1. Пусть $\dot{x}=v(x), x \in M^{n}$, 一 динамическая система, $f_{1}, \ldots, f_{m}$-гладкие функции на $M^{n}$. Рассмотрим множество $I_{c} \subset$ $\subset M$, определяемое уравнениями
\[
f_{1}=c_{1}, \ldots, \quad f_{m}=c_{m} .
\]

Если $I_{c}$ инвариантно относительно фазового потока $g_{v}^{t}$, то (2.1) называются инвариантными соотношениями (а функции $f_{1}, \ldots, f_{m}$ – частными интегралами). Эквивалентное определение: $\dot{f}_{k}=0$ на $I_{\text {с для всех }} k \leqslant m$. Это определение принимается и в неавтономном случае.

Оказывается, теория инвариантных соотношений гамильтоновых систем тесно связана с идеями гидродинамики идеальной жидкости $[89,105]$.
2. Пусть $N^{n}$ – конфигурационное многообразие, $H(x, y, t)$ : $T^{*} N \times \mathbb{R}_{t} \rightarrow \mathbb{R}$ – функция Гамильтона. Предположим, что уравнения Гамильтона с $n$ степенями свободы
\[
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial x}
\]

имеют инвариантное многообразие $y=u(x, t)$, где $u$ – гладкое конвекторное поле на $N$ (или на его части), которое, возможно, зависит от времени. Свяжем с полем $u$ его ротор- кососимметрическую $(n \times n)$-матрицу $\operatorname{rot} u=\partial u / \partial x-(\partial u / \partial x)^{\top}$.

По аналогии со случаем $n=3$, результат умножения $\operatorname{rot} u$ на вектор $w$ будем обозначать $\operatorname{rot} u \times w$.

Введем гладкое поле скорости $v$ на $N$, положив $v(x, t)=\dot{x}=$ $=\left.\frac{\partial H}{\partial y}\right|_{y=u}$. Оказывается, поля $u$ и $v$ удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}+\operatorname{rot} u \times v=-\frac{\partial B}{\partial x}, \quad B(x, t)=\left.H\right|_{y=u}, \\
\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot} u+\operatorname{rot}(\operatorname{rot} u \times v)=0 .
\end{array}
\]

Действительно, инвариантность многообразия $y=u(x, t)$ эквивалентна дифференциальному уравнению $\dot{u}=-\left.\frac{\partial H}{\partial x}\right|_{y=u}$. Его можно представить в виде
\[
\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x} v=-\frac{\partial B}{\partial x}+\left.\frac{\partial H}{\partial y}\right|_{y=u} \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial x}+\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{\top} v .
\]

Отсюда вытекает уравнение (2.3). Уравнение (2.4) следует из (2.3) применением ротора к левой и правой частям.

Обратно, пусть $u(x, t)$ – поле на $M$; положим $v(x, t)=\left.\frac{\partial H}{\partial y}\right|_{y=u}$. Если поля $u$ и $v$ удовлетворяют \”уравнению Ламба\” (2.3), то многообразие $I=\{y=u(x, t)\}$ является инвариантным многообразием 3*

гамильтоновой системы (2.2). Решения, лежащие на $I$, находятся интегрированием дифференциальных уравнений на $N$ :
\[
\dot{x}=v(x, t) .
\]

Уравнения (2.3) для гамильтоновых систем появились впервые, повидимому, в вариационном исчислении как условия \”согласованности\” полей экстремалей (см. [19], а также [116, гл. X]). Обобщение уравнений Ламба на негамильтоновы системы содержится в книге [8].
3. Для системы уравнений (2.5) справедлива \”теорема Томсона\”: интеграл
\[
\int_{\gamma} u d x
\]

сохраняет свое значение вдоль любого замкнутого подвижного контура $\gamma \subset N$. Этот результат вытекает из теоремы Пуанкаре Картана об интегральном инварианте гамильтоновых систем (см. п. $4 \S 1$ гл. I): с помощью формулы $y=u(x, t)$ контур $\gamma$ поднимается до замкнутого контура Г в фазовом пространстве $T^{*} N$; после этого остается воспользоваться сохранностью интеграла $\int_{\Gamma} y d x$ вдоль подвижного контура Г.

