1. Уравнения вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки гамильтоновы на интегральных многообразиях $I_{c}=\{\omega, \gamma:(I \omega, \gamma)=c,(\gamma, \gamma)=1\}$.

Один интеграл всегда существует – это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости уравнений на $I_{c}$ достаточно знать еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. Как уже отмечалось, задача о тяжелом волчке содержит шесть параметров: три собственных значения оператора инерции $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ и три координаты центра масс $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ относительно его собственных осей.
1) Случай Эйлера ( 1750 г.): $r_{1}=r_{2}=r_{3}=0$. Новый интеграл: $(I \omega, I \omega)$.
2) Случай Лагранжа (1788 г.): $I_{1}=I_{2}, r_{1}=r_{2}=0$. Новый интеграл: $\omega_{3}=$ const.
3) Случай Ковалевской (1889 г.): $I_{1}=I_{2}=2 I_{3}, r_{3}=0$. Интеграл, найденный Ковалевской, -это $\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}-
u \gamma_{1}\right)^{2}+\left(2 \omega_{1} \omega_{2}-
u \gamma_{2}\right)^{2}$, где $
u=\varepsilon r / I_{3}, r^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}$.
4) Случай Горячева – Чаплыгина (1900г.): $I_{1}=I_{2}=4 I_{3}, r_{3}=$ $=0, c=(I \omega, \gamma)=0$. В отличие от случаев 1)-3), мы имеем здесь интегрируемый случай на одном интегральном уровне $I_{0}$.

Отметим, что все перечисленные интегрируемые случаи образуют в шестимерном пространстве параметров $I_{i}, r_{j}$ многообразия одной и той же коразмерности, равной трем.
2. Уравнения движения в первых двух случаях подробно изучены с разных точек зрения в классических работах Эйлера, Пуансо, Лагранжа, Пуассона, Якоби. Случай Ковалевской нетривиален во многих отношениях. Он был найден Ковалевской из условия мероморфности решений уравнений Эйлера– Пуассона в комплексной плоскости времени. Случай Горячева – Чаплыгина намного проще: его можно проинтегрировать с помощью разделения переменных. Покажем это.

В специальных канонических переменных $L, G, l, g$ (см. [83]) функция Гамильтона имеет вид
\[
H=\frac{G^{2}+3 L^{2}}{8 I_{3}}+\mu\left(\frac{L}{G} \cos l \sin g+\sin l \cos g\right), \quad \mu=\varepsilon r .
\]

Рассмотрим каноническое преобразование $L=-p_{1}-p_{2}, G=p_{2}-p_{1}$, $q_{1}=-l-g, q_{2}=g-l$. В новых симплектических координатах
\[
H=\frac{p_{1}^{3}-p_{2}^{3}}{2 I_{3}\left(p_{1}-p_{2}\right)}-\mu\left(\frac{p_{1} \sin q_{1}}{p_{1}-p_{2}}+\frac{p_{2} \sin q_{2}}{p_{1}-p_{2}}\right) .
\]

Полагая это выражение равным $h$ и умножая на $p_{1}-p_{2}$, видим, что оно разделяется: $h p_{1}-p_{1}^{3} /\left(2 I_{3}\right)+\mu p_{1} \sin q_{1}=h p_{2}-p_{2}^{3} /\left(2 I_{3}\right)-\mu p_{2} \sin q_{2}$. Положим
\[
\frac{p_{1}^{3}}{2 I_{3}}-\mu p_{1} \sin q_{1}-H p_{1}=F, \quad \frac{p_{2}^{3}}{2 I_{3}}+\mu p_{2} \sin q_{2}-H p_{2}=F .
\]

Функция $F$ является первым интегралом уравнений движения (см. § 7); в специальных канонических переменных она имеет вид $F=\frac{L\left(L^{2}-G^{2}\right)}{8 I_{3}}+\frac{L^{2}-G^{2}}{2 G} \mu \sin l \cos g$, а в традиционных переменных Эйлера – Пуассона $\omega, \gamma$ – вид $F=-2 I_{3}^{2} f, f=\omega_{3}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+$ $+
u \omega_{1} \gamma_{3}\left(
u=\mu / I_{3}\right)$. Выпишем замкнутую систему уравнений для изменения переменных $p_{1}, p_{2}$ :
\[
\dot{p}_{1}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}=-\frac{\mu p_{1}}{p_{1}-p_{2}} \cos q_{1}, \quad \dot{p}_{2}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}=-\frac{\mu p_{2}}{p_{1}-p_{2}} \cos q_{2},
\]

