Ожидавшегося перехода к равнораспределению энергии (естественного с точки зрения статистической механики) не произошло: перераспределяется лишь самая малая часть энергии.
3. Разместим теперь $n$ точек на единичной окружности и снова соединим их последовательно упругими пружинами с коэффициентом упругости $\varkappa$. Если $z$ – угол между соседними точками, то $f(z)=2 \varkappa \sin ^{2}(z / 2)=\varkappa(1-\cos z)$. Потенциал определен с точностью до аддитивной постоянной, поэтому можно положить $f(z)=-\varkappa \cos z$. Пусть $x_{i}-$ угловые координаты точек. Тогда будем иметь уравнения движения (6.4) с функцией Гамильтона замкнутой цепочки (6.2) и потенциалом $f(z)=-\varkappa \cos z$.
4. Полагая в (6.1) $f(z)=\cos z$, придем к известной в теоретической физике системе Гросс – Невё. Соответствующее стационарное уравнение Шрёдингера удалось решить при некоторых значениях энергии.
5. Положим в (6.1) $f(z)=a /|z|^{\alpha} \quad(a, \alpha=$ const $)$. Случай $\alpha=1$, $a<0$ отвечает гравитационному взаимодействию.

Пусть $I=\sum x_{i}^{2}$ – момент инерции системы относительно точки $x=0$. Тогда
\[
\ddot{I}=\left(2 \sum x_{i} \dot{x}_{i}\right)^{.}=2 \sum x_{i} \ddot{x}_{i}+2 \sum \dot{x}_{i}^{2}=4 T-2 \sum x_{i} \frac{\partial V}{\partial x_{i}} .
\]

Поскольку $V$ – однородная функция степени однородности ( $-\alpha$ ), то по формуле Эйлера $\sum x_{i} \frac{\partial V}{\partial x_{i}}=-\alpha V$. Полагая $h=T+V$, из (6.6) получим формулу Лагранжа $\ddot{I}=4 h+2(\alpha-2) V$. Если $\alpha=2$, то из этой формулы получим момент инерции системы частиц:
\[
I(t)=2 h t^{2}+\beta t+\gamma ; \quad \beta, \gamma=\text { const } .
\]

Таким образом, при $h<0$ частицы обязательно столкнутся, а при $h>0$ они разлетятся на бесконечность. Эти наблюдения принадлежат Якоби. Формула (6.7) вместе с интегралами импульса и энергии позволяет проинтегрировать уравнения движения для случая трех частиц.

Полную интегрируемость системы с потенциалом $a / z^{2}$ для всех $n$ установил Калоджеро. Затем Мозер [222] нашел интегрируемые случаи, когда $f=a / \sin ^{2} z$ и $f=a / \operatorname{sh}^{2} z$. Применяя технику Мозера, Калоджеро обобщил эти результаты, доказав интегрируемость системы взаимодействующих частиц с потенциалом в виде ю-функции Вейерштрасса [185]. Потенциалы $a / z^{2}, a / \sin ^{2} z$ и $a / \operatorname{sh}^{2} z$ являются, как известно, вырожденными случаями функции.

6. В 1967 г. японский физик Тода предложил (см. [159]) рассмотреть цепочку с потенциалом
\[
f(z)=\frac{a}{b} e^{-b z}+a z, \quad a b>0 .
\]

Этот потенциал при $a, b>0$ дает сильное отталкивание и слабое притяжение (рис. 6), что соответствует природе межатомных сил. При малых $z$ из (6.8) получаем разложение
\[
f(z)=\frac{a}{b}+\frac{a b}{2} z^{2}-\frac{a b^{2}}{6} z^{3}+\ldots
\]

Таким образом, при достаточно малых отклонениях цепочка Тоды выглядит как нелинейная цепочка с коэффициентом упругости $\varkappa=a b$ и параметром нелинейности из (6.5)
Рис. 6
$\alpha=-b / 2$.

Для замкнутой цепочки слагаемое $a z$ в потенциале (6.8) не играет никакой роли, так как $\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i+1}\right)=0, x_{n+1}=x_{1}$. Поэтому цепочку Тоды называют еще системой с экспоненциальным взаимодействием.
О. И. Богоявленский предложил рассмотреть обобщенные чепочки Тоды. Их динамика описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}+\sum_{k, l=1}^{n+1} b_{k, l} \exp \left[\left(a_{k}, x\right)+\left(a_{l}, x\right)\right] .
\]

Векторы $a_{1}, \ldots, a_{n+1} \in \mathbb{R}^{n}$ и вещественные коэффициенты $b_{k, l}$ удовлетворяют следующим условиям:
а) для всякого $y \in \mathbb{R}^{n} \max _{k}\left(a_{k}, y\right)>0$;
б) для всех $k$ коэффициенты $b_{k, k}>0$.

Нетрудно показать, что гамильтониан цепочки Тоды после исключения центра масс приводится к виду (6.9). Этот же вид имеют гамильтонианы в ряде задач космологии [20].