29. Основные определения. Иногда бывает необходимо изучить движение точки одновременно по отношению к двум системам координат. Пусть система координат $Oxyz$ движется по любому заданному закону относительно абсолютной системы координат $O_{a}XYZ$ (рис. 17). Это значит, что известны движение полюса $O$ и матрица $\mathbf{A}(t)$, задающая ориентацию осей $Ox,Oy,Oz$ относительно абсолютной системы координат. Пусть в пространстве движется точка $P$. Ее движение по отношению к системе координат $Oxyz$ называется относительным движением. Движение трехгранника $Oxyz$ относительно $O_{a}XYZ$ называется переносным движением. Движение точки относительно системы

координат $O_{a}XYZ$, определяемое этими составляющими движениями, называется ее сложным или абсолютным движением. Задача состоит в установлении связи между основными кинематическими характеристиками движения точки в неподвижной и подвижной системах координат.

Абсолютной скоростью ${\mathit{v}}_a$ (абсолютным ускорением ${\mathit{w}}_a$ ) точки называется ее скорость (ускорение) относительно абсолютной системы координат $O_{a}XYZ$. Относительной скоростью ${\mathit{v}}_r$ (относительным ускорением ${\mathit{w}}_r$ ) точки называется ее скорость (ускорение) относительно системы координат Охуz. Переносной скоростью ${\mathit{v}}_e$ (переносным ускорением ${\mathit{w}}_e$ ) называется скорость (ускорение) той точки $P^{\prime }$, которая неподвижна в системе координат $Oxyz$ и с которой в данный момент совпадает движущаяся точка $P$. Иными словами, переносная скорость (переносное ускорение) есть та скорость (ускорение), которую движущаяся точка $P$ имела бы в данный момент, если бы она в этот момент оказалась жестко связанной с подвижной системой координат (т. е. не совершала бы относительного движения).
30. Производная от вектора, заданного своими компонентами относительно подвижной системы координат. Часто приходится встречаться с необходимостью дифференцирования вектора, заданного своими компонентами в системе координат Оxyz, движущейся произвольным образом. Скорость изменения этого вектора в неподвижной системе координат $O_{a}XYZ$ называется его абсолютной производной, а скорость изменения вектора в системе $Oxyz$ — oтносительной или локальной производной. Найдем связь между этими производными.

На рис. $17\overline{OP}=\rho -$ вектор, заданный в движущейся системе координат $Oxyz$. Тот же вектор $\overline{OP}$, заданный в неподвижной системе координат $O_{a}XYZ$, обозначим $r$. Так как движение системы $Oxyz$ задано, то матрица $\mathbf{A}(t)$, определяющая ориентацию подвижной системы координат относительно неподвижной, известна и
$$\mathit{r}=\mathbf{A}(t)\mathit{\rho }.$$

Вектор $\frac{dr}{dt}$ есть абсолютная производная вектора $\overline{OP}$, а вектор $\frac{\tilde{d}\mathit{r}}{dt}=\mathbf{A}(t)\frac{d\rho }{dt}$ — его относительная производная. Обе производные заданы в системе координат $O_{a}XYZ$ (следует заметить, что вектор $\frac{d\rho }{dt}$ задан в системе координат $Oxyz)$.

Из (1) получаем
$$\frac{dr}{dt}=\dot{\mathbf{A}}\mathit{\rho }+\mathbf{A}\dot{\mathit{\rho }}=\dot{\mathbf{A}}{\mathbf{A}}^{-1}\mathit{r}+\mathbf{A}\dot{\mathit{\rho }}.$$

Но так как (см. п. 24)
$$\dot{\mathbf{A}}{\mathbf{A}}^{-1}\mathit{r}=\mathit{\omega }\times \mathit{r},$$

где $\mathit{\omega }$ — угловая скорость системы координат Oxyz относительно $O_{a}XYZ$, то равенство (2) запишется в виде
$$\frac{d\mathit{r}}{dt}=\mathit{\omega }\times \mathit{r}+\mathbf{A}\dot{\mathit{\rho }}.$$

Если учесть обозначение для относительной производной, то окончательно получим
$$\frac{d\mathit{r}}{dt}=\frac{\tilde{d}\mathit{r}}{dt}+\mathit{\omega }\times \mathit{r}.$$

Этой формулой устанавливается связь между абсолютной и относительной производными вектора.

