Локальные изоморфизмы невырожденных вполне интегрируемых гамильтоновых систем, о которых шла речь в п. 5 введения, в ряде случаев могут быть продолжены до изоморфизмов в целом. Приведем соответствующие примеры.
1. Рассмотрим задачу Якоби о движении материальной точки с единичной массой по инерции по поверхности эллипсоида $a x^{2}+$ $+b y^{2}+c z^{2}=1$. Пусть $x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}$ – естественные избыточные канонические переменные (см. п. $9, \S 1$, гл. I). После канонической замены переменных $p_{1}=p_{x} / \sqrt{a}, x_{1}=x \sqrt{a} ; p_{2}=p_{y} / \sqrt{b}, x_{2}=y \sqrt{b}$; $p_{3}=p_{z} / \sqrt{c}, x_{3}=z \sqrt{c} ;$ гамильтониан задачи Якоби примет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{a b c G}{2 F}, \quad F=a x_{1}^{2}+b x_{2}^{2}+c x_{3}^{2}, \\
G=\frac{\left(p_{2} x_{3}-p_{3} x_{2}\right)^{2}}{a}+\frac{\left(p_{3} x_{1}-p_{1} x_{3}\right)^{2}}{b}+\frac{\left(p_{1} x_{2}-p_{2} x_{1}\right)^{2}}{c} .
\end{array}
\]

Вспомним (п. $6, \S 3$, гл. I), что вращение твердого тела в осесимметричном силовом поле с нулевой постоянной интеграла площадей описывается уравнениями Гамильтона с гамильтонианом
\[
\begin{array}{r}
E=\frac{1}{2}\left[\frac{\left(p_{2} x_{3}-p_{3} x_{2}\right)^{2}}{I_{1}}+\frac{\left(p_{3} x_{1}-p_{1} x_{3}\right)^{2}}{I_{2}}+\frac{\left(p_{1} x_{2}-p_{2} x_{1}\right)^{2}}{I_{3}}\right]+ \\
+V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ – направляющие косинусы единичного вектора оси симметрии поля. Мы опустили множитель $f^{-2}\left(f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)$, не влияющий на вид уравнений движения.

Положим $V=\varepsilon\left(I_{1} x_{1}^{2}+I_{2} x_{2}^{2}+I_{3} x_{3}^{2}\right)$. Получим задачу Бруна, уравнения которой, по аналогии Стеклова, тождественны уравнениям интегрируемого случая Клебша уравнений Кирхгофа. Если положить теперь $I_{1}=a, I_{2}=b, I_{3}=c$, то гамильтониан $E$ будет равен $G / 2-\varepsilon F$. Ясно, что $\{E=0\}$ и $\{H=a b c \varepsilon\}$ – тождественные гиперповерхности в $\mathbb{R}^{6}=\{p, x\}$. Покажем, что возникающие на них

динамические системы имеют одни и те же траектории. Действительно,
\[
\begin{array}{ll}
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{a b c}{2 F} \frac{\partial G}{\partial p}, & \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}=-\frac{a b c}{2}\left(\frac{\partial G}{\partial x} F^{-1}-G \frac{\partial F}{\partial x} F^{-2}\right), \\
\dot{x}=\frac{\partial E}{\partial p}=\frac{1}{2} \frac{\partial G}{\partial p}, & \dot{p}=-\frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{1}{2} \frac{\partial G}{\partial x}+\varepsilon \frac{\partial F}{\partial x} .
\end{array}
\]

Положим $H=a b c \varepsilon$ (т. е. $G / F=2 \varepsilon$ ). В системе (6.1) выполним замену времени вдоль траекторий: $d \tau=(a b c / F) d t$. Тогда уравнения (6.1) предстанут в виде
\[
\frac{d x}{d \tau}=\frac{1}{2} \frac{\partial G}{\partial p}, \quad \frac{d p}{d \tau}=-\frac{1}{2} \frac{\partial G}{\partial x}+\varepsilon \frac{\partial F}{\partial x} .
\]

Системы (6.2) и (6.3) тождественны, поэтому системы (6.1) и (6.2) имеют одни и те же траектории. В частности, их интегралы совпадают. Итак, задача Якоби является частным случаем задачи Клебша-Тиссерана – Бруна из динамики твердого тела.
2. Рассмотрим задачу о вращении твердого тела в силовом поле с потенциальной энергией $V=(a, \alpha)+(b, \beta)+(c, \gamma)$, где $a, b, c-$ постоянные векторы. Такой вид имеет, например, потенциальная энергия тяжелого заряженного и намагниченного твердого тела, вращающегося в суперпозиции однородных гравитационных, электрических и магнитных полей. Движение описывается уравнениями (3.1)-(3.2) из гл. I.
О. И. Богоявленский [21] установил полную интегрируемость этой задачи в случае шарового тензора инерции, сведя уравнения вращения к уравнениям задачи Неймана о движении точки по трехмерной сфере с квадратичным потенциалом. Для доказательства воспользуемся тождеством Эйлера
\[
\begin{array}{l}
\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}+\right.\left.\dot{\zeta}^{2}+\dot{\chi}^{2}\right)\left(\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}+\chi^{2}\right)= \\
=(\chi \dot{\xi}-\xi \dot{\chi}+\zeta \dot{\eta}-\eta \dot{\zeta})^{2}+(\chi \dot{\eta}-\eta \dot{\chi}+\xi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\xi})^{2}+ \\
\quad+(\chi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\chi}+\eta \dot{\xi}-\xi \dot{\eta})^{2}+(\xi \dot{\xi}+\eta \dot{\eta}+\zeta \dot{\zeta}+\chi \dot{\chi})^{2}
\end{array}
\]

