1. Именно лорд Кельвин одним из первых высказал мнение о твердости земного шара и нашел всесторонние аргументы в пользу своего мнения. Некоторые из них основаны на наблюдениях прецессии и нутации. В частности, будем ссылаться на его Popular Lecture, vol. III, p. 244 и его Mathematical Papers, vol. III, p. 320. В своих исследованиях он рассматривает гипотезу недеформируемой твердой мантии, внутри которой находится однородная жидкость. Он предполагает, что и внешняя поверхность этой твердой мантии, и внутренняя ее полость являются эллипсоидами.

Первоначально он утверждал, что константа прецессии, согласно этой гипотезе, должна значительно отличаться от константы, соответствующей твердому телу Земли и является результатом наблюдений. Это было бы более очевидно, если бы внутренняя полость была сферической. Внутренняя жидкая сфера тогда имела бы ось вращения, отличную от оси вращения твердой мантии. Первая из этих осей была бы фиксирована, тогда как вторая прецессировала, поэтому константа прецессии была бы такой, как будто имеется только твердая мантия.

Вначале лорд Кельвин полагал, что при очень малом сплющивании результат не может заметно измениться, но, поразмыслив над этим вопросом, он осознал свою ошибку. Из-за эффекта, который он назвал гиростатической жесткостью, рассмотренное им сложное(жидкое) тело стремится вести себя как твердое. Эта жесткость проявляется более явно, если период прецессии, выраженный в днях, очень велик по сравнению с величиной, обратной сплющиванию. Ее можно было бы обнаружить и тем самым подтвердить теоретические рассуждения, но дело обстоит совсем иначе для нутации Брэдли, период которой превышает величину, обратную сплющиванию, не более, чем в 23 раза, ни, a fortiori, для полумесячных и полугодовых нутаций, чьи периоды меньше этой величины. Эти различия должны быть более существенными, чтобы обнаружится при наблюдениях.
2. Прежде чем идти дальше, будет небесполезно показать, как можно представить теорию Кельвина в новом и более простом виде. Для начала я введу термин простое движение. Так, я буду говорить, что движение жидкости простое, если компоненты скорости каждой частицы жидкости являются линейными функциями координат. Оcновываясь на теории вихрей Гельмгольца, легко установить, что если движение является простым в начальный момент времени, то оно всегда остается таковым, при условии, что жидкость целиком заполняет эллипсоидальный сосуд, даже если этот сосуд перемещается или деформируется, но всегда остается эллипсоидальным. Это позволяет нам рассматривать далее только простые движения. Пусть уравнение
\[
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1
\]

задает эллипсоид в главных осях, который для начала будем считать постоянным.

Частице жидкости $x, y, z$, скорость которой $u, v, w$, поставим в соответствие фиктивную частицу с координатами
\[
x^{\prime}=x \sqrt{a}, \quad y^{\prime}=y \sqrt{b}, \quad z^{\prime}=z \sqrt{c}
\]

и скоростью
\[
u^{\prime}=u \sqrt{a}, \quad v^{\prime}=v \sqrt{b}, \quad w^{\prime}=w \sqrt{c} .
\]

Совокупность фиктивных частиц заполняет сферу $S$, уравнение которой: ${x^{\prime}}^{2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=1$. Нетрудно видеть, что если движение жидкости простое, то эти фиктивные частицы будут перемещаться как частицы твердого тела. Таким образом, вопрос сводится к изучению вращения сферы $S$. Пусть $p_{1}, q_{1}, r_{1}$ – компоненты ее угловой скорости. Получим
\[
\begin{array}{l}
u=r_{1} \sqrt{\frac{a}{b}} y-q_{1} \sqrt{\frac{c}{a}} z, \\
v=p_{1} \sqrt{\frac{c}{b}} z-r_{1} \sqrt{\frac{a}{b}} x, \\
w=q_{1} \sqrt{\frac{a}{c}} x-p_{1} \sqrt{\frac{b}{c}} y .
\end{array}
\]

