$1^{\circ}$. Ключевую роль в гамильтоновой механике играют скобки Пуассона. Они уже упоминались в гл. I в связи с динамикой точечных вихрей. Мы напомним их определение и основные свойства, а также докажем ряд утверждений, которые будут использованы в дальнейшем.
Каждой упорядоченной паре гладких функций $f$ и $g$ на фазовом пространстве $M^{2 n}$ ставится в соответствие функция
\[
\{f, g\}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial y_{i}}-\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}}\right),
\]
которая называется скобкой Пуассона функций $f$ и $g$. Производная по времени функции $F(x, y, t)$ в силу гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$, очевидно, равна
\[
\frac{\partial F}{\partial t}+\{F, H\}
\]
Следовательно, сами канонические уравнения можно переписать в следующем виде:
\[
\dot{x}_{i}=\left\{x_{i}, H\right\}, \quad \dot{y}_{i}=\left\{y_{i}, H\right\} ; \quad 1 \leq i \leq n .
\]
Эти соотношения показывают особую роль скобки Пуассона в теории гамильтоновых систем.
Скобка Пуассона удовлетворяет следующим свойствам:
(1) $\{f, g\}=-\{g, f\}$ (кососимметричность);
(2) $\left\{c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2}, g\right\}=c_{1}\{f, g\}+c_{2}\left\{f_{2}, g\right\}$, где $c_{1}, c_{2}$ – вещественные числа (билинейность);
(3) $\{\{f, g\}, h\}+\{\{g, h\}, f\}+\{\{h, f\}, g\}=0$ (тождество Якоби);
(4) $\{f g, h\}=f\{g, h\}+g\{f, h\}$ (правило Лейбница);
(5) если $\{f, g\}=0$ для всех функций $g$, то $f=$ const (невырожденность).
Множество всех гладких функций на фазовом пространстве $C^{\infty} \mathrm{c}$ обычными правилами сложения и умножения на числа образует бесконечномерное линейное пространство. Согласно (1),(2) и (3), операция «внутреннего умножения» $\{\cdot, \cdot\}$ превращает это пространство в алгебру Ли.
Из тождества Якоби вытекает простая, но важная
Теорема 2 (Пуассон). Скобка Пуассона первых интегралов уравнений Гамильтона также является первым интегралом.
Отметим, что скобка двух интегралов может оказаться константой или даже нулем. Из теоремы Пуассона вытекает, что интегралы образуют подалгебру Ли в алгебре Ли всех функций.
Если $\{f, g\}=0$, то говорят, что функции $f$ и $g$ коммутируют или находятся в инволюции. Если к тому же $f$ и $g$ не зависят от $t$, то $f$ интеграл уравнений Гамильтона с гамильтонианом $g$, и наоборот $g$ интеграл уравнений Гамильтона с гамильтонианом $f$. Эта двойственность объясняет термин «инволюция».
$\mathbf{2}^{\circ}$. В качестве важного примера рассмотрим нетеровы интегралы (3.2), которые в канонических переменных имеют следующий вид:
\[
F_{1}=y \cdot w_{1}, \ldots, F_{n}=y \cdot w_{n} .
\]
Предложение 3. Линейные комбинации функций $F_{1}, \ldots, F_{n}$ с операцией коммутирования $\{\cdot, \cdot\}$ порождают $n$-мерную алгебру Ли, изомор $\phi$ ную $\mathrm{g}$.
Доказательство.
Действительно, поскольку алгебра правоинвариантных полей на группе $G$ изоморфна алгебре Ли $g$, то поля $w_{1}, \ldots, w_{n}$ можно выбрать так, чтобы
\[
\left[w_{i}, w_{j}\right]=\sum c_{i j}^{k} w_{k} .
\]
Здесь $c_{i j}^{k}$ – структурные постоянные алгебры $g$.
Нетрудно проверить равенства
\[
\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=y \cdot\left[w_{i}, w_{j}\right] .
\]
Ввиду (4.1) и (4.2) получаем
\[
\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=\sum c_{i j}^{k} F_{k} .
\]
$3^{\circ}$. Пусть $f_{1}, \ldots, f_{n}$ – функции на фазовом пространстве $M^{2 n}$ (возможно, зависящие от $t$ ), причем
\[
\frac{\partial\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)}{\partial\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)}
eq 0 .
\]
Тогда, по теореме о неявных функциях, систему уравнений
\[
f_{1}(x, y, t)=c_{1}, \ldots, f_{n}(x, y, t)=c_{n}
\]
можно разрешить (по крайней мере локально ) относительно импульсов $y$ :
\[
y_{1}=u_{1}(x, t, c), \ldots, y_{n}=u_{n}(x, t, c), \quad c=\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right) .
\]
Введем $n \times n$-матрицу скобок Пуассона
\[
A=\left\|\left\{f_{i}, f_{j}\right\}\right\| .
\]
В выражениях для скобою импульсы следует заменить в соответствии с формулами (4.5).
Лемма 3. $\operatorname{rank}(\operatorname{rot} u)=\operatorname{rank} A$.
Следствие 3. Если функции $f_{1}, \ldots, f_{n}$ находятся в инволюции, то 1-форма
\[
\sum u_{i}(x, t, c) d x_{i}
\]
замкнута при всех значениях $t$ и .
Доказательство леммы 3.
