168. Понятие канонического преобразования. Рассмотрим гамильтонову систему дифференциальных уравнений в векторноматричной форме
\[
\frac{d \boldsymbol{z}}{d t}=\mathbf{J} H_{z}^{\prime}
\]

Здесь $\boldsymbol{z}-2 n$-мерный вектор-столбец, $\boldsymbol{z}^{\prime}=\left(\boldsymbol{q}^{\prime}, \boldsymbol{p}^{\prime}\right), \quad \boldsymbol{q}^{\prime}=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$, $\boldsymbol{p}^{\prime}=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$,
\[
\mathbf{J}=\left\|\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{E}_{n} \\
-\mathbf{E}_{n} & 0
\end{array}\right\|,
\]
$\mathbf{E}_{n}$ – единичная матрица $n$-го порядка. $H=H(z, t)$ – функция Гамильтона, $H_{z}$ – матрица-строка размером $1 \times 2 n$,
\[
H_{z}=\left(H_{\boldsymbol{q}}, H_{\boldsymbol{p}}\right)=\left(H_{q_{1}}, \ldots, H_{q_{n}}, H_{p_{1}}, \ldots, H_{p_{n}}\right) .
\]

Легко видеть, что
\[
\mathbf{J}^{\prime}=\mathbf{J}^{-1}=-\mathbf{J}, \quad \mathbf{J}^{2}=-\mathbf{E}_{2 n}, \quad \operatorname{det} \mathbf{J}=1 .
\]

Получение решений системы уравнений (1) часто оказывается очень сложным делом. Поэтому надо искать какие-то пути, упрощающие исследование движения. Например, в §2 показано, что наличие одной циклической координаты позволяет понизить порядок системы (1) на две единицы. Это указывает на то, что удачный выбор обобщенных координат может существенно облегчить исследование движения, а иногда позволяет провести его во всей необходимой полноте. С такой ситуацией мы встретились в п. 165 при анализе движения сферического маятника.

В некоторой области фазового пространства $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ рассмотрим обратимую, дважды непрерывно дифференцируемую замену переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p} \rightarrow \boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}$, содержащую время $t$ в качестве параметра:
\[
Q_{i}=Q_{i}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), \quad P_{i}=P_{i}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t), \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

или, если ввести обозначение $\boldsymbol{\zeta}^{\prime}=\left(\boldsymbol{Q}^{\prime}, \boldsymbol{P}^{\prime}\right), \boldsymbol{Q}^{\prime}=\left(Q_{1}, \ldots, Q_{n}\right), \boldsymbol{P}^{\prime}=$ $=\left(P_{1}, \ldots, P_{n}\right)$,
\[
\zeta=\zeta(\boldsymbol{z}, t) .
\]

Может случиться, что в новых переменных система уравнений (1) будет иметь более простую структуру и ее интегрирование будет проще интегрирования исходной системы. В новых переменных уравнения движения могут уже не быть гамильтоновыми. Мы, однако, будем далее рассматривать только такие преобразования (4), которые не нарушают гамильтововой формы уравнений движения. Это будут канонические преобразования. Ниже мы дадим определение канонических преобразований, получим критерии каноничности и укажем способ нахождения функции Гамильтона, отвечающей преобразованным уравнениям.

Практический смысл канонических преобразований состоит в упрощении уравнений движения, в выборе таких новых координат в фазовом пространстве, которые более удобны для решения задачи о движении системы, нежели исходные старые координаты. Метод канонических преобразований является широко распространенным и эффективным методом исследования гамильтоновых уравнений.
Пусть М – матрица Якоби преобразования (4),
\[
\mathbf{M}=\frac{\partial \boldsymbol{\zeta}}{\partial \boldsymbol{z}}=\left\|\begin{array}{cc}
\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}} & \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}} \\
\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}} & \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cccccc}
\frac{\partial Q_{1}}{\partial q_{1}} & \cdots & \frac{\partial Q_{1}}{\partial q_{n}} & \frac{\partial Q_{1}}{\partial p_{1}} & \cdots & \frac{\partial Q_{1}}{\partial p_{n}} \\
\ldots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial Q_{n}}{\partial q_{1}} & \cdots & \frac{\partial Q_{n}}{\partial q_{n}} & \frac{\partial Q_{n}}{\partial p_{1}} & \cdots & \frac{\partial Q_{n}}{\partial p_{n}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial P_{1}}{\partial q_{1}} & \cdots & \frac{\partial P_{1}}{\partial q_{n}} & \frac{\partial P_{1}}{\partial p_{1}} & \cdots & \frac{\partial P_{1}}{\partial p_{n}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial P_{n}}{\partial q_{1}} & \cdots & \frac{\partial P_{n}}{\partial q_{n}} & \frac{\partial P_{n}}{\partial p_{1}} & \cdots & \frac{\partial P_{n}}{\partial p_{n}}
\end{array}\right\| .
\]

Преобразование (4) называется каноническим, если существует такое постоянное число $c
eq 0$, что матрица Якоби (6) удовлетворяет тождеству
\[
\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}=c \mathbf{J},
\]

где матрица $\mathbf{J}$ определена равенством (2). Число с называется валентностью канонического преобразования; если $c=1$, то преобразование называется унивалентным.
ЗАМЕчАниЕ 1. Матрицы М, удовлетворяющие тождеству (7) при $c=1$, называются симплектическими; если же в (7) $c
eq 1$, то матрица $\mathbf{M}$ называется обобщенно симплектической ( $с$ валентностью с). Так как, согласно (3), $\operatorname{det} \mathbf{J}=1$, то из равенства (7) на основании теоремы об умножении определителей получаем
\[
\operatorname{det} \mathbf{M}= \pm c^{n} \text {, }
\]
т. е. обобщенно симплектические матрицы являются невырожденными.