До сих пор мы предполагали, что эллипсоид неподвижен. Теперь предположим, что этот эллипсоид является недеформируемым, но подвижным. Эти же формулы описывают относительное движение жидкости по отношению к твердой мантии. Для того, чтобы получить абсолютное движение, необходимо учесть переносное движение, которое сводится к вращению твердой мантии и подвижных осей. Пусть $p, q$, $r$ – проекции угловой скорости данного вращения на подвижные оси. Для абсолютных скоростей получаем
\[
\left\{\begin{array}{l}
u=r_{1} \sqrt{\frac{b}{a}} y-q_{1} \sqrt{\frac{c}{a}} z+r y-q z, \\
v=p_{1} \sqrt{\frac{c}{b}} z-r_{1} \sqrt{\frac{a}{b}} x+p z-r x, \\
w=q_{1} \sqrt{\frac{a}{c}} x-p_{1} \sqrt{\frac{b}{c}} y+q x-p y,
\end{array}\right.
\]

где подвижные оси являются главными осями эллипсоида.
3. Легко вычислить кинетическую энергию ${ }^{1}$ относительного движения. Она равна
\[
\frac{1}{2}\left(A_{1} p_{1}^{2}+B_{1} q_{1}^{2}+C_{1} r_{1}^{2}\right)
\]

где
\[
A_{1}=\frac{4 \pi d}{15} \frac{1}{\sqrt{a b c}}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) .
\]

и аналогичные выражения для $B_{1}$ и $C_{1} ; d$ – плотность жидкости.
Аналогично определенные величины $A_{1}^{\prime} p_{1}, B_{1}^{\prime} q_{1}, C_{1}^{\prime} r_{1}$, являющиеся тремя составляющими вращательного момента ${ }^{2}$ относительного движения, где
\[
A_{1}^{\prime}=\frac{8 \pi d}{15} \frac{1}{\sqrt{a b c}} \frac{1}{\sqrt{b c}} .
\]

Очевидно, что если сплюснутость очень мала, то имеем $A_{1}=A_{1}^{\prime}$ с точностью до членов порядка не более, чем квадрат сплюснутости.

Что касается кинетической энергии переносного движения, то она равна
\[
\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right),
\]
${ }^{1} \mathrm{~B}$ оригинале la force vive – живая сила, устаревший термин для кинетической энергии. – Прим. перев.
${ }^{2}$ Кинетический момент в современной терминологии. – Прим. перев.

где $A, B, C$ – три момента инерции полного тела (твердая мантия и содержащаяся в ней жидкость).
Тогда кинетическая энергия абсолютного движения имеет вид
\[
T=\frac{1}{2} \sum A p^{2}+\sum A_{1}^{\prime} p p_{1}+\frac{1}{2} \sum A_{1} p_{1}^{2} .
\]
4. Уравнения движения можно записать в более простом виде:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{d T}{d p}+r \frac{d T}{d q}-q \frac{d T}{d r}=-1, \\
\frac{d}{d t} \frac{d T}{d p_{1}}-r_{1} \frac{d T}{d q_{1}}+q_{1} \frac{d T}{d r_{1}}=0,
\end{array}
\]

причем остальные уравнения получаются циклической перестановкой, $L, M, N$ – моменты внешней силы. Отметим, что эти уравнения обладают на первый взгляд озадачивающим различием в знаках.

В уравнении (3) второе слагаемое имеет знак «+», а третье знак «-». В уравнении (4) все наоборот. Это очень легко объяснить. Угловая скорость $p, q, r$ задает абсолютное вращение эллипсоида и проецируется на главные оси эллипсоида, которые являются подвижными осями. Наоборот, угловая скорость $p_{1}, q_{1}, r_{1}$ задает относительное вращение сферы $S$ по отношению к эллипсоиду, она проецируется также на главные оси эллипсоида, которые являются неподвижными для относительного вращения.