Конвекторное поле $u$ назовем потенциальным, если $\operatorname{rot} u \equiv 0$; локально $u=\partial \varphi / \partial x$, где $\varphi$ – функция от $x$ и $t$. Справедлива \”теорема Лагранжа\”: если при $t=0$ ковекторное поле $u(x, t)$ потенциально, то оно будет потенциальным при всех $t$. В этом случае интеграл (2.6) будет равен нулю для любого замкнутого контура $\gamma$; стягиваемого по $N$ в точку. Теорема Лагранжа – простое следствие этого замечания и теоремы Томсона. Инвариантное $n$-мерное многообразие $I=\{y=u\}$ с потенциальным полем $u$ называется лагранжевым.

Подставляя $u=\partial \varphi / \partial x$ в уравнение (2.3), получим \”интеграл Лагранжа-Коши\”:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+H\left(x, \frac{\partial \varphi}{\partial x}, t\right)=f
\]

где $f$ – некоторая функция времени. После калибровки $\varphi \rightarrow \varphi-$ $-\int f(t) d t$ функцию $f$ можно считать равной нулю. В гамильтоновой механике уравнение (2.7) (когда $f=0$ ) называется уравнением Гамильтона – Якоби.
4. Вектор $w
eq 0$ называется вихревым, если $\operatorname{rot} u \times w=0$. При нечетном $n$ вихревые векторы всегда существуют. Поле $u$ назовем неособым, если ранг матрицы $\operatorname{rot} u$ равен $n-1$. При $n=3$ критерием неособости поля $u$ является условие $\operatorname{rot} u
eq 0$.

В неособом случае вихревые векторы в каждый момент времени образуют гладкое поле направлений на $N$. Интегральные кривые этого поля называются вихревыми линиями. Оказывается, фазовый поток уравнения (2.5) переводит вихревые линии в вихревые линии. Это утверждение – следствие теоремы Томсона из п. 3. Оно обобщает известный результат Гельмгольца о \”вмороженности\” вихревых линий в динамике идеальной жидкости.

Вихревые поля $w(x, t)$ определены с точностью до умножения на функции от $x$ и $t$. Среди них есть замечательные поля (определенные с точностью до постоянного множителя), характеристическое свойство которых дает

Т е о рема 1. При нечетном $n$ в неособом случае найдется вихревое векторное поле $w(x, t)$, удовлетворяющее уравнению
\[
\frac{\partial w}{\partial t}+[v, w]=0
\]

где [, ] -коммутатор векторных полей на $N$.
Уравнение (2.8) – аналог уравнения Эйлера для изменения кинетического момента твердого тела, вращающегося по инерции.

Напомним определение коммутатора векторных полей $w$ и $v$. Каждому из векторных полей отвечает линейный дифференциальный оператор $L_{w}=\sum w_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \quad L_{v}=\sum v_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}$. Оператор $L_{v} L_{w}-$ – $L_{w} L_{v}$ также является линейным дифференциальным оператором. Ему отвечает векторное поле $[v, w]$. Укажем явную формулу для коммутатора $L_{[v, w\}}$ :
\[
L_{[v, w]}=\sum_{j}\left(\sum_{i} v_{i} \frac{\partial w_{j}}{\partial x_{i}}-w_{i} \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}}\right) \frac{\partial}{\partial x_{j}} .
\]

Доказательство теоремы 1. Так как $\operatorname{rot} u \times w=0$, то $\frac{\partial \operatorname{rot} u}{\partial t} \times w+\operatorname{rot} u \times \frac{\partial w}{\partial t}=0$. Учитывая (2.4), получаем соотношение
\[
\operatorname{rot} u \times \frac{\partial w}{\partial t}-[\operatorname{rot}(\operatorname{rot} u \times v)] \times w=0 .
\]

Поскольку $\operatorname{rot} u \times w=0$, то $\operatorname{rot}(\operatorname{rot} u \times v) \times w-\operatorname{rot}(\operatorname{rot} u \times w) \times$ $\times v=\operatorname{rot} u \times[w, v]$. Следовательно, (2.9) можно представить в виде $\operatorname{rot} u \times(\partial w / \partial t+[v, w])=0$. Поле $u$ неособое, поэтому $\partial w / \partial t+$ $+[v, w]=\alpha w$, где $\alpha$ – некоторая функция $x$ и $t$. Положим $w=\rho w_{0}$, причем функция $\rho(x, t)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho}{\partial x} v=\alpha \rho .
\]

Тогда $w_{0}-$ искомое вихревое поле. Остается показать разрешимость уравнения (2.10). Полагая $\rho=\exp \xi$, приходим к уравнению $\frac{d \xi}{d t}=\frac{\partial \xi}{\partial t}+\frac{\partial \xi}{\partial x} v=\alpha$, которое легко решается методом характеристик. Теорема доказана.

