$1^{\circ}$. Ключевой вопрос применимости общей теории вихрей, развитой в главе II, состоит в нахождении инвариантных многообразий, однозначно проектирующихся на конфигурационное пространство. Этот вопрос легко и естественно решается для волчка Эйлера – задачи о вращении по инерции твердого тела с неподвижной точкой в трехмерном евклидовом пространстве. Многие результаты этого параграфа непосредственно обобщаются на более общую задачу о геодезических на группах Ли с левоинвариантной метрикой.

Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ – ортонормированный репер в неподвижном пространстве. Мы будем рассматривать эти векторы как векторы в подвижном пространстве, связанном с твердым телом. Тогда они уже не будут постоянными; их эволюция со временем описывается уравнениями Пуассона
\[
\dot{\alpha}+\omega \times \alpha=0, \quad \dot{\beta}+\omega \times \beta=0, \quad \dot{\gamma}+\omega \times \gamma=0 .
\]

Эти уравнения вместе с динамическими уравнениями Эйлера образуют полную систему уравнений движения. Они допускают следу-

ющие интегралы
\[
(I \omega, \alpha)=c_{1}, \quad(I \omega, \beta)=c_{2}, \quad(I \omega, \gamma)=c_{3},
\]

отражающие свойство неизменности вектора кинетического момента тела $K=I \omega$ как вектора неподвижного пространства.

Интегралы (2.2) имеют прозрачную групповую интерпретацию. Вращениям волчка с постоянной угловой скоростью $\omega=\alpha$ отвечает правоинвариантное векторное поле на $S O(3)$. Фазовый потогк этого поля состоит, очевидно, из левых сдвигов на группе $S O(3)$. Однако кинетическая энергия волчка инвариантна при левых сдвигах. Следовательно, по теореме Нетер ( $\$ 5$ гл. I), уравнения движения допускают интеграл
\[
\left(\frac{\partial T}{\partial \omega}, \alpha\right)=\text { const } .
\]

Рис. 21. Вращающийся волчок

Из формулы (2.2) вытекает очевидное равенство
\[
I \omega=c_{1} \alpha+c_{2} \beta+c_{3} \gamma .
\]

Оно позволяет представить скорость вращения волчка как однозначную функцию на конфигурационном пространстве. Другими словами, векторное равенство (2.3) задает трехмерное стационарное инвариантное многообразие, однозначно проектирующееся на группу $S O(3)$. В дальнейшем рассматривается нетривиальный случай, когда $c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}
eq 0$.
$\mathbf{2}^{\circ}$. Для определенности изложения введем в рассмотрение подвижный трехгранник, образованный главными осями инерции твердого тела относительно точки закрепления. В этих осях тензор инерции приводится к диагональному виду: $I=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$.

Пусть $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – проекции вектора угловой скорости на эти подвижные оси. Эти предположения упрощают вид кинетической энергии тела
\[
T=\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right) / 2 .
\]

Для того чтобы представить инвариантные многообразия (2.3) в канонических переменных, введем в качестве обобщенных координат углы Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ ( $\S 5$ главы I). Они однозначно определяют положение главных осей инерции твердого тела относительно неподвижного трехгранника.

Геометрические соотношения (1.2) принимают вид известных $\kappa и$ нематических формул Эйлера (1760):
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi+\dot{\theta} \cos \varphi, \\
\omega_{2}=\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi-\dot{\theta} \sin \varphi, \\
\omega_{3}=\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi} .
\end{array}
\]

Они позволяют представить кинетическую энергию (2.4) как квадратичную форму по обобщенным скоростям $\dot{\psi}, \dot{\theta}, \dot{\varphi}$. Сопряженные импульсы вводим по обычному правилу:
\[
p_{\psi}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}, \quad p_{\theta}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}, \quad p_{\varphi}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}} .
\]

Используя (2.4) и (2.5), получаем следующие формулы:
\[
\begin{aligned}
p_{\psi} & =I_{1} \omega_{1} \frac{\partial \omega_{1}}{\partial \dot{\psi}}+I_{2} \omega_{2} \frac{\partial \omega_{2}}{\partial \dot{\psi}}+I_{3} \omega_{3} \frac{\partial \omega_{3}}{\partial \dot{\psi}}= \\
& =I_{1} \omega_{1} \sin \theta \sin \varphi+I_{2} \omega_{2} \sin \theta \cos \varphi+I_{3} \omega_{3} \cos \theta, \\
p_{\theta} & =I_{1} \omega_{1} \cos \varphi-I_{2} \omega_{2} \sin \varphi, \\
p_{\varphi} & =I_{3} \omega_{3} .
\end{aligned}
\]

