1. Из гидромеханики известно [115], что движение $n$ точечных (цилиндрических) вихрей на плоскости (в пространстве) описывается следующей системой $2 n$ дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\Gamma_{s} \dot{x}_{s}=-\frac{\partial H}{\partial y_{s}}, \quad \Gamma_{s} \dot{y}_{s}=\frac{\partial H}{\partial x_{s}}, \quad 1 \leqslant s \leqslant n, \\
H=\frac{1}{2 \pi} \sum_{s
eq k} \Gamma_{s} \Gamma_{k} \ln \sqrt{\left(x_{s}-x_{k}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{k}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Здесь $\left(x_{s}, y_{s}\right)$ – декартовы координаты $s$-го вихря интенсивности $\Gamma_{s}$. Предполагается, что все $\Gamma_{s}$ отличны от нуля. Уравнения (8.1) гамильтоновы: симплектическая структура в $\mathbb{R}^{2 n}=\{x, y\}$ задается скобкой Пуассона $\{f, g\}=\sum_{s} \frac{1}{\Gamma_{s}}\left(\frac{\partial f}{\partial y_{s}} \frac{\partial g}{\partial x_{s}}-\frac{\partial f}{\partial x_{s}} \frac{\partial g}{\partial y_{s}}\right)$. Кроме функции Гамильтона $H$, они имеют еще три независимых интеграла: $P_{x}=\sum \Gamma_{s} x_{s}, P_{y}=\sum \Gamma_{s} y_{s}, M=\sum \Gamma_{s}\left(x_{s}^{2}+y_{s}^{2}\right) / 2$. Легко проверить равенства $\left\{P_{x}, P_{y}\right\}=-\sum \Gamma_{k}=$ const, $\left\{P_{x}, M\right\}=-P_{y}$, $\left\{P_{y}, M\right\}=P_{x}$. Если сумма интенсивностей системы вихрей равна нулю, то функции $P_{x}$ и $P_{y}$ коммутируют.

Уравнения (8.1) можно привести к обычным каноническим уравнениям, если положить $\xi_{s}=\sqrt{ \pm \Gamma_{s}} x_{s}, \eta_{s}=\sqrt{ \pm \Gamma_{s}} y_{s} \quad(s=$ $=1, \ldots, n$ ). Здесь знак \”+\” выбирается при $\Gamma>0$, а знак \”-\”-при $\Gamma<0$. Через $K$ обозначим функцию $H$, представленную в переменных $\xi, \eta$. В новых координатах уравнения (8.1) имеют вид $\dot{\xi}_{s}=\mp \partial K / \partial \eta_{s}, \dot{\eta}_{s}= \pm \partial K / \partial \xi_{s}(1 \leqslant s \leqslant n)$.

Гамильтонова система (8.1) представима в виде градиентной динамической системы. Пусть (, ) – риманова метрика на многообразии $M, \Phi$ – функция на $M$. Дифференциальные уравнения $\dot{x}=v(x)$ на $M$ называются градиентными (или эволюционными), если
\[
(v, \cdot)=d \Phi(\cdot) \text {. }
\]

Градиентные системы изучались Ляпуновым в теории устойчивости, С. Смейлом с точки зрения структурной устойчивости, а также Р. Томом и его последователями в теории катастроф.
Полагая (рис. 7)
\[
\begin{array}{l}
\Phi=\frac{1}{2 \pi} \sum_{s
eq k} \Gamma_{s} \Gamma_{k} \varphi_{k s}, \\
\varphi_{k s}=\operatorname{arctg} \frac{y_{s}-y_{k}}{x_{s}-x_{k}},
\end{array}
\]

Рис. 7
перепишем уравнения (8.1) в виде (8.2):
\[
\Gamma_{s} \dot{x}_{s}=\frac{\partial \Phi}{\partial x_{s}}, \quad \Gamma_{s} \dot{y}_{s}=\frac{\partial \Phi}{\partial y_{s}}, \quad 1 \leqslant s \leqslant n .
\]

Риманова метрика в $\mathbb{R}^{2 n}=\{x, y\}$ задается формулой
\[
\sum \Gamma_{s}\left(d x_{s}^{2}+d y_{s}^{2}\right) .
\]