Пусть $n=3$ и $N$ имеет структуру обычного евклидова пространства. Тогда поле $u$ можно отождествить с векторным полем в $N$, и $\operatorname{rot} u$ будет, очевидно, одним из вихревых полей. Согласно теореме 1, в этом случае существует такое векторное поле $w$, задаваемое уравнением (2.8), что $\operatorname{rot} u=\alpha w$.

Теорема 2. Функция $\alpha$ удовлетворяет уравнению неразрывности $\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\operatorname{div}(\alpha v)=0$, где $\operatorname{div} a-$ след матрицы $\frac{\partial a}{\partial x}$.

Следствие. Уравнения (2.5) имеют интегральный инвариант $\int_{D} \alpha d^{3} x$.

Доказательство теоремы 2 основано на применении известной формулы векторного анализа $\operatorname{rot}(a \times b)=[b, a]+a \operatorname{div} b-b \operatorname{div} a$. $\mathrm{C}$ помощью этой формулы и очевидного соотношения $\operatorname{div} \operatorname{rot} u=0$ уравнение (2.4) можно представить в виде
\[
\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot} u+[v, \operatorname{rot} u]+(\operatorname{rot} u) \operatorname{div} v=0 .
\]

Положим $\operatorname{rot} u=\alpha w$. Тогда из (2.11) получим уравнение
\[
\alpha\left(\frac{\partial w}{\partial t}+[v, w]\right)+\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\frac{\partial \alpha}{\partial x} v+\alpha \operatorname{div} v\right) w=0 .
\]

Если поле $w$ удовлетворяет (2.8), то $\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\frac{\partial \alpha}{\partial x} v+\alpha \operatorname{div} v=\frac{\partial \alpha}{\partial t}+$ $+\operatorname{div}(\alpha v)=0$, что и требовалось доказать.

Все результаты п. 4 являются следствием одного лишь уравнения вихря (2.4). Они останутся справедливыми и в том случае, если заменить уравнение (2.4) более общим уравнением
\[
\frac{\partial A}{\partial t}+\operatorname{rot}(A v)=0,
\]

где $A=\left\|A_{i j}\right\|$ – кососимметрическая матрица, удовлетворяющая условию
\[
\frac{\partial A_{i j}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial A_{j k}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial A_{k i}}{\partial x_{j}}=0 .
\]

Вихревые векторы — собственные векторы матрицы $A$ с нулевым собственным значением.

Уравнениями (2.12) описывается, в частности, изменение вектора магнитной напряженности в среде с бесконечной проводимостью. Вихревыми линиями здесь являются силовые линии магнитного поля.

5. Рассмотрим стационарный случай: поле $u$ и функция Гамильтона $H$ не зависят явно от времени. Справедлива \”теорема Бернулли\”: функция $B$ постоянна на линиях тока (интегральных кривых векторного поля $v(x)$ ) и на вихревых линиях. Действительно, в предположении стационарности уравнение (2.3) принимает вид $\operatorname{rot} u \times v=-\partial B / \partial x$. Если $w-$ вихревое поле, то $(\partial B / \partial x) w=$ $=-(\operatorname{rot} u \times v) w=(\operatorname{rot} u \times w) v=0$. Аналогично, $\dot{B}=(\partial B / \partial x) v=$ $=-(\operatorname{rot} u \times v) v=0$ ввиду кососимметричности матрицы $\operatorname{rot} u$.

Покажем, что если точка $x_{0} \in N$ не является критической точкой функции $B$, то векторы $v\left(x_{0}\right)
eq 0$ и $w\left(x_{0}\right)
eq 0$ линейно независимы. Действительно, если они зависимы, то $v$-вихревой вектор. Но тогда для любого вектора $a$ имеем $(\partial B / \partial x) a=-(\operatorname{rot} u \times v) a=0$. Следовательно, $d B\left(x_{0}\right)=0$, что и требовалось доказать.

