1. Напомним, что непостоянная функция $f:M^n\to \mathbb{R}$ называется первым интегралом (или просто интегралом) динамической системы $\dot{x}=v(x),x\in M^n$, если $f(x(t))\equiv$ const для всех движений $x(t)$. Если $f$ дифференцируема, то последнее можно записать в виде условия $\dot{f}=\frac{\partial f}{\partial x}v\equiv 0$.

Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности любой точки $x_0\in M^n$, не являющейся положением равновесия $(v\left(x_0\right)eq$ $eq0)$, всегда существуют координаты $x_1,\dots ,x_n$, в которых дифференциальные уравнения приобретают простейший вид ${\dot{x}}_1=1$, ${\dot{x}}_2=\dots ={\dot{x}}_n=0$. Поэтому координаты $x_2,\dots ,x_n$ составляют \»полный\» набор независимых интегралов: любой интеграл — функция от $x_2,\dots ,x_n$. Проблема интегрирования дифференциальных уравнений трактовалась классиками (вплоть до работ Пуанкаре) исключительно с точки зрения явных формул для интегралов. Эта задача, однако, чисто аналитическая, и ее решение никак не связано с особенностями поведения фазовых траекторий. Оказывается, в ряде случаев можно указать простые явные формулы для локальных интегралов, в то время как в целом динамическая система вовсе не имеет первых интегралов.

Вот простой пример. Пусть $M={\mathrm{T}}^n-n$-мерный тор с угловыми координатами ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_{n}mod2\pi$; динамическая система задается уравнениями
$${\dot{\phi }}_k={\omega }_k=\text{ const },1⩽k⩽n,$$

причем частоты ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ несоизмеримы: если $\sum k_i{\omega }_i=0$ с целыми $k_i$, то все $k_i$ равны нулю. Отметим, что почти все точки $({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)\in {\mathbb{R}}^n$ обладают этим свойством. Пусть $f:{\mathrm{T}}^n\to \mathbb{R}-$ гладкий интеграл системы (1.1). Разложим эту функцию в ряд Фурье $f=\sum f_k{e}^{i(k,\phi )}(k\in {\mathbb{Z}}^n)$ и продифференцируем в силу системы (1.1): $\dot{f}=\sum f_{k}i(w,k)e^{i(k,\phi )}=0$. Так как $(\omega ,k)eq0$ при всех $keq0$, то $f\equiv f_0=$ const. Можно показать, что система (1.1) не имеет непостоянных непрерывных (и даже измеримых) интегралов. Дело в том, что каждая фазовая траектория заполняет тор $T^n$ всюду плотно.

С другой стороны, для каждого вектора $\omega eq0$ найдется $n$ — 1 ортогональный ему линейно независимый вектор $a_1,\dots ,a_{n-1}\in$ $\in {\mathbb{R}}^n:(a_1,\omega )=\dots =(a_{n-1},\omega )=0$. Но тогда функции $f_1=$ $=(a_1,\phi ),\dots ,f_{n-1}=(a_{n-1},\phi )$ составят \»полный\» набор независимых интегралов. Правда, все они многозначны на ${\mathrm{T}}^n$.
2. Пусть $F:M^{2n}\to \mathbb{R}$ — первый интеграл гамильтоновой системы $\dot{z}=v_H(z)$. Оказывается, если $dF\left(z_0\right)eq0$, то в некоторой окрестности точки $z_0\in M$ существуют такие канонические координаты $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$, что $F(x,y)=y_1^{\ast })$. Это утверждениегамильтонов вариант теоремы о выпрямлении фазовых траекторий (доказательство можно найти, например, в [157]).

В этих координатах $x,y$ функция $H$ не зависит от $x_1$. Таким образом, если зафиксировать значение $F=y_1=c$, система уравнений ${\dot{x}}_k=\partial H/\partial y_k,{\dot{y}}_k=-\partial H/\partial x_k(k⩾2)$ будет гамильтоновой с $n-1$ степенью свободы. Итак, один интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при фиксировании значения $F=c$, а вторая — за счет исключения сопряженной циклической переменной $x_1$. Однако эффективное использование интеграла $F$ для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования гамильтоновой системы $\dot{z}=v_F(z)$.

Эти замечания можно обобщить: если система имеет $s$ независимых интегралов, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль, то локально она приводится к системе с $n-s$ степенями свободы. Понижение порядка гамильтоновых систем с неинволютивным набором интегралов обсуждается в книге [12].