Известны выражения компонент векторов $\alpha, \beta, \gamma$ через углы Эйлера:
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\left[\begin{array}{c}
\cos \psi \cos \varphi-\cos \theta \sin \psi \sin \varphi \\
-\cos \psi \sin \varphi-\cos \theta \sin \psi \cos \varphi \\
\sin \psi \sin \theta
\end{array}\right], \\
\beta=\left[\begin{array}{c}
\sin \psi \cos \varphi+\cos \theta \cos \psi \sin \varphi \\
-\sin \psi \sin \varphi-\cos \theta \cos \psi \cos \varphi \\
\cos \psi \sin \theta
\end{array}\right], \\
\gamma=\left[\begin{array}{c}
\sin \theta \sin \varphi \\
\sin \theta \cos \varphi \\
\cos \theta
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Вывод этих формул можно найти, например, в трактате Уиттекеpa $[57]$.

Учитывая (2.3) и (2.7), из (2.6) получаем окончательный вид инвариантных многообразий в канонических переменных:
\[
\begin{aligned}
p_{\psi} & =c_{3}, \\
p_{\theta} & =c_{1} \cos \psi+c_{2} \sin \psi, \\
p_{\varphi} & =c_{1} \sin \theta \sin \psi-c_{2} \sin \theta \cos \psi+c_{3} \cos \theta .
\end{aligned}
\]

Интересно отметить, что эти формулы не зависят от моментов инерции тела $I_{1}, I_{2}, I_{3}$.
Введем в рассмотрение фундаментальную 1-форму
\[
\omega=p_{\psi} d \psi+p_{\theta} d \theta+p_{\varphi} d \varphi
\]

и 2-форму $\Omega=d \omega$.
Предложение 1. Если $\sum c_{k}^{2}
eq 0, \operatorname{monk}(\Omega)=2$.
Таким образом, найденные трехмерные инвариантные многообразия являются вихревыми.

Доказательство.
Действительно, не нарушая общности можно считать, что постоянный вектор кинетического момента $K$ направлен вдоль $\gamma: K=k \gamma$,

$k=|K|
eq 0$. Тогда в формулах (2.8) можно положить $c_{1}=c_{2}=0$, $c_{3}=k$. Следовательно, $\omega=k(d \psi-\cos \theta d \varphi)$ и
\[
\Omega=k \sin \theta d \varphi \wedge d \theta .
\]

Поскольку углы Эйлера определены при $0<\theta<\pi$, то в этих точках $\operatorname{rank}(\Omega)=2$. По-другому выбирая обобщенные координаты, можно убедиться в том, что 2-форма $\Omega$ невырождена и в полюсах $\theta=0$ и $\theta=\pi$. Что и требовалось.
$\mathbf{3}^{\circ}$. При фиксированном значении $k$ инвариантные соотношения (2.3) (или, что то же самое, (2.8)) задают на группе $S O(3)$ некоторую динамическую систему
\[
\dot{x}=v(x), \quad x=(\psi, \theta, \varphi) .
\]

С использованием кинематических формул Эйлера эти уравнения можно легко записать в явном виде:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\psi}=k\left(\frac{\sin ^{2} \varphi}{I_{1}}+\frac{\cos ^{2} \varphi}{I_{2}}\right), \\
\dot{\theta}=k\left(\frac{1}{I_{1}}-\frac{1}{I_{2}}\right) \sin \theta \sin \varphi \sin \psi, \\
\dot{\varphi}=k \cos \theta\left(\frac{1}{I_{3}}-\frac{\sin ^{2} \varphi}{I_{1}}-\frac{\cos ^{2} \varphi}{I_{2}}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (2.11) хорошо известны в связи с точным интегрированием задачи Эйлера [57]. Их фазовый поток задает стационарное «течение» на группе $S O(3)$. Изучим его свойства.
Справедливы следующие утверждения.
a. Вихревые поля $w$ на группе $S O(3)$, коммутирующие с полем скоростей $v$, порождают вращение твердого тела с угловой скоростью $\omega=\mu \gamma, \mu=$ const. В частности, эти вихревые поля правоинвариантны и все вихревые линии замкнуты. Расслоение группы $S O(3)$ вихревыми линиями совпадает с известным в топологии расслоением Хопфа.

