29. Основные определения. Иногда бывает необходимо изучить движение точки одновременно по отношению к двум системам координат. Пусть система координат $O x y z$ движется по любому заданному закону относительно абсолютной системы координат $O_{a} X Y Z$ (рис. 17). Это значит, что известны движение полюса $O$ и матрица $\mathbf{A}(t)$, задающая ориентацию осей $O x, O y, O z$ относительно абсолютной системы координат. Пусть в пространстве движется точка $P$. Ее движение по отношению к системе координат $O x y z$ называется относительным движением. Движение трехгранника $O x y z$ относительно $O_{a} X Y Z$ называется переносным движением. Движение точки относительно системы

координат $O_{a} X Y Z$, определяемое этими составляющими движениями, называется ее сложным или абсолютным движением. Задача состоит в установлении связи между основными кинематическими характеристиками движения точки в неподвижной и подвижной системах координат.

Абсолютной скоростью $\boldsymbol{v}_{a}$ (абсолютным ускорением $\boldsymbol{w}_{a}$ ) точки называется ее скорость (ускорение) относительно абсолютной системы координат $O_{a} X Y Z$. Относительной скоростью $\boldsymbol{v}_{r}$ (относительным ускорением $\boldsymbol{w}_{r}$ ) точки называется ее скорость (ускорение) относительно системы координат Охуz. Переносной скоростью $\boldsymbol{v}_{e}$ (переносным ускорением $\boldsymbol{w}_{e}$ ) называется скорость (ускорение) той точки $P^{\prime}$, которая неподвижна в системе координат $O x y z$ и с которой в данный момент совпадает движущаяся точка $P$. Иными словами, переносная скорость (переносное ускорение) есть та скорость (ускорение), которую движущаяся точка $P$ имела бы в данный момент, если бы она в этот момент оказалась жестко связанной с подвижной системой координат (т. е. не совершала бы относительного движения).
30. Производная от вектора, заданного своими компонентами относительно подвижной системы координат. Часто приходится встречаться с необходимостью дифференцирования вектора, заданного своими компонентами в системе координат Оxyz, движущейся произвольным образом. Скорость изменения этого вектора в неподвижной системе координат $O_{a} X Y Z$ называется его абсолютной производной, а скорость изменения вектора в системе $O x y z$ – oтносительной или локальной производной. Найдем связь между этими производными.

На рис. $17 \overline{O P}=\rho-$ вектор, заданный в движущейся системе координат $O x y z$. Тот же вектор $\overline{O P}$, заданный в неподвижной системе координат $O_{a} X Y Z$, обозначим $r$. Так как движение системы $O x y z$ задано, то матрица $\mathbf{A}(t)$, определяющая ориентацию подвижной системы координат относительно неподвижной, известна и
\[
\boldsymbol{r}=\mathbf{A}(t) \boldsymbol{\rho} .
\]

Вектор $\frac{d r}{d t}$ есть абсолютная производная вектора $\overline{O P}$, а вектор $\frac{\widetilde{d} \boldsymbol{r}}{d t}=\mathbf{A}(t) \frac{d \rho}{d t}$ – его относительная производная. Обе производные заданы в системе координат $O_{a} X Y Z$ (следует заметить, что вектор $\frac{d \rho}{d t}$ задан в системе координат $O x y z)$.

Из (1) получаем
\[
\frac{d r}{d t}=\dot{\mathbf{A}} \boldsymbol{\rho}+\mathbf{A} \dot{\boldsymbol{\rho}}=\dot{\mathbf{A}} \mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{r}+\mathbf{A} \dot{\boldsymbol{\rho}} .
\]

Но так как (см. п. 24)
\[
\dot{\mathbf{A}} \mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r},
\]

где $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость системы координат Oxyz относительно $O_{a} X Y Z$, то равенство (2) запишется в виде
\[
\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}+\mathbf{A} \dot{\boldsymbol{\rho}} .
\]

Если учесть обозначение для относительной производной, то окончательно получим
\[
\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=\frac{\tilde{d} \boldsymbol{r}}{d t}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} .
\]

Этой формулой устанавливается связь между абсолютной и относительной производными вектора.