Воспользуемся очевидным фактом, что функции
\[
F_{k}(x, t, c)=f_{k}(x, u(x, t, c), t), \quad 1 \leq k \leq n
\]
тождественно равны $c_{k}$. Следовательно,
\[
\frac{\partial F_{k}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{i}}+\sum \frac{\partial f_{k}}{\partial y_{j}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=0, \quad \frac{\partial F_{s}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial f_{s}}{\partial x_{s}}+\sum \frac{\partial f_{s}}{\partial y_{j}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=0 .
\]
суммируем по индексу $i$. В результате придем к соотношениям
\[
\left\{f_{k}, f_{s}\right\}+\sum_{i, j} \frac{\partial f_{k}}{\partial y_{j}} \frac{\partial f_{s}}{\partial y_{i}}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right)=0, \quad 1 \leq k, s \leq n .
\]
Введем $n \times n$-матрицу
\[
B=\left\|\frac{\partial f_{i}}{\partial y_{j}}\right\| .
\]
Здесь импульсы также исключены с помощью подстановки (4.5). Согласно предположению, матрица $B$ невырождена.
Совокупность соотношений (4.7) можно представить в матричной форме
\[
A=-B(\operatorname{rot} u) B^{T} .
\]
Как известно, в этом случае ранги матриц $A$ и $\operatorname{rot} u$ совпадают.
$4^{\circ}$. Пусть $\Phi(x, y, t)$ – еще одна функция на фазовом пространстве, коммутирующая с функциями $f_{1}, \ldots, f_{n}$ :
\[
\left\{\Phi, f_{k}\right\}=0, \quad 1 \leq k \leq n .
\]
Ей можно сопоставить гамильтонову систему
\[
\dot{x}=\frac{\partial \Phi}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial \Phi}{\partial x} .
\]
Положим
\[
w=\left.\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right|_{y=u(x, t, c)} .
\]
Ясно, что $w$ – векторное поле на конфигурационном пространстве.
Лемма 4. Если $\Phi$ – функция от $f_{1}, \ldots, f_{n}$, то $w$ – вихревое поле:
\[
(\operatorname{rot} u) w=0 .
\]
Доказательство.
Из (4.4) и (4.5) вытекают тождества
\[
y_{i} \equiv u_{i}(x, t, f(x, y, t)), \quad 1 \leq i \leq n .
\]
Следовательно,
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial u_{i}}{\partial c_{s}} \frac{\partial f_{s}}{\partial y_{j}}=\delta_{i j}
\]
где $\delta_{i j}$ – символ Кронеккера.
Умножая (4.7) на производные
\[
\frac{\partial u_{p}}{\partial c_{k}}, \frac{\partial u_{q}}{\partial c_{s}},
\]
суммируя по индексам $k, s$ и используя (4.10), приходим к равенствам
\[
\sum_{k, s} \frac{\partial u_{p}}{\partial c_{k}} \frac{\partial u_{q}}{\partial c_{s}}\left\{f_{k}, f_{s}\right\}+\frac{\partial u_{p}}{\partial x_{q}}-\frac{\partial u_{q}}{\partial x_{p}}=0 .
\]
Чтобы проверить справедливость (4.9), умножим полученные соотношения на
\[
w_{p}=\left.\frac{\partial \Phi}{\partial y_{p}}\right|_{y=u(x, t, c)}
\]
и просуммируем по $p$ от 1 до $n$. Нас интересуют значения
\[
\sum_{k s p} \frac{\partial u_{p}}{\partial c_{k}} \frac{\partial \Phi}{\partial y_{p}} \frac{\partial u_{q}}{\partial c_{s}}\left\{f_{k}, f_{s}\right\} .
\]
Согласно предположению, функция
\[
\phi(x, t, c)=\Phi(x, u(x, t, c), t)
\]
зависит лишь от $c_{1}=f_{1}, \ldots, c_{n}=f_{n}$. Поэтому
\[
\sum_{p} \frac{\partial \Phi}{\partial y_{p}} \frac{\partial u_{p}}{\partial c_{k}}=\frac{\partial \phi}{\partial c_{k}} .
\]
Далее, сумма
\[
\sum_{k} \frac{\partial \phi}{\partial c_{k}}\left\{f_{k}, f_{s}\right\}
\]
равна скобке Пуассона $\left\{\Phi, f_{s}\right\}$, которая обращается в нуль согласно предположению.
$\mathbf{5}^{\circ}$. Каждой гладкой функции $f$, заданной в фазовом пространстве, можно поставить в соответствие каноническую систему дифференциальных уравнений с гамильтонианом $f$ :
\[
\dot{x}=\frac{\partial f}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial f}{\partial x} .
\]
Порождающее ее векторное поле называется гамильтоновым; обозначим его $v_{f}$.
Пусть $L_{f}$ – оператор дифференцирования вдоль поля $v_{f}$. По определению скобки Пуассона
\[
L_{f} h=\{h, f\} .
\]
Лемма 5. Коммутатор гамильтоновых векторных полей $v_{f}$ и $v_{g}$ гамильтоново поле с гамильтонианом $\{f, g\}$.
Следствие 4. Если $\{f, g\}=0, \operatorname{mo}\left[v_{f}, v_{g}\right]=0$.
Доказательство леммы 5 основано на применении тождества Якоби. Действительно,
\[
\begin{aligned}
\left(L_{g} L_{f}-L_{f} L_{g}\right) h & =L_{g}\{h, f\}-L_{g}\{h, g\}= \\
& =\{\{h, f\}, g\}-\{\{h, g\}, f\}= \\
& =-\{\{f, g\}, h\}=L_{\{f, g\}} .
\end{aligned}
\]
