$1^{\circ}$. Укажем сначала некоторые наводящие соображения. Предположим, что гамильтонова система дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial x}, \\
x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)
\end{array}
\]

допускает $n+k$ независимых первых интегралов
\[
F_{1}, \ldots, F_{n+k},
\]

причем первые $n-k$ функций находятся в инволюции со всеми интегралами (3.2). Согласно $\S 2$, в этом случае выполнено условие некоммутативной интегрируемости (2.3). Стоит подчеркнуть, что мы рассматриваем общий неавтономный случай, когда интегралы (3.2) и гамильтониан $H$ могут явно зависеть от времени.

По аналогии с доказательством теоремы Лиувилля о полной интегрируемости, рассмотрим алгебраическую систему $n$ уравнений
\[
F_{1+k}(x, y, t)=c_{1}, \ldots, F_{n+k}(x, y, t)=c_{n}
\]

и предположим дополнительно, что
\[
\frac{\partial\left(F_{1+k}, \ldots, F_{n+k}\right)}{\partial\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)}
eq 0 .
\]

Тогда систему (3.3) локально можно разрешить относительно канонических импульсов:
\[
y=u(x, t, c), c=\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right) .
\]

Так как при всех значениях $c$ уравнения (3.3) задают $n$-мерное инвариантное многообразие системы (3.1), то поле (3.5) удовлетворяет уравнению Ламба
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}+(\operatorname{rot} u) v=-\frac{\partial h}{\partial x} \\
v=\left.\frac{\partial H}{\partial y}\right|_{y=u}, \quad h=H(x, u(x, t, c), t) .
\end{array}
\]

Поскольку выполнено условие (3.4), то, очевидно,
\[
\frac{\partial\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}{\partial\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right)}
eq 0 .
\]

Следовательно, (3.5) представляет собой полный интеграл уравнения Ламба (3.6).

Выясним теперь, как соотносятся между собой найденный полный интеграл (3.5) и первые интегралы $F_{1}, \ldots, F_{n-k}$ из набора (3.2), которые коммутируют со всеми остальными интегралами. Положим
\[
v_{i}(x, t, c)=\left.\frac{\partial F_{i}}{\partial y}\right|_{y=u}, \quad f_{i}(x, t, c)=F_{i}(x, u(x, t, c), c) .
\]

Ясно, что $v_{i}$ – векторное поле на конфигурационном многообразии.
Лемма 1. Функция $F_{i}$ находится в инволюции $c$ функииями $F_{k+1}, \ldots, F_{k+n}$ тогда и только тогда, когда для всех значений параметров $c_{1}, \ldots, c_{n}$

Доказательство.
\[
(\operatorname{rot} u) v_{i}=-\frac{\partial f_{i}}{\partial x} .
\]

Действительно, соотношения
\[
\left\{F_{i}, F_{s}\right\}=0, \quad s \geq k+1
\]

означают, что функции $F_{k+1}, \ldots, F_{n}$ – первые интегралы дифференциальных уравнений Гамильтона
\[
\frac{d x}{d \tau}=\frac{\partial F_{i}}{\partial y}, \quad \frac{d y}{d \tau}=-\frac{\partial F_{i}}{\partial x} .
\]

При этом время $t$ считается постоянным параметром. Следовательно, при фиксированных значениях $t$ алгебраические уравнения (3.3) задают инвариантные многообразия канонических уравнений Гамильтона (3.9). Отсюда, в свою очередь, вытекает справедливость уравнений Ламба (3.8) (в которые не входят производные $\partial u / \partial t$ ). Обратное утверждение, очевидно, также справедливо.

Итак, если известен избыточный набор первых интегралов (3.2), удовлетворяющий условию теоремы Нехорошева, то из уравне-

ний (3.3) можно найти полный интеграл уравнений Ламба (3.6), который удовлетворяет еще $n-k$ «усеченным» уравнениям Ламба (3.8). $\mathbf{2}^{\circ}$. Эти рассуждения можно обратить.