b. Эти поля определяются соотношениями $i_{\omega} \Omega=0, \omega(w)=$ $=$ const $
eq 0$.
c. Гамильтонова система на $T^{*} S O(3)$ с гамильтонианом
\[
H^{\prime}=K^{2} / 2=\left[\left(I_{1} \omega_{1}\right)^{2}+\left(I_{2} \omega_{2}\right)^{2}+\left(I_{3} \omega_{3}\right)^{2}\right] / 2
\]

имеет те же самые трехмерные инвариантные поверхности (2.8). Отвечающие им векторные поля на группе $S O(3)$ вида (2.10) являются вихревыми полями, коммутирующими с полем (2.11).
d. Используя (2.4) и (2.5), можно вычислить $g$ – определитель матрицы коэффициентов $g_{i j}$ кинетической энергии:
\[
g=I_{1} I_{2} I_{3} \sin ^{2} \theta .
\]

Оказывается, уравнения (2.10) допускают интегральный инвариант
\[
\operatorname{mes}(D)=\int_{D} \sqrt{g} d^{3} x
\]

Он задает на группе $S O(3)$ меру, инвариантную относительно всех левых и правых сдвигов.

Напомним, что на каждой компактной группе имеется единственная (с точностью до множителя) биинвариантная мера, которая называется мерой Хаара [61]. Инвариантую меру системы (2.10) можно также представить в виде интеграла
\[
\int \omega \wedge \Omega
\]
e. Метрика на $S O(3)$, задаваемая кинетической энергией твердого тела, позволяет вычислить ротор поля $v$. Это поле – вихревое. Оказывается, $\operatorname{rot} v$ коммутирует с полем $v$.

f. Интеграл Бернулли $h$ равен $k^{2}\left(I^{-1} \gamma, \gamma\right) / 2$. Критические точки функции $h$ – орбиты постоянных вращений волчка вокруг главных осей инерции (с фиксированным значением момента $K$ ), и критические значения совпадают со значениями энергии на этих вращениях. Если $c$ не является критическим значением функции $h$, то поверхность Бернулли $B_{c}=\{h(x)=c\}$ – двумерный тор с условно-периодическим движением.
$\mathbf{4}^{\circ}$. Доказательство a-f основано на простых прямых вычислениях. Ввиду (2.9) векторные поля
\[
\psi^{\prime}=\mu, \quad \theta^{\prime}=0, \quad \varphi^{\prime}=0
\]

являются вихревыми. Поля (2.11) и (2.15) коммутируют при условии $\mu=$ const. Согласно кинематическим формулам Эйлера поле (2.15) порождает вращение твердого тела с угловой скоростью $\omega=\mu \gamma$, что доказывает а.

Так как $\mu=$ const, то $\omega(w)=k \mu=$ const. Отсюда вытекает заключение b. Аналогично доказывается c.

Согласно предложению 1 из §1 гл. I, уравнения (2.11) допускают интегральный инвариант
\[
\int
u d \psi d \theta d \varphi
\]

с плотностью
\[

u=\left|\frac{\partial\left(p_{\psi}, p_{\theta}, p_{\varphi}\right)}{\partial\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)}\right|=\sin \theta .
\]

Ввиду формулы (2.12), инвариант (2.16) отличается от (2.13) постоянным множителем. Наличие интегрального инварианта (2.14) для системы (2.10) вытекает из предложения $2 \S 3$ главы II. Поскольку $\sin \theta>0$ при $0<\theta<\pi$, то инвариант (2.16) задает меру на группе $S O(3)$. Непосредственное доказательство ее инвариантности относительно левых и правых сдвигов группы $S O(3)$ можно найти, например, в книге [47].

Согласно §5 главы II, компоненты ротора поля (2.11) (во внутренней метрике на $S O(3)$, определяемой кинетической энергией) равны
\[
-\frac{k}{\sqrt{I_{1} I_{2} I_{3}}}, 0,0 .
\]

Следовательно, поля $\operatorname{rot} v$ и $v$ коммутируют, что доказывает заключение е.