ЗАмЕчаниЕ 2. Пусть в фазовом пространстве последовательно выполнены два канонических преобразования: $\zeta_{1}=\zeta_{1}(z, t)$ с валентностью $c_{1}$ $и \zeta_{2}=\zeta_{2}\left(\zeta_{1}, t\right)$ с валентностью $c_{2}$. Тогда результирующее преобразование $\boldsymbol{\zeta}=\boldsymbol{\zeta}(\boldsymbol{z}, t) \equiv \zeta_{2}\left(\zeta_{1}(z, t), t\right)$ тоже будет каноническим, и его валентность с равна произведению $c_{1} c_{2}$.
В самом деле, по условию
\[
\mathbf{M}_{1}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}_{1}=c_{1} \mathbf{J}, \quad \mathbf{M}_{1}=\partial \zeta_{1} / \partial z
\]

и
\[
\mathbf{M}_{2}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}_{2}=c_{2} \mathbf{J}, \quad \mathbf{M}_{2}=\partial \zeta_{2} / \partial \zeta_{1} .
\]

Поэтому
\[
\mathbf{M}=\frac{\partial \zeta}{\partial z}=\frac{\partial \zeta_{2}}{\partial \zeta_{1}} \cdot \frac{\partial \zeta_{1}}{\partial z}=\mathbf{M}_{2} \mathbf{M}_{1}
\]

а следовательно,
\[
\begin{aligned}
\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J M} & =\left(\mathbf{M}_{2} \mathbf{M}_{1}\right)^{\prime} \mathbf{J}\left(\mathbf{M}_{2} \mathbf{M}_{1}\right)=\mathbf{M}_{1}^{\prime} \mathbf{M}_{2}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}_{2} \mathbf{M}_{1}= \\
& =\mathbf{M}_{1}^{\prime} c_{2} \mathbf{J} \mathbf{M}_{1}=c_{2} \mathbf{M}_{1}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}_{1}=c_{2} c_{1} \mathbf{J} .
\end{aligned}
\]

Отсюда, согласно определению (7) канонического преобразования, следует доказываемое утверждение.

Пусть, далее, задано каноническое преобразование $\boldsymbol{\zeta}=\boldsymbol{\zeta}(\boldsymbol{z}, t)$ с валентностью $c$. Тогда обратное преобразование $z=z(\zeta, t)$ также будет каноническим, а его валентность равна $1 / c$.

Действительно, умножив обе части тождества (7) слева на матрицу $\left(\mathbf{M}^{\prime}\right)^{-1}$, а справа – на матрицу $\mathbf{M}^{-1}$, получим
\[
\frac{1}{c} \mathbf{J}=\left(\mathbf{M}^{\prime}\right)^{-1} \mathbf{J} \mathbf{M}^{-1} .
\]

Учитывая перестановочность операций транспонирования и взятия обратной матрицы, приходим к равенству
\[
\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}^{-1}=\frac{1}{c} \mathbf{J} .
\]

Так как матрицей Якоби обратного преобразования $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}(\boldsymbol{\zeta}, t)$ является матрица $\mathbf{M}^{-1}$, то отсюда следует, что это преобразование каноническое и имеет валентность $1 / c$.

Отметив еще, что тождественное преобразование $Q_{i}=q_{i}, P_{i}=p_{i}$ $(i=1,2, \ldots, n)$, очевидно, будет каноническим, приходим к выводу, что совокупность всех канонических преобразований образует группу. Унивалентные преобразования составляют ее подгруппу.
169. Критерии каноничности преобразования. Равенство (7) позволяет легко проверить, является преобразование (4) каноническим или нет. Приведем еще некоторые критерии каноничности. Они эквивалентны условию (7) и могли бы быть приняты за определение каноничности преобразования (4).

Сначала введем понятие скобки Лагранжа и дадим критерий каноничности в терминах этих скобок. Пусть заданы $2 n$ функций $\varphi_{j}, \psi_{j}(j=1,2, \ldots, n)$ от двух переменных $x, y$ и еще, может быть, от некоторых других переменных. Тогда скобкой Лагранжа для этих функций называется величина
\[
[x, y]=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \varphi_{j}}{\partial x} \frac{\partial \psi_{j}}{\partial y}-\frac{\partial \varphi_{j}}{\partial y} \frac{\partial \psi_{j}}{\partial x}\right) .
\]

Теорема. Если в качестве $\varphi_{j}, \psi_{j}$ принять функции $Q_{j}, P_{j}$ из (4), то необходимое и достаточное условие каноничности преобразования (4) запишется в виде
\[
\left[q_{i}, q_{k}\right]=0, \quad\left[p_{i}, p_{k}\right]=0, \quad\left[q_{i}, p_{k}\right]=c \delta_{i k} \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Здесь $\delta_{i k}$ – символ Кронекера ( $\delta_{i k}=1$ при $i=k$ и $\delta_{i k}=0$ при $i
eq k$ ), а $c$ – валентность канонического преобразования.

Доказательство.
Доказательство получается при помощи непосредственной проверки. В самом деле, левая часть равенства (7) может быть записана в виде следующей блочной матрицы:
\[
\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J M}=\left\|\begin{array}{ll}
\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}-\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}} & \left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}-\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}} \\
\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}-\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}} & \left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}-\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}
\end{array}\right\|
\]

Вычисления, проведенные для левого верхнего блока этой матрицы с учетом обозначения ( 10 ), дают
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}-\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}} & =\left\|\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}} \frac{\partial P_{j}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{k}} \frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}}\right)\right\|_{i, k=1}^{n}= \\
& =\left\|\left[q_{i}, q_{k}\right]\right\|_{i, k=1}^{n} .
\end{aligned}
\]

Проведя аналогичные вычисления для остальных блоков матрицы (12), убеждаемся, что равенство (7) может быть записано в виде
\[
\left\|\begin{array}{cc}
\left\|\left[q_{i}, q_{k}\right]\right\|_{i, k=1}^{n} & \left\|\left[q_{i}, p_{k}\right]\right\|_{i, k=1}^{n} \\
-\left\|\left[q_{i}, p_{k}\right]\right\|_{i, k=1}^{n} & \left\|\left[p_{i}, p_{k}\right]\right\|_{i, k=1}^{n}
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cc}
0 & c \mathbf{E} \\
-c \mathbf{E} & 0
\end{array}\right\| .
\]

Для доказательства теоремы теперь достаточно заметить, что равенства (11) и (13) эквивалентны.