УПРАЖНЕНИЕ 4. Показать, что если угловая скорость $\boldsymbol{\omega}$ твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, неподвижна относительно тела, то она неподвижна и относительно абсолютного пространства; показать, что верно также и обратное.
31. Теорема о сложении скоростей. Связь между относительной, переносной и абсолютной скоростями точки устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Абсолютная скорость точки равна сумме переносной и относительной скоростей.

Доказательство.
Заметим, что согласно рис. 17 и формуле (1) радиус-вектор точки $P$ в абсолютной системе координат равен $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}_{o}+\boldsymbol{r}$. Продифференцировав $\boldsymbol{R}$ по времени и воспользовавшись равенством (4), получим такое выражение для абсолютной скорости точки $P$ :
\[
\boldsymbol{v}_{a}=\dot{\boldsymbol{R}}=\dot{\boldsymbol{R}}_{o}+\dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{v}_{o}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}+\mathbf{A} \dot{\boldsymbol{\rho}} .
\]

Вектор $\boldsymbol{v}_{o}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$ есть скорость той точки подвижной системы координат, в которой в данный момент находится движущаяся точка $P$, т. е. является переносной скоростью $\boldsymbol{v}_{e}$. Вектор же $\mathbf{A} \dot{\boldsymbol{\rho}}$ есть относительная

скорость $\boldsymbol{v}_{r}$, заданная в абсолютной системе координат. Следовательно, равенство (6) можно переписать в виде
\[
\boldsymbol{v}_{a}=\boldsymbol{v}_{e}+\boldsymbol{v}_{r} .
\]
32. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиca). Для получения абсолютного ускорения точки продифференцируем сначала обе части равенства (6) по времени и воспользуемся формулой (4). Имеем
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{w}_{a} & =\dot{\boldsymbol{v}}_{a}=\dot{\boldsymbol{v}}_{o}+\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r}+\boldsymbol{\omega} \times \dot{\boldsymbol{r}}+\dot{\mathbf{A}} \dot{\boldsymbol{\rho}}+\mathbf{A} \ddot{\boldsymbol{\rho}}= \\
& =\boldsymbol{w}_{o}+\varepsilon \times \boldsymbol{r}+\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}+\mathbf{A} \dot{\boldsymbol{\rho}})+\dot{\mathbf{A}} \dot{\boldsymbol{\rho}}+\mathbf{A} \ddot{\boldsymbol{\rho}} .
\end{aligned}
\]

Здесь $\varepsilon$ – угловое ускорение подвижной системы координат $O x y z$, а вектор $\mathbf{A} \ddot{\boldsymbol{\rho}}$ есть относительное ускорение $\boldsymbol{w}_{r}$. Перепишем равенство (8) в виде
\[
\boldsymbol{w}_{a}=\boldsymbol{w}_{o}+\varepsilon \times \boldsymbol{r}+\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})+\boldsymbol{w}_{r}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{A} \dot{\boldsymbol{\rho}}+\dot{\mathbf{A}} \dot{\boldsymbol{\rho}} .
\]

Вектор $\boldsymbol{w}_{o}+\varepsilon \times \boldsymbol{r}+\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})$ есть ускорение той точки подвижной системы координат, в которой в данный момент находится движущаяся точка $P$, т. е. является переносным ускорением. Далее, согласно (3), слагаемых в (9) одинаковы и равны $\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{r}$ каждое. Следовательно, формула (9) может быть записана в виде
\[
\boldsymbol{w}_{a}=\boldsymbol{w}_{e}+\boldsymbol{w}_{r}+\boldsymbol{w}_{c},
\]

где $\boldsymbol{w}_{c}=2 \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{r}$. Вектор $\boldsymbol{w}_{c}$ называется ускорением Кориоли́са. Формула (10) выражает теорему о сложении ускорений.
Теорема. Абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного и кориоли́сова ускорений.