Эти уравнения можно вывести многими способами. Сошлемся лишь на два из них: сначала будем опираться на теорему, которая была доказана в «Отчетах Академии Наук», т. 132, с. $369^{1}$. Приведем здеь формулировку этой теоремы:

Теорема. Пусть механическая система определена системой $r$ переменных $x_{i}$. Рассмотрим простую транзитивную группу преобразований Ли ${ }^{2}$. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{r}$ – бесконечно малые преобразования этой группы, таким образом, что, например, $X_{k}$ задает преобразование $x_{i}$ как функции от $x$, мало отличающееся от $x_{i}$. Запишем уравнения структуры группы в виде
\[
X_{i} X_{k}-X_{k} X_{i}=\sum c_{i k s} X_{s},
\]
${ }^{1}$ См. стр. 72 этого сборника. – Прим. перев.
${ }^{2} \mathrm{C}$. примечание на стр. 72 . – Прим. перев.

где $c_{i k s}$ являются постоянными. Смысл этих обозначений хорошо известен тем, кто знаком с работами Ли. Если, к примеру,
\[
X_{i} X_{k}-X_{k} X_{i}=0,
\]

это означает, что два преобразования $X_{i}$ и $X_{k}$ перестановочны.
Положим, что в момент времени $d t$ переменные $x_{i}$ меняются на $x_{i}+\frac{d x_{i}}{d t} d t$, т.е. они подвергаются бесконечно малому преобразованию
\[
d t\left(\eta_{1} X_{1}+\eta_{2} X_{2}+\ldots+\eta_{r} X_{r}\right) .
\]

Пусть $T$ – кинетическая энергия системы, а $U$ – потенциальная. $T$ будет функцией от $x$ и от $\eta$, а $U$ – функцией от $x$. Зададим теперь для $x_{i}$ виртуальные приращения $\delta x_{i}$. Это приведет к бесконечно малому преобразованию
\[
\omega_{1} X_{1}+\omega_{2} X_{2}+\ldots+\omega_{r} X_{r},
\]

где введены $\omega_{i}$. Определим ведичины $\Omega_{i}$ при помощи тождества
\[
\sum\left(\frac{d T}{d x}-\frac{d U}{d x}\right) \delta x=\Sigma \Omega_{i} \omega_{i} .
\]

Для введенных обозначений указанная теорема утверждает, что уравнения движения можно представить в следующей форме (которая содержит как частный случай уравнения Лагранжа и уравнения Эйлера для вращения твердых тел):
\[
\frac{d}{d t} \frac{d T}{d \eta_{s}}=\sum c_{s k i} \frac{d T}{d \eta_{i}} \eta_{k}+\Omega_{s}
\]

Именно эту формулу уместно употребить в рассматриваемом нами случае. Мы имеем шесть степеней свободы ${ }^{1}, 6$ возможных бесконечно малых преобразований представляют собой:
$1^{\circ}$ вращение полного тела вокруг одной из осей эллипсоида;
$2^{\circ}$ простое движение жидкости, соответствующее вращению сферы $S$ вокруг одной из осей эллипсоида, оставляющее твердую мантию

${ }^{1}$ В современной терминологии для гамильтоновых систем. В данном случае система описывается шестью фазовыми переменными, а имеет лишь две степени свободы (см., например, Борисов А.В., Мамаев И.С. «уассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике».)

неподвижной. Пусть $X, Y, Z, X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ – шесть указанных преобразований. Правила композиции вращений дают нам уравнения структуры группы:
\[
\begin{array}{l}
X Y-Y X=Z, \quad X_{1} Y_{1}-Y_{1} X_{1}=-Z_{1}, \\
Y Z-Z Y=X, \quad Y_{1} Z_{1}-Z_{1} Y_{1}=-X_{1}, \\
Z X-X Z=Y, \quad Z_{1} Y_{1}-X_{1} Z_{1}=-Y_{1} \\
\end{array}
\]

С другой стороны, каждое из преобразований $X, Y, Z$ перестановочно с преобразованиями $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$. Теперь понятно, что все постоянные $c$ равны $0,+1$, или -1 .