Получим теперь критерий каноничности преобразования (4), использующий скобки Пуассона.
Теорема. Для того чтобы преобразование (4) было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы скобки Пуассона функций $Q_{j}, P_{j}$ от переменных $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t$ удовлетворяли равенствам
\[
\left(Q_{i}, Q_{k}\right)=0, \quad\left(P_{i}, P_{k}\right)=0, \quad\left(Q_{i}, P_{k}\right)=c \delta_{i k} \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Доказательство.
Доказательство проводится при помощи непосредственной проверки эквивалентности равенств (14) и равенства (7), положенного в основу определения каноничности преобразования (4). Возьмем от обеих частей равенства (8) обратные матрицы и учтем, что, согласно $(3), \mathbf{J}^{-\mathbf{1}}=-\mathbf{J}$. Тогда придем к равенству
\[
\mathbf{M} \mathbf{M}^{\prime}=c \mathbf{J},
\]

которое эквивалентно равенству (7). Левая часть последнего равенства может быть представлена в виде блочной матрицы
\[
\mathbf{M J M}^{\prime}=\left\|\begin{array}{ll}
\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime}-\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} & \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime}-\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} \\
\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime}-\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} & \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime}-\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime}
\end{array}\right\|
\]

Непосредственные вычисления показывают, что левый верхний блок этой матрицы может быть представлен в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}\right)^{\prime}-\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime} & =\left\|\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial Q_{k}}{\partial p_{j}}-\frac{\partial Q_{i}}{\partial p_{j}} \frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{j}}\right)\right\|_{i, k=1}^{n}= \\
& =\left\|\left(Q_{i}, Q_{k}\right)\right\|_{i, k=1}^{n} .
\end{aligned}
\]

Аналогичные вычисления для остальных блоков матрицы (16) позволяют записать равенство (15) в следующей форме:
\[
\left\|\begin{array}{cc}
\left\|\left(Q_{i}, Q_{k}\right)\right\|_{i, k=1}^{n} & \left\|\left(Q_{i}, P_{k}\right)\right\|_{i, k=1}^{n} \\
-\left\|\left(Q_{i}, P_{k}\right)\right\|_{i, k=1}^{n} & \left\|\left(P_{i}, P_{k}\right)\right\|_{i, k=1}^{n}
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cc}
0 & c \mathbf{E} \\
-c \mathbf{E} & 0
\end{array}\right\| .
\]

Отсюда следует, что равенства (14) и (7) эквивалентны, что и доказывает теорему.

Приведенные критерии каноничности, как и само определение (7), позволяют по явно заданному преобразованию (4) решить, является оно каноническим или нет. Для дальнейшего построения теории канонических преобразований очень важен следующий критерий каноничности. Теорема. Для каноничности преобразования (4) необходимо и достаточно, чтобы существовала отличная от нуля постоянная с такая, что выражение
\[
c \sum_{k=1}^{n} p_{k} \delta q_{k}-\sum_{k=1}^{n} P_{k} \delta Q_{k}
\]

является полным дифференциалом некоторой функции $F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)$.
При этом под полными дифференциалами $\delta F$ и $\delta Q_{k}$ $(k=1,2, \ldots, n)$ понимаются дифференциалы, соответствующие изменению переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p} ;$ величина $t$ считается параметром.
Доказательство.
Для доказательства этой теоремы достаточно показать, что условия того, что выражение (18) есть полный дифференциал, эквивалентно равенствам (11). Из (4) имеем
\[
\delta Q_{k}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\frac{\partial Q_{k}}{\partial p_{i}} \delta p_{i}\right) \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Подставив эти дифференциалы в выражение (18) и изменив порядок суммирования, получим это выражение в виде
\[
\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \delta q_{i}+Y_{i} \delta p_{i}\right)
\]

где приняты обозначения
\[
X_{i}=c p_{i}-\sum_{l=1}^{n} P_{l} \frac{\partial Q_{l}}{\partial q_{i}}, \quad Y_{i}=-\sum_{l=1}^{n} P_{l} \frac{\partial Q_{l}}{\partial p_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Условие того, что выражение (19) есть полный дифференциал, записывается в виде совокупности равенств
\[
\frac{\partial X_{i}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial X_{k}}{\partial q_{i}}, \quad \frac{\partial Y_{i}}{\partial p_{k}}=\frac{\partial Y_{k}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial X_{i}}{\partial p_{k}}=\frac{\partial Y_{k}}{\partial q_{i}} \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Непосредственное вычисление, использующее обозначения (20), показывает, что равенства (21) запишутся соответственно в виде
\[
\left[q_{i}, q_{k}\right]=0, \quad\left[p_{i}, p_{k}\right]=0, \quad\left[q_{i}, p_{k}\right]=c \delta_{i k} \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как эти равенства совпадают с равенствами (11), то отсюда следует справедливость доказываемой теоремы.
170. Ковариантность уравнений Гамильтона при канонических преобразованиях. Если преобразование (4) является каноническим, то в новых переменных система уравнений (1) снова будет иметь гамильтонову форму. Более точно, имеет место следующее утверждение.
Теорема. При каноническом преобразовании (4) любая гамильтонова система дифференциальных уравнений (1) переходит снова в гамильтонову систему (вообще говоря, с другой функцией Гамильтона $\mathcal{H}(\zeta, t)$ )
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\mathbf{J} \mathcal{H}_{\zeta}^{\prime} .
\]

Доказательство.
Действительно, из (5) и (1) имеем
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\frac{\partial \zeta}{\partial z} \frac{d z}{d t}+\frac{\partial \zeta}{\partial t}=\mathbf{M J} H_{z}^{\prime}+\frac{\partial \zeta}{\partial t} .
\]

Но
\[
H_{z}^{\prime}=\left(H_{\zeta} \frac{\partial \zeta}{\partial \boldsymbol{z}}\right)^{\prime}=\left(H_{\zeta} \mathbf{M}\right)^{\prime}=\mathbf{M}^{\prime} H_{\zeta}^{\prime} .
\]

Поэтому, учитывая тождество (15), равенство (23) можно записать в виде
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\mathbf{J} c H_{\zeta}^{\prime}+\frac{\partial \zeta}{\partial t}
\]

Покажем, что если преобразование (4) каноническое, то
\[
\frac{\partial \zeta}{\partial t}=\mathbf{J} W_{\zeta}^{\prime},
\]

где $W$ – некоторая функция переменных $\zeta, t$. В самом деле, опираясь на соотношения (3) и (6), получаем из (25) следующую цепочку равенств:
\[
\left(\frac{\partial \zeta}{\partial t}\right)^{\prime}=-W_{\zeta} \mathbf{J}, \quad\left(\frac{\partial \zeta}{\partial t}\right)^{\prime} \mathbf{J}=W_{\zeta}, \quad\left(\frac{\partial \zeta}{\partial t}\right)^{\prime} \mathbf{J M}=W_{\zeta} \frac{\partial \zeta}{\partial z}=W_{z},
\]
т. е. соотношение (25) эквивалентно равенству
\[
W_{z}=\left(\frac{\partial \zeta}{\partial t}\right)^{\prime} \mathbf{J M}
\]

