$1^{\circ}$. Рассеяние энергии в динамике вязкой жидкости приводит ко многим характерным явлениям, например, к диффузии вихрей (см. $\S 2$, гл. I). В динамике систем с конечным числом степеней свободы при небольших скоростях силы вязкого трения обычно моделируют с помощью диссипативной функции, введенной Релеем [55].

Пусть $M^{n}$ – конфигурационное пространство механической системы с $n$ степенями свободы, $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x$ – обобщенные координаты, $T$ – кинетическая, а $V$ – потенциальная энергии системы. Уравнения движения механической системы с вязким трением имеют следующий вид:
\[
\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)^{\cdot}-\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{\partial \Phi}{\partial \dot{x}}, \quad L=T-V .
\]

Здесь $\Phi$ – функиия Релея – положительно определенная квадратичная форма относительно обобщенной скорости $\dot{x}$. Пусть $H=T+V-$ полная механическая энергия. Из (6.1) вытекает простое равенство
\[
\dot{H}=-2 \Phi,
\]

которое показывает, что энергия, действительно, рассеивается.
Мы рассмотрим случай, когда $\Phi=-
u T$, где $
u$ – известная положительная функция времени (например, $
u=$ const $>0$ ). Применяя преобразование Лежандра, перейдем от уравнений Лагранжа (6.1) к обобщенным каноническим уравнениям Гамильтона
\[
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial x}-
u y .
\]

Здесь $y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right), y=\partial T / \partial \dot{x}-$ канонические импульсы, $H(x, y, t)$ – функция Гамильтона, которую можно считать произвольной известной функцией от $x, y$ и времени $t$.

Наше первое наблюдение состоит в том, что систему с диссипацией (6.2) можно привести к обычным дифференциальным уравнениям Гамильтона
\[
\dot{X}=\frac{\partial K}{\partial Y}, \quad \dot{Y}=-\frac{\partial K}{\partial X}
\]

с помощью замены
\[
X=x, \quad Y=y \mu(t), \quad \mu=\exp \left[-\int
u(t) d t\right] .
\]

Роль нового гамильтониана играет функция
\[
K=\mu H(X, Y / \mu, t) .
\]

Следовательно, систему (6.2) можно изучать методами гамильтоновой механики. Однако мы предпочтем прямой путь исследования, не опираясь на редукцию к системе (6.3). Следует иметь в виду, что в стационарном случае (когда функции $T$ и $V$ не зависят явно от $t$ ) система (6.2) будет автономной, однако при переходе к (1.3) свойство автономности теряется.
$\mathbf{2}^{\circ}$. Будем искать $n$-мерные инвариантные поверхности $\Sigma$ уравнений (6.2) в виде
\[
y=u(x, t) .
\]

Положим, как и раньше,
\[
\begin{array}{c}
h(x, t)=H(x, u(x, t), t), \\
\dot{x}=v(x, t)=\left.\frac{\partial H}{\partial y}\right|_{y=u} .
\end{array}
\]

Несложно показать, что ковекторное поле $u$, функция $h$ и векторное поле $v$ связаны соотношением
\[
\frac{\partial u}{\partial t}+(\operatorname{rot} u) v=-\frac{\partial h}{\partial x}-
u u,
\]

\[
\operatorname{rot} u=\left\|\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right\| .
\]

Будем называть (6.6) обобщенным уравнением Ламба. В гидродинамике дополнительное слагаемое – $
u$ и имеет смысл силы внешнего трения. При $
u=0$ получаем обычное уравнение Ламба.

Уравнение (6.6) можно представить в эквивалентном виде с помощью внешних дифференциальных форм. Положим, как обычно,
\[
\omega=\sum u_{i} d x_{i}, \quad \Omega=d \omega .
\]

Тогда
\[
\frac{\partial \omega}{\partial t}+i_{v} \Omega=-d h-
u \omega
\]

Применяя к обеим частям операцию внешнего дифференцирования и используя формулу гомотопии, получим
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial t}+L_{v} \Omega=-
u \Omega
\]

Ясно, что левая часть этого равенства есть полная производная от формы $\Omega$ в силу системы (6.5).
Уравнение (6.7) можно несколько преобразовать:
\[
\frac{\partial \omega}{\partial t}+L_{v} \omega=d g-
u \omega
\]