В промежуток времени $d t$ твердая мантия подвергается бесконечно малому вращению, составляющими которого являются $p d t, q d t, r d t$. При этом сфера $S$ подвергается вращению по отношению к твердой мантии, и компонентами этого вращения являются $p_{1} d t, q_{1} d t, r_{1} d t$ таким образом, что наши переменные претерпевают бесконечно малое преобразование
\[
d t\left(p X+q Y+r Z+p_{1} X_{1}+q_{1} Y_{1}+r_{1} Z_{1}\right),
\]

которое показывает, что $\eta$ – не что иное как $p, q, r, p_{1}, q_{1}, r_{1}$.
Поскольку $T$ зависит только ог $\eta$, имеем
\[
-\sum \frac{d U}{d x} \delta x=\sum \Omega \omega .
\]

Это означает, что $\sum \Omega \omega$ представляет собой виртуальную работу внешних сил при очень малом перемецении системы. Следовательно, три первых $\Omega$ являются моментами внешних сил. Что же касается последних трех, то они равны 0 , т. к. преобразования $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ не производят никакой работы. Применение формулы (5) приводит нас также к уравнениям (3) и (4).
5. Те же самые уравнения можно вывести другим способом. Уравнение (3) – это не что иное как интеграл площадей. Действительно, вращательный момент имеет следующие составляющие (на три подвижные оси):
\[
\frac{d T}{d p}, \quad \frac{d T}{d q}, \quad \frac{d T}{d r},
\]

а уравнение (3) выражает то, что абсолютная скорость конца этого вектора равна по величине и направлению моменту внешних сил.

Что касается уравнения (4), то оно является следствием теоремы Гельмгольца о вихрях. Интеграл Гельмгольца
\[
\int(u d x+v d y+w d z)
\]

взятый по некоторому плоскому диаметральному сечению эллипсоида с точностью до постоянного множителя представляет собой
\[
\frac{d T}{d p_{1}} \cos \alpha+\frac{d T}{d q_{1}} \cos \beta+\frac{d T}{d r_{1}} \cos \gamma,
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ – направляющие косинусы нормали к плоскости большого круга сферы $S$, который соответствует рассматриваемому диаметральному сечению. Чтобы в этом убедиться, достаточно обратиться к уравнениям (1) и (2). Таким образом, теорема Гельмгольца показывает, что вектор $\frac{d T}{d p_{1}}, \frac{d T}{d q_{1}}, \frac{d T}{d r_{1}}$ неизменно связан со сферой $S$, что как раз точно выражается уравнением (4).
6. Если воспользоваться выражением для $T$, то можно записать уравнения (3) и (4) в виде
\[
\begin{array}{l}
A p^{\prime}+A_{1} p_{1}^{\prime}+r\left(B q+B_{1}^{\prime} q_{1}\right)-q\left(C r+C_{1}^{\prime} r_{1}\right)=-L, \\
A_{1} p^{\prime}+A_{1} p_{1}^{\prime}-r_{1}\left(B_{1}^{\prime} q+B_{1} q_{1}\right)+q_{1}\left(C_{1}^{\prime} r+C_{1} r_{1}\right)=0
\end{array}
\]

вместе с уравнениями, которые получаются циклической перестановкой. Здесь $p^{\prime}$ и $p_{1}^{\prime}$ являются производными от $p$ и $p_{1}$ по времени.

Первое следствие этих уравнений таково, что если твердую мантию удерживать неподвижной, то внутреннее движение жидкости будет следовать законам движения Пуансо ${ }^{1}$.
Если предположить, что внешние силы отсутствуют,
\[
L=M=N=0,
\]

то нетрудно найти следующие интегралы
\[
T=\text { const }, \quad \sum\left(\frac{d T}{d p}\right)^{2}=\text { const }, \quad \sum\left(\frac{d T}{d p_{1}}\right)^{2}=\text { const. }
\]
${ }^{1}$ Имеется в виду свободное движение твердого тела вокруг неподвижной точки задача Эйлера – Пуансо.