где $W$ рассматривается как функция переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t$. В скалярной форме равенство (26) запишется в виде $2 n$ соотношений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W}{\partial q_{i}}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial Q_{j}}{\partial t} \frac{\partial P_{j}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{k}} \frac{\partial P_{j}}{\partial t}\right) \equiv \Phi_{k} \quad(k=1,2, \ldots, n), \\
\frac{\partial W}{\partial p_{l}}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial P_{j}}{\partial p_{l}} \frac{\partial Q_{j}}{\partial t}-\frac{\partial P_{j}}{\partial t} \frac{\partial Q_{j}}{\partial p_{l}}\right) \equiv \Psi_{l} \quad(l=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где обозначения $\Phi_{k}, \Psi_{l}$ для производных функции $W$ введены для краткости записи. Величины $\Phi_{k}$ и $\Psi_{l}$ являются производными по $q_{k}$ и $p_{l}$ от некоторой функции $W$ в том и только в том случае, когда выполнены условия
\[
\frac{\partial \Phi_{k}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial \Phi_{i}}{\partial q_{k}}, \quad \frac{\partial \Psi_{k}}{\partial p_{i}}=\frac{\partial \Psi_{i}}{\partial p_{k}}, \quad \frac{\partial \Phi_{k}}{\partial p_{i}}=\frac{\partial \Psi_{i}}{\partial q_{k}} \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти условия, как показывают непосредственные вычисления, могут быть записаны в виде
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left[q_{i}, q_{k}\right]=0, \quad \frac{\partial}{\partial t}\left[p_{i}, p_{k}\right]=0, \quad \frac{\partial}{\partial t}\left[q_{i}, p_{k}\right]=0 \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как преобразование (4) каноническое, то имеют место равенства (11), откуда вытекает справедливость равенств (27), а следовательно, и равенства (25).

Таким образом, уравнение (24) может быть записано в виде
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\mathbf{J}\left(c H_{\zeta}^{\prime}+W_{\zeta}^{\prime}\right)
\]

Если обозначить $\mathcal{H}$ функцию $c H+W$, то последнее уравнение примет гамильтонову форму
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\mathbf{J} \mathcal{H}_{\zeta}^{\prime} .
\]

Роль новой функции Гамильтона играет функция $\mathcal{H}$. Теорема доказана.
Приведем некоторые простые, по практически важные примеры канонических преобразований. Старую и новую функции Гамильтона обозначим соответственно $H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)$ и $\mathcal{H}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, t)$.
ПРимЕР 1. Тождественное преобразование
\[
Q_{j}=q_{j}, \quad P_{j}=p_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

Это унивалентное каноническое преобразование; при этом $\mathcal{H}=H(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, t)$.
ПРимеР 2. Преобразование
\[
Q_{j}=p_{j}, \quad P_{j}=q_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

Это каноническое преобразование с валентностью $c=-1$. Оно меняет ролями обобщенные координаты и обобщенные импульсы. При этом
\[
\mathcal{H}=-H(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}, t) .
\]

ПРимер 3. Преобразование
\[
Q_{j}=\alpha q_{j}, \quad P_{j}=\beta p_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n ; \alpha=\mathrm{const}, \beta=\mathrm{const}, \alpha \beta
eq 0) .
\]

Это преобразование каноническое, и
\[
\mathcal{H}=\alpha \beta H\left(\frac{1}{\alpha} \boldsymbol{Q}, \frac{1}{\beta} \boldsymbol{P}, t\right) .
\]

ПРимеР 4. Преобразование
\[
Q_{j}=\alpha p_{j}, \quad P_{j}=\beta q_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n ; \alpha=\mathrm{const}, \beta=\mathrm{const}, \alpha \beta
eq 0) .
\]

Это преобразование также каноническое, а
\[
\mathcal{H}=-\alpha \beta H\left(\frac{1}{\beta} \boldsymbol{P}, \frac{1}{\alpha} \boldsymbol{Q}, t\right) .
\]

Примеры 2 и 4 показывают, что при канонических преобразованиях может исчезнуть различие между кординатами и импульсами. Применение названий «импуль» и «координата» может стать чисто условным. Поэтому для пары переменных $Q_{i}$ и $P_{i}$, очень удобно название «канонически сопряженные переменные».
ПРимер 5. Перенос начала координат в фазовом пространстве
\[
\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{q}-\boldsymbol{f}(t), \quad \boldsymbol{P}=\boldsymbol{p}-\boldsymbol{g}(t)
\]

представляет собой унивалентное каноническое преобразование. При этом новые переменные $\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}$ удовлетворяют системе дифференцильных уравнений с функцией Гамильтона
\[
\mathcal{H}=H(\boldsymbol{Q}+\boldsymbol{f}(t), \boldsymbol{P}+\boldsymbol{g}(t), t)+\frac{d \boldsymbol{g}}{d t} \cdot \boldsymbol{Q}-\frac{d \boldsymbol{f}}{d t} \cdot \boldsymbol{P},
\]

где точкой обозначено скалярное произведение векторов.
ПРимер 6. Преобразование
\[
q_{j}=\sqrt{2 r_{j}} \sin \varphi_{j}, \quad p_{j}=\sqrt{2 r_{j}} \cos \varphi_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n)
\]

является унивалентным каноническим преобразованием. Оно осуществляет переход от пары канонически сопряженных переменных $q_{j}, p_{j}$, играющих роль декартовых координат на плоскости, к паре канонически сопряженных переменных $\varphi_{j}, r_{j}$ ( $\varphi_{j}$ – «координата», $r_{j}$ – «импульс»), имеющих характер полярных координат.
Если старая функция Гамильтона имела вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}\left(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}\right),
\]

то уравнениям для переменных $\varphi_{j}, r_{j}$ соответствует функция Гамильтона
\[
\mathcal{H}=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} r_{j} .
\]

ПРимеР 7. Преобразование
\[
Q_{j}=q_{j}-i p_{j}, \quad P_{j}=q_{j}+i p_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n),
\]

где $i$ – мнимая единица ( $\left.i^{2}=-1\right)$, осуществляет переход к комплексно сопряженным переменным. Оно яв.яется каноническим с валентностью $2 i$ и
\[
\mathcal{H}=2 i H\left(\frac{\boldsymbol{P}+\boldsymbol{Q}}{2}, \frac{\boldsymbol{P}-\boldsymbol{Q}}{2 i}, t\right) .
\]

Если, например, старая функция Гамильтона имеет вид (35), то
\[
\mathcal{H}=i \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} Q_{j} P_{j} .
\]
171. Канонические преобразования и процесс движения. Очень важным примером канонического преобразования служит процесс движения, описываемого гамильтоновой системой дифференциальных уравнений.

