1. Самым простым и эффективным методом точного интегрирования уравнений Гамильтона является метод разделения переменных. Согласно Якоби, задача интегрирования канонических уравнений
\[
\dot{p}=-\partial H / \partial q, \quad \dot{q}=\partial H / \partial p ; \quad(p, q) \in \mathbb{R}^{2 n},
\]

сводится к отысканию полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона – Якоби
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H\left(\frac{\partial V}{\partial q}, q, t\right)=0 .
\]

Полный интеграл – это $n$-параметрическое семейство решений $V(t, q, x)$ уравнения (7.2), удовлетворяющее условию невырожденности $\operatorname{det}\left\|\partial^{2} V / \partial q \partial x\right\|
eq 0$. Если гамильтониан $H$ не зависит явно от времени, то подстановкой $V(q, t)=-K t+W(q)$ уравнение (7.2) приводится к уравнению
\[
H(\partial W / \partial q, q)=K(x) .
\]

Так как $\operatorname{det}\left\|\partial^{2} W / \partial q \partial x\right\|=\operatorname{det}\left\|\partial^{2} V / \partial q \partial x\right\|
eq 0$; то $W(q, x)$ – \”полный\” интеграл уравнения (7.3) – можно принять в качестве производящей функции канонического преобразования $p, q \rightarrow y, x: y=$ $=\partial W / \partial x, p=\partial W / \partial q$. В новых канонических переменных $x, y$ функция $H$ становится равной $K(x)$, поэтому уравнения Гамильтона сразу интегрируются: $x=x_{0}, y=y_{0}+\omega\left(x_{0}\right) t, \omega(x)=\partial K / \partial x$.

Подчеркнем, что функция $K$ в уравнении (7.3) считается неопределенной, и для ее однозначного задания следует привлекать дополнительные условия. Обычно полагают $K\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=$ $=x_{n}$ : тогда в фазовом пространстве переменных $x, y$ траектории гамильтоновой системы (7.1) являются прямыми.
2. Если уравнение (7.3) имеет полный интеграл вида $W(q, x)=$ $=\sum_{k=1}^{n} W_{k}\left(q_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, то переменные $q_{1}, \ldots, q_{n}$ называются разделенными.

Приведем примеры гамильтонианов, для которых уравнение (7.3) решается разделением переменных:
(a) $H=f_{n}\left(f_{n-1}\left(\ldots f_{2}\left(f_{1}\left(p_{1}, q_{1}\right), p_{2}, q_{2}\right) \ldots, p_{n-1}, q_{n-1}\right), p_{n}, q_{n}\right)$;
(б) $H=\sum f_{s}\left(p_{s}, q_{s}\right) / \sum g_{s}\left(p_{s}, q_{s}\right)$.
В случае (а) можно положить $W=W_{1}\left(q_{1}, x_{1}\right)+W_{2}\left(q_{2}, x_{1}, x_{2}\right)+$ $+\ldots+W_{n}\left(q_{n}, x_{n-1}, x_{n}\right)$, где функция $W_{k}$ удовлетворяет уравнению $f_{k}\left(x_{k-1}, \partial W_{k} / \partial q_{k}, q_{k}\right)=x_{k}(2 \leqslant k \leqslant n) ; f_{1}\left(\partial W_{1} / \partial q_{1}, q_{1}\right)=x_{1}$. Поскольку $W_{k}$ зависит лишь от $q_{k}$, а $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – параметры, то эти уравнения можно рассматривать как обыкновенные. Они тривиально интегрируются.

В случае (б) полагаем $K=x_{0}$ и ищем полный интеграл уравнения $\sum_{k}\left[x_{0} g_{k}\left(\partial W / \partial q_{k}, q_{k}\right)-f_{k}\left(\partial W / \partial q_{k}, q_{k}\right)\right]=0$ в виде суммы $\sum W_{k}\left(q_{k}, x_{0}, x_{k}\right)$, где $W_{k}$, как функция от $q_{k}$, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
\[
x_{0} g_{k}\left(\frac{d W_{k}}{d q_{k}}, q_{k}\right)-f_{k}\left(\frac{d W_{k}}{d q_{k}}, q_{k}\right)=x_{k}, \quad \sum x_{k}=0 .
\]

В качестве $n$ независимых параметров можно взять $x_{0}$ и любые $n-1$ из $n$ параметров $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Подчеркнем, что мы не ставим целью найти все решения уравнения (7.3); нам достаточно знать хотя бы одно $n$-параметрическое семейство его решений.