Если внутренняя полость предполагается сферической, то имеем
\[
A_{1}=A_{1}^{\prime}=B_{1}=B_{1}^{\prime}=C_{1}=C_{1}^{\prime} .
\]

Тогда, вычитая уравнения (6) и (7), находим
\[
\left(A-A_{1}\right) p^{\prime}+r q(B-C)=-L,
\]

что показывает, что движение твердой мантии является таким же, как если бы ее моменты инерции были $A-A_{1}, B-A_{1}, C-A_{1}$, т. е. как если бы она существовала независимо.
7. Предположим теперь, что тело симметрично относительно оси. Тогда получим
\[
A=B, \quad A_{1}=B_{1}, \quad A_{1}^{\prime}=B_{1}^{\prime}, \quad C_{1}=C_{1}^{\prime}, \quad N=0
\]

и уравнения
\[
\begin{aligned}
C r^{\prime}+C_{1} r_{1}^{\prime}+B_{1}^{\prime}\left(q p_{1}-p q_{1}\right) & =0, \\
C_{1} r^{\prime}+C_{1} r_{1}^{\prime}+B_{1}^{\prime}\left(q p_{1}-p q_{1}\right) & =0,
\end{aligned}
\]

которые выводятся из (6) и (7) при условиях симметрии. Принимая во внимание соотношения (9), легко получаем
\[
r^{\prime}=0, \quad r=\mathrm{const}
\]

и
\[
C_{1} r_{1}^{\prime}+B_{1}^{\prime}\left(q p_{1}-p q_{1}\right)=0 .
\]

Кроме того, если предположить, что $L=M=0$, то можно завершить интегрирование через квадратуры.

Напомним, что $r$ – константа, тогда из уравнений (8) получим величины
\[
p^{2}+q^{2}, \quad p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, \quad p p_{1}+q q_{1}, \quad\left(q p_{1}-p q_{1}\right)^{2}
\]

в виде многочленов второй и четвертой степени от $r_{1}$. В этом случае уравнение (10) дает нам $r_{1}$ в эллиптической функции времени. Наконец, мы можем показать, что, например, производная по времени
\[
\operatorname{arctg} \frac{A p+A_{1}^{\prime} p_{1}}{A q+A_{1}^{\prime} q_{1}}
\]

есть известная функция времени.

8. Рассмотрим случай, когда $p, q, p_{1}, q_{1}$ бесконечно малые первого порядка. Тогда из соотношения (10) следует, что компонента $r_{1}$ является бесконечно малым второго порядка и ей можно пренебречь. Положим
\[
-L=K \cos k t, \quad-M=-K \sin k t, \quad N=0 .
\]

В общем случае $L$ и $M$ – периодические функции времени, которые можно разложить в ряд Фурье. Мы рассмотрим только один из членов разложения. Если положим, что амплитуда при $\sin$ и $\cos$ одна и та же, то можно записать
\[
\begin{array}{l}
C \cos k t=A \cos k t+A^{\prime} \cos (-k t) ; \\
D \sin k t=A \sin k t+A^{\prime} \sin (-k t),
\end{array}
\]

где
\[
C=A+A^{\prime}, \quad D=A-A^{\prime} .
\]

Пренебрегая $r_{1}$ и учитывая равенства (9), перепишем уравнение в виде
\[
\begin{array}{c}
A p^{\prime}+A_{1}^{\prime} p_{1}+r\left(A q+A_{1}^{\prime} q_{1}\right)-q C r=K \cos k t, \\
A q^{\prime}+A_{1}^{\prime} q_{1}-r\left(A p+A_{1}^{\prime} p_{1}\right)+p C r=-K \sin k \iota, \\
A_{1}^{\prime} p^{\prime}+A_{1} p_{1}^{\prime}+q_{1} C_{1} r=0, \\
A_{1}^{\prime} q^{\prime}+A_{1} q_{1}^{\prime}-p_{1} C_{1} r=0 .
\end{array}
\]

Отсюда находим
\[
p=\alpha \sin k t, \quad q=\alpha \cos k t, \quad p_{1}=\alpha_{1} \sin k t, \quad q_{1}=\alpha_{1} \cos k t,
\]