Теорема 3 ([39]). Пусть известен полный интеграл $u(x, t, c)$ уравнения Ламба (3.6), причем
(a) $\operatorname{rank}(\operatorname{rot} u)=2 k$,
(b) найдутся $k$ интегралов $F_{1}(x, y, t), \ldots, F_{k}(x, y, t)$ уравнений Гамильтона (3.1), такие, что $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0$ (для всех $1 \leq i, j \leq n$ ) $u$ при всех значениях с поле $u(x, t, c)$ удовлетворяет каждому из $k$ уравнений
\[
\begin{array}{c}
(\operatorname{rot} u) v_{i}=-\frac{\partial f_{i}}{\partial x}, \quad 1 \leq i \leq k \\
v_{i}=\left.\frac{\partial F_{i}}{\partial y}\right|_{y=u}, \quad f_{i}=F_{i}(x, u(x, t, c), t),
\end{array}
\]
(c) $f_{1}, \ldots, f_{k}$ независимы как функции $x$.

Тогда исходные уравнения Гамилтона (3.1) некоммутативно интегрируемы.

Напомним, что ввиду кососимметричности матрицы $\operatorname{rot} u$, ее ранг – четное число. Метод явного интегрирования дифференциальных уравнений Гамильтона, использующий полный интеграл уравнений Ламба, удовлетворяющий теореме 3, будем называть вихревым методом интегрирования.

Рассмотрим частный случай, когда $u$ – потенциальное решение уравнений Ламба:
\[
u=\frac{\partial S(x, t, c)}{\partial x} .
\]

Тогда $\operatorname{rot} u=0$ и, следовательно, $k=0$. Условие невырожденности (3.7) переходит в условие
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial x \partial c}\right\|
eq 0,
\]

a $S$ будет полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби. Таким образом, вихревой метод интегрирования содержит как крайний частный случай классический метод Гамильтона – Якоби.

Доказательство теоремы 3.
Нам надо явно указать набор независимых первых интегралов уравнений Гамильтона (3.1), удовлетворяющих условию некоммутативной интегрируемости (2.3).
С этой целью рассмотрим систему $n$ алгебраических уравнений
\[
\begin{array}{c}
y_{1}=u_{1}(x, t, c), \ldots, y_{n}=u_{n}(x, t, c), \\
c=\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right) .
\end{array}
\]

Согласно условию (3.7), из этой системы можно найти (хотя бы локально) постоянные параметры $c_{1}, \ldots, c_{n}$ как функции канонических переменных $x, y$ и времени $t$ :
\[
c_{1}=F_{k+1}(x, y, t), \ldots, c_{n}=F_{k+n}(x, y, t) .
\]

Поскольку (3.11) задают инвариантные многообразия уравнений Гамильтона (3.1), то функции (3.12) будут их первыми интегралами. В силу (3.7) функции $F_{k+1}, \ldots, F_{k+n}$ независимы. Более того, из условия (c) вытекает функциональная независимость набора интегралов
\[
F_{1}, \ldots, F_{k}, F_{k+1}, \ldots, F_{k+n} .
\]

Из условия ( $b$ ) получаем, что первые $k$ интегралов находятся в инволюции со всеми функциями (3.13) (лемма 1). Следовательно, ранг матрицы скобок Пуассона набора функций (3.13) равен рангу матрицы скобок Пуассона функций (3.12). Согласно лемме 1 из §4 главы III, этот ранг равен рангу матрицы $\operatorname{rot} u$ (то есть $2 k$ ).
Итак, для набора независимых первых интегралов (3.13)
\[
m=n+k, \quad r=k
\]

и, следовательно, $m=n+r$.
Теорема 3 погазывает, что вихревой метод интегрирования находится в таком же отношении к условию некоммутативной интегри-

руемости, как метод Гамильтона-Якоби к условию Лиувилля полной интегрируемости уравнений Гамильтона.
$3^{\circ}$. В качестве примера рассмотрим другой крайний случай, когда матрица ротора имеет максимально возможный ранг, равный $n$. Среди решений уравнения Ламба оно «самое вихревое». В этом случае $n=2 k$ и уравнения Гамильтона (3.1) допускают $k$ инволютивных интегралов, удовлетворяющих условиям (b) и ( $c$ ) теоремы 3. Оказывается, тогда уравнения Гамильтона можно проинтегрировать в квадратурах.

