$1^{\circ}$. Как мы видели, если $\operatorname{rank}(\operatorname{rot} u)$ постоянен и равен $2 k$, то конфигурационное многообразие $M^{n}$ расслоено ( $n-2 k$ )-мерными вихревыми многообразиями $N$. Отождествляя точки, лежащие на одних и тех же связных компонентах вихревых многообразий, приходим к $2 k$-мерному фактор-пространству $M / N$. Обобщенная теорема Гельмгольца-Томсона позволяет корректно определить на $M / N$ фактор-систему, которая также имеет вид уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора (уравнения (4.11) главы II).

Основной результат вихревой теории интегрирования уравнений Гамильтона составляет

Теорема 5. Пусть выполнены условия (a),(b) и (c) теоремы 1 из §з. Тогда решения фактор-системы на $M / N$ находятся явно с помощью квадратур.

Этот результат имеет два аспекта. Во-первых, утверждается, что можно явно найти вихревые многообразия матрицы $\operatorname{rot} u$, где $u(x, t, c)$ – полный интеграл исходного уравнения Ламба, и тем самым в явном виде представить уравнения фактор-системы. Вовторых, утверждается, что дифференциальные уравнения факторсистемы можно явно проинтегрировать с помощью квадратур.
$\mathbf{2}^{\circ}$. Обсудим сначала второй аспект и предположим, что мы уже привели фактор-систему к уравнению Ламба с невырожденным ротором:
\[
\frac{\partial u}{\partial t}+(\operatorname{rot} u) \dot{x}=-\frac{\partial h}{\partial x}, \quad x=\left(x_{1}, \ldots, x_{2 k}\right) .
\]

Как мы уже отмечали, такие системы уравнений называются системами Биркгофа (сам Биркгоф называл (4.1) уравнениями Пфаффа). Ввиду невырожденности ротора, уравнение (4.1) можно явно разрешить относительно скорости:
\[
\dot{x}=v(x, t) .
\]

Предположим, что эти уравнения допускают $k$ независимых интегралов
\[
f_{1}(x, t), \ldots, f_{k}(x, t) .
\]

Каждой из этих функций $f_{s}$ можно однозначно сопоставить векторное поле $v_{s}$ по правилу:
\[
(\operatorname{rot} u) v_{s}=-\frac{\partial f_{s}}{\partial x} .
\]

В общем случае эти поля, конечно, зависят от времени. Спрашивается, когда они коммутируют при каждом фиксированном значении $t$ ?

Чтобы ответить на этот вопрос, введем (как в §1) матрицу $\Gamma=$ $=\left\|\gamma_{i j}\right\|$, обратную матрице $\operatorname{rot} u$. Матрица $\Gamma$ также будет кососимметричной.

Лемма 3. Если
\[
\sum_{i, j} \gamma_{i j} \frac{\partial f_{p}}{\partial x_{i}} \frac{\partial f_{q}}{\partial x_{j}}=0
\]
$m o\left[v_{p}, v_{q}\right]=0$.
Действительно, соотношение (4.4) показывает, что $v_{s}$ – гамильтоново поле, порождаемое гамильтонианом $f_{s}$, относительно симплектической структуры, задаваемой замкнутой невырожденной 2-формой
\[
\Omega=d\left(\sum u_{i} d x_{i}\right) .
\]

Выражение в левой части (4.5) – это скобка Пуассона функций $f_{p}$ и $f_{q}$, представленная не в канонических переменных $x_{1}, \ldots, x_{2 k}$. После этих замечаний лемма 3 становится следствием леммы 3 из §4 главы II.

По аналогии с гамильтоновым случаем будем говорить, что функции $f_{p}$ и $f_{q}$ находятся в инволюции. Систему уравнений Биркгофа (4.1) назовем вполне интегрируемой, если интегралы (4.3) находятся попарно в инволюции.
Эту терминологию оправдывает

Предложение 1. Вполне интегрируемая система Биркгофа интегрируется в квадратурах.
Из этого утверждения вытекает важное

Следствие 1. Пусть выполнены предположения (a),(b) и (c) теории вихревого интегрирования и
\[
\operatorname{rank}(\operatorname{rot} u)=n .
\]

Тогда уравнения Гамильтона интегрируются с помощью квадратур.
Автономный вариант этого утверждения выведен в $\S 3$ из теоремы Лиувилля о полной интегрируемости.