Из (8.2) вытекает, что $\dot{\Phi}=|\partial \Phi / \partial x|_{*}^{2}$, где $|\cdot|_{*}$ – длина ковектора в дуальном пространстве. Следовательно, если $\Phi$ – однозначная функция, то $\Phi(x(t))$ при $t \rightarrow+\infty$ стремится либо к $+\infty$, либо к некоторой постоянной $c$ (когда $M$ компактно, $c$-критическое значение функции $\Phi$ ). Поэтому при $t \rightarrow+\infty$ решение $x(t)$ либо уходит на бесконечность, либо неограниченно приближается к множеству критических точек функции $\Phi$.

В нашем случае функция $\Phi$ многозначна. Поэтому результат об асимптотическом поведении решений системы (8.3) здесь неприменим. Однако непрерывная ветвь функции $\Phi$ с ростом $t$ либо неограниченно возрастает, либо монотонно стремится к некоторой постоянной.
2. Плоские течения однородной идеальной жидкости в потенциальном поле описываются известными уравнениями Эйлера
\[
u_{t}^{\prime}+u_{x}^{\prime} u+u_{y}^{\prime} v+f_{x}^{\prime}=0, \quad v_{t}^{\prime}+v_{x}^{\prime} u+v_{y}^{\prime} v+f_{y}^{\prime}=0 .
\]

Здесь $u, v$ обозначают компоненты скорости частицы жидкости в точке с декартовыми координатами $x, y$ в момент времени $t ; f=$ $=p / \rho+V, p$ – давление, $\rho$ – плотность, $V$ – плотность потенциальной энергии силового поля. Уравнения (8.4) следует дополнить уравнением неразрывности
\[
u_{x}^{\prime}+v_{y}^{\prime}=0 .
\]

Будем искать решения системы (8.4), (8.5) в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
u=\Psi_{y}^{\prime}, \quad v=-\Psi_{x}^{\prime}+\varepsilon \cos \lambda t ; \\
\varepsilon, \lambda=\mathrm{const}, \quad f=\xi \sin \lambda t+\eta \cos \lambda t+\zeta . \\
\end{array}
\]

Здесь $\Psi, \xi, \eta$ и $\zeta$ – пока неизвестные функции от $x$ и $y$. При этом движение частиц жидкости описывается уравнениями Гамильтона
\[
\dot{x}=H_{y}^{\prime}, \quad \dot{y}=-H_{x}^{\prime} ; \quad H=\Psi-\varepsilon x \cos \lambda t .
\]

При $\varepsilon=0$ система (8.7) интегрируется в простых квадратурах.
Ввиду (8.6) уравнение (8.5) удовлетворяется тождественно. Подставим (8.6) в (8.4) и приравняем коэффициенты при $\sin \lambda t$ и $\cos \lambda t$. Получим шесть уравнений для поиска четырех функций $\Psi, \xi, \eta, \zeta$ :
\[
\begin{array}{l}
\xi_{x}^{\prime}=-\lambda+\xi_{y}^{\prime}=0, \\
\Psi_{y y}^{\prime \prime}+\eta_{x}^{\prime}=-\Psi_{x y}^{\prime \prime}+\eta_{y}^{\prime}=0, \\
\Psi_{x y}^{\prime \prime} \Psi_{y}^{\prime}-\Psi_{y y}^{\prime \prime} \Psi_{x}^{\prime}+\zeta_{x}^{\prime}=-\Psi_{x x}^{\prime \prime} \Psi_{y}^{\prime}+\Psi_{x y}^{\prime \prime} \Psi_{x}^{\prime}+\zeta_{y}^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Из (8.8) получаем $\xi=\lambda y+$ const. Оказывается, достаточным условием разрешимости систем уравнений (8.9) и (8.10) является
\[
\Delta \Psi=\text { const },
\]

где $\Delta$ – оператор Лапласа. Действительно, $\eta_{x y}^{\prime \prime}=-\Psi_{y y y}^{\prime \prime \prime}, \eta_{y x}^{\prime \prime}=\Psi_{x x y}^{\prime \prime \prime}$. Поэтому $\Psi_{x x y}^{\prime \prime \prime}+\Psi_{y y y}^{\prime \prime \prime}=(\Delta \Psi)_{y}^{\prime}=0$, если выполнено (8.11). Аналогично проверяется условие разрешимости системы (8.10).