Этот результат, отмеченный в работе [39], имеет особенно простой смысл в автономном случае, когда функции
\[
H-F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n / 2}
\]

и поле $u$ не зависят явно от $t$. Тогда уравнение Ламба (3.6)
\[
(\operatorname{rot} u) \dot{x}=-\frac{\partial h}{\partial x}
\]

будет гамильтоновой системой в $2 k$-мерном фазовом пространстве $\{x\}$ с симплектической структурой
\[
\omega=d(u d x)=\sum\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right) d x_{i} \wedge d x_{j}
\]

и гамильтонианом $h$ (см. §1). Согласно условиям (b) и (c), функции $h=f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k}$ – независимые интегралы уравнений (3.14). Так как $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0$, то функции $f_{1}, \ldots, f_{k}$ также инволютивны относительно симплектической структуры $\omega$. По теореме Лиувилля, уравнения (3.14) интегрируются в квадратурах. Импульсы $y$ находятся из соотношений $y=u(x, c)$. Неавтономный случай сводится к автономному повышением размерности фазового пространства (см. §4).
$\mathbf{4}^{\circ}$. В работе автора [39] утверждалось, что при выполнении условий $(a),(b)$ и (c) теоремы 3 уравнения Гамильтона можно проинтегрировать в квадратурах. Однако доказательство этого утверждения содержит пробел, восполнить который можно лишь при некоторых дополнительных условиях. Один из таких случаев указан в предыдущем разделе $(n=2 k)$.

Вопрос упирается в конструктивную возможность построения $n-2 k$ функций от интегралов (3.12), которые коммутировали бы с набором функций (3.12). Добавляя к ним $k$ функций из условия $(b)$, получаем $n-k$ функций, находящихся в инволюции с $n+k$ интегралами (3.13). Решение этой задачи существенно упрощается, если предположить замкнутость набора функций (3.12): их скобки Пуассона выражаются через эти же функции.

Условие замкнутости набора функций (3.12) можно сформулировать в виде свойств матрицы ротора ковекторного поля (3.11). С этой целью введем $n$ линейно независимых ковекторов
\[
a_{1}=\frac{\partial u}{\partial c_{1}}, \ldots, a_{n}=\frac{\partial u}{\partial c_{n}} .
\]

Они, разумеется, зависят от точки $x$ конфигурационного пространства и времени $t$. Им однозначно сопоставляется дуальный набор линейно независимых векторов $b_{1}, \ldots, b_{n}$ :
\[
\left(a_{i}, b_{j}\right)=\delta_{i j}, \quad 1 \leq i, j \leq n .
\]

Легко проверить, что
\[
b_{j}=\left.\frac{\partial F_{n+j}}{\partial y}\right|_{y=u} .
\]

Положим (для краткости) $B=\operatorname{rot} u$.
Лемма 2. Набор функций $F_{k+1}, \ldots, F_{k+n}$ замкнут тогда и только тогда, когда при всех $i, j=1, \ldots, n$ функиии $\left(B b_{i}, b_{j}\right)$ не зависят от $x и$ $t$.

Таким образом, проверка условий замкнутости требует лишь дифференцирований и алгебраических операций, включая обращения функций. Полный интеграл $u(x, t, c)$ уравнения Ламба назовем замкнутым, если выполнены условия леммы 2. В частности, все потенциальные решения замкнуты.
Лемма 2 – простое следствие соотношений (4.7) и (4.10) главы III.

