Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Напомним, что непостоянная функция $f: M^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ называется первым интегралом (или просто интегралом) динамической системы $\dot{x}=v(x), x \in M^{n}$, если $f(x(t)) \equiv$ const для всех движений $x(t)$. Если $f$ дифференцируема, то последнее можно записать в виде условия $\dot{f}=\frac{\partial f}{\partial x} v \equiv 0$. Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности любой точки $x_{0} \in M^{n}$, не являющейся положением равновесия $\left(v\left(x_{0}\right) Вот простой пример. Пусть $M=\mathrm{T}^{n}-n$-мерный тор с угловыми координатами $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n} \bmod 2 \pi$; динамическая система задается уравнениями причем частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ несоизмеримы: если $\sum k_{i} \omega_{i}=0$ с целыми $k_{i}$, то все $k_{i}$ равны нулю. Отметим, что почти все точки $\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ обладают этим свойством. Пусть $f: \mathrm{T}^{n} \rightarrow \mathbb{R}-$ гладкий интеграл системы (1.1). Разложим эту функцию в ряд Фурье $f=\sum f_{k} e^{i(k, \varphi)}\left(k \in \mathbb{Z}^{n}\right)$ и продифференцируем в силу системы (1.1): $\dot{f}=\sum f_{k} i(w, k) e^{i(k, \varphi)}=0$. Так как $(\omega, k) С другой стороны, для каждого вектора $\omega В этих координатах $x, y$ функция $H$ не зависит от $x_{1}$. Таким образом, если зафиксировать значение $F=y_{1}=c$, система уравнений $\dot{x}_{k}=\partial H / \partial y_{k}, \quad \dot{y}_{k}=-\partial H / \partial x_{k}(k \geqslant 2)$ будет гамильтоновой с $n-1$ степенью свободы. Итак, один интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при фиксировании значения $F=c$, а вторая – за счет исключения сопряженной циклической переменной $x_{1}$. Однако эффективное использование интеграла $F$ для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования гамильтоновой системы $\dot{z}=v_{F}(z)$. Эти замечания можно обобщить: если система имеет $s$ независимых интегралов, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль, то локально она приводится к системе с $n-s$ степенями свободы. Понижение порядка гамильтоновых систем с неинволютивным набором интегралов обсуждается в книге [12]. 3. В приложениях обычно имеют дело с аналитическими гамильтоновыми системами: фазовое пространство $M^{2 n}$ наделено структурой аналитического многообразия, скобка Пуассона любых двух аналитических функций аналитична на $M^{2 n}$; наконец, гамильтониан также является аналитической функцией. В этой ситуации наиболее естественно рассматривать задачу о наличии интегралов, являющихся аналитическими функциями на $M^{2 n}$. Если аналитические функции независимы в одной точке, то они независимы почти всюду. Класс функций, аналитических на $M$, будем обозначать $C^{\omega}(M)$ (или просто $C^{\omega}$ ). Однако следует учитывать, что аналитическая гамильтонова система может иметь интегралы класса $C^{r}$, но не иметь интегралов из класса $C^{r+1}$ (мы не исключаем значение $r=0$ : непрерывную функцию назовем интегралом, если она локально непостоянна и принимает постоянные значения на каждой траектории). Покажем это на примере неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы с функцией Гамильтона $H=\alpha y+$ $+f(x, t)$, где $\alpha$ – вещественный параметр, $f$ – аналитическая $2 \pi$ периодическая функция переменных $x$ и $t$. Так как $H$ периодична по $x$ и $t$, то естественно принять прямое произведение $\mathbb{R} \times \mathbf{T}^{2}=\{y$; $x, t \bmod 2 \pi\}$ в качестве расширенного фазового пространства. Они, очевидно, интегрируются в квадратурах: $x=\alpha t+x_{0}, \quad y=$ $=y_{0}-\int_{0}^{t} F\left(\alpha \tau+x_{0}, \tau\right) d \tau$. Будем искать первый интеграл системы (1.2) в виде $y+g(x, t)$, где $g: \mathbf{T}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ – некоторая функция, которая должна удовлетворять уравнению Пусть $F=\sum_{m, n} F_{m n} \exp i(m x+n t), \quad g=\sum_{m, n} g_{m n} \exp i(m x+n t)$. Тогда $g_{m n}=F_{m n} /(i(m \alpha+n))$. Если функция $f$ аналитична, то $\left|F_{m n}\right| \leqslant c e^{-\rho(|m|+|n|)}$ с некоторыми положительными постоянными $c, \rho$. С другой стороны, как известно из теории диофантовых приближений, для почти всех $\alpha$ (в смысле меры Лебега на $\mathbb{R}$ ) справедлива оценка $|m \alpha+n| \geqslant k(|m|+$ $+|n|)^{-\gamma}(k, \gamma=$ const $>0)$. Поэтому коэффициенты $g_{m n}$ также экспоненциально быстро убывают с ростом $|m|+|n|$. Следовательно, для почти всех $\alpha$ тригонометрический ряд $\sum \frac{F_{m n}}{i(m \alpha+n)} e^{i(m x+n t)}$ сходится к аналитическому решению уравнения (1.3). В частносги, уравнения Гамильтона (1.2) допускают однозначный аналитический интеграл. Однако если $\alpha$ достаточно точно приближается рациональными числами, то уравнение (1.3) может иметь периодические решения лишь конечной гладкости или не иметь их вовсе. Обобщая эти рассуждения, можно указать такую аналитическую функцию $f: \mathrm{T}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ и такие всюду плотные в $\mathbb{R}$ множества $M_{\omega}, M_{\infty}, \ldots, M_{k}, \ldots, M_{0}, M_{\varnothing}$, что: Давно подмечено следующее важное обстоятельство: известные интегралы уравнений динамики – полиномы по импульсам (либо функции от этих полиномов). Так, например, нётеровы интегралы линейны по импульсам, а интегралы в гамильтоновых системах, решаемых с помощью разделения переменных, – квадратичные функции от импульсов. Это наблюдение допускает обоснование в некоторых важных частных случаях. Такая ситуация типична для уравнений динамики. После замены переменных уравнения Гамильтона с гамильтонианом $T+\varepsilon V$ перейдут в уравнения с гамильтонианом $T+V$, а интеграл (1.4) перейдет в функцию $\sum F_{k}(x, \sqrt{\varepsilon} y) \varepsilon^{k}=\sum \Phi_{m}(x, y)(\sqrt{\varepsilon})^{m}$, где $\Phi_{m}$ – полиномы по импульсам $y$. Новая гамильтонова система не зависит от $\varepsilon$, поэтому полиномы $\Phi_{m}$ являются ее интегралами. Верно и обратное утверждение: если система с гамильтонианом $T+V$ имеет полиномиальный интеграл, то система с гамильтонианом $T+\varepsilon V$ имеет интеграл в виде степенного ряда (1.4). Для доказательства воспользуемся заменой переменных, обратной к (1.5). В результате в уравнениях Гамильтона появится параметр $\varepsilon$. После такой замены полиномиальный интеграл с точностью до несущественного множителя станет равным $F+\sqrt{\varepsilon} \Phi$, где $F$ и $\Phi$ – аналитические по $\varepsilon$ функции. Ясно, что $F$ и $\Phi$ – интегралы уравнений Гамильтона с гамильтонианом $T+\varepsilon V$, причем одна из функций $\left.F\right|_{\varepsilon=0}$ или $\left.\Phi\right|_{\varepsilon=0}$ совпадет со старшей однородной формой исходного полиномиального интеграла. Итак, для уравнений динамики естественно рассматривать классы интегралов в виде полиномов по импульсам с гладкими и однозначными коэффициентами на конфигурационном пространстве. Такие интеграчы будем называть полинолиальными. Уиттекер и Биркгоф исследовали задачу о наличии полиномиальных интегралов первой и второй степени $[18,163]$. Отметим, что задача о полиномиальных интегралах невысокой фиксированной степени может быть решена вполне элементарными средствами. Однако если степень интеграла заранее не фиксирована, то эта задача существенно усложняется Биркгоф рассматривал также задачу об условных полиномиальных интегралах $[18$, гл. II]. Это полиномы по импульсам, являющиеся интегралами лишь для некоторых фиксированных значений полной энергии.
|
1 |
Оглавление
|