Отметим, что случаи (а) и (б) могут встречаться в сочетании друг с другом; кроме того, возможны более сложные виды разделения переменных. В качестве примера приведем относящийся сюда результат П. Штекеля ( 1985 г.). Пусть $\Phi$ – определитель матрицы $\left\|\varphi_{i j}\left(q_{j}\right)\right\|(1 \leqslant i, j \leqslant n)$, а $\Phi_{i j}$ – алгебраическое дополнение

элемента $\varphi_{i j}$. Предположим, что в симплектических координатах $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$ функция Гамильтона имеет вид
\[
H(p, q)=\sum_{s=1}^{n} \Phi_{1 s}(q) f_{s}\left(p_{s}, q_{s}\right) / \Phi(p, q) ;
\]

тогда уравнения Гамильтона интегрируются. Полагая $K(x)=x_{1}$, запишем уравнение (7.3): $\sum_{m} \Phi_{1 m}\left[\sum_{k} x_{k} \varphi_{k m}\left(q_{m}\right)-f_{m}\left(\partial W / \partial q_{m}, q_{m}\right)\right]=$ $=0$. Eго полный интеграл можно найти в виде суммы $W(q, x)=$ $=\sum_{m} W_{m}\left(q_{m}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, где $W_{m}$, как функция $q_{m}$, удовлетворяет уравнению $f_{m}\left(d W_{m} / d q_{m}, q_{m}\right)=\sum_{k} x_{k} \varphi_{k m}\left(q_{m}\right)$.

Частным случаем гамильтоновых систем Штекеля являются лиувиллевы системы; функция Гамильтона имеет вид
\[
\frac{1}{2 \sum_{i=1}^{n} A_{i}} \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{p_{j}^{2}}{B_{j}}+C_{j}\right] .
\]

Функции $A_{i}, B_{i}, C_{i}$ зависят лишь от координаты $q_{i}$, причем $\sum A_{i}$ и $B_{j}$ не обращаются в нуль. Лиувиллевы системы часто встречаются в приложениях.
3. Задача о разделении переменных в гамильтоновых системах — популярная тема исследований прошлого столетия. Ее актуальность подчеркивает следующее наблюдение: если гамильтонова система с гамильтонианом $H=\sum_{i, j} g^{i j}(q) p_{i} p_{j} / 2$ решается разделением переменных, то в уравнении Лапласа – Бельтрами
\[
\Delta f=-\frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i, j} \frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\sqrt{g} g^{i j} \frac{\partial f}{\partial q_{j}}\right)=0, \quad g=\operatorname{det}\left\|g_{i j}\right\|,
\]

координаты $q$ также разделяются (см. [133]). Здесь $g^{i j}$-элементы матрицы, обратной к матрице метрики $\left\|g_{i j}\right\|$.

Леви-Чивита нашел критерий интегрируемости системы с функцией Гамильтона $H(p, q)$ методом разделения переменных в данных симплектических координатах. Функция $H$ должна удовлетворять следующей системе уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{j} \partial q_{k}}-\frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{j} \partial p_{k}}- \\
\quad-\frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{j} \partial q_{k}}+\frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{j} \partial p_{k}}=0, \quad 1 \leqslant j<k \leqslant n .
\end{array}
\]

равна нулю. Следовательно, значение квадратичной формы $H$ в точке $x, \dot{x}$ есть сумма $h(v)$ и $h^{\prime}\left(v^{\prime}\right)$. В частности, ind $H=$ ind $h+\operatorname{ind} h^{\prime}$.

Укажем одно важное

Следствие 3. Пусть потенциальная энергия $V$ имеет максимум, $a$ функция $h$ имеет строгий экстремум в точке $x=0$. Тогда равновесие $x=0$ системы (9.1) устойчиво.

Действительно, поскольку квадратичная форма $h$ имеет строгий экстремум, то она невырождена. Следовательно, согласно (9.8), $\operatorname{det}\left(D^{T}-D\right)
eq 0$. В рассматриваемом случае ind $H=n$, a ind $h$ равен либо 0 , либо $n$. Значит, согласно предложению 3 , ind $h^{\prime}$ равен либо $n$, либо 0 . Таким образом, функция $h^{\prime}$ имеет в точке $x=0$ строгий экстремум. Устойчивость равновесия $x=0$ вытекает теперь из предложения 1.