Доказательство предложения 1.
Перепишем уравнения (4.1) и (4.4) в инвариантной форме:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \omega}{\partial t}+i_{v} \Omega & =-d h, \\
i_{v_{s}} \Omega & =-d f_{s} .
\end{aligned}
\]

Поскольку функции (4.3) — интегралы системы (4.2), то
\[
\frac{\partial f_{s}}{\partial t}+L_{v} f_{s}=0
\]

Из (4.7) с учетом (4.8) получаем
\[
L_{v} i_{v_{s}} \Omega=-L_{v} d f_{s}=\frac{\partial}{\partial t} d f_{s} .
\]

С другой стороны, из (4.6) вытекает равенство
\[
i_{v_{s}} \frac{\partial \Omega}{\partial t}+i_{v_{s}} L_{v} \Omega=0
\]

Вычитая (4.10) из (4.9) и используя (4.7), приходим к соотношению
\[
i_{\partial v_{s} / \partial t} \Omega+i_{\left[v_{s}, v\right]} \Omega=0 .
\]

Поскольку 2-форма $\Omega$ невырождена, то
\[
\frac{\partial v_{s}}{\partial t}+\left[v_{s}, v\right]=0
\]

Расширим теперь $2 k$-мерное $x$-пространство, добавляя в качестве новой переменной координату $t$. Введем в расширенном $(2 k+1)$ мерном пространстве $k+1$ векторных полей
\[
\tilde{v}, \tilde{v}_{1}, \ldots, \tilde{v}_{k},
\]

которые получаются из полей $v, v_{1}, \ldots, v_{k}$ добавлением $t$-компоненты $1,0, \ldots, 0$ соответственно. Ввиду предположения об инволютивности интегралов (4.3) поля $v_{1}, \ldots, v_{k}$ коммутируют при всех $t$ (лемма 3 ). Следовательно,
\[
\left[\tilde{v}_{i}, \tilde{v}_{j}\right]=0 ; \quad i, j=1, \ldots, k .
\]

Легко проверить (см. §5 главы II), что (4.11) эквивалентны коммутационным соотношениям
\[
\left[\tilde{v}, \tilde{v}_{s}\right]=0 ; \quad s=1, \ldots, k .
\]

Рассмотрим теперь в $(2 k+1)$-мерном расширенном пространстве регулярную $(k+1)$-мерную поверхность
\[
I_{\alpha}=\left\{x, t: f_{1}=\alpha_{1}, \ldots, f_{k}=\alpha_{k}\right\} .
\]

Ввиду (4.8), поле $\tilde{v}$ касается $I_{\alpha}$ при всех значениях постоянных $\alpha$. Это же свойство для векторных полей $\tilde{v}_{s}$ вытекает из соотношения (4.7). Таким образом, $k+1$ полей (4.12) касаются ( $k+1$ )-мерных интегральных поверхностей (4.13), линейно независимы в каждой точке и попарно коммутируют. После этого интегрируемость в квадратурах системы (4.1) вытекает из теоремы Ли об интегрируемости дифференциальных уравнений с абелевой группой симметрий.

В $\S 1$ главы II мы заметили, что локально уравнения Биркгофа (4.1) приводятся к обычным уравнениям Гамильтона. Однако, это приведение не конструктивно и поэтому предложение 1 формально не вытекает из теоремы Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновых систем.
$3^{\circ}$. Нам осталось показать, что при выполнении условий $(a),(b)$ и (c) вихревые многообразия находятся с помощью квадратур. Тогда переход к фактор-системе можно осуществить конструктивно.

Рассмотрим семейство поверхностей совместных уровней функций $f_{i}$ из условия $(b)$ :
\[
M_{\beta}^{n-k}=\left\{x: f_{1}(x, t)=\beta_{1}, \ldots, f_{k}(x, t)=\beta_{k}\right\} .
\]

В неавтономном случае эти поверхности зависят от времени $t$ как от параметра.

Зафиксируем значение $t$. Пусть $V_{1}, \ldots, V_{k}$ – гамильтоновы векторные поля в $2 n$-мерном фазовом пространстве переменных $x, y$, порождаемые гамильтонианами $F_{1}, \ldots, F_{k}$. Поскольку $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0$, эти

поля попарно коммутируют: $\left[V_{i}, V_{j}\right]=\mathbf{0}$. Согласно условию (b), поля $V_{i}$ касаются $n$-мерных поверхностей $\Sigma_{c}=\{x, y: y=u(x, t, c)\}$ (лемма $1 \S 3$ ) и поэтому корректно определены проекции этих полей $v_{1}, \ldots, v_{k}$ на конфигурационное пространство. Так как поля $V_{i}$ попарно коммутируют, то $\left[v_{i}, v_{j}\right]=0$.

Поскольку $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0$, то каждая функция $F_{i}$ является интегралом векторного поля $V_{j}: V_{j}\left(F_{i}\right)=0$. Следовательно, $v_{j}\left(f_{i}\right)=0$ для всех $i, j=1, \ldots, k$. Это значит, что поля $v_{i}$ касаются каждой поверхности $M_{\beta}$.

