$1^{\circ}$. Основные идеи вихревой теории волчка Эйлера переносятся на более общую задачу о геодезических линиях левоинвариантных метрик на группах Ли.

Пусть $G$ – группа Ли с локальными координатами $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, $T(\dot{x}, x)$ – левоинвариантная метрика, $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ – независимые правоинвариантные поля на группе $G$.

Предложение 2. Фазовый поток правоинвариантного (левоинвариантного) поля – семейство левых (правых) сдвигов на $G$.

Это – хорошо известный факт теории групп Ли (см., например, [61]). Проиллюстрируем предложение 2 примером матричной группы $G L(n)$. Поскольку каждая группа Ли локально изоморфна некоторой подгруппе $G L$ (теорема $A \partial о$ ), то отсюда будет следовать заключение предложения 2 в общем случае.

Итак, согласно §1, правоинвариантное векторное поле на $G L(n)$ имеет вид $A z$, где $A$ – постоянная $n \times n$-матрица, $z \in G L(n)$. Оно порождает линейную систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d z}{d \alpha}=A z .
\]

Как известно, ее общее решение имеет вид
\[
z=e^{A \alpha} z_{0} .
\]

Соответствие
\[
\alpha \rightarrow e^{A \alpha} z_{0}, \quad z_{0} \in G L(n)
\]

порождает однопараметрическую группу левых сдвигов.
Пусть теперь $z \rightarrow z A$ – левоинвариантное поле. Тогда уравнение (3.1) надо заменить на следующее:
\[
\frac{d z}{d \alpha}=z A .
\]

Его общее решение
\[
z=z_{0} e^{A \alpha}
\]

порождает правые сдвиги на группе $G L(n)$.
Согласно предложению 2, фазовые потоки правоинвариантных векторных полей $w_{1}, \ldots, w_{n}$ – семейства левых сдвигов на $G$. Поскольку кинетическая энергия $T$ левоинвариантна, то уравнения движения допускают $n$ нетеровых интегралов
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{x}} \cdot w_{1}=c_{1}, \ldots, \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} \cdot w_{n}=c_{n} .
\]

Так как поля $w_{1}, \ldots, w_{n}$ линейно независимы в каждой точке $G$, то при фиксированных значениях $c$ линейную алгебраическую систему (3.2) можно однозначно разрешить относительно скорости:
\[
\dot{x}=v(x, c), \quad x \in G .
\]

Напомним, что на каждой группе Ли имеется единственная (с точностью до постоянного множителя) мера, инвариантная при всех левых (правых) сдвигах. В случае унимодулярной группы эта мера (называемая обычно мерой Хаара) биинвариантна. Аналитический критерий унимодулярности заключается в выполнении следующих соотношений для структурных постоянных алгебры Ли:
\[
\sum c_{i k}^{k}=0, \quad 1 \leq i \leq n .
\]

В частности, все компактные группы унимодулярны. Подробности можно найти, например, в книге [61].
Теорема 1 ([40]). При фиксированных значениях с фазовый поток системы (3.3) сохраняет правоинариантную меру на $G$.

Следствие 1. Если группа $G$ унимодулярна, то фазовый поток системы (3.3) сохраняет меру Хаара на $G$.

ЗАмечаниЕ. Как установлено в [34], уравнения Эйлера-Пуанкаpe (1.11) на алгебре $g$ допускает инвариантную меру с гладкой плотностью в том и только том случае, когда группа $G$ унимодулярная. В этом случае фазовый поток системы (1.11) сохраняет стандартную меру на $g$ :
\[
\int d^{n} \omega
\]

$2^{\circ}$. Доказательство теоремы 1 состоит в проверке того факта, что интегральный инвариант из предложения $1 \S 3$ гл. I как раз является правоинвариантной мерой на группе $G$.
Пусть
\[
v_{i 1}, \ldots, v_{i n}
\]
– компоненты левоинвариантного поля $v_{i}$. В соответствии с (1.2), систему уравнений (3.3) можно переписать в следующем виде:
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{l} v_{i l}(x) \omega_{l}(x, c) .
\]

Система уравнений (1.11) и (1.2) гамильтонова. Следовательно, по теореме Лиувилля, фазовый поток этой системы, представленный в канонических переменных
\[
x, \quad y=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}},
\]

сохраняет стандартную меру. В переменных $x, \omega$ плотность этой меры можно определить как якобиан преобразования
\[
x, y \rightarrow x, \omega .
\]

Положим
\[
V=\left\|v_{i j}\right\| \text {. }
\]

Так как
\[
y_{s}=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{s}}=\sum \frac{\partial T}{\partial \omega_{i}} \frac{\partial \omega_{i}}{\partial \dot{x}_{s}}=\sum m_{i} \frac{\partial \omega_{i}}{\partial \dot{x}_{s}},
\]

то
\[
\frac{\partial y}{\partial m}=\frac{\partial \omega}{\partial \dot{x}} .
\]

Следовательно, плотность лиувиллевой инвариантной меры в переменных $x, \omega$ равна
\[
M=\operatorname{det} \frac{\partial y}{\partial \omega}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial y}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial \omega}\right)=(\operatorname{det} V)^{-1} \operatorname{det} I,
\]

где $I$ – матрица оператора инерции.