Эти соображения позволяют в ряде случаев указать конструктивные условия гироскопической стабилизации. Проблема устойчивости сводится к умению решать квадратные матричные уравнения.
\[
3^{\circ} \text {. }
\]

Теорема 17. Предположим, что потенциальная энергия имеет в точке $x=0$ строгий максимум, $\operatorname{det} \Gamma
eq 0 u$
\[
\left\|\Gamma^{-1}\right\| \cdot\left\|P^{1 / 2}\right\|<\frac{1}{2} .
\]

Тогда равновесие $x=0$ системы (9.1) устойчиво.
Здесь $\|\cdot\|$ – любая матричная норма. Эта теорема указана автору С.В.Болотиным. Она обобщает один более ранний результат А. В. Карапетяна.

Доказательство.
Поскольку форма $V$ имеет строгий максимум в точке $x=0$, то существует положительно определенная матрица $P^{\frac{1}{2} / 2}$. Положим

$A=P^{1 / 2} X$. Тогда матрица $X$ удовлетворяет уравнению
\[
X P^{1 / 2} X+\Gamma X+P^{1 / 2}=0
\]

или
\[
X=\Phi(X)=-\Gamma^{-1}\left(X P^{1 / 2} X+P^{1 / 2}\right) .
\]

Покажем, что $\Phi$ отображает единичный шар $\|X\| \leq 1$ в себя. Действительно, согласно (9.10),
\[
\begin{array}{c}
-\Phi(X)\|\leq\| \Gamma^{-1}\|\cdot\| X P^{1 / 2} X+P^{1 / 2} \| \leq \\
\leq\left\|\Gamma^{-1}\right\| \cdot\left(\left\|\Gamma^{1 / 2}\right\| \cdot\|X\|^{2}+\left\|\Gamma^{1 / 2}\right\|\right) \leq 2\left\|\Gamma^{-1}\right\| \cdot\left\|\Gamma^{1 / 2}\right\|<1 .
\end{array}
\]

Следовательно, по теореме Боля-Брауэра, отображение $\Phi$ имеет неподвижную точку внутри единичного шара $\|X\| \leq 1$.
Полагая $x=P^{-1 / 2} z$, перепишем интеграл (9.6):
\[
h=\frac{1}{2}(X z, z)+\frac{1}{2}(z, z) .
\]

Поскольку $\|X\|<1$, то квадратичная форма $h$ положительно определена.

Таким образом, равновесие $x=0$ системы (9.1) устойчиво согласно следствию из предложения 3.
$4^{\circ}$. Оказывается, если выполнено условие (9.9), то линейные уравнения (9.3) можно привести к каноническому виду дифференциальных уравнений Гамильтона. Действительно, в этом случае уравнения (9.3) эквивалентны уравнениям Ламба
\[
\left(D-D^{T}\right) \dot{x}=-\frac{\partial h}{\partial x},
\]

где квадратичная форма $h=(B x, x) / 2$ задана формулой (9.6). Запишем уравнение (9.11) в явном виде:
\[
\Omega \dot{x}=-B x, \quad \Omega=D-D^{T} .
\]

Поскольку кососимметрическая матрица $\Omega$ невырождена, то (как известно из линейной алгебры) найдется матрица $C(\operatorname{det} C
eq 0$ ), такая, что $C^{T} \Omega C=I$, где
\[
I=\left(\begin{array}{cc}
0 & -E_{m} \\
E_{m} & 0
\end{array}\right), \quad m=n / 2 .
\]

После линейной подстановки $x=C z$ уравнение (9.12) приводится к виду
\[
I \dot{z}=-B^{\prime} z, \quad B^{\prime}=C^{T} B C .
\]

Эта система имеет каноническую форму уравнений Гамильтона
\[
\dot{z}_{i}=\frac{\partial h}{\partial z_{m+i}}, \quad \dot{z}_{m+i}=-\frac{\partial h}{\partial z_{i}} ; \quad 1 \leq i \leq m .
\]

Гамильтонианом служит функция $h$, представленная в новых переменных $z$. Переменные $z_{1}, \ldots, z_{m}$ играют роль канонических координат, а $z_{m+1}, \ldots, z_{2 m}$ – канонических импульсов.

Распространение этого результата на нелинейные системы обсуждается в $\S 1$ главы II.