где коэффициенты $\alpha, \alpha_{1}$ подчиняются уравнениям
\[
\left\{\begin{array}{l}
\left(A \alpha+A_{1}^{\prime} \alpha_{1}\right)(k+r)-\alpha C r=K, \\
\left(A_{1}^{\prime} \alpha+A_{1} \alpha_{1}\right) k+C_{1} \alpha_{1} r=0 .
\end{array}\right.
\]
9. Для анализа системы (11) предположим, что сплюснутость очень мала. Это позволяет, как было показано выше, положить $A_{1}=A^{\prime}$. Кроме того, предположим, что два эллипсоида, внешний и внутренний, почти одинаковы. Это условие можно записать в виде
\[
\frac{A}{C}=\frac{A_{1}}{C_{1}}
\]

или
\[
\frac{C-A}{A}=\frac{C_{1}-A_{1}}{A_{1}}=\varepsilon,
\]

где $\varepsilon$ – степень сплюснутости. Теперь положим
\[
A=1, \quad A_{1}=\lambda, \quad C=1+\varepsilon, \quad C_{1}=\lambda(1+\varepsilon), \quad \lambda \alpha_{1}=\beta .
\]

Это возможно за счет выбора единицы измерения. Тогда для твердого тела $\lambda=0$, а для жидкости, покрытой очень тонкой мантией, $\lambda=1$. При этом уравнения (11) принимают следующий вид:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\alpha(k-\varepsilon r)+\beta(k+r)=K, \\
\alpha \lambda k+\beta(k+r+\varepsilon r)=0,
\end{array}\right.
\]

откуда
\[
\alpha \Delta=K(k+r+\varepsilon r),
\]

где $\Delta=(k-\varepsilon r)(k+r+\varepsilon r)-\lambda k(k+r)$ – определитель уравнений (12). Необходимо узнать, каким образом амплитуда $\alpha$ нутации меняется в зависимости от $\lambda$ (т.е. как она зависит от толщины твердой мантии).

Поскольку $k+r+\varepsilon r$ не зависит от $\lambda$, то видно, что $\alpha$ обратно пропорциональна $\Delta$.

Пусть $N$ – число дней в периоде рассматриваемой нутации. Будем иметь
\[
\frac{k+r}{1}=\frac{r}{-N}=\frac{k}{N+1} .
\]

Следовательно $\Delta$ пропорциональна $(N+1+\varepsilon N)(1-\varepsilon N)-\lambda(N+1)$ или, поскольку $\varepsilon N$ незначительно по сравнению с $N+1$, пропорционально $(N+1)(1-\varepsilon N-\lambda)$ или $1-\varepsilon N-\lambda$. Если мы обозначим через $\alpha_{0}$ амплитуду нутации для твердого тела, т.е. для $\lambda=0$, то получим
\[
\frac{\alpha}{\alpha_{0}}=\frac{\varepsilon N-1}{\varepsilon N-1+\lambda} .
\]

Легко видеть, что если $\varepsilon N$ очень велико, т. е. если период нутации очень велик по сравнению с обратной величиной сплюснутости, то отношение $\frac{\alpha}{\alpha_{0}}$ приблизительно равняется единице, таким образом, нутация мало отличается от своего теоретического значения. Однако это не справедливо для коротких нутаций в отличие от полугодовых или полумесячных нутаций, которые могут поменять знак и становятся бесконечными для некоторого значения толщины, такой, что выполняется условие
\[
\varepsilon N=1-\lambda .
\]

Таким образом, в целом выводы лорда Кельвина проверены. Однако полученные числовые значения не совпадают. Я ему как-то сообщил об этом, и он мне ответил, что один ирландский ученый указал ему уже это уточнение. Но я не знаю, написал ли этот ученый что-нибудь по этому поводу.

Можно также задаться вопросом, каков период собственных нутаций системы. Это соответствует случаю, когда $\Delta$ обращается в нуль, что дает
\[
N=\frac{1-\lambda}{\varepsilon} .
\]

Он является более коротким, чем период Эйлера. Напротив, известно, что период Чандлера, определенный из наблюдений, является длиннее.