Пусть
\[
w_{i}=\left(w_{i 1}, \ldots, w_{i n}\right), \quad 1 \leq i \leq n
\]
– правоинвариантные векторные поля на группе $G$ из п. $1^{\circ}$. По аналогии с (1.2) положим
\[
\dot{x}_{i}=\sum w_{i l} s_{l}, \quad 1 \leq i \leq n .
\]

Здесь $s=\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right) \in g$ – скорость рассматриваемой системы. Запишем в явном виде интегралы Нетер:
\[
f_{j}=\sum \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{l}} \frac{\partial \dot{x}_{l}}{\partial s_{j}}=\sum m_{k} \frac{\partial \omega_{k}}{\partial \dot{x}_{l}} w_{l j}=c_{j}, \quad 1 \leq j \leq n .
\]

Систему уравнений (1.2), (1.11) можно заменить системой (3.5), добавив к ней тривиальные соотношения
\[
\dot{c}_{1}=\ldots=\dot{c}_{n}=0 .
\]

Плотность меры Лиувилля в переменных $x, c$ равна
\[
\rho=M\left(\operatorname{det} \frac{\partial f}{\partial \omega}\right)^{-1} .
\]

Эта функция, очевидно, дает плотность интегрального инварианта для системы (3.5) с фиксированными значениями $c$.
Полагая
\[
W=\left\|w_{i j}\right\|
\]

и учитывая формулы (3.6) и (3.8), получим
\[
\rho=(\operatorname{det} V)^{-1} \operatorname{det}\left(\frac{\partial f}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial \omega}\right)^{-1}=(\operatorname{det} W)^{-1} .
\]
$3^{\circ}$. Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений на $G$
\[
\dot{x}_{i}=\sum v_{i l} \omega_{l},
\]

в которую величины $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ входят как постоянные параметры. При всех значениях $\omega$ фазовый поток (3.10) представляет семейство правых сдвигов на $G$.

Лемма 1. Функиия det $W^{-1}$ – плотность интегрального инварианта системы (3.10).

Следствие 2. Плотность правоинвариантной меры на группе $G$ равна $c \operatorname{det} W^{-1}, c=$ const $
eq 0$.

Действительно, каждый правый сдвиг на группе $G$ – сдвиг по траекториям системы (3.10) при подходящих значениях $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$.

Доказательство леммы 1.
Предположим, что в некотором состоянии положение системы определяется локальными координатами $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$, а правоинвариантные поля представляются векторами $w_{1}^{0}, \ldots, w_{n}^{0}$. Положим
\[
W^{0}=\left\|w_{i j}^{0}\right\| .
\]

При правом сдвиге на $G$ координаты $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$ переходят в координаты $x_{1}, \ldots, x_{n}$, а касательные векторы $w_{1}^{0}, \ldots, w_{n}^{0}$ в касательные векторы $w_{1}, \ldots, w_{n}$. Как хорошо известно,
\[
W=J W^{0}, \quad d x_{1} \ldots d x_{n}=\operatorname{det} J d x_{1}^{0} \ldots d x_{n}^{0},
\]

где $J$ – матрица Якоби преобразования $x_{0} \rightarrow x$.
Из соотношения (3.10) получаем равенство
\[
\operatorname{det} W^{-1} d x_{1} \ldots d x_{n}=\operatorname{det}\left(W^{0}\right)^{-1} d x_{1}^{0} \ldots d x_{n}^{0},
\]

которое означает, что фазовый поток системы (3.10) имеет интегральный инвариант с плотностью $\operatorname{det} W^{-1}$.

Для завершения доказательства теоремы 1 остается воспользоваться формулой (3.9) и заключением леммы 1.
$4^{\circ}$. Аналогично доказывается

Лемма 2. Функция det $V^{-1}$ – плотность интегрального инварианта системь (3.7).

Отсюда вытекает, что плотность левоинвариантной меры на группе $G$ равна $c \operatorname{det} V^{-1}, c=$ const $
eq 0$. В частности, для унимодулярной группы
\[
\frac{\operatorname{det} V}{\operatorname{det} W}=\text { const. }
\]

Небезынтересно дать прямое доказательство лемм 1 и 2 , использующее аналитический критерий унимодулярности (3.4). Точнее, докажем, что при всех значениях $\omega$ фазовый поток системы (3.10) сохраняет интегральный инвариант с плотностью $\operatorname{det} V^{-1}$.
Действительно, рассмотрим матрицу
\[
K=\frac{\partial \dot{x}}{\partial x} V-\dot{V},
\]

где точка обозначает производную в силу системы (3.10). Легко проверить, что $j$-ый столбец матрицы $K$ равен
\[
\sum_{k, j} v_{k} c_{i j}^{k} \omega_{i}
\]

а элемент матрицы $V^{-1} K$ с номером $k, j$ равен
\[
\sum c_{i j}^{k} \omega_{i}
\]

Умножим равенство (3.12) на $V^{-1}$ слева и вычислим след правой и левой части полученного матричного равенства:
\[
\operatorname{tr} V^{-1} K=\operatorname{tr} V^{-1} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} V-\operatorname{tr} V^{-1} \dot{V} .
\]

Ввиду предположения (3.4), $\operatorname{tr} V^{-1} K=0$. Далее
\[
\operatorname{tr} V^{-1} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} V=\operatorname{tr} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x}
\]
— это дивергенция правой части системы (3.10). Наконец,
\[
\operatorname{tr} V^{-1} \dot{V}=\frac{d}{d t} \ln \operatorname{det} V .
\]

В результате переходим к тождеству
\[
\operatorname{tr} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x}+\frac{d}{d t} \ln (\operatorname{det} V)^{-1}=0,
\]

которое является уравнением Лиувилля для плотности интегрального инварианта $\operatorname{det} V^{-1}$. Что и требовалось.