которое является следствием правила умножения кватернионов. С его помощью Лагранж доказал, что любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Из (6.4) и формул (3.6) гл. I вытекает следующая формула для кинетической энергии тела: $T=(I / 2)\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)=2 I\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}+\dot{\zeta}^{2}+\dot{\chi}^{2}\right) \quad(I-$ момент инерции). Однако тот же вид имеет кинетическая энергия движения точки по трехмерной сфере $\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}+\chi^{2}=1$. Остается

заметить, что направляющие косинусы квадратично зависят от компонент кватерниона $\xi, \eta, \zeta, \chi$ (см. (3.7) гл. I).

3. Для ряда гамильтоновых систем с алгебраическими правыми частями изоморфизмы задаются дробно-линейными преобразованиями с особенностями. Первый результат подобного рода принадлежит Вито Вольтерра: оказывается, проективным преобразованием уравнения для свободного гиростата Жуковского приводятся к уравнениям Эйлера для одного твердого тела, вращающегося по инерции. Тем самым удается явно проинтегрировать уравнения задачи Жуковского (см. [235]).
Напомним вид уравнений, описывающих вращение гиростата:
\[
I \dot{y}=(I y+\lambda) \times y, \quad \lambda \in \mathbb{R}^{3} .
\]

Вольтерра нашел замечательное представление этих уравнений:
\[
\dot{y}_{i}=\frac{\partial\left(f_{1}, f_{2}\right)}{\partial\left(y_{j}, y_{k}\right)}, \quad f_{1}=\frac{(I y, y)}{2 \sqrt{I_{1} I_{2} I_{3}}}, \quad f_{2}=\frac{(I y+\lambda)^{2}}{2 \sqrt{I_{1} I_{2} I_{3}}} ;
\]

здесь и далее индексы $i, j, k$ образуют четную перестановку чисел $1,2,3$. Функции $f_{1}$ и $f_{2}$ – интегралы уравнений (6.5); положим их равными соответственно некоторым фиксированным постоянным $h_{1}$ и $h_{2}$.

Перейдем к проективным компонентам вектора $y$ с помощью формул
\[
y_{i}=z_{i} / z_{4}, \quad i=1,2,3 ; \quad\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right) \in \mathbb{C}^{4} \backslash\{0\} .
\]

Подставив (6.7) в уравнения (6.6), найдем, что $z_{k}$ удовлетворяют дифференциальным соотношениям
\[
\begin{array}{c}
z_{4} \dot{z}_{i}-z_{i} \dot{z}_{4}=\frac{\partial\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)}{\partial\left(z_{j}, z_{k}\right)}, \\
\varphi_{l}(z)=z_{4}^{2}\left(f_{l}\left(z_{1} / z_{4}, z_{2} / z_{4}, z_{3} / z_{4}\right)-h_{l}\right), \quad l=1,2 .
\end{array}
\]

При этом на интересующих нас движениях функции $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ обращаются в нуль. Заметим еще, что $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$-квадратичные формы от проективных координат $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$.
Кроме (6.8), имеют место также соотношения
\[
z_{i} \dot{z}_{j}-z_{j} \dot{z}_{i}=\frac{\partial\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)}{\partial\left(z_{k}, z_{4}\right)} .
\]

Воспользуемся теперь известной теоремой о паре квадратичных форм: с помощью подходящего линейного невырожденного преобразования
\[
z_{r}=\sum_{s=1}^{4} c_{r s} \xi_{s}, \quad c_{r s} \in \mathbb{C},
\]

приведем квадратичные формы $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ к виду $\varphi_{1}=\frac{1}{2} \sum \mu_{k} \xi_{k}^{2}$, $\varphi_{2}=\frac{1}{2} \sum \xi_{k}^{2}$. Преобразование (6.10) сохраняет форму соотношений (6.8), (6.9), однако при этом правые части последних делятся на константу $\varkappa=\operatorname{det}\left\|c_{r s}\right\|$. Поэтому в новых переменных $\xi_{k}$ уравнения (6.8), (6.9) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\xi_{4} \dot{\xi}_{i}-\xi_{i} \dot{\xi}_{4}=\left(\mu_{k}-\mu_{j}\right) \xi_{j} \xi_{k} / \varkappa, \\
\dot{\xi}_{i} \xi_{j}-\dot{\xi}_{j} \xi_{i}=\left(\mu_{k}-\mu_{4}\right) \xi_{k} \xi_{4} / \varkappa .
\end{array}
\]

Но этот же вид имеют уравнения Эйлера в проективных координатах (6.7). Роль моментов инерции играют числа $\mu_{1}, \mu_{2}$ и $\mu_{3} ;$ они зависят не только от $I$ и $\lambda$, но и от постоянных интегрирования $h_{1}$ и $h_{2}$. Искомый изоморфизм задач Эйлера и Жуковского является композицией двух проективных преобразований и одного линейного. В вещественной области этот изоморфизм имеет особенности, что отвечает разной топологии фазовых кривых двух задач.

4. Недавно найдены другие неожиданные изоморфизмы ряда проинтегрированных задач динамики. Так, например, в [201] указано дробно-линейное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в работе [179] найден аналогичный изоморфизм волчка Горячева – Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Эти результаты основываются на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоновых систем (см. [178]).