Если $B
eq$ const, то естественно рассмотреть распределение касательных к $N$ плоскостей П $(x)$, порожденное линейными комбинациями независимых векторов $v(x)$ и $w(x)$. Так как $v$ и $w$ коммутируют (см. теорему 1), то по теореме Фробениуса (см. [41]) распределение П интегрируемо. Это означает, что через каждую точку $x \in N$ проходит единственная интегральная поверхность $\Sigma_{x}$ этого распределения, которая в каждой своей точке касается векторов $v$ и $w$. Если поля $v$ и $w$ полны на $\Sigma$, то, как известно из топологии, $\Sigma$ диффеоморфна одной из следующих поверхностей: $\mathbb{R}^{2}$ (плоскость), $\mathbb{R} \times \mathbf{T}^{1}$ (цилиндр), $\mathbf{T}^{2}$ (тор) (см., например, [53]). При этом в некоторых глобальных координатах на $\Sigma$ линии тока и вихревые линии являются прямыми. В общем случае поверхности $\Sigma$ могут быть погружены в $N$ весьма сложным образом. Особый интерес поэтому представляет случай, когда $\Sigma$ замкнуто в $N$. Это автоматически выполнено при $n=3$ : интегральные поверхности $\Sigma$ совпадают со связными компонентами поверхностей уровня непостоянной функции $B$. Эффективное применение этого замечания упирается в нетривиальный вопрос о существовании нужного нам конвекторного поля $u(x)$ на всем $N$.

Теорема Бернулли обобщается на случай, когда поле $и$ является особым: ранг матрицы $\operatorname{rot} u$ (или, более общо, ранг матрицы $A$ из уравнения (2.12)) падает более чем на единицу. Вихревые векторы в каждой точке $x \in N$ образуют линейное подпространство $W_{x} \subset$ $\subset T_{x} N$. В случае постоянства ранга матрицы $\operatorname{rot} u$ (или $A$ ) размерность $W_{x}$ не зависит от $x$. Таким образом, имеется распределение касательных пространств. Ввиду (2.13), согласно теореме Фробениуса, это распределение интегрируемо. Следовательно, конфигурационное многообразие $N$ расслоено на гладкие регулярные интегральные многообразия распределения $W$ размерности $\operatorname{dim} W=$ $=n-\operatorname{rank} A$; эти многообразия естественно назвать вихревыми. Фазовый поток уравнения (2.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия, а в стационарном случае функция $B$ постоянна на каждом вихревом многообразии.

6. В качестве примера рассмотрим задачу Эйлера о вращении по инерции твердого тела вокруг неподвижной точки. Пространством положений $N$ служит группа $S O(3)$. Кинетический момент твердого тела постоянен в неподвижном пространстве. Фиксируя его ненулевое постоянное значение, можно представить кинетический момент тела в подвижном пространстве в виде функции от положения твердого тела. В результате на группе $S O(3)$ появляется стационарное трехмерное течение; можно проверить, что оно вихревое. Функция $B$ в нашей задаче постоянна на $S O(3)$ лишь в том вырожденном случае, когда тензор инерции шаровой; поэтому в типичной ситуации $\operatorname{rot} u \times v
eq 0$. Линии тока и вихревые линии лежат на поверхностях Бернулли $I_{c}=\{x: B(x)=c\}$, которые при некритических значениях $c$ диффеоморфны двумерным торам. Отметим, что критических значений всего три: они совпадают с энергией вращения твердого тела вокруг главных осей инерции (при фиксированном значении кинетического момента).

Векторное поле скоростей $v$ и вихревое поле $w$, определенные на всей группе $S O(3)$, обладают рядом замечательных свойств. Во-первых, фазовый поток динамической системы $\dot{x}=v(x), x \in$ $\in S O(3)$, сохраняет двустороннюю инвариантную меру на группе $S O(3)$. Эта мера инвариантна относительно всех левых и правых сдвигов группы. В локальных координатах на $S O(3)$ – углах Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ – она имеет следующий вид (см. [135, гл. 1]): $d \mu=$ $=\sin \theta d \theta d \varphi d \psi$. Если положить $\operatorname{rot} u=\alpha w$, то в углах Эйлера функция $\alpha$ равна в точности $\sin \theta$ (ср. с п. 4 , следствие из теоремы 2).

