$1^{\circ }$. Ключевую роль в гамильтоновой механике играют скобки Пуассона. Они уже упоминались в гл. I в связи с динамикой точечных вихрей. Мы напомним их определение и основные свойства, а также докажем ряд утверждений, которые будут использованы в дальнейшем.

Каждой упорядоченной паре гладких функций $f$ и $g$ на фазовом пространстве $M^{2n}$ ставится в соответствие функция
$$\{f,g\}=\sum _{i=1}^n(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial y_i}-\frac{\partial f}{\partial y_i}\frac{\partial g}{\partial x_i}),$$

которая называется скобкой Пуассона функций $f$ и $g$. Производная по времени функции $F(x,y,t)$ в силу гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$, очевидно, равна
$$\frac{\partial F}{\partial t}+\{F,H\}$$

Следовательно, сами канонические уравнения можно переписать в следующем виде:
$${\dot{x}}_i=\{x_i,H\},{\dot{y}}_i=\{y_i,H\};1\le i\le n.$$

Эти соотношения показывают особую роль скобки Пуассона в теории гамильтоновых систем.

Скобка Пуассона удовлетворяет следующим свойствам:
(1) $\{f,g\}=-\{g,f\}$ (кососимметричность);
(2) $\{c_1{f}_1+c_2{f}_2,g\}=c_1\{f,g\}+c_2\{f_2,g\}$, где $c_1,c_2$ — вещественные числа (билинейность);
(3) $\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0$ (тождество Якоби);
(4) $\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}$ (правило Лейбница);
(5) если $\{f,g\}=0$ для всех функций $g$, то $f=$ const (невырожденность).
Множество всех гладких функций на фазовом пространстве $C^{\mathrm{\infty }}\mathrm{c}$ обычными правилами сложения и умножения на числа образует бесконечномерное линейное пространство. Согласно (1),(2) и (3), операция «внутреннего умножения» $\{\cdot ,\cdot \}$ превращает это пространство в алгебру Ли.
Из тождества Якоби вытекает простая, но важная

Теорема 2 (Пуассон). Скобка Пуассона первых интегралов уравнений Гамильтона также является первым интегралом.

Отметим, что скобка двух интегралов может оказаться константой или даже нулем. Из теоремы Пуассона вытекает, что интегралы образуют подалгебру Ли в алгебре Ли всех функций.

Если $\{f,g\}=0$, то говорят, что функции $f$ и $g$ коммутируют или находятся в инволюции. Если к тому же $f$ и $g$ не зависят от $t$, то $f$ интеграл уравнений Гамильтона с гамильтонианом $g$, и наоборот $g$ интеграл уравнений Гамильтона с гамильтонианом $f$. Эта двойственность объясняет термин «инволюция».
${\mathbf{2}}^{\circ }$. В качестве важного примера рассмотрим нетеровы интегралы (3.2), которые в канонических переменных имеют следующий вид:
$$F_1=y\cdot w_1,\dots ,F_n=y\cdot w_n.$$

Предложение 3. Линейные комбинации функций $F_1,\dots ,F_n$ с операцией коммутирования $\{\cdot ,\cdot \}$ порождают $n$-мерную алгебру Ли, изомор $\varphi$ ную $\mathrm{g}$.

Доказательство.
Действительно, поскольку алгебра правоинвариантных полей на группе $G$ изоморфна алгебре Ли $g$, то поля $w_1,\dots ,w_n$ можно выбрать так, чтобы
$$[w_i,w_j]=\sum c_{ij}^k{w}_k.$$

Здесь $c_{ij}^k$ — структурные постоянные алгебры $g$.
Нетрудно проверить равенства
$$\{F_i,F_j\}=y\cdot [w_i,w_j].$$

Ввиду (4.1) и (4.2) получаем
$$\{F_i,F_j\}=\sum c_{ij}^k{F}_k.$$
$3^{\circ }$. Пусть $f_1,\dots ,f_n$ — функции на фазовом пространстве $M^{2n}$ (возможно, зависящие от $t$ ), причем
$$\frac{\partial (f_1,\dots ,f_n)}{\partial (y_1,\dots ,y_n)}eq0.$$

Тогда, по теореме о неявных функциях, систему уравнений
$$f_1(x,y,t)=c_1,\dots ,f_n(x,y,t)=c_n$$

можно разрешить (по крайней мере локально ) относительно импульсов $y$ :
$$y_1=u_1(x,t,c),\dots ,y_n=u_n(x,t,c),c=(c_1,\dots ,c_n).$$

Введем $n\times n$-матрицу скобок Пуассона
$$A=\Vert \{f_i,f_j\}\Vert .$$

В выражениях для скобою импульсы следует заменить в соответствии с формулами (4.5).

Лемма 3. $\mathrm{rank}(\mathrm{rot}u)=\mathrm{rank}A$.
Следствие 3. Если функции $f_1,\dots ,f_n$ находятся в инволюции, то 1-форма
$$\sum u_i(x,t,c)d{x}_i$$

замкнута при всех значениях $t$ и .