Пусть для гамильтоновой системы (1) при $t=0 \boldsymbol{z}^{\prime}=\boldsymbol{z}_{0}^{\prime}=\left(\boldsymbol{q}_{0}^{\prime}, \boldsymbol{p}_{0}^{\prime}\right)$. Тогда вектор-функция $\boldsymbol{\zeta}^{\prime}=\boldsymbol{\zeta}^{\prime}\left(\boldsymbol{z}_{0}, t\right)=\left(\boldsymbol{q}^{\prime}\left(\boldsymbol{q}_{0}, \boldsymbol{p}_{0}, t\right), \boldsymbol{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{q}_{0}, \boldsymbol{p}_{0}, t\right)\right)$ удовлетворяет тождеству
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\mathbf{J} H_{\zeta}^{\prime} .
\]

Она задает преобразование фазового пространства $\boldsymbol{q}_{0}, \boldsymbol{p}_{0} \rightarrow \boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$.
Теорема. Преобразование фазового пространства, задаваемое движениями гамильтоновой системы, является унивалентным каноническим преобразованием.
Доказательство.
Надо убедиться в том, что матрица Якоби $\mathbf{M}=\partial \zeta / \partial \boldsymbol{z}_{0}$ удовлетворяет тождеству (7) при $c=1$, т. е.
\[
\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J M}=\mathbf{J} .
\]

Для этого найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют матрицы $\mathbf{M}$ и $\mathbf{M}^{\prime}$. Продифференцировав обе части тождества (40) по $z_{0}$, получим
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \zeta}{\partial z_{0}}=\mathbf{J} H_{\zeta \zeta} \frac{\partial \zeta}{\partial z_{0}},
\]

или
\[
\frac{d \mathbf{M}}{d t}=\mathrm{J} H_{\zeta \zeta} \mathbf{M} .
\]

Транспонируя обе части этого равенства и учитывая соотношения (3) и симметричность матрицы $H_{\zeta \zeta}$, получим
\[
\frac{d \mathbf{M}^{\prime}}{d t}=\mathbf{M}^{\prime} H_{\zeta \zeta}^{\prime} \mathbf{J}^{\prime}=-\mathbf{M}^{\prime} H_{\zeta \zeta} \mathbf{J} .
\]

Учитывая (42) и (43), вычислим теперь производную по времени от матрицы $\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}$. Имеем
\[
\frac{d\left(\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}\right)}{d t}=\frac{d \mathbf{M}^{\prime}}{d t} \mathbf{J} \mathbf{M}+\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J} \frac{d \mathbf{M}}{d t}=-\mathbf{M}^{\prime} H_{\zeta \zeta} \mathbf{J} \mathbf{J} \mathbf{M}+\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{J} H_{\zeta \zeta} \mathbf{M} .
\]

Если теперь заметить, что, согласно равенствам (3), $\mathbf{J}^{2}=-\mathbf{E}_{2 n}$, то это выражение можно представить и виде
\[
\frac{d\left(\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}\right)}{d t}=\mathbf{M}^{\prime} H_{\zeta \zeta} \mathbf{M}-\mathbf{M}^{\prime} H_{\zeta \zeta} \mathbf{M} \equiv 0 .
\]

Отсюда следует, что матрица $\mathbf{M}^{\prime} \mathbf{J} \mathbf{M}$ постоянна. Но при $t=0$ она, очевидно, равна $\mathbf{J}$. Поэтому при всех $t$ имеет место равенство (41). Теорема доказана.
172. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.

Пусть $G_{0}$ – некоторая область фазового пространства $q_{1}, \ldots, q_{n}$, $p_{1}, \ldots, p_{n}$. Из каждой ее точки $q_{10}, \ldots, q_{n 0}, p_{10}, \ldots, p_{n 0}$ как из начальной «выпустим» траекторию системы уравнений (1). Пусть $G_{t}-$ совокупность точек $\boldsymbol{q}=q\left(q_{0}, p_{0}, t\right), \boldsymbol{p}=p\left(q_{0}, p_{0}, t\right)$ в момент времени $t, V_{0}$ – объем области $G_{0}$, а $V_{t}$ – объем области $G_{t}$.
Теорема (Лиувилля). При движении гамильтоновой системы фазовый объем остается постоянным, $m$. $е . V_{t}=V_{0}$ при любом $t$.

Доказательство.
Имеем равенства
\[
\begin{aligned}
V_{0} & =\int \ldots \int d q_{10} \ldots d q_{n 0} d p_{10} \ldots d p_{n 0}, \\
V_{t} & =\int \underset{G_{t}}{G_{0}} \ldots \int d q_{1} \ldots d q_{n} d p_{1} \ldots d p_{n} .
\end{aligned}
\]

В интеграле, входящем во второе из этих равенств, перейдем от переменных $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ к переменным $q_{10}, \ldots, q_{n 0}, p_{10}, \ldots, p_{n 0}$. Тогда, как известно из курса математического анализа,
\[
V_{t}=\int \underset{G_{0}}{ } \ldots \int|\operatorname{det} \mathbf{M}| d q_{10} \ldots d q_{n 0} d p_{10} \ldots d p_{n 0},
\]

где (в обозначениях предыдущего пункта) $\mathbf{M}=\partial \zeta / \partial \boldsymbol{z}_{0}$. Матрица $\mathbf{M}$ удовлетворяет равенству (41). Так как $\operatorname{det} \mathbf{J}=1$, то из него следует, что $\operatorname{det} \mathbf{M}= \pm 1$. Но при $t=0$, очевидно, $\mathbf{M}=$ $=\mathbf{E}_{2 n}$ и $\operatorname{det} \mathbf{M}=\operatorname{det} \mathbf{E}_{2 n}=+1$. Отсюда, ввиду непрерывности $\mathbf{M}$, получаем, что и при любых $t \operatorname{det} \mathbf{M}=+1$. Поэтому из (44) и (45) следует, что $V_{t}=V_{0}$. Теорема доказана.
173. Свободное каноническое преобразование и его производящая функция. Пусть преобразование (4) каноническое и в некоторой области фазового пространства удовлетворяет условию
\[
\operatorname{det} \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{p}}
eq 0 \text {. }
\]

Тогда преобразование (4) называется свободным каноническим преобразованием.