Вихревое поле $w$, коммутирующее с полем скоростей $v$, можно описать соотношениями $\operatorname{rot} u \times w=0, \xi(w)=$ const, где $\xi-$ это 1 -форма $u d x$. Поле $w$ имеет простой механический смысл: динамическая система $\dot{x}=w(x)$ порождает вращения твердого тела с постоянной в неподвижном пространстве угловой скоростью, направленной вдоль вектора кинетического момента тела.

Все эти результаты нетрудно доказать с использованием локальных координат на группе $S O(3)$ (скажем, углов Эйлера). Они составляют \”вихревую\” теорию волчка Эйлера.

Этот пример обобщается на движения по произвольной группе Ли $\mathfrak{G}$, задаваемые левоинвариантным лагранжианом. Роль интеграла момента играют нётеровы интегралы (их число равно $\operatorname{dim} \mathfrak{G}$ ), отвечающие левоинвариантным полям симметрий.

7. Для гамильтоновых систем с тремя степенями свободы имеется \”вихревой\” аналог метода Гамильтона – Якоби. Пусть $H(x, y)$ – функция Гамильтона. Запишем автономную систему дифференциальных уравнений в частных производных (2.3):
\[
\operatorname{rot} u \times\left(\left.\frac{\partial H}{\partial y}\right|_{y=u}\right)=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\left.H\right|_{y=u} ^{\cdot}\right) .
\]

Например, в обратимом случае, когда $H=\frac{1}{2} \sum_{i, j} g^{i j}(x) y_{i} y_{j}-V(x)$, система (2.14) имеет следующий явный вид:
\[
\begin{aligned}
\sum_{j, k} g^{j k}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right) u_{k}=-\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum_{j, k} g^{j k} u_{j} u_{k}\right)+\frac{\partial V}{\partial x_{i}} \\
1 \leqslant i, j, k \leqslant 3 .
\end{aligned}
\]

Теорема 3. Пусть найдено трехпараметрическое семейство решений $u(x, \alpha)$ системы (2.14), обладающее следующими свойствами: 1) $\operatorname{det}\|\partial u / \partial \alpha\|
eq 0$; 2) $d_{x} H(x, u(x, \alpha))
eq 0$.

Тогда уравнения Гамильтона с гамильтонианом $H$ интегрируются в квадратурах.

Предположим, что найдено \”полное\” потенциальное решение системы (2.14): $u(x, \alpha)=\frac{\partial}{\partial x} S(x, \alpha)$. Тогда из (2.14) получаем \”интеграл Лагранжа – Коши\”: $H\left(x, \frac{\partial}{\partial x} S(x, \alpha)\right)=h(\alpha)$. Это – стационарное уравнение Гамильтона – Якоби. Функция $S(x, \alpha)$ – его полный интеграл, поскольку $\operatorname{det}\left\|\frac{\partial u}{\partial \alpha}\right\|=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial x \partial \alpha}\right\|
eq 0$. Однако в потенциальном случае не выполнено условие 2) теоремы.

Доказ ательство теоремы 3. Согласно предположению 1 ), из уравнений $y_{i}=u_{i}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)(1 \leqslant i \leqslant 3)$ можно найти (по крайней мере локально) $\alpha_{k}$ как функции от $x, y: \alpha_{k}=$ $=F_{k}(x, y)$. Из результатов п. 2 вытекает, что функции $F_{k}$ – интегралы рассматриваемой гамильтоновой системы. Согласно условию 2), функции $F_{1}, F_{2}, F_{3}, H$ независимы. Остается воспользоваться известной теоремой Эйлера-Якоби об интегрируемости автономной системы $n$ дифференциальных уравнений с инвариантной мерой и $n-2$ независимыми интегралами ([174, 12-я лекция]).
8. Уравнение (2.3) совпадает с уравнением Биркгофа (9.3) гл. 1. Следовательно, оно описывает экстремали вариационной задачи
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} u d x-B d t=0, \quad \delta x\left(t_{1}\right)=\delta x\left(t_{2}\right)=0 .
\]

Следовательно, оно описывает экстремали вариационной задачи
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} u d x-B d t=0, \quad \delta x\left(t_{1}\right)=\delta x\left(t_{2}\right)=0 .
\]

Этот вариационный принцип можно вывести из классического принципа стационарного действия Гамильтона.

Если поле и стационарно, то уравнения (2.5) гамильтоновы и к ним снова можно применить развитую выше теорию.