Теорема 4 ([71]). Пусть известен полный замкнутый интеграл $u(x, t, c)$ уравнения Ламба, удовлетворяющий условиям $(a),(b),(c)$ теоремы 3. Тогда уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах.

Действительно, в силу лемм 1 и 2 набор интегралов (3.13) уравнений Гамильтона замкнут относительно скобки Пуассона. После этого замечания теорема 4 вытекает из неавтономного варианта теоремы А. В. Браилова об интегрируемости гамильтоновых систем с замкнутым набором интегралов, удовлетворяющих условию (2.3). Поскольку полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби порождает полный замкнутый интеграл уравнения Ламба, то классическая теорема Якоби содержится в теореме 4.
$5^{\circ}$. В качестве примера рассмотрим задачу Лиувилля ( 1858 г.) о вращении по инерции изменяемого тела, когда за счет внутренних сил его частицы перемещаются относительно друг друга. В качестве подвияной системы отстета моэно взлть оси инерции тела, горрегтно определенные в каждый момент времени.

Пусть $\omega$ – угловая скорость подвижного трехгранника, $K$ кинетический момент тела относительно неподвижной точки, $I=$ $=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$ – матрица инерции. Кинетический момент связан с угловой скоростью соотношением
\[
K=I \omega+\lambda,
\]

где $\lambda=\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$ – гироскопический момент. Появление дополнительного слагаемого связано с перемещением частиц тела.

По теореме об изменении кинетического момента, динамические уравнения Эйлера имеют вид
\[
\dot{K}=\omega \times K=0 .
\]

Будем считать, что $I_{i}, \lambda_{j}$ – некоторые известные функции времени. Например, если в твердом теле имеются симметричные маховики, свободно вращающиеся вокруг своих осей, то главные моменты инерции и гиростатические моменты будут постоянными величинами. Такую систему Кельвин назвал гиростатом. В динамике изменяемого тела возможны и другие постановки задачи. Например, Зейлигер и Четаев рассматривали подобно изменяемое тело и для замыкания системы уравнений (3.15)-(3.16) добавляли уравнение для скорости «лучистого» расширения.

Обсуждение различных аспектов задачи о вращении изменяемого тела можно найти, например, в трактате Payca [54].

Присоединяя к (3.15)-(3.16) уравнения Пуассона для единичных неподвижных векторов $\alpha, \beta, \gamma$
\[
\dot{\alpha}=\alpha \times \omega, \quad \dot{\beta}=\beta \times \omega, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\]

получим полную систему для определения ориентации главных осей инерции тела. Уравнения (3.16) и (3.17) допускают три интеграла момента
\[
(K, \alpha)=c_{1}, \quad(K, \beta)=c_{2}, \quad(K, \gamma)=c_{3} .
\]

Их следствием является интеграл
\[
(K, K)=\mathrm{const}
\]

уравнений Эйлера (3.16).
Будем искать трехмерные инвариантные поверхности, однозначно проектирующие на конфигурационное пространство – группу $S O(3)$. Это означает, что кинетический момент $K$ следует искать в виде функций от $\alpha, \beta, \gamma$ и времени $t$. Тогда из (3.16)-(3.17) получаем векторное уравнение в частных производных
\[
\frac{\partial K}{\partial t}+\frac{\partial K}{\partial \alpha}(\alpha \times \omega)+\frac{\partial K}{\partial \beta}(\beta \times \omega)+\frac{\partial K}{\partial \gamma}(\gamma \times \omega)=K \times \omega .
\]

Здесь вместо $\omega$ надо подставить $I^{-1}(K-\lambda)$. Это уравнение, конечно, является уравнением Ламба, только оно представлено не в канонических переменных. Переход к уравнениям (3.19) вполне аналогичен переходу от уравнений Гамильтона к уравнениям Пуанкаре-Четаева на алгебрах Ли.

