Как было сказано в п. $9\mathrm{\S }1$, уравнения движения неголономных систем в общем случае нельзя свести к уравнениям Гамильтона. Однако в некоторых частных случаях это оказывается возможным. Приведем некоторые примеры.

1. Опишем неголономную систему Чаплыгина с двумя (неголономными) степенями свободы. В этом случае лагранжевы координаты $q_1,q_2,\dots ,q_n$ можно выбрать так, чтобы уравнения связей (1.4) приняли вид
$${\dot{q}}_j=a_j{\dot{q}}_1+b_j{\dot{q}}_2,j=3,\dots ,n,$$

причем коэффициенты $a_j,b_j$, а также лагранжиан $L=T-V$ не зависят явно от $q_3,\dots ,q_n$. Нетрудно дать инвариантное описание систем Чаплыгина в геометрических терминах расслоенного пространства.

Уравнения (1.11) для координат $q_1,q_2$ отделяются, и их можно привести к следующей системе двух уравнений второго порядка:
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\frac{\partial L^{\ast }}{\partial {\dot{q}}_1}-\frac{\partial L^{\ast }}{\partial q_1}& ={\dot{q}}_{2}S,\frac{d}{dt}\frac{\partial L^{\ast }}{\partial {\dot{q}}_2}-\frac{\partial L^{\ast }}{\partial q_2}=-{\dot{q}}_{1}S,\\ S& =\sum _{j=3}^n\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}(\frac{\partial a_j}{\partial q_2}-\frac{\partial b_j}{\partial q_1}).\end{array}$$

Здесь $L^{\ast }$ — функция от $q_1,q_2,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2$, получающаяся из $L$ подстановкой (7.1); в выражении для $S$ также учтены формулы (7.1).

Чаплыгин [170] доказал, что если система (7.2) имеет интегральный инвариант с плотностью $f(q_1,q_2)$, то ее решения $q_1(t),q_2(t)$ являются экстремалями следующей вариационной задачи:
$$\delta {\int }_{t_1}^{t_2}{L}^{\ast }dt=0,{\int }_{t_1}^{t_2}fdt=\text{ const }.$$

Если $f>0$, то заменой времени
$$d\tau =fdt$$

уравнения (7.2) приводятся к каноническим уравнениям Гамильтона. Чтобы получить функцию Гамильтона, надо в выражении для лагранжиана $L^{\ast }$ сделать замену времени (7.4), а затем выполнить обычное преобразование Лежандра.

Условия существования интегральных инвариантов гладких динамических систем изучены в работе [95].

2. Упоминавшаяся в п. $10\mathrm{\S }3$ задача о качении неоднородного шара по горизонтальной плоскости является системой Чаплыгина с тремя степенями свободы. Фиксируя значение интеграла площадей и исключая вращения шара вокруг вертикальной прямой, проходящей через точку контакта, число степеней свободы можно понизить до двух. Если постоянная площадей равна нулю, то можно показать, что приведенные уравнения имеют вид (7.2). Вспоминая наличие интегрального инварианта с плотностью

(3.23), можно привести эти уравнения с помощью замены времени к уравнениям Гамильтона.

3. Следуя Г. К. Суслову [154, гл. 53], рассмотрим задачу о вращении вокруг неподвижной точки твердого тела с неинтегрируемой связью $(a,\omega )=0$, где $a$ — вектор, постоянный в подвижном пространстве. Пусть тело врацается в однородном силовом поле; положим $V=(b,\gamma ),b=$ const. Запишем неголономные уравнения движения (1.11) в форме уравнений Пуанкаре на алгебре $so(3)$ :
$$I\dot{\omega }+\omega \times I\omega =\gamma \times b+\mu a,\dot{\gamma }+\omega \times \gamma =0,(a,\omega )=0.$$

Нетрудно показать, что если вектор а является собственным вектором оператора $I$, то фазовый поток уравнений (7.5) сохраняет стандартную меру в ${\mathbb{R}}^6=\{\omega ,\gamma \}$. Как отмечено в [90], если $Iaeq\lambda a$, то при $b=0$ система (7.5) не имеет даже абсолютно непрерывной (по отношению к мере Лебега в ${\mathbb{R}}^6=\{\omega ,\gamma \}$ ) инвариантной меры. Поэтому будем предполагать, что и в общем случае вектор $a$ направлен вдоль одной из осей инерции тела; без ограничения общности можно считать, что $a$ имеет компоненты $0,0,1$.

Уравнения (7.5) проинтегрированы в работе [168] в предположении ортогональности векторов $a$ и $b$. Мы рассмотрим противоположный случай, когда $b=\epsilon a,\epsilon eq0$.

Два первых динамических уравнения системы (7.5) с учетом уравнения связи ${\omega }_3=0$ имеют вид $I_1{\dot{\omega }}_1=\epsilon {\gamma }_2,I_2{\dot{\omega }}_2=-\epsilon {\gamma }_1$, откуда $I_1{\ddot{\omega }}_1=\epsilon {\dot{\gamma }}_2,I_2{\ddot{\omega }}_2=-\epsilon {\dot{\gamma }}_1$. С помощью уравнений Пуассона ${\dot{\gamma }}_1=-{\omega }_2{\gamma }_3,{\dot{\gamma }}_2={\omega }_1{\gamma }_3$ получим, что
$$I_1{\ddot{\omega }}_1=\epsilon {\gamma }_3{\omega }_1,I_2{\ddot{\omega }}_2=\epsilon {\gamma }_3{\omega }_2.$$

Интеграл энергии $(I_1{\omega }_1^2+I_2{\omega }_2^2)/2+\epsilon {\gamma }_3=h$ позволяет выразить ${\gamma }_3$ через ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$. После этого уравнения (7.6) можно переписать в виде уравнений Лагранжа $I_i^2{\ddot{\omega }}_i=-\frac{\partial V}{\partial {\omega }_i}(i=1,2),V=$ $=\frac{1}{2}{(h-\frac{I_1{\omega }_1^2+I_2{\omega }_2^2}{2})}^2$. Эти уравнения имеют интеграл энергии $T+V=$ const, $T=\frac{1}{2}(I_1^2{\omega }_1^2+I_2^2{\omega }_2^2)$, постоянная которого для реальных движений равна ${\epsilon }^2/2$.

Замена $I_i{\omega }_i=m_i$, соответствующая переходу от угловой скорости к кинетическому моменту, сводит рассматриваемую задачу о вращении твердого тела к задаче о движении материальной точки в потенциальном силовом поле:
$${\ddot{m}}_i=-\frac{\partial V}{\partial m_i}(i=1,2),V=\frac{1}{2}{(h-\frac{I_1^{-1}{m}_1^2+I_2^{-1}{m}_2^2}{2})}^2.$$

При $I_1=I_2$ будем иметь движение точки в центральном поле. В этом случае уравнения движения интегрируются в эллиптических функциях времени.

Подчеркнем, что (в отличие от теории приводящего множителя Чаплыгина) указанное сведе́ние уравнений (7.5) к уравнениям Лагранжа (или Гамильтона) не использует замену времени. Однако роль лагранжевых координат играют компоненты угловой скорости или момента твердого тела.