Доказательство $\mathbf{f}$ повторяет рассуждения $\S 1$ главы I. Если тензор инерции $I$ не шаровой, то $h
ot \equiv$ const и поэтому поле $v$ не коллинеарно своему ротору.
$5^{\circ}$. Для волчка Эйлера нетрудно выписать явные формулы для потенциалов Клебша. Действительно, можно положить
\[
S=k \psi, \quad x_{1}=k \cos \theta, \quad x_{2}=\varphi .
\]

В интервале $0<\theta<\pi$ координата $x_{1}$, очевидно, меняется монотонно. В этих переменных фундаментальная 1-форма $\omega$ имеет следующий вид:
\[
\omega=d S+x_{1} d x_{2} .
\]

Следовательно, $x_{1}, x_{2}$ и $S$ – потенциалы Клебша.
Факторизация конфигурационного пространства – группы $S O(3)$ по замкнутым вихревым линиям эквивалентна исключению угла прецессии $\psi$. Правые части уравнений (2.11) не содержат координаты $\psi$ и поэтому уравнения для $\theta$ и $\varphi$ являются уравнениями на базе расслоения $S O(3)$ вихревыми линиями. Нетрудно понять, что эта база диффеоморфна двумерной сфере, для которой $\theta$ и $\varphi$ будут обычными сферическими координатами. Эта сфера в динамике твердого тела обычно называется сферой Пуассона.

В соответствие с общими результатами $\S 4$ главы II, координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ на сфере Пуассона удовлетворяет дифференциальным уравнениям Гамильтона
\[
\dot{x}_{1}=-\frac{\partial h}{\partial x_{2}}, \quad \dot{x}_{2}=\frac{\partial h}{\partial x_{1}},
\]

где
\[
h=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin ^{2} x_{2}}{I_{1}}+\frac{\cos ^{2} x_{2}}{I_{2}}\right)\left(k^{2}-x_{1}^{2}\right)+\frac{x_{1}^{2}}{2 I_{3}}
\]
– функция Бернулли, представленная в канонических координатах $x_{1}, x_{2}$. Расслоение сферы Пуассона линиями уровня функции $h$ изображено на рис. 22.
Рис. 22. Динамическая система на сфере Пуассона

$6^{\circ}$. В заключение кратко обсудим вихревую теорию волчка Эйлера с диссипацией ( $\S 6$ главы II). В этом случае динамические уравнения Эйлера принимают вид
\[
I \dot{\omega}+\omega \times I \omega=-
u I \omega .
\]

Здесь $
u(t)>0$ – коэффициент вязкости. Эти уравнения вместе с уравнениями Пуассона (2.1) дают соотношения
\[
(I \omega, \alpha)=c_{1} \mu, \quad(I \omega, \beta)=c_{2} \mu, \quad(I \omega, \gamma)=c_{3} \mu,
\]

где $c=$ const, $\dot{\mu}=
u$. Без ущерба для общности можно считать, что $c_{1}=c_{2}=0$. Полагая $c_{2} \mu=k(t)$, из (2.18) получим
\[
I \omega=k \gamma .
\]

Это векторное равенство позволяет найти угловую скорость тела как однозначную функцию его положения и времени:
\[
\dot{x}=v(x, t), \quad x=(\psi, \theta, \varphi) \in S O(3) .
\]

В переменных $\psi, \theta, \varphi$ – углах Эйлера – эта система совпадает с уравнениями (2.11), в которых $k$ будет известной функцией времени.
Как и при $
u=0$, векторные поля
\[
\psi^{\prime}=\lambda, \theta^{\prime}=0, \varphi^{\prime}=0
\]

будут вихревыми и мы снова получаем уже известное нам расслоение группы $S O(3)$ замкнутыми вихревыми линиями. Поскольку правые части уравнений (2.11) не содержат угла прецессии $\psi$, то фазовый поток уравнений (2.11) (с переменным коэффициентом $k$ ) переводит вихревые линии в вихревые линии.

Потенциалы Клебша снова имеют вид (2.17). Функция $S$ и функция Бернулли $h$ теперь зависят от времени. Поскольку $\dot{k}=-
u k$, то гамильтониан $\mathcal{H}$ из $\S 6$ главы II (формула (6.17)) равен, очевидно, функции $h$. Так как функция $h$ не зависит от угла $\psi$, то получаем обобщенную теорему Бернулли: при фиксированных значениях $t$ функция $h$ постоянна на вихревых линиях.