С другой стороны, имеются независимые вихревые векторные поля $w_{1}, \ldots, w_{n-2 k}$, которые также касаются $M_{\beta}$. Действительно, согласно (3.10),
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial x} \cdot w_{j}=\mathbf{0}
\]

Далее, векторы
\[
v_{1}, \ldots, v_{k}, w_{1}, \ldots, w_{n-2 k}
\]

линейно независимы. В противном случае
\[
\sum \lambda_{i} v_{i}+\sum \mu_{j} w_{j}=0
\]

с некоторыми $\lambda, \mu$, причем $\sum\left|\lambda_{i}\right|
eq 0$. Умножая (4.15) слева на $\operatorname{rot} u$ и применяя (3.10), получим
\[
\sum \lambda_{i}(\operatorname{rot} u) v_{i}=-\sum \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial x}=0 .
\]

Однако, согласно условию ( $c$ ), функции $f_{1}, \ldots, f_{k}$ независимы. Следовательно, все $\lambda_{i}$ равны нулю. Получили противоречие.

Отметим, что число независимых касательных полей (4.14) совпадает с размерностью интегральных поверхностей $M_{\beta}$.

Найдем теперь ( $n-2 k$ )-мерные вихревые многообразия $\operatorname{rot} u$, точнее, пересечение этих многообразий с ( $n-k$ )-мерными поверхностями $M_{\beta}$. Они $k$-мерные и поэтому задаются на $M_{\beta}$ уравнениями
\[
\varphi_{1}(x)=\gamma_{1}, \ldots, \varphi_{k}(x)=\gamma_{k}, \quad x \in M_{\beta} .
\]

По определению вихревых многообразий, функции $\varphi_{i}$ удовлетворяют уравнениям
\[
w_{1}\left(\varphi_{i}\right)=\cdots=w_{n-2 k}\left(\varphi_{i}\right)=0, \quad 1 \leq i \leq k .
\]

Будем искать их из дополнительных условий
\[
v_{j}\left(\varphi_{i}\right)=\delta_{j i}, \quad 1 \leq j \leq k,
\]

где $\delta_{j i}$ – символ Кронекера.
Прежде всего надо показать, что системы уравнений (4.16)-(4.17) имеют решения. Действительно, $\left[v_{i}, v_{j}\right]=0$, а коммутаторы $\left[v_{i}, w_{j}\right]$ линейно выражаются через вихревые векторы $w$. Это вытекает из предложения $1 \S 5$ главы II с учетом замечания, что уравнение Ламба (3.10) не содержит производной от ковекторного поля $u$ по независимой переменной, играющей роль времени.

Идея доказательства существования решений системы уравнений в частных производных первого порядка (4.16) и (4.17) состоит в следующем. Введем на $M_{\beta}$ новые локальные координаты $y, z$, такие, что вихревые многогобразия задаются соотношениями $y=$ const. Переменные $z$ – координаты на вихревых многообразиях. В новых переменных операторы дифференцирования вдоль вихревых полей имеют вид
\[
\sum c_{j}(y, z) \frac{\partial}{\partial z_{j}} .
\]

Пусть
\[
\sum a_{i} \frac{\partial}{\partial y_{i}}+\sum b_{j} \frac{\partial}{\partial z_{j}}
\]
– операторы, отвечающие коммутирующим полям $v$. Поскольку коммутатор операторов (4.18) и (4.19) имеет вид (4.18), то коэффициенты $a_{i}$ не зависят от $z$. Поскольку операторы (4.19), отвечающие различным полям $v_{s}$, коммутируют между собой, то тем же свойством обладают $k$ «усеченным» операторов
\[
\sum a_{i}(y) \frac{\partial}{\partial y_{i}} .
\]

В этом случае можно сделать обратитимую замену переменных $y \rightarrow \tilde{y}$, после которой операторы (4.19) имеют следующий вид:
\[
\frac{\partial}{\partial \tilde{y}_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial \tilde{y}_{k}} .
\]

Осталось заметить, что в новых переменных можно положить
\[
\varphi_{1}=\tilde{y}_{1}, \ldots, \varphi_{k}=\tilde{y}_{k} .
\]

Поскольку векторные поля (4.14) независимы, то из (4.16) и (4.17) однозначно находятся (с помощью только алгебраических операций) частные производные от функции $\varphi_{i}$ по локальным координатам на $M_{\beta}$. Хорошо известно, что функция восстанавливается по ее частным производным с помощью нескольких интегрирований по одной переменной. Теорема полностью доказана.