или, учитывая соотношения (5.1),
\[
\dot{p}_{1}=\frac{ \pm \sqrt{\Phi\left(p_{1}\right)}}{p_{1}-p_{2}}, \quad \dot{p}_{2}=\frac{ \pm \sqrt{\Phi\left(p_{2}\right)}}{p_{1}-p_{2}},
\]

где $\Phi(z)=\mu^{2} z^{2}-\left(F+H z-z^{3} /\left(2 I_{3}\right)\right)^{2}-$ многочлен шестой степени. Решения этих уравнений выражаются через гиперэллиптические функции времени. Переменные $p_{1}$ и $p_{2}$ изменяются в непересекающихся интервалах $\left[a_{1}, b_{1}\right]$ и $\left[a_{2}, b_{2}\right]$, где $a_{i}$ и $b_{i}-$ соседние корни многочлена $\Phi$, между которыми он принимает положительные значения.
Введем угловые переменные $\varphi_{1}, \varphi_{2} \bmod 2 \pi$ по формулам
\[
\varphi_{i}=\frac{\pi}{\tau_{i}} \int_{a_{i}}^{p_{i}} \frac{d z}{ \pm \sqrt{\Phi(z)}}, \quad \tau_{i}=\int_{a_{i}}^{b_{i}} \frac{d z}{\sqrt{\Phi(z)}} .
\]

В новых переменных уравнения (5.2) примут вид
\[
\dot{\varphi}_{i}=\frac{\pi}{2 \tau_{i}\left(p_{1}\left(\varphi_{1}\right)-p_{2}\left(\varphi_{2}\right)\right)}, \quad i=1,2,
\]

где $p_{i}(z)$ – действительные гиперэллиптические функции с периодом $2 \pi$, определяемые соотношениями (5.3).

Траектории уравнений (5.4) на $\mathbf{T}^{2}=\{\varphi \bmod 2 \pi\}-$ прямые линии, поэтому отношение частот соответствующи условнопериодических движений равно $\tau_{1} / \tau_{2}$ – отношению периодов гиперэллиптического интеграла $\int_{z_{0}}^{z} \frac{d z}{\sqrt{\Phi(z)}}$. Этот замечательный факт имеет место и для уравнений задачи Ковалевской. Подробности можно найти в работе [83].
3. Задача о движении твердого тела в идеальной жидкости намного богаче интегрируемыми случаями. Напомним, что уравнения Кирхгофа $\dot{m}=m \times \frac{\partial H}{\partial m}+p \times \frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p}=p \times \frac{\partial H}{\partial m}, 2 H=$ $=(A m, m)+2(B m, p)+(C p, p)$, всегда имеют три интеграла: $F_{1}=$ $=H, F_{2}=(m, p), F_{3}=(p, p)$. Задача об их полной интегрируемости сводится к вопросу о наличии четвертого интеграла, независимого с функциями $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$. Перечислим известные интегрируемые случаи, считая матрицы $A, B, C$ диагональными: $A=$ $=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), B=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right), C=\operatorname{diag}\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$.
1) Случай Кирхгофа (1870г.): $a_{1}=a_{2}, b_{1}=b_{2}, c_{1}=c_{2}$. Добавочный интеграл $F_{4}=m_{3}$. Уравнения движения просто интегрируются в эллиптических функциях времени.
2) Случай Клебша (1871 г.): $b_{1}=b_{2}=b_{3}=b$ и
\[
a_{1}^{-1}\left(c_{2}-c_{3}\right)+a_{2}^{-1}\left(c_{3}-c_{1}\right)+a_{3}^{-1}\left(c_{1}-c_{2}\right)=0
\]

Из этого соотношения следует, что $c_{i}=\alpha / a_{i}+\beta(\alpha, \beta=$ const). Дополнительный интеграл имеет вид $F_{4}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}-$ $-\frac{\alpha}{a_{1} a_{2} a_{3}}\left(a_{1} p_{1}^{2}+a_{2} p_{2}^{2}+a_{3} p_{3}^{2}\right)$. Параметр $b$ является несущественным: он не входит в уравнения движения.

Так как $\left\{F_{1}, F_{4}\right\}=0$, то $F_{1}$ – интеграл уравнений Кирхгофа с гамильтонианом $H=F_{4}$. Однако этот случай не является новым, поскольку коэффициенты гамильтониана $F_{4}$ также удовлетворяют соотношению (5.5).