Согласно (3.18), одним из полных решений уравнения Ламба (3.19) будет функция
\[
K=c_{1} \alpha+c_{2} \beta+c_{3} \gamma .
\]

Можно проверить, что в обычных канонических переменных $\theta, p_{\theta}, \ldots$ оно имеет тот же вид, что и в обычной задаче Эйлера (формулы (2.8) главы II). Полное решение (3.20), очевидно, замкнуто, не содержит явно времени и ранг матрицы ротора равен двум, если $|c|
eq 0$.

Предположим теперь, что уравнения (3.15)-(3.16) допускают интеграл $F(K, t)$, независимый от интеграла момента $(K, K)$. Тогда уравнения движения (3.16)-(3.17) интегрируются в квадратурах. Этот факт можно вывести из теоремы 4.

Действительно, здесь $k=1$ и функции $F$ отвечает уравнение Пуанкаре-Четаева
\[
\dot{K}=K \times \frac{\partial F}{\partial K},
\]

к которому надо добавить уравнения Пуассона (3.17). Ясно, что каждая поверхность (3.18) будет инвариантной для уравнений (3.21) и (3.17). Поскольку полное решение (3.20) не зависит явно от времени, то оно удовлетворяет «усеченному» уравнению Ламба (3.10). Следовательно, выполнены условия ( $a$ ) и (b) вихревой теории интегрирования. Условие ( $c$ ) вытекает из предположения о независимости функций $F$ и $K^{2}$.

Замечание. Результат об интегрируемости в квадратурах уравнений (3.16) и (3.17) вытекает, конечно, из теории некоммутативного интегрирования гамильтоновых систем. Здесь $n=3$ и нужный набор интегралов составляют функции
\[
F, K^{2},(K, \alpha),(K, \beta) .
\]

Первые две из них коммутируют со всеми остальными и ранг матрицы их скобок Пуассона равен, очевидно, двум.

Небезынтересно выписать в явном виде систему уравнений на группе $S O(3)$, обобщающую уравнения (2.11) главы II для волчка Эйлера. Для определенности рассмотрим случай, когда вектор кинетического момента направлен вдоль $\gamma: K=k \gamma, k=|K|$. Считая вектор $\gamma$ вертикальным, введем углы Эйлера $\theta, \varphi, \psi$, задающие ориентацию главных осей инерции изменяемого тела. Используя кинематические формулы Эйлера, можно записать уравнения движения на

группе $S O(3)$ :
\[
\begin{aligned}
\dot{\theta}= & k\left(\frac{1}{I_{1}}-\frac{1}{I_{2}}\right) \sin \theta \sin \varphi \cos \varphi-\frac{\lambda_{1} \cos \varphi}{I_{1}}+\frac{\lambda_{2} \sin \varphi}{I_{2}}, \\
\dot{\varphi}= & k \cos \theta\left(\frac{1}{I_{3}}-\frac{\sin ^{2} \varphi}{I_{1}}-\frac{\cos ^{2} \varphi}{I_{2}}\right)+\frac{\lambda_{1} \sin \varphi \cos \theta}{I_{1} \sin \theta}+ \\
& +\frac{\lambda_{2} \cos \varphi \cos \theta}{I_{2} \sin \theta}-\frac{\lambda_{3}}{I_{3}}, \\
\dot{\psi}= & k\left(\frac{\sin ^{2} \varphi}{I_{1}}+\frac{\cos ^{2} \varphi}{I_{2}}\right)-\frac{\lambda_{1} \sin \varphi}{I_{1} \sin \theta}-\frac{\lambda_{2} \cos \varphi}{I_{2} \sin \theta} .
\end{aligned}
\]

Они допускают интегральный инвариант
\[
\operatorname{mes}(D)=\iiint_{D} \sin \theta d \theta d \varphi d \psi,
\]

