partial I_i}{\partial J_j}$. Условие разрешимости этой системы
$$\frac{\partial a_{ij}}{\partial J_s}=\frac{\partial a_{is}}{\partial J_j}⟺\sum _k\frac{\partial a_{ij}}{\partial I_k}{a}_{ks}=\sum _k\frac{\partial a_{is}}{\partial I_k}{a}_{kj}$$

вытекает из тождества Якоби, примененного к $I_i,{\phi }_j$ и ${\phi }_k$.
Если переменные ${\phi }_i$ не коммутируют, следует выполнить переход к новым угловым координатам ${\psi }_{i}mod2\pi$ с помощью сдвига ${\phi }_i={\psi }_i+f_i(J)$. Функции $f_i$ определяются системой уравнений $b_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial J_j}-\frac{\partial f_j}{\partial J_i}$. Условием ее локальной разрешимости является замкнутость 2-формы $\sum b_{ij}d{I}_i\wedge d{I}_j$, вытекающая из замкнутости исходной симплектической структуры. Итак, существование симплектических переменных действие — угол $J,\psi mod2\pi$ полностью доказано.
3амечание. Пусть $p,q$ — симплектические координаты в ${\mathbb{R}}^{2n}$, и пусть ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n$ — непрерывно зависящие от постоянных $a=(a_1,\dots ,a_n)$ базисные циклы на $M_a$. Форма $pdq-Id\phi$ замкнута, поэтому разность ${\oint }_{{\gamma }_s}pdq-{\oint }_{{\gamma }_s}Id\phi ={\oint }_{{\gamma }_s}pdq-2\pi I_s$ постоянна. Следовательно,
$$I_s=\frac{1}{2\pi }{\oint }_{\gamma ,}pdq,1⩽s⩽n,$$

поскольку переменные действия сами определены с точностью до аддитивной постоянной. Формулы (4.1) наиболее эффективны при анализе систем с разделенными переменными (см. §7).

Гамильтонова система с функцией Гамильтона $H(I)$ называется невырожденной (в области $D\times {\mathbf{T}}^n$ ), если якобиан $\frac{\partial \omega }{\partial I}=$ $=\det \Vert \frac{{\partial }^{2}H}{\partial I^2}\Vert$ не обращается в нуль в области $D$. В этом случае

почти все (в смысле меры Лебега) инвариантные торы нерезонансны, а резонансные торы всюду плотны в $D\times {\mathbf{T}}^n$.

3. Согласно II. Болю, непрерывная функция $t\to g(t),t\in \mathbb{R}$, называется условно-периодической, если $g(t)=f({\omega }_{1}t,\dots ,{\omega }_{n}t)$, где $f$ — некоторая непрерывная функция на $n$-мерном торе ${\mathbf{T}}^n=$ $=\{{\phi }_1,\dots ,{\phi }_{n}mod2\pi \},{\omega }_1,\dots ,{\omega }_n=$ const.

Пусть $F:M^{2n}\to \mathbb{R}$ — непрерывная функция на симплектическом многообразии, $\dot{x}=v_H(x)$ — вполне интегрируемая гамильтонова система с компактными инвариантными поверхностями $M_a$. Рассмотрим решение $x(t,x_0)$ с начальным условием $x_0$ на регулярной поверхности $M_a\simeq {\mathbf{T}}^n$. По теореме $1,f(t)=F\left(x(t,x_0)\right)$ условно-периодическая функция времени; роль чисел ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ играют частоты условно-периодического движения на $n$-мерном тоpe $M_a$. В частности, при $M^{2n}={\mathbb{R}}^{2n}$ все глобальные канонические координаты представлены условно-периодическими функциями.
По теореме Г. Вейля существует временно́е среднее
$$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}F\left(x(t,x_0)\right)dt$$

разумеется, зависящее от начального значения $x_0$. Оказывается, если точка $x_0$ принадлежит нерезонансному инвариантному тору, то это среднее непрерывно в $x_0$. В общем случае функция (4.2) разрывна на $M^{2n}$. Обсуждение этих вопросов можно найти в [83].

4. В ряде задач гамильтоновой механики количество известных интегралов превосходит число степеней свободы, однако не все интегралы коммутируют друг с другом. Некоторые условия интегрируемости гамильтоновых систем с \»избыточным\» набором интегралов указаны в работах $[137,126]$.

Теорема 3. Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии $M^{2n}$ имеет $n+k$ интегралов $F_1,F_2,\dots ,F_{n+k}$, причем на поверхности $M_c=\{x\in M^{2n}:F_i(x)=$ $=c_i,1⩽i⩽n+k\}$ эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона
$$\Vert \{F_i,F_j\}\Vert .$$

Тогда, если поверхность $M_{\text{с }}$ связна и компактна, и ранг матрицы (4.3) не превосходит $2k$, то поверхность $M_{\text{с ди ди }}$ дифеоморфна ( $n-k$ )мерному тору и на ней можно так выбрать угловые переменные ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_{n-k}mod2\pi$, чтобы уравнения Гамильтона приняли вид ${\dot{\phi }}_s={\omega }_s=$ const $(1⩽s⩽n-k)$.

Следствие. Пусть гамильтонова система с $n$ степенями свободы имеет $2n-2$ независимых интеграла. Тогда связные ком-

пактные поверхности уровня этих интегралов — двумерные торы, д движение на этих торах условно-периодическое.

Действительно, матрица (4.3) кососимметрична и функция Гаильтона коммутирует со всеми интегралами, поэтому ранг мат;ицы (4.3) не превосходит $2n-4=2(n-2)=2k$. Интегрируемость « квадратурах гамильтоновой системы с $n$ степенями свободы, допускающей $2n-2$ независимых интеграла, установлена Якоби с юмощью метода интегрирующего множителя Эйлера [174]. Теорема Якоби уже использовалась нами в п. 7 § 2 .

Теорема 3 выводится из теоремы Ли-Картана [12, гл. 3] и результатов работы [137].