В старых работах по гидродинамике принята следующая терминология. Если выполнено (5.5) и среди чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ нет равных, то это – первый случай Клебша. Если $a_{1}=a_{2}
eq a_{3}$, то из (5.5) вытекает, что $c_{1}=c_{2}$. Это- второй случай Клебша (частный случай Кирхгофа). Наконец, при $a_{1}=a_{2}=a_{3}$ имеем третий случай

интегрируемости Клебша (гамильтонианом служит функция $\lambda F_{4}$, $\lambda=$ const). Отметим, что первый и третий случаи \”двойственны\” друг другу.
3) Случай Стеклова – Ляпунова (1893 г.):
\[
\begin{array}{c}
\left(b_{2}-b_{3}\right) / a_{1}+\left(b_{3}-b_{1}\right) / a_{2}+\left(b_{1}-b_{2}\right) / a_{3}=0, \\
c_{1}-\left(b_{2}-b_{3}\right)^{2} / a_{1}=c_{2}-\left(b_{3}-b_{1}\right)^{2} / a_{2}=c_{3}-\left(b_{1}-b_{2}\right)^{2} / a_{3} .
\end{array}
\]

Из этих соотношений можно найти, что
\[
\begin{array}{c}
b_{j}=\mu\left(a_{1} a_{2} a_{3}\right) a_{j}^{-1}+
u, \quad c_{1}=\mu^{2} a_{1}\left(a_{2}-a_{3}\right)^{2}+
u^{\prime}, \quad \ldots, \\
\mu,
u,
u^{\prime}=\text { const } .
\end{array}
\]

Дополнительный интеграл есть $F_{4}=\sum_{j}\left(m_{j}^{2}-2 \mu\left(a_{j}+
u\right) m_{j} p_{j}\right)+$ $+\mu^{2}\left(\left(a_{2}-a_{3}\right)^{2}+
u^{\prime \prime}\right) p_{1}^{2}+\ldots$ Параметры $
u,
u^{\prime}$ и $
u^{\prime \prime}$ несущественные: их появление связано с наличием классических интегралов Кирхгофа $F_{2}$ и $F_{3}$.

В случае несовпадения чисел $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ интеграл $F_{4}$ был найден В. А. Стекловым. При $a_{1}=a_{2}
eq a_{3}$ из (5.6) и (5.7) вытекает, что $b_{1}=b_{2}$ и $c_{1}=c_{2}$; это – случай интегрируемости Кирхгофа. Если, наконец, $a_{1}=a_{2}=a_{3}$, то формулы (5.8) дают тривиальный вырожденный случай. Однако, как заметил А. М. Ляпунов, здесь в качестве гамильтониана надо взять функцию $\lambda F_{4}, \lambda=$ const; добавочным интегралом будет, очевидно $F_{1}$. Поэтому случаи интегрируемости Стеклова и Ляпунова также \”двойственны\” друг другу.
4) Частный случай интегрируемости Чаплыгина (1902 г.):
\[
2 H=a\left(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2 m_{3}^{2}\right)+b(m, p)+a\left((d+c) p_{1}^{2}+(d-c) p_{2}^{2}+d p_{3}^{2}\right) \text {. }
\]

Параметры $b$ и $d$ несущественные: они не войдут в уравнения движения. В предположении $F_{2}=(m, p)=0$ имеется дополнительный интеграл $F_{4}=\left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}+c p_{3}^{2}\right)^{2}+4 m_{1}^{2} m_{2}^{2}$, напоминающий по своей структуре интеграл Ковалевской.

Отметим, что в 9-мерном пространстве параметров случаи Кирхгофа, Клебша и Стеклова – Ляпунова задаются алгебраическими многообразиями одинаковой коразмерности, равной трем.
4. Задача о движении $n$ точечных вихрей по плоскости ( $\S 8$, гл. I) вполне интегрируема при $n \leqslant 3$. Случай $n=1$ тривиален; при $n=2$ независимыми коммутирующими интегралами являются, например, функции $H$ и $M$; при $n=3$ – функции $H, M$ и $P_{x}^{2}+P_{y}^{2}$. В задаче четырех вихрей независимых интегралов ровно столько, сколько степеней свободы. Однако они не все коммутируют.

