198. Удар по свободному твердому телу. Изучим влияние заданных ударных импульсов на движение твердого тела. Так как кинематическое состояние тела вполне определяется вектором скорости

какой-либо его точки и вектором угловой скорости, то задача об импульсивном движении свободного твердого тела сводится к нахождению изменений этих двух векторов за время удара.

Чтобы сделать вычисления наиболее простыми, возьмем за начало координат центр масс $G$ тела, а за оси координат примем главные центральные оси инерции тела. Введем обозначения: $S_{x}, S_{y}, S_{z}$, $L_{x}, L_{y}, L_{z}$ и $p, q, r$ – проекции главного вектора $\boldsymbol{S}^{(e)}$, главного момента $\boldsymbol{L}_{G}^{(e)}$ внешних ударных импульсов относительно центра масс и вектора угловой скорости $\omega$ тела на указанные оси; $m$ – масса; $A, B, C$ главные центральные моменты инерции тела; величины $A p, B q, C r$ будут проекциями вектора $\boldsymbol{K}_{G}$ кинетического момента тела относительно центра масс.

Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента, согласно равенствам (2) и (3) предыдушего параграфа, дают два векторных уравнения
\[
m \Delta \boldsymbol{v}_{G}=\boldsymbol{S}^{(e)}, \quad \Delta \boldsymbol{K}_{G}=\boldsymbol{L}_{G}^{(e)} .
\]

Отсюда получаем выражения для проекций приращений вектора скорости центра масс $\Delta \boldsymbol{v}_{G}$ и вектора угловой скорости $\Delta \omega$ :
\[
\begin{array}{c}
v_{G x}^{+}-v_{G x}{ }^{-}=\frac{S_{x}}{m}, \quad v_{G y}{ }^{+}-v_{G y}{ }^{-}=\frac{S_{y}}{m}, \quad v_{G z}{ }^{+}-v_{G z}{ }^{-}=\frac{S_{z}}{m}, \\
p^{+}-p^{-}=\frac{L_{x}}{A}, \quad q^{+}-q^{-}=\frac{L_{y}}{B}, \quad r^{+}-r^{-}=\frac{L_{z}}{C} .
\end{array}
\]

Если тело совершает плоское движение, например, параллельно плоскости $O x y$, то из шести соотношений $(2),(3)$ остаются только три:
\[
v_{G x}{ }^{+}-v_{G x}{ }^{-}=\frac{S_{x}}{m}, \quad v_{G y}{ }^{+}-v_{G y}{ }^{-}=\frac{S_{y}}{m}, \quad r^{+}-r^{-}=\frac{L_{z}}{C} .
\]

УПРАЖНЕНИЕ 1. Показать, что первоначально покоящееся тело в его импульсивном движении относительно центра масс начнет вращаться вокруг радиуса-вектора той точки центрального эллипсоида инерции, в которой плоскость, касательная к поверхности эллипсоида, перпендикулярна главному моменту ударных импульсов относительно центра масс.

Найдем изменение кинетической энергии твердого тела под действием заданных ударных импульсов. Согласно теореме Кёнига (см. п. 83,84 ), имеем такое выражение для кинетической энергии:
\[
T=\frac{1}{2} m v_{G}^{2}+\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) .
\]

Подставив в это выражение сначала значения $\boldsymbol{v}_{G}^{+}, \boldsymbol{\omega}^{+}$векторов скорости центра масс и угловой скорости тела после удара, а затем их значения $\boldsymbol{v}_{G}^{-}, \boldsymbol{\omega}^{-}$до удара и вычтя почленно полученные равенства, найдем, на основании уравнений $(2),(3)$
\[
T^{+}-T^{-}=\boldsymbol{S}^{(e)} \cdot \frac{\boldsymbol{v}_{G}^{+}+\boldsymbol{v}_{G}^{-}}{2}+\boldsymbol{L}^{(e)} \cdot \frac{\boldsymbol{\omega}^{+}+\boldsymbol{\omega}^{-}}{2} .
\]

Величины $\boldsymbol{v}_{G}^{+}$и $\boldsymbol{\omega}^{+}$можно отсюда исключить опять же при помощи уравнений $(2),(3)$. В результате получим следующее выражение для изменения кинетической энергии тела через главный вектор $\boldsymbol{S}^{(e)}$ и главный момент $\boldsymbol{L}_{G}^{(e)}$ заданных ударных импульсов и через величины $\boldsymbol{v}_{G}^{-}, \boldsymbol{\omega}^{-}$, которые определяют доударное кинематическое состояние твердого тела:
\[
T^{+}{ }^{-} T^{-}=\frac{1}{2}\left(\frac{S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2}}{m}+\frac{L_{x}^{2}}{A}+\frac{L_{y}^{2}}{B}+\frac{L_{z}^{2}}{C}\right)+\boldsymbol{S}^{(e)} \cdot \boldsymbol{v}_{G}^{-}+\boldsymbol{L}_{G}^{(e)} \cdot \boldsymbol{\omega}^{-} .
\]