При выполнении условия (46) из первых $n$ равенств (4) можно выразить $\boldsymbol{p}$ через $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}$ и $t$. Тогда выражение (18) может быть записано в виде
\[
c \sum_{k=1}^{n} p_{k} \delta q_{k}-\sum_{k=1}^{n} P_{k} \delta Q_{k}=\delta F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t), t)=\delta S(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t),
\]

где $S$ – функция $F$, в которой $\boldsymbol{p}$ заменено на $\boldsymbol{p}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)$.
Из равенства (47) вытекают соотношения
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{i}}=c p_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial Q_{i}}=-P_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Функция $S$ называется производящей функцией свободного канонического преобразования (4).

Очевидно, что верно и обратное утверждение: если заданы дважды непрерывно дифференцируемая функция $S(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)$ и число $c
eq 0$, то при условии
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial Q_{i} \partial q_{k}}\right\|_{i, k=1}^{n}
eq 0
\]

формулы (48) задают свободное каноническое преобразование с валентностью $c$.

При условии (49) формулы (48) можно представить в виде (4). В самом деле, условие (49) означает, что первые $n$ равенств из соотношений (48) можно разрешить относительно $Q_{i}$. Сделав это, получим $Q_{i}=Q_{i}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)$. Подставив эти функции в левые части последних $n$ равенств из (48), получим $P_{i}=P_{i}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)$.

В п. 170 мы получили уравнение (24) и показали, что его можно записать в гамильтоновой форме. Осуществим эту запись, используя производящую функцию $S$. В (24) $H$ представляет собой старую функцию Гамильтона, выраженную через новые переменные, а
\[
\left(\frac{\partial \boldsymbol{\zeta}}{\partial t}\right)^{\prime}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{Q}^{\prime}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)}{\partial t}, \frac{\partial \boldsymbol{P}^{\prime}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)}{\partial t}\right) .
\]

В первых $n$ равенствах соотношений (48) величину $\boldsymbol{Q}$ заменим на ее выражение $\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)$. В результате эти равенства станут тождествами относительно старых переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t$. Продифференцировав их по $t$, получим
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial Q_{k}} \frac{\partial Q_{k}}{\partial t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial t}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Меняя здесь порядок дифференцирования и пользуясь последними $n$ равенствами из (48), имеем
\[
-\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial Q_{k}}{\partial t} \frac{\partial P_{k}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Применяя векторно-матричные обозначения, запишем эти равенства в виде
\[
-\frac{\partial \boldsymbol{Q}^{\prime}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{q}}+\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial \boldsymbol{q}}=0,
\]

или
\[
\frac{\partial \boldsymbol{Q}^{\prime}}{\partial t}=\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial \boldsymbol{q}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{q}}{\partial \boldsymbol{P}}=\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{P}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}\right) .
\]

Далее, последние $n$ равенств из (48) дают
\[
\frac{\partial \boldsymbol{P}^{\prime}}{\partial t}=-\frac{\partial^{2} S}{\partial \boldsymbol{Q} \partial t}=-\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{Q}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}\right) .
\]

Из (50) и (51), (52) получаем
\[
\frac{\partial \zeta}{\partial t}=\mathbf{J}\left(\frac{\partial}{\partial \zeta} \frac{\partial S}{\partial t}\right)^{\prime} .
\]

Следовательно, уравнение (24) имеет вид
\[
\frac{\partial \zeta}{\partial t}=\mathbf{J}\left(c H+\frac{\partial S}{\partial t}\right)_{\zeta}^{\prime},
\]

и новая функция Гамильтона
\[
\mathcal{H}=c H+\frac{\partial S}{\partial t},
\]

где $H$ и $S$ должны быть выражены через $\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, t$.
Таким образом, если заданы производящая функция $S(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)$ и валентность $c$ канонического преобразования, то связь старых и новых переменных определяется из равенств (48), а функция Гамильтона, отвечающая преобразованной к новым переменным $\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}$ системе (1), вычисляется по формуле (54). Мы видим, что при преобразовании системы (1) к новым переменным нужно все вычисления проводить не с $2 n$ функциями (4), а с двумя функциями $S$ и $H$. Ясно, насколько это важно при рассмотрении конкретных задач, особенно при большом числе степеней свободы $n$.

Можно заранее задать структуру новой функции Гамильтона $\mathcal{H}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, t)$ и пытаться так подобрать производящую функцию $S$, чтобы удовлетворялось равенство (54), которое, с учетом формул (48), записывается в виде
\[
\frac{\partial S(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)}{\partial t}+c H\left(\boldsymbol{q}, \frac{1}{c}\left(\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime}, t\right)=\mathcal{H}\left(\boldsymbol{Q},-\left(\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\prime}, t\right) .
\]

Можно, например, потребовать, чтобы какие-то (или даже все) «координаты» $Q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ не входили в новую функцию Гамильтона. И если удастся так подобрать $S$, чтобы удовлетворялось уравнение (55), то среди новых переменных в рассматриваемой задаче будут циклические «координаты», что позволяет (см. п. 164) понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на величину $2 k$ ( $k$ – число циклических координат). А если все координаты циклические, то задача сводится к элементарным квадратурам, так как тогда $\mathcal{H}=\mathcal{H}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{t})$, и уравнения движения в новых переменных имеют вид
\[
\frac{d Q_{i}}{d t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_{i}}=f_{i}(\boldsymbol{P}, t), \quad \frac{d P_{i}}{d t}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

и, если $Q_{i 0}, P_{i 0}$ – начальные значения величин $Q_{i}, P_{i}$, отсюда следует, что
\[
Q_{i}=\int_{0}^{t} f_{i}\left(\boldsymbol{P}_{0}, t\right) d t+Q_{i 0}, \quad P_{i}=P_{i 0} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, мы имеем вполне определенный метод упрощения уравнений движения, который приводит к новой постановке задачи интегрирования уравнений динамики (1) – поиску функции $S$, удовлетворяющей уравнению в частных производных (55).
ПРимер 1. Канонические преобразования примеров $1,3,5$ п. 170 не являются свободными. В них переменные $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}$ зависимы и свободно задаваться не могут.
ПРимер 2. Остальные канонические преобразования, рассмотренные в примерах $n$. 170 , являются свободными, причем для преобразования (29)
\[
c=-1, \quad S=-\sum_{j=1}^{n} q_{j} Q_{j},
\]