который совпадает с двусторонней инвариантной мерой Хаара на группе $S O(3)$.
В этих переменных вихревые поля имеют вид
\[
\theta^{\prime}=0, \quad \varphi^{\prime}=0, \quad \psi^{\prime}=\mu,
\]

а вихревые линии задаются уравнениями $\theta, \varphi=$ const. Поскольку третье уравнение системы (3.22) не содержит явно угол $\psi$, то отсюда вытекает заюлючение обобщенной теоремы Гельмгольца-Томсона: поток системы (3.22) переводит вихревые линии в вихревые линии. Факторизация группы $S O(3)$ по замкнутым вихревым линиям приводит к первым двум уравнениям системы (3.22). Они являются замкнутой неавтономной гамильтоновой системой на сфере Пуассона, причем роль симплектической структуры играет стандартная 2-форма площади.
$\mathbf{6}^{\circ}$. Вихревой метод интегрирования уравнений Гамильтона включает в себя проблему отыскания в явном виде полного интеграла уравнений Ламба. Как нам известно, поиск потенциальных решений сводится к интегрированию одного уравнения Гамильтона- Якоби. Для

этой цели Якоби был разработан метод разделения переменных, усовершенствованный в работах Имшенецкого, Штеккеля и других авторов. Поиск непотенциальных решений системы уравнений Ламба дает существенно больше возможностей. $\mathrm{K}$ сожалению, эта проблема пока мало изучена.

Чтобы показать характерные трудности, которые встречаются на этом пути, рассмотрим уравненин Гамильтона с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(y, y)+(y, A x)+V(x) .
\]

Здесь $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$ – сопряженные канонические переменные, $A$ – постоянная матрица, $V$ – потенциальная энергия. Появление линейных по импульсам слагаемых в (3.23) связано с наличием гироскопических сил. Для опрелеленности рассмотрим случай, когда матрица $A$ кососимметрическая:
\[
A^{T}=-A \text {. }
\]

Важным примером служит система
\[
\ddot{x}_{1}=\omega \dot{x}_{2}, \quad \ddot{x}_{2}=-\omega \dot{x}_{1},
\]

описывающая плоское движение заряженной частицы в перпендикулярном однородном магнитном поле. Эти уравнения имеют вариационную природу: они описываются уравнениями Лагранжа с лагранжианом
\[
L=\frac{\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}}{2}+\frac{\omega}{2}\left(x_{1} \dot{x}_{2}-x_{2} \dot{x}_{1}\right) .
\]

Преобразование Лежандра
\[
y_{1}=\dot{x}_{1}-\frac{\omega x_{2}}{2}, \quad y_{2}=\dot{x}_{2}+\frac{\omega x_{1}}{2}
\]

позволяет перейти к уравнениям Гамильтона с гамильтонианом
\[
H=\frac{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}{2}+\frac{\omega}{2}\left(x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}\right)+\frac{\omega^{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}{8} .
\]

В этом примере
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
0 & \omega / 2 \\
-\omega / 2 & 0
\end{array}\right) .
\]

Уравнения (3.24) имеют очевидное семейство двумерных инвариантных многообразий, однозначно проектирующихся на конфигурационную плоскость $x_{1}, x_{2}$ :
\[
\dot{x}_{1}=\omega x_{2}+c_{1}, \quad \dot{x}_{2}=-\omega x_{1}+c_{2} ; \quad c_{i}=\text { const } .
\]

Отсюда сразу видно, что траектории заряда будут окружностями (круги Лармора). В канонических переменных эти многообразия имеют вид
\[
y_{1}=\frac{\omega x_{2}}{2}+c_{1}, \quad y_{2}=-\frac{\omega x_{1}}{2}+c_{2} .
\]

Если $\omega
eq 0$, то они будут, очевидно, вихревыми.
Для уравнений с гамильтонианом (3.23) будем искать $n$-мерные инвариантные многообразия в виде (ср. с (3.27))
\[
y=A x+\frac{\partial S}{\partial x} .
\]