В частности, если $\Psi$ гармоническая функция, то уравнения течения допускают решение вида (8.6). При $\varepsilon=0$ будем иметь потенциальное течение. Имеется много важных примеров стационарных течений жидкости с гармонической функцией тока $\Psi[115]$. В простейшем из них $\Psi=$ $=(\Gamma /(2 \pi)) \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Эта
Рис. 8

функция тока задает вихрь интенсивности $\Gamma$. Известно, что пара вихрей (с интенсивностями $\Gamma_{1}=-\Gamma_{2}=\Gamma$ ) движется равномерно в направлении, ортогональном соединяющему их отрезку постоянной длины. Введем подвижную систему отсчета $x, y$ и поместим вихри $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ в точки с координатами $(0, a)$ и $(0,-a)$. Тогда функция тока будет задана

следующей формулой $[115, \S 155]: \Psi=\frac{\Gamma}{2 \pi}\left(\frac{y}{2 a}+\ln \sqrt{\frac{x^{2}+(y-a)^{2}}{x^{2}+(y+a)^{2}}}\right)$. Линии тока этой задачи изображены на рис. 8.

3. В работе Контопулоса [188], посвященной изучению галактических моделей, рассмотрены некоторые гамильтоновы системы в окрестности положения равновесия, допускающие резонансные соотношения между частотами. Простейшая система такого вида с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+2 q_{1}^{2} q_{2}-\frac{2}{3} q_{2}^{3}\right),
\]

описывающая движение звезды в галактике с цилиндрической симметрией, была детально исследована Хеноном и Хейлесом [203] с помощью численных расчетов. В этой задаче частоты малых колебаний равны между собой. В работе Густавсона [199] имеется интересное обсуждение численных результатов Хенона – Хейлеса в связи с построением формальных интегралов гамильтоновых систем.

К системе с гамильтонианом (8.12) можно прийти другим путем, рассматривая динамику замкнутой цепочки из трех частиц с потенциалом.
\[
f(z)=\frac{z^{2}}{2}+\frac{\alpha z^{3}}{3}
\]
(ср. с (6.5)). Для этого в гамильтониане (6.3) с потенциалом (8.13) при $n=3$ сделаем каноническую замену переменных $x=A \xi, y=$ $=A \eta$ с ортогональной матрицей
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{3} \\
-\sqrt{2 / 3} & 0 & 1 / \sqrt{3} \\
1 / \sqrt{6} & -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{3}
\end{array}\right)
\]

В новых переменных $\xi, \eta$ гамильтониан станет равным
\[
H=\frac{1}{2}\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2}+3 \xi_{1}^{2}+3 \xi_{2}^{2}\right)+\frac{3 \alpha}{\sqrt{2}}\left(\xi_{1}^{2} \xi_{2}-\frac{1}{3} \xi_{2}^{3}\right) .
\]

Полагая $\eta_{3}=0$ (соглашение о неподвижности центра масс цепочки) и выполняя преобразование подобия $\xi_{1}=\frac{\sqrt{2}}{\alpha} q_{1}, \xi_{2}=\frac{\sqrt{2}}{\alpha} q_{2}$, $\eta_{1}=p_{1}, \eta_{2}=p_{2}, t \rightarrow t / \sqrt{3}, H \rightarrow 6 H / \alpha^{2}$, приходим к гамильтониану (8.12).

4. Изучение однородной двухкомпонентной классической модели уравнений Янга – Миллса связано с исследованием гамильтоновой системы с гамильтонианом
\[
H=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) / 2+q_{1}^{2} q_{2}^{2}
\]
$[53,57]$. Полагая в (7.7) формально $h=0, I_{1}=-I_{2}=1 / \sqrt{8}$ и совершая поворот в плоскости переменных $m_{1}, m_{2}$ на угол $\pi / 4$, приходим к гамильтоновой системе с гамильтонианом (8.14).