для преобразования (31)
\[
c=-\alpha \beta, \quad S=-\beta \sum_{j=1}^{n} q_{j} Q_{j},
\]

для преобразования (34)
\[
c=1, \quad S=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} q_{j}^{2} \operatorname{ctg} \varphi_{j}
\]

и для преобразования (37)
\[
c=2 i, \quad S=\sum_{j=1}^{n}\left(q_{j}^{2}-2 q_{j} Q_{j}+\frac{1}{2} Q_{j}^{2}\right) .
\]
174. 0 других типах производящих функций. Мы видели, что не все канонические преобразования являются свободными, и поэтому не каждое каноническое преобразование можно задать при помощи производящей функции вида $S(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)$. Однако можно перейти к иным типам производящих функций. Пусть, например, преобразование (4) таково, что
\[
\operatorname{det} \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial \boldsymbol{p}}
eq 0 \text {. }
\]

Тогда из последних $n$ равенств (4) можно выразить $\boldsymbol{p}$ через $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}$ и $t$ и можно получить производящую функцию $S_{1}$ канонического преобразования (4), зависящую не от ( $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)$, как это было в случае свободного преобразования, а от переменных $(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)^{1}$. В самом деле, перепишем (18) в виде
\[
c \sum_{k=1}^{n} p_{k} \delta q_{k}-\sum_{k=1}^{n} P_{k} \delta Q_{k}-\sum_{k=1}^{n} Q_{k} \delta P_{k}+\sum_{k=1}^{n} Q_{k} \delta P_{k}=\delta F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)
\]

или
\[
c \sum_{k=1}^{n} p_{k} \delta q_{k}+\sum_{k=1}^{n} Q_{k} \delta P_{k}=\delta\left(F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, t)+\sum_{k=1}^{n} Q_{k} P_{k}\right) .
\]

Последнее равенство можно окончательно записать в виде
\[
c \sum_{k=1}^{n} p_{k} \delta q_{k}+\sum_{k=1}^{n} Q_{k} \delta P_{k}=\delta S_{1}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t),
\]

где через $S_{1}$ обозначена функция $F+\sum_{k=1}^{n} Q_{k} P_{k}$, в которой величины $Q_{k}$ заменены на их выражения из первых $n$ равенств (4), а переменная $\boldsymbol{p}$ заменена затем на ее значение $\boldsymbol{p}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, \boldsymbol{t})$, получающееся из последних $n$ равенств (4).
Из (61) следует, что
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial q_{i}}=c p_{i}, \quad \frac{\partial S}{\partial P_{i}}=Q_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

И в точности так же, как и для свободного канонического преобразования, можно получить выражение для функции Гамильтона преобразованной системы (1)
\[
\mathcal{H}=c H+\frac{\partial S_{1}}{\partial t}
\]

где $H$ и $\partial S_{1} / \partial t$ должны быть записаны в новых переменных. Верно и обратное: если заданы число $c
eq 0$ и дважды непрерывно дифференцируемая функция $S_{1}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)$, удовлетворяющая условию
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S_{1}}{\partial q_{i} \partial P_{k}}\right\|_{i, k=1}^{n}
eq 0,
\]

то формулы (62) задают каноническое преобразование с валентностью, равной $c$. При условии (64) формулы (62) можно записать в виде равенств (4).

Мы рассмотрели два типа производящих функций $S(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{Q}, t)$ и $S_{1}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, t)$. Эти функции наиболее часто применяются при интегрировании (точном или приближенном) уравнений динамики. Но $\boldsymbol{q}$ и $\boldsymbol{P}$ тоже не всегда можно принять за независимые переменные. Однако ${ }^{1}$ если заданы $2 n$ независимых функций $Q_{i}, P_{i}$ от $2 n$ независимых переменных $q_{i}, p_{i}$, то из $4 n$ величин $Q_{i}, P_{i}, q_{i}, p_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ всегда можно выбрать $2 n$ независимых так, чтобы при соответствующей нумерации переменных производящая функция $U$ зависела от величин
\[
q_{1}, \ldots, q_{l}, \quad p_{l+1}, \ldots, p_{n}, \quad Q_{1}, \ldots, Q_{k}, \quad P_{k+1}, \ldots, P_{n} \quad(l \geqslant 0, k \leqslant n),
\]

и, быть может, от времени (в наборе $2 n$ переменных (65) отсутствуют пары канонически сопряженных переменных $q_{i}, p_{i}$ или $Q_{j}, P_{j}$ ). При

этом каноническая замена переменных и новая функция Гамильтона определяются по формулам
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial U}{\partial q_{i}}=c p_{i}, \quad \frac{\partial U}{\partial p_{g}}=-c q_{g}, \quad \frac{\partial U}{\partial Q_{j}}=-P_{j}, \quad \frac{\partial U}{\partial P_{h}}=Q_{h}, \\
\mathcal{H}=c H+\frac{\partial U}{\partial t} \quad(i=1, \ldots, l ; g=l+1, \ldots, n ; \\
j=1, \ldots, k ; h=k+1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

ПРимЕР 1. Тождественное преобразование (28)
\[
Q_{j}=q_{j}, \quad P_{j}=p_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n)
\]

задается производящей функцией
\[
S_{1}=\sum_{j=1}^{n} q_{j} P_{j}
\]

при этом $c=1$.
ПРимеР 2. Для преобразования (30)
\[
c=\alpha \beta, \quad S_{1}=\alpha \sum_{j=1}^{n} q_{j} P_{j} .
\]

ПРимЕР 3. Для канонического преобразования (32), определяющего перенос начала координат в фазовом пространстве,
\[
c=1, \quad S_{1}=\sum_{j=1}^{n} q_{j} P_{j}+\sum_{j=1}^{n}\left(g_{j}(t) q_{j}-f_{j}(t) P_{j}\right) .
\]

ПРимеР 4. Пусть задана произвольная дифференцируемая обратимая замена обобщенных координат $\boldsymbol{q} \rightarrow \boldsymbol{Q}$, определяемая формулами
\[
Q_{i}=f_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Iри этом преобразовании новые координаты выражаются только через старые координаты (но не импульсы). Оно является частным случаем канонических преобразований. Действительно, если положить $c=1 u$
\[
S_{1}=\sum_{j=1}^{n} P_{j} f_{j}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right),
\]

то, согласно формулам (62), новые и старые импульсы связаны соотношениями
\[
p_{i}=\sum_{j=1}^{n} P_{j} \frac{\partial f_{j}}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

ПРИмеР 5. Рассмотрим важный частный случай предыдущего примера: переход к вращающейся системе координт. Пусть
\[
\boldsymbol{Q}=\mathbf{A} \boldsymbol{q}
\]

где $\mathbf{A}$ – ортогональная матрица $\left(\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}^{-1}\right)$, которая не обязательно постоянна. Непосредственным вычислением нетрудно показать, что формулы (74) вместе с заменой переменных
\[
\boldsymbol{P}=\mathbf{A p}
\]

определяют унивалентное каноническое преобразование. Согласно формуле (72), этому преобразованию соответствует производщая функиия
\[
S_{1}=\boldsymbol{P} \cdot \mathbf{A} \boldsymbol{q} .
\]

Примечательно, что обобщенные импульсы преобразуются по тем же формулам, что и обобщенные координаты.