УпРАжНЕНИЕ 2. Неподвижное свободное твердое тело приводят к вращению относительно центра масс при помощи пары ударных сил. Величина импульсивного момента пары равна $L$. Главные центральные моменты инерции тела удовлетворяют неравенствам $A>B>C$. Показать, что максимально возможное значение приобретаемой телом кинетической энергии равно $\frac{L^{2}}{2 C}$, а вектор момента пары должен быть при этом коллинеарен наибольшей оси центрального эллипсоида инерции тела.

ПРимер 1. Горизонтальным кием ударяют бильярдный шар в его меридианной плоскости (рис. 148). На какой высоте $h$ над центром шара следует сообщить удар, чтобы после удара шар двигался без скольжения?

Пусть $т$ – масса шара, $R$ – его радиус, $I$ – величина ударного импульса. Если $v$ – скорость центра, а $\omega$ – угловая скорость шара после удара, то справедли-
Рис. 148
вы уравнения
\[
m v=I, \quad \frac{2}{5} m R^{2} \omega=I h .
\]

(Реакция плоскости конечна и не дает вклада в ударный импульс). Из (7) и условия $v=\omega R$ отсутствия скольжения находим $h=\frac{2}{5} R$.
ПРимер 2. Твердое тело, имеющее форму пластинки, совершает произвольное движение в своей плоскости. Точку $P$ пластинки внезапно останавливают (шарнирно закрепляют). Где должна находиться точка $P$, чтобы пластинка остановилась?
Пусть $\boldsymbol{v}$ – скорость центра масс $G$, а $\boldsymbol{\omega}-$ угловая скорость пластинки в момент, непосредственно предшествующий закреплению точки $P$. Для удобства вычислений ось $G x$ на-
Рис. 149 правим вдоль вектора $\boldsymbol{v}$, координаты точки $P$ обозначим через $x, y$ (рис. 149).

Так как $G z$ – главная центральная ось инериии, то для описания импульсивного движения применимы уравнения (4). В этих уравнениях $L_{z}=x S_{y}-y S_{x}$, где $S_{x}, S_{y}$ – компоненты ударного импульса, возникающего при закреплении точки $P$.

Учитывая, что $v_{G x}^{-}=v, v_{G y}^{-}=v_{G x}^{+}=v_{G y}^{+}=0, r^{-}=\omega$, $r^{+}=0$, из уравнений (4) находим $S_{x}=-m v, S_{y}=0, x-$ произвольная величина, а $y=-\frac{C \omega}{m v}$. Следовательно, точка $P$ должна лежать в полуплоскости $у<0$ на прямой, параллельной направлению скорости центра масс и отстоящей от него на расстоянии $\frac{C \omega}{m v}$.

Пусть в точке $Q$ покоящегося тела приложен ударный импульс $\boldsymbol{I}$. Из уравнений (1), (2) тогда получаем $\boldsymbol{v}_{G}^{+}=\frac{\boldsymbol{I}}{m}, \boldsymbol{K}_{G}^{+}=\overline{G Q} \times \boldsymbol{I}$. Отсюда следует, что послеударное кинематическое состояние первоначально покоящегося тела не вполне произвольно: скорость центра масс и кинетический момент относительно центра масс должны быть ортогональными.

УПРАЖнЕнИЕ 3. Из сказанного выше сразу следует, что если свободное твердое тело движется так, что $\boldsymbol{K}_{G} \cdot \boldsymbol{v}_{G}
eq 0$, то его нельзя остановить одним импульсом. Показать, что если $\boldsymbol{K}_{G} \cdot \boldsymbol{v}_{G}=0$ и $\boldsymbol{v}_{G}
eq 0$, то тело можно остановить, приложив к нему единственный импульс. Каковы будут его величина и линия действия?
199. Удар по телу с одной неподвижной точкой. Неподвижную точку $O$ примем за начало координат, а оси $x, y, z$ совместим с главными осями инерции тела для точки $O$; через $\boldsymbol{S}$ и $\boldsymbol{L}$ обозначим главный вектор и главный момент ударных импульсов активных сил.

Задача состоит в нахождении приращения $\Delta \omega$ вектора угловой скорости тела и ударного импульса реакции, который может возникнуть в точке $O$.

Проекции приращения вектора угловой скорости определяются уравнениями (3), в которых теперь $A, B, C$ – главные моменты инерции тела относительно точки $O$.