Можно сказать, что часть абсолютного ускорения – ускорение Кориолиса – связана с изменением абсолютной скорости, обусловленным двумя причинами: 1) влиянием переносного движения на относительную скорость (при $\boldsymbol{\omega}
eq 0$ вектор $\boldsymbol{v}_{r}$ поворачивается относительно абсолютной системы координат за счет вращения подвижной системы координат);2) влиянием относительного движения на переносную скорость (при $\boldsymbol{v}_{r}
eq 0$ положение точки в подвижной системе координат изменяется и, следовательно, изменяется переносная скорость).

УПРАЖНЕНИЕ 5. Показать, что вклад каждой из указанных причин в величину кориолисова ускорения одинаков и равен $\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{r}$.

ПРИМер 1. В плоскости движутся поступательно два стержня $A B$ и CD с данными скоростями $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$. Построим скорость $\boldsymbol{v}$ точки $P$ пересечения стержней.

Абсолютная скорость точки $P$ может быть представлена как сумма переносной скорости $\boldsymbol{v}_{1}$ стержня $A B$ и относительной скорости в движении точки $P$ по этому стержню. $C$ другой стороны, ее можно представить как сумму переносной скорости $\boldsymbol{v}_{2}$ стержня $C D$ и относительной скорости точки в ее движении по этому стержню. Отсюда следует способ построения вектора абсолютной скорости точки $P$ : через концы векторов $v_{1}$ и $v_{2}$ проведем (рис. 36) прямые, параллельные направлениям стержней $A B$ и $C D$; точка $P_{1}$ пересечения этих прямых и будет концом вектора $\overline{P P_{1}}$, изображающего абсолютную скорость точки $P$.
Рис. 36
Рис. 37

ПРимеР 2. Точка $P$ движется с постоянной угловой скоростью $\omega$ по окружности радиуса $R$, вращающейся с той же самой угловой скоростью около одного из своих диаметров. Найдем абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки как функции угла $\varphi$ (рис. 37).

Введем жестко связанную с вращающейся окружностью систему координат Охуz, начало которой лежит в центре окружности; плоскость Оуд совпадает с плоскостью окружности, а ось $О z$ направлена вдоль вектора ее угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$.

Переносная скорость точки перпендикулярна плоскости окружносmи: $\boldsymbol{v}_{e}^{\prime}=(-\boldsymbol{\omega} \sin \varphi, 0,0)$. Относительная скорость направлена по касательной к окружности: $\boldsymbol{v}_{r}{ }^{\prime}=(0, \omega R \cos \varphi,-\omega R \sin \varphi)$. Абсолютная скорость точки $P$ определяется по формуле (7). Имеем
\[
\boldsymbol{v}_{a}^{\prime}=\omega R(-\sin \varphi, \cos \varphi,-\sin \varphi), \quad v_{a}=\omega R \sqrt{1+\sin ^{2} \varphi} .
\]

Переносное ускорение лежит в плоскости окружности и перпендикулярно оси вращения: $\boldsymbol{w}_{e}^{\prime}=\left(0,-\omega^{2} R \sin \varphi, 0\right)$. Относительное ускорение лежит в плоскости окружности и направлено к ее центру: $\boldsymbol{w}_{r}^{\prime}=\left(0,-\omega^{2} R \sin \varphi,-\omega^{2} R \cos \varphi\right)$. Кориолисово ускорение $\boldsymbol{w}_{c}=2 \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{r}$ перпендикулярно плоскости окружности: $\boldsymbol{w}_{c}^{\prime}=\left(-2 \omega^{2} R \cos \varphi, 0,0\right)$. Абсолютное ускорение точки $P$ определяется по формуле (10). Имеем
\[
\boldsymbol{w}_{a}^{\prime}=-\omega^{2} R(2 \cos \varphi, 2 \sin \varphi, \cos \varphi), \quad w_{a}=\omega^{2} R \sqrt{4+\cos ^{2} \varphi} .
\]