Тогда уравнение Ламба примет вид
\[
\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial S}{\partial t}+2 A\left(2 A x+\frac{\partial S}{\partial x}\right)=-\frac{\partial h}{\partial x} .
\]

Ясно, что слагаемое $4 A^{2} x$ является градиентом квадратичной формы
\[
\Phi=-2(A x, A x) .
\]

Чтобы уравнение (3.28) было непротиворечивым, слагаемое
\[
2 A \frac{\partial S}{\partial x}
\]

должно быть градиентом некоторой функции $R(x)$. Критерий существования функции $R$ заключается в коммутационном матричном равенстве
\[
A \frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}} A=0 .
\]

Отметим, что при $n=2$ оно эквивалентно условию гармоничности функции $S: \Delta S=0$. В итоге из (3.28) получаем аналог уравнения Гамильтона-Якоби:
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial S}{\partial x}, \frac{\partial S}{\partial x}\right)+2\left(\frac{\partial S}{\partial x}, A x\right)+R-\frac{1}{2}(A x, A x)+V=0 .
\]

При $n=2$ можно положить
\[
\frac{\partial S}{\partial x_{1}}=-\frac{\partial R}{\partial x_{2}}, \quad \frac{\partial S}{\partial x_{2}}=\frac{\partial R}{\partial x_{1}} .
\]

Это – известные уравнения Коши-Римана; $S$ и $R$ – сопряженные гармонические функции. В стационарном случае уравнение (3.29) можно представить в виде уравнения для функции $R$ :
\[
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
1 \\
2
\end{array}\left[\left(\begin{array}{c}
\partial R \\
\partial x_{1}
\end{array}\right)^{2} \text { । }\left(\begin{array}{c}
\partial R \\
\partial x_{2}
\end{array}\right)^{2}\right] \omega\left(\begin{array}{lll}
\partial R & \partial R \\
\partial x_{1} & x_{1} & \partial x_{2}
\end{array} x_{2}\right) \text { । } \\
+\omega R-\frac{\omega^{2}}{8}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+V=h . \\
\end{array}
\]

Здесь $h$ – постоянная энергии. При этом, конечно, надо помнить, что к уравнению (3.31) добавляется условие гармоничности функции $R$.
Для гамильтониана (3.25)
\[
V=\frac{\omega^{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}{8} .
\]

Гармоническим полным интегралом (3.30) служит, например, функция
\[
R=c_{2} x_{1}-c_{1} x_{2},
\]

где $c_{1}$ и $c_{2}$ – произвольные постоянные, и
\[
h=\frac{\left(c_{1}^{2}+c_{2}^{2}\right)}{2} .
\]

Инвариантные многообразия гамильтоновой системы с гамильтонианом (3.25) можно искать в виде
\[
y=-A x+\frac{\partial S}{\partial x} .
\]

Тогда $\operatorname{rot} u=-2 A$ и уравнение Ламба принимает более простой вид:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial S}{\partial t}-2 A \frac{\partial S}{\partial x}=-\frac{\partial h}{\partial x} .
\]

Полагая
\[
2 A \frac{\partial S}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial x},
\]

приходим к уравнению, аналогичному (3.29):
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial S}{\partial x}, \frac{\partial S}{\partial x}\right)-P-\frac{1}{2}(A x, A x)+V=0 .
\]

Пусть $n=2$, матрица $A$ имеет вид (3.26), а функция $P$ определяется из уравнений Коши-Римана (3.30). Тогда в стационарном случае получаем уравнение
\[
\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial P}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial P}{\partial x_{2}}\right)^{2}\right]-\omega P-\frac{\omega^{2}}{8}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+V=h .
\]

К нему надо добавить уравнение Лапласа $\Delta P=0$.
Хотя уравнение (3.33) проще уравнения (3.31), однако для потенциала (3.32) оно не имеет нетривиальных гармонических решений.