УПРАЖНЕНИЕ 4. Показать, что если угловая скорость $\mathit{\omega }$ твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, неподвижна относительно тела, то она неподвижна и относительно абсолютного пространства; показать, что верно также и обратное.
31. Теорема о сложении скоростей. Связь между относительной, переносной и абсолютной скоростями точки устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Абсолютная скорость точки равна сумме переносной и относительной скоростей.

Доказательство.
Заметим, что согласно рис. 17 и формуле (1) радиус-вектор точки $P$ в абсолютной системе координат равен $\mathit{R}={\mathit{R}}_o+\mathit{r}$. Продифференцировав $\mathit{R}$ по времени и воспользовавшись равенством (4), получим такое выражение для абсолютной скорости точки $P$ :
$${\mathit{v}}_a=\dot{\mathit{R}}={\dot{\mathit{R}}}_o+\dot{\mathit{r}}={\mathit{v}}_o+\mathit{\omega }\times \mathit{r}+\mathbf{A}\dot{\mathit{\rho }}.$$

Вектор ${\mathit{v}}_o+\mathit{\omega }\times \mathit{r}$ есть скорость той точки подвижной системы координат, в которой в данный момент находится движущаяся точка $P$, т. е. является переносной скоростью ${\mathit{v}}_e$. Вектор же $\mathbf{A}\dot{\mathit{\rho }}$ есть относительная

скорость ${\mathit{v}}_r$, заданная в абсолютной системе координат. Следовательно, равенство (6) можно переписать в виде
$${\mathit{v}}_a={\mathit{v}}_e+{\mathit{v}}_r.$$
32. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиca). Для получения абсолютного ускорения точки продифференцируем сначала обе части равенства (6) по времени и воспользуемся формулой (4). Имеем
$$\begin{array}{rl}{\mathit{w}}_a& ={\dot{\mathit{v}}}_a={\dot{\mathit{v}}}_o+\dot{\mathit{\omega }}\times \mathit{r}+\mathit{\omega }\times \dot{\mathit{r}}+\dot{\mathbf{A}}\dot{\mathit{\rho }}+\mathbf{A}\ddot{\mathit{\rho }}=\\ & ={\mathit{w}}_o+\epsilon \times \mathit{r}+\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times \mathit{r}+\mathbf{A}\dot{\mathit{\rho }})+\dot{\mathbf{A}}\dot{\mathit{\rho }}+\mathbf{A}\ddot{\mathit{\rho }}.\end{array}$$

Здесь $\epsilon$ — угловое ускорение подвижной системы координат $Oxyz$, а вектор $\mathbf{A}\ddot{\mathit{\rho }}$ есть относительное ускорение ${\mathit{w}}_r$. Перепишем равенство (8) в виде
$${\mathit{w}}_a={\mathit{w}}_o+\epsilon \times \mathit{r}+\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times \mathit{r})+{\mathit{w}}_r+\mathit{\omega }\times \mathbf{A}\dot{\mathit{\rho }}+\dot{\mathbf{A}}\dot{\mathit{\rho }}.$$

Вектор ${\mathit{w}}_o+\epsilon \times \mathit{r}+\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times \mathit{r})$ есть ускорение той точки подвижной системы координат, в которой в данный момент находится движущаяся точка $P$, т. е. является переносным ускорением. Далее, согласно (3), слагаемых в (9) одинаковы и равны $\mathit{\omega }\times {\mathit{v}}_r$ каждое. Следовательно, формула (9) может быть записана в виде
$${\mathit{w}}_a={\mathit{w}}_e+{\mathit{w}}_r+{\mathit{w}}_c,$$

где ${\mathit{w}}_c=2\mathit{\omega }\times {\mathit{v}}_r$. Вектор ${\mathit{w}}_c$ называется ускорением Кориоли́са. Формула (10) выражает теорему о сложении ускорений.
Теорема. Абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного и кориоли́сова ускорений.

Можно сказать, что часть абсолютного ускорения — ускорение Кориолиса — связана с изменением абсолютной скорости, обусловленным двумя причинами: 1) влиянием переносного движения на относительную скорость (при $\mathit{\omega }eq0$ вектор ${\mathit{v}}_r$ поворачивается относительно абсолютной системы координат за счет вращения подвижной системы координат);2) влиянием относительного движения на переносную скорость (при ${\mathit{v}}_{r}eq0$ положение точки в подвижной системе координат изменяется и, следовательно, изменяется переносная скорость).

УПРАЖНЕНИЕ 5. Показать, что вклад каждой из указанных причин в величину кориолисова ускорения одинаков и равен $\mathit{\omega }\times {\mathit{v}}_r$.

ПРИМер 1. В плоскости движутся поступательно два стержня $AB$ и CD с данными скоростями ${\mathit{v}}_1$ и ${\mathit{v}}_2$. Построим скорость $\mathit{v}$ точки $P$ пересечения стержней.

Абсолютная скорость точки $P$ может быть представлена как сумма переносной скорости ${\mathit{v}}_1$ стержня $AB$ и относительной скорости в движении точки $P$ по этому стержню. $C$ другой стороны, ее можно представить как сумму переносной скорости ${\mathit{v}}_2$ стержня $CD$ и относительной скорости точки в ее движении по этому стержню. Отсюда следует способ построения вектора абсолютной скорости точки $P$ : через концы векторов $v_1$ и $v_2$ проведем (рис. 36) прямые, параллельные направлениям стержней $AB$ и $CD$; точка $P_1$ пересечения этих прямых и будет концом вектора $\overline{P{P}_1}$, изображающего абсолютную скорость точки $P$.
Рис. 36
Рис. 37

ПРимеР 2. Точка $P$ движется с постоянной угловой скоростью $\omega$ по окружности радиуса $R$, вращающейся с той же самой угловой скоростью около одного из своих диаметров. Найдем абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки как функции угла $\phi$ (рис. 37).

Введем жестко связанную с вращающейся окружностью систему координат Охуz, начало которой лежит в центре окружности; плоскость Оуд совпадает с плоскостью окружности, а ось $Оz$ направлена вдоль вектора ее угловой скорости $\mathit{\omega }$.

Переносная скорость точки перпендикулярна плоскости окружносmи: ${\mathit{v}}_e^{\prime }=(-\mathit{\omega }\sin \phi ,0,0)$. Относительная скорость направлена по касательной к окружности: ${\mathit{v}}_r{}^{\prime }=(0,\omega R\cos \phi ,-\omega R\sin \phi )$. Абсолютная скорость точки $P$ определяется по формуле (7). Имеем
$${\mathit{v}}_a^{\prime }=\omega R(-\sin \phi ,\cos \phi ,-\sin \phi ),v_a=\omega R\sqrt{1+{\sin }^2\phi }.$$

Переносное ускорение лежит в плоскости окружности и перпендикулярно оси вращения: ${\mathit{w}}_e^{\prime }=(0,-{\omega }^{2}R\sin \phi ,0)$. Относительное ускорение лежит в плоскости окружности и направлено к ее центру: ${\mathit{w}}_r^{\prime }=(0,-{\omega }^{2}R\sin \phi ,-{\omega }^{2}R\cos \phi )$. Кориолисово ускорение ${\mathit{w}}_c=2\mathit{\omega }\times {\mathit{v}}_r$ перпендикулярно плоскости окружности: ${\mathit{w}}_c^{\prime }=(-2{\omega }^{2}R\cos \phi ,0,0)$. Абсолютное ускорение точки $P$ определяется по формуле (10). Имеем
$${\mathit{w}}_a^{\prime }=-{\omega }^{2}R(2\cos \phi ,2\sin \phi ,\cos \phi ),w_a={\omega }^{2}R\sqrt{4+{\cos }^2\phi }.$$