Рассмотрим подробнее частный случай задачи четырех вихрей, когда сумма интенсивностей $\Gamma_{\text {, }}$ равна нулю. Тогда интегралы $P_{x}$

и $P_{y}$ находятся в инволюции. Если их постоянные равны нулю, то уравнения движения четырех вихрей оказываются интегрируемыми по Лиувиллю. Идея решения основана на применении подходящего линейного канонического преобразования, хорошо известною в небесной механике в связи с \”исключением\” движения центра масс задачи $n$ тел. Пусть, для определенности, $\Gamma_{1}=\Gamma_{2}=-\Gamma_{3}=$ $=-\Gamma_{4}=-1$. Рассмотрим линейное каноническое преобразование $r, y \rightarrow \alpha, \beta$ согласно формулам
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}=-\beta_{4}, & y_{1}=-\alpha_{3}-\alpha_{4}+\beta_{2}, \\
x_{2}=\beta_{3}-\beta_{4}, & y_{2}=\alpha_{3}-\beta_{1}+\beta_{2}, \\
x_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\beta_{4} & y_{3}=\beta_{2}, \\
x_{4}=-\alpha_{1}+\beta_{3}-\beta_{4}, & y_{4}=-\beta_{1}+\beta_{2} .
\end{array}
\]

В новых координатах $P_{x}=\alpha_{2}, P_{y}=\alpha_{4}$. Следовательно, функция Гамильтона $H$ не зависит от сопряженных переменных $\beta_{2}$ и $\beta_{4}$. Таким образом, число степеней свободы понижено на две единицы: получено зависящее от двух параметров $\alpha_{2}$ и $\alpha_{4}$ семейство гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Симплектическими координатами являются переменные $\alpha_{1}, \alpha_{3}, \beta_{1}, \beta_{3}$. При $\alpha_{2}=\alpha_{4}=0$ функция $M$ является интегралом \”приведенной\” системы. Следовательно, эта гамильтонова система с двумя степенями свободы вполне интегрируема. В частности, функции $\alpha_{1}, \alpha_{3}, \beta_{1},\left.\beta_{3}\right|_{t}$ можно найти с помощью квадратур. Оставшиеся \”циклические\” координаты $\beta_{2}$ и $\beta_{4}$ ввиду формул $\dot{\beta}_{2}=\partial K / \partial \alpha_{2}, \dot{\beta}_{4}=\partial K / \partial \alpha_{4} ; K(\alpha, \beta)=$ $=\left.H(x, y)\right|_{\alpha, \beta}$ находятся простым интегрированием.
5. Рассмотрим еще гамильтоновы системы с двумя степенями свободы, функция Гамильтона которых имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+\frac{1}{2} a x^{2}+\frac{1}{2} b y^{2}-x^{2} y-\frac{\varepsilon}{3} y^{3} ; \quad a, b, \varepsilon=\text { const } .
\]

Соответствующие уравнения Гамильтона описывают движение материальной точки по евклидовой плоскости $\mathbb{R}^{2}=\{x, y\}$ в силовом поле с потенциалом третьей степени. Среди таких систем находится уже известная нам система Хенона-Хейлеса ( $a=b=$ $=-\varepsilon=1$ ). Перечислим известные случаи интегрируемости.
1) $a=b, \varepsilon=1$. Уравнения Гамильтона разделяются после перехода к переменным $x-y$ и $x+y$ (И. Аайзава и Н. Саито, 1972 г.), поэтому имеется дополнительный интеграл, квадратичный по импульсам.
2) $\varepsilon=6, a$ и $b$ – произвольные. Имеется интеграл, найденный Д. Грином: $x^{4}+4 x^{2} y^{2}+4 p_{x}\left(p_{x} y-p_{y} x\right)-4 a x^{2} y+(4 a-b)\left(p_{x}^{2}+a x^{2}\right)$. Как заметил И. Трев, при $b=4 a$ уравнения Гамильтона разделяются в параболических координатах.
3) $\varepsilon=16, b=16 a$. Дополнительный интеграл, имеющий четвертую степень по импульсам, найден Л. Холлом [200]. Вот его вид при $b=1$ :
\[
\frac{1}{4} p_{x}^{4}+\left(\frac{x^{2}}{2}+4 x^{2} y\right) p_{x}^{2}-\frac{4}{3} x^{3} p_{x} p_{y}+\frac{x^{4}}{4}-\frac{4}{3} x^{4} y-\frac{8}{9} x^{6}-\frac{16}{3} x^{4} y^{2} .
\]