3. В приложениях обычно имеют дело с аналитическими гамильтоновыми системами: фазовое пространство $M^{2n}$ наделено структурой аналитического многообразия, скобка Пуассона любых двух аналитических функций аналитична на $M^{2n}$; наконец, гамильтониан также является аналитической функцией. В этой ситуации наиболее естественно рассматривать задачу о наличии интегралов, являющихся аналитическими функциями на $M^{2n}$. Если аналитические функции независимы в одной точке, то они независимы почти всюду. Класс функций, аналитических на $M$, будем обозначать $C^{\omega }(M)$ (или просто $C^{\omega }$ ).

Однако следует учитывать, что аналитическая гамильтонова система может иметь интегралы класса $C^r$, но не иметь интегралов из класса $C^{r+1}$ (мы не исключаем значение $r=0$ : непрерывную функцию назовем интегралом, если она локально непостоянна и принимает постоянные значения на каждой траектории). Покажем это на примере неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы с функцией Гамильтона $H=\alpha y+$ $+f(x,t)$, где $\alpha$ — вещественный параметр, $f$ — аналитическая $2\pi$ периодическая функция переменных $x$ и $t$. Так как $H$ периодична по $x$ и $t$, то естественно принять прямое произведение $\mathbb{R}\times {\mathbf{T}}^2=\{y$; $x,tmod2\pi \}$ в качестве расширенного фазового пространства.
Запишем в явном виде уравнения Гамильтона:
$$\dot{x}=\alpha ,\dot{y}=-\frac{\partial f}{\partial x}=-F(x,t).$$

Они, очевидно, интегрируются в квадратурах: $x=\alpha t+x_0,y=$ $=y_0-{\int }_0^{t}F(\alpha \tau +x_0,\tau )d\tau$.

Будем искать первый интеграл системы (1.2) в виде $y+g(x,t)$, где $g:{\mathbf{T}}^2\to \mathbb{R}$ — некоторая функция, которая должна удовлетворять уравнению
$$\frac{\partial g}{\partial t}+\alpha \frac{\partial g}{\partial x}=F(x,t).$$

Пусть $F=\sum _{m,n}{F}_{mn}\exp i(mx+nt),g=\sum _{m,n}{g}_{mn}\exp i(mx+nt)$. Тогда $g_{mn}=F_{mn}/(i(m\alpha +n))$.

Если функция $f$ аналитична, то $\left|F_{mn}\right|⩽c{e}^{-\rho (|m|+|n|)}$ с некоторыми положительными постоянными $c,\rho$. С другой стороны, как известно из теории диофантовых приближений, для почти всех $\alpha$ (в смысле меры Лебега на $\mathbb{R}$ ) справедлива оценка $|m\alpha +n|⩾k(|m|+$ $+|n|{)}^{-\gamma }(k,\gamma =$ const $>0)$. Поэтому коэффициенты $g_{mn}$ также экспоненциально быстро убывают с ростом $|m|+|n|$. Следовательно, для почти всех $\alpha$ тригонометрический ряд $\sum \frac{F_{mn}}{i(m\alpha +n)}{e}^{i(mx+nt)}$

сходится к аналитическому решению уравнения (1.3). В частносги, уравнения Гамильтона (1.2) допускают однозначный аналитический интеграл.

Однако если $\alpha$ достаточно точно приближается рациональными числами, то уравнение (1.3) может иметь периодические решения лишь конечной гладкости или не иметь их вовсе.

Обобщая эти рассуждения, можно указать такую аналитическую функцию $f:{\mathrm{T}}^2\to \mathbb{R}$ и такие всюду плотные в $\mathbb{R}$ множества $M_{\omega },M_{\mathrm{\infty }},\dots ,M_k,\dots ,M_0,M_{\varnothing }$, что:
— при $\alpha \in M_{\omega }$ уравнения Гамильтона (1.2) имеют аналитический однозначный интеграл;
— при $\alpha \in M_{\mathrm{\infty }}$ существует бесконечно дифференцируемый интеграл, но нет интегралов из класса $C^{\omega }$;
— при $\alpha \in M_k$ существует интеграл класса $C^k$, но нет интегралов из класса $C^{k+1}$;
— при $\alpha \in M_0$ уравнения (1.2) имеют только локально непостоянную непрерывную инвариантную функцию;
— при $\alpha \in M_{\varnothing }$ нет даже непрерывных интегралов.
Это утверждение в качестве гипотезы высказано в работе [88]. ‘ам же доказано, что множества $M_{\omega }$ и $\text{Math input error}$ всюду плотны в $\mathbb{R}$. Последнее вытекает из наличия фазовой траектории, плотно заполняющей расширенное фазовое пространство. В полном объеме эта гипотеза доказана в работе Н. Г. Мощевитина [134]; там же указан явный вид функции $f$ и описано строение множеств $M_{\mathrm{\infty }},\dots ,M_k,\dots ,M_0,M_{\varnothing }$, имеющих мощность континуума.
4. Как уже говорилось в гл. I, обычно в задачах динамики фазовое пространство $M^{2n}$ совпадает с пространством кокасательного расслоения конфигурационного многообразия $N^n$, а функция Гамильтона квадратично зависит от канонических импульсов.