где $g=\omega(v)-h$ – лагранжиан рассматриваемой системы, ограниченный на инвариантную поверхность $\Sigma$.
$3^{\circ}$. Пусть $g^{t}$ – поток системы (6.5), $\gamma$ – замкнутый контур на $M$. Интеграл
\[
I=\int_{g^{t}(\gamma)} \omega
\]

будет функцией $t$. Воспользуемся известной формулой
\[
\dot{I}(t)=\int_{g^{t}(\gamma)} \dot{\omega}, \quad \dot{\omega}=\frac{\partial \omega}{\partial t}+L_{v} \omega .
\]

Поскольку $\gamma$ – замкнутый контур, то из (6.9) будем иметь
\[
\dot{I}=-
u(t) I \text {. }
\]

Следовательно,
\[
I(t)=I(0) \mu(t) .
\]

Таким образом, если интеграл
\[
\int_{0}^{\infty}
u(t) d t
\]

расходится (например, $
u=$ const $
eq 0$ ), то $I(t)$ монотонно стремится к нулю при неограниченном возрастании $t$. Это свойство можно рассматривать как явление диффузии вихрей в конечномерных диссипативных системах.

Не исключено, что это утверждение справедливо и для диссипативных функций Релея общего вида. В его пользу свидетельствует следующее наблюдение. Если $x_{0}$ – изолированный минимум потенциальной энергии $V$, то эта точка будет асимптотически устойчивым положением равновесия для системы (6.1). В частности, пусть замкнутый контур $\gamma$ лежит в малой окрестности точки $x_{0}$. Тогда контур $g^{t}(\gamma)$ вырождается в точку $x_{0}$ при $t \rightarrow+\infty$ и, следовательно, интеграл (6.10) стремится к нулю.

Стоит иметь в виду, что эволюция замкнутых путей в диссипативных системах может приводить к замысловатым множествам. Рассмотрим, например, градиентную систему
\[
\dot{x}=-\frac{\partial \varphi}{\partial x}
\]

на двумерном торе, который реализован в виде поверхности вращения в трехмерном пространстве, а $\varphi$ – функция высоты точки. На рис. 20 , а показана эволюция замкнутого контура из окрестности неустойчивого равновесия: множество точек $g^{t}(\gamma)$ при $t \rightarrow \infty$ стремится к сдвоенной кривой (рис. 20,б).

Рис. 20. Эволюция замкнутых путей

В динамике вязкой жидкости уравнение (6.8) заменяется уравнением
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial t}+L_{v} \Omega=
u \Delta \Omega
\]

где $\Delta$ – оператор Лапласа. Асимптотические (при $t \rightarrow+\infty$ ) свойства решений уравнения (6.12) на компактном многообразии $M$ изучены В.И.Арнольдом [6]. В этой работе рассмотрены явления переноса и диффузии произвольных $k$-форм, удовлетворяющих уравнению (6.12). В нашем случае 2-форма $\Omega$ замкнута. Для гидродинамики особое значение имеет случай, когда $M$ является трехмерным тором; к этой задаче приводит изучение течений с периодическими граничными условиями.
В. И. Арнольд показал, что при достаточно большом коэффициенте диффузии
(i) эволюция (6.12) с любым замкнутым начальным условием ( $d \Omega=0$ при $t=0$ ) приводит в пределе к стационарной $k$-форме из того же класса когомологий (т. е. с теми же значениями интегралов по $k$-мерным циклам);
(ii) в каждом классе когомологий замкнутых $k$-форм есть стационарная форма, причем такая форма ровно одна.
В нашем случае 2-форма $\Omega$ точна. Следовательно, ее класс когомологий тривиальный и поэтому (согласно (ii)) $\Omega \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$.

В пределе интеграл от 1-формы $\omega$ (циркуляция жидкости) по любому гомотопному нулю замкнутому контуру $\gamma$ равен нулю. По-видимому,
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} \oint_{g^{t}(\gamma)} \omega=0 .
\]
$4^{\circ}$. Напомним, что ковекторное поле $u$ будет потенциальным $(u=\partial \varphi / \partial x$ ) тогда и только тогда, когда интеграл от 1-формы $\omega$ по любому замкнутому контуру (стягиваемому в точку) равен нулю. С учетом этого замечания из (6.11) получаем обобщенную теорему Лагранжа о потенциальных течениях: если поле $u(x, t)$ потенциально при некотором $t=t_{0}$, то оно будет потенциальным при всех значениях $t$.