Доказательство леммы 3.
Воспользуемся очевидным фактом, что функции
$$F_k(x,t,c)=f_k(x,u(x,t,c),t),1\le k\le n$$

тождественно равны $c_k$. Следовательно,
$$\frac{\partial F_k}{\partial x_i}=\frac{\partial f_k}{\partial x_i}+\sum \frac{\partial f_k}{\partial y_j}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}=0,\frac{\partial F_s}{\partial x_i}=\frac{\partial f_s}{\partial x_s}+\sum \frac{\partial f_s}{\partial y_j}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}=0.$$
суммируем по индексу $i$. В результате придем к соотношениям
$$\{f_k,f_s\}+\sum _{i,j}\frac{\partial f_k}{\partial y_j}\frac{\partial f_s}{\partial y_i}(\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{\partial u_i}{\partial x_j})=0,1\le k,s\le n.$$

Введем $n\times n$-матрицу
$$B=\Vert \frac{\partial f_i}{\partial y_j}\Vert .$$

Здесь импульсы также исключены с помощью подстановки (4.5). Согласно предположению, матрица $B$ невырождена.

Совокупность соотношений (4.7) можно представить в матричной форме
$$A=-B(\mathrm{rot}u)B^T.$$

Как известно, в этом случае ранги матриц $A$ и $\mathrm{rot}u$ совпадают.
$4^{\circ }$. Пусть $\mathrm{\Phi }(x,y,t)$ — еще одна функция на фазовом пространстве, коммутирующая с функциями $f_1,\dots ,f_n$ :
$$\{\mathrm{\Phi },f_k\}=0,1\le k\le n.$$

Ей можно сопоставить гамильтонову систему
$$\dot{x}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y},\dot{y}=-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}.$$

Положим
$$w={\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}|}_{y=u(x,t,c)}.$$

Ясно, что $w$ — векторное поле на конфигурационном пространстве.
Лемма 4. Если $\mathrm{\Phi }$ — функция от $f_1,\dots ,f_n$, то $w$ — вихревое поле:
$$(\mathrm{rot}u)w=0.$$

Доказательство.
Из (4.4) и (4.5) вытекают тождества
$$y_i\equiv u_i(x,t,f(x,y,t)),1\le i\le n.$$

Следовательно,
$$\sum _{s=1}^n\frac{\partial u_i}{\partial c_s}\frac{\partial f_s}{\partial y_j}={\delta }_{ij}$$

где ${\delta }_{ij}$ — символ Кронеккера.
Умножая (4.7) на производные
$$\frac{\partial u_p}{\partial c_k},\frac{\partial u_q}{\partial c_s},$$

суммируя по индексам $k,s$ и используя (4.10), приходим к равенствам
$$\sum _{k,s}\frac{\partial u_p}{\partial c_k}\frac{\partial u_q}{\partial c_s}\{f_k,f_s\}+\frac{\partial u_p}{\partial x_q}-\frac{\partial u_q}{\partial x_p}=0.$$

Чтобы проверить справедливость (4.9), умножим полученные соотношения на
$$w_p={\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y_p}|}_{y=u(x,t,c)}$$

и просуммируем по $p$ от 1 до $n$. Нас интересуют значения
$$\sum _{ksp}\frac{\partial u_p}{\partial c_k}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y_p}\frac{\partial u_q}{\partial c_s}\{f_k,f_s\}.$$

Согласно предположению, функция
$$\varphi (x,t,c)=\mathrm{\Phi }(x,u(x,t,c),t)$$

зависит лишь от $c_1=f_1,\dots ,c_n=f_n$. Поэтому
$$\sum _p\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y_p}\frac{\partial u_p}{\partial c_k}=\frac{\partial \varphi }{\partial c_k}.$$

Далее, сумма
$$\sum _k\frac{\partial \varphi }{\partial c_k}\{f_k,f_s\}$$

равна скобке Пуассона $\{\mathrm{\Phi },f_s\}$, которая обращается в нуль согласно предположению.
${\mathbf{5}}^{\circ }$. Каждой гладкой функции $f$, заданной в фазовом пространстве, можно поставить в соответствие каноническую систему дифференциальных уравнений с гамильтонианом $f$ :
$$\dot{x}=\frac{\partial f}{\partial y},\dot{y}=-\frac{\partial f}{\partial x}.$$

Порождающее ее векторное поле называется гамильтоновым; обозначим его $v_f$.

Пусть $L_f$ — оператор дифференцирования вдоль поля $v_f$. По определению скобки Пуассона
$$L_{f}h=\{h,f\}.$$

Лемма 5. Коммутатор гамильтоновых векторных полей $v_f$ и $v_g$ гамильтоново поле с гамильтонианом $\{f,g\}$.

Следствие 4. Если $\{f,g\}=0,\mathrm{mo}[v_f,v_g]=0$.
Доказательство леммы 5 основано на применении тождества Якоби. Действительно,
$$\begin{array}{rl}(L_g{L}_f-L_f{L}_g)h& =L_g\{h,f\}-L_g\{h,g\}=\\ & =\{\{h,f\},g\}-\{\{h,g\},f\}=\\ & =-\{\{f,g\},h\}=L_{\{f,g\}}.\end{array}$$