Давно подмечено следующее важное обстоятельство: известные интегралы уравнений динамики — полиномы по импульсам (либо функции от этих полиномов). Так, например, нётеровы интегралы линейны по импульсам, а интегралы в гамильтоновых системах, решаемых с помощью разделения переменных, — квадратичные функции от импульсов. Это наблюдение допускает обоснование в некоторых важных частных случаях.
a) Рассмотрим движение по инерции; здесь функция Гамильтона $H$ совпадает с кинетической энергией $T$. Любой аналитический интеграл $F$ можно представить в виде ряда по однородным формам от импульсов: $F=\sum F_k$, где $F_k$— однородная форма степени $k$. Из вида уравнений Гамильтона $\dot{x}=\partial T/\partial y,\dot{y}=-\partial T/\partial x$ вытекает, что полная производная от $F_k$ является однородной функцией импульсов $y_1,\dots ,y_n$ степени $k+1$. Следовательно, каждая однородная форма разложения $\sum F_k$ является первым интегралом. Разумеется, не все они независимы.
б) Предположим, что гамильтонова система с функцией Гамильтона $H=T(x,y)+\epsilon V(x)$ имеет интеграл в виде ряда по степеням параметра $\epsilon$ :
$$F=\sum F_k(x,y){\epsilon }^k.$$

Такая ситуация типична для уравнений динамики. После замены переменных
$$x\to x,y\to \sqrt{\epsilon }y,t\to t/\sqrt{\epsilon }$$

уравнения Гамильтона с гамильтонианом $T+\epsilon V$ перейдут в уравнения с гамильтонианом $T+V$, а интеграл (1.4) перейдет в функцию $\sum F_k(x,\sqrt{\epsilon }y){\epsilon }^k=\sum {\mathrm{\Phi }}_m(x,y)(\sqrt{\epsilon }{)}^m$, где ${\mathrm{\Phi }}_m$ — полиномы по импульсам $y$. Новая гамильтонова система не зависит от $\epsilon$, поэтому полиномы ${\mathrm{\Phi }}_m$ являются ее интегралами.

Верно и обратное утверждение: если система с гамильтонианом $T+V$ имеет полиномиальный интеграл, то система с гамильтонианом $T+\epsilon V$ имеет интеграл в виде степенного ряда (1.4). Для доказательства воспользуемся заменой переменных, обратной к (1.5). В результате в уравнениях Гамильтона появится параметр $\epsilon$. После такой замены полиномиальный интеграл с точностью до несущественного множителя станет равным $F+\sqrt{\epsilon }\mathrm{\Phi }$, где $F$ и $\mathrm{\Phi }$ — аналитические по $\epsilon$ функции. Ясно, что $F$ и $\mathrm{\Phi }$ — интегралы уравнений Гамильтона с гамильтонианом $T+\epsilon V$, причем одна из функций ${F|}_{\epsilon =0}$ или ${\mathrm{\Phi }|}_{\epsilon =0}$ совпадет со старшей однородной формой исходного полиномиального интеграла.

Итак, для уравнений динамики естественно рассматривать классы интегралов в виде полиномов по импульсам с гладкими и однозначными коэффициентами на конфигурационном пространстве. Такие интеграчы будем называть полинолиальными.

Уиттекер и Биркгоф исследовали задачу о наличии полиномиальных интегралов первой и второй степени $[18,163]$. Отметим, что задача о полиномиальных интегралах невысокой фиксированной степени может быть решена вполне элементарными средствами. Однако если степень интеграла заранее не фиксирована, то эта задача существенно усложняется

Биркгоф рассматривал также задачу об условных полиномиальных интегралах $[18$, гл. II]. Это полиномы по импульсам, являющиеся интегралами лишь для некоторых фиксированных значений полной энергии.