Подставляя в (6.6) $(u=\partial \varphi / \partial x)$, получаем аналог интеграла Лагранжа-Коши:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+H\left(x, \frac{\partial \varphi}{\partial x}, t\right)+
u \varphi=f(t) .
\]

Пусть $\theta(t)$ – решение обыкновенного дифференциального уравнения
\[
\dot{\theta}+
u(t) \theta=f(t) .
\]

Преобразование $\varphi \rightarrow \varphi+\theta(t)$ не меняет поля градиента и позволяет положить в (6.13) $f=0$. При $
u=0$ полученное уравнение совпадает с уравнением Гамильтона-Якоби.

Уравнение (6.13) в стационарном случае (когда функции $\varphi,
u, f$ не зависят явно от $t$ ) получил впервые И. С. Аржаных [3], не связывая, правда, подстановку $\partial \varphi / \partial x$ с теоремой Лагранжа. Им же доказана следующая теорема, обобщающая теорему Якоби о полном интеграле.

Пусть $\varphi\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}\right)$ – полный интеграл уравнения (6.13) (где $f=0$ ). Тогда общее решение уравнений (6.2) находится из соотношений
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial c}=-\alpha \mu(t), \quad \frac{\partial \varphi}{\partial x}=y ; \quad \alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\text { const } .
\]

При $
u=0$ получаем теорему Якоби.

Впрочем, теорему Аржаных просто вывести из теоремы Якоби. Для этого в (6.13) (где $f=0$ ) сделаем подстановку
\[
\varphi=\frac{\psi(x, t)}{\mu(t)} .
\]

Фунґция $\psi$ будет удовлетворять уравнению
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}+\mu H\left(x, \frac{1}{\mu} \frac{\partial \psi}{\partial x}, t\right)=0,
\]

в которое входят явно лишь производные от $\psi$. Уравнение (6.14) – это уравнение Гамильтона – Якоби для системы с гамильтонианом (6.4). $5^{\circ}$. Пусть $w_{1}(t), w_{2}(t)$ – касательные к $M$ (в общей точке) векторы, которые переносятся потоком системы (6.5). Из (6.8) вытекает равенство
\[
\Omega\left(w_{1}(t), w_{2}(t)\right)=\Omega\left(w_{1}(0), w_{2}(0)\right) \mu(t) .
\]

Таким образом, если $\Omega\left(w_{1}(t), w_{2}(t)\right)$ обращается в нуль при $t=0$, то эта функция тождественный нуль для всех значений $t$. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы $\Omega$ вморожены в поток системы (6.5). Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца-Томсона: поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. $6^{\circ}$. Если 1-форма $\omega$ имеет постоянный класс, то ее локально можно привести к виду
\[
\omega=d S+x_{1} d x_{2}+\cdots+x_{2 k-1} d x_{2 k},
\]

где $2 k$ – ранг замкнутой 2 -формы $\Omega, S$ – некоторая гладкая функция от $x_{1}, \ldots, x_{n}, t$. Координаты $x_{1}, \ldots, x_{2 k}$ и функция $S$ – это обобщенные потенциалы Клебша из $\S 4$. В этих переменных вихревые многообразия задаются уравнениями
\[
x_{1}=a_{1}, \ldots, x_{2 k}=a_{2 k} ; \quad a=\text { const, }
\]

а обобщенные уравнения Ламба (6.6) имеют следующий явный вид:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{1}=-\frac{\partial æ}{\partial x_{2}}-
u x_{1}, \quad \dot{x}_{2}=\frac{\partial æ}{\partial x_{1}} \\
\cdots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\dot{x}_{2 k-1}=-\frac{\partial æ}{\partial x_{2 k}}-
u x_{2 k-1}, \quad \dot{x}_{2 k}=\frac{\partial æ}{\partial x_{2 k-1}}, \\
\frac{\partial æ}{\partial x_{2 k+1}}=\ldots=\frac{\partial æ}{\partial x_{n}}=0
\end{array}
\]

где $æ=\partial S / \partial t+
u S+h$.
Из (6.15) и (6.17) получаем обобщенную теорему Бернулли: при фиксированных значениях $t$ функция æ постоянна на вихревых многообразиях. Следовательно, уравнения (6.16) представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающую канонические уравнения Гамильтона. Поскольку вихревые многообразия «нумеруются» координатами $x_{1}, \ldots, x_{2 k}$, то отсюда снова получаем теорему Гельмгольца-Томсона.