Новая функция Гамильтона $\mathcal{H}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, t)$ вычисляется по старой $H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{t})$ в соответствии с равенством (63):
\[
\mathcal{H}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, t)=H\left(\mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{Q}, \mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{P}, t\right)+\frac{\partial S_{1}}{\partial t} .
\]

Если матрица А постоянна, то $\partial S_{1} / \partial t \equiv 0$. Если же $\mathbf{A}$ не будет постоянной матрицей, то
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial t}=\boldsymbol{P} \frac{d \mathbf{A}}{d t} \boldsymbol{q}=\boldsymbol{P} \cdot \frac{d \mathbf{A}}{d t} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{Q} .
\]

Так как $\mathbf{A}$ – ортогональная матрица, то произведение $\frac{d \mathbf{A}}{d t} \mathbf{A}^{-1}$ (см. п. 24) – кососимметрическая матрица. Пусть
\[
\frac{d \mathbf{A}}{d t} \mathbf{A}^{-1}=\left\|\begin{array}{rrr}
0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\
\omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\
-\omega_{2} & \omega_{1} & 0
\end{array}\right\| .
\]

Если ввести вектор $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$, то
\[
\frac{d \mathbf{A}}{d t} \mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{Q}
\]

и формула (78) может быть записана в виде
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial t}=\boldsymbol{P} \cdot[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{Q}]=\boldsymbol{\omega} \cdot[\boldsymbol{Q} \times \boldsymbol{P}] .
\]

Таким образом, окончательно получаем функцию Гамильтона, соответствующую движению во вращающейся системе кооринат:
\[
\mathcal{H}=H\left(\mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{Q}, \mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{P}, t\right)+\boldsymbol{\omega} \cdot[\boldsymbol{Q} \times \boldsymbol{P}] .
\]

ПРИМЕР 6 (ПЕРЕХОД оТ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ К ПОЛЯРНЫМ). Пусть
\[
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi .
\]

Если взять $c=1, a$
\[
S_{1}=p_{x} r \cos \varphi+p_{y} r \sin \varphi,
\]

то из равенств
\[
p_{r}=\frac{\partial S_{1}}{\partial r}=p_{x} \cos \varphi+p_{y} \sin \varphi, \quad p_{\varphi}=\frac{\partial S_{1}}{\partial \varphi}=-p_{x} r \sin \varphi+p_{y} r \cos \varphi
\]

находим
\[
p_{x}=p_{r} \cos \varphi-\frac{\sin \varphi}{r} p_{\varphi}, \quad p_{y}=p_{r} \sin \varphi+\frac{\cos \varphi}{r} p_{\varphi} .
\]

Формулы (80), (81) задают унивалентное каноническое преобразование $x, y, p_{x}, p_{y} \rightarrow r, \varphi, p_{r}, p_{\varphi}$. Если, например,
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+\Pi\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right),
\]
mo
\[
\mathcal{H}=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}} p_{\varphi}^{2}\right)+\Pi(r) .
\]

ПРИМЕР 7 (ПЕРЕХОД ОТ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ К СФЕРИЧЕСКИМ). Если
\[
x=r \sin \theta \cos \varphi, \quad y=r \sin \theta \sin \varphi, \quad z=r \cos \theta,
\]

то, положив $c=1, a$
\[
S_{1}=p_{x} r \sin \theta \cos \varphi+p_{y} r \sin \theta \sin \varphi+p_{z} r \cos \theta,
\]

из соотношений
\[
p_{r}=\frac{\partial S_{1}}{\partial r}, \quad p_{\varphi}=\frac{\partial S_{1}}{\partial \varphi}, \quad p_{\theta}=\frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
p_{x}=\sin \theta \cos \varphi p_{r}-\frac{\sin \varphi}{r \sin \theta} p_{\varphi}+\frac{\cos \theta \cos \varphi}{r} p_{\theta}, \\
p_{y}=\sin \theta \sin \varphi p_{r}+\frac{\cos \varphi}{r \sin \theta} p_{\varphi}+\frac{\cos \theta \sin \varphi}{r} p_{\theta}, \\
p_{z}=\cos \theta p_{r}-\frac{\sin \theta}{r} p_{\theta} .
\end{array}
\]

Равенства (84), (85) задают унивалентное каноническое преобразование $x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z} \rightarrow r, \varphi, \theta, p_{r}, p_{\varphi}, p_{\theta}$. Например, для
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+\Pi\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right),
\]

имеем
\[
\mathcal{H}=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2} \sin ^{2} \theta}+\frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}}\right)+\Pi(r) .
\]

ПРимеР 8. Пусть задана некоторая дифференцируемая обратимая замена обобщенных импльсов:
\[
p_{i}=g_{i}\left(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, n), \quad \operatorname{det} \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{P}}
eq 0 .
\]

Формулы (88) задают связь старых и новых импульсов (но не координат).
Положим $c=1, a$
\[
S_{1}=\sum_{k=1}^{n} q_{k} g_{k}\left(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, t\right) .
\]

Тогда из формул (62) находим соотношения
\[
Q_{i}=\frac{\partial S_{1}}{\partial P_{i}}=\sum_{k=1}^{n} q_{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial P_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти соотношения представляют собой линейную неоднородную систему уравнений относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Определитель системы – это транспонированный якобиан из (88). Так как он отличен от нуля, то система уравнений (90) однозначно определяет величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ как функции $\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}$ и :
\[
q_{i}=h_{i}\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Формулы (88) и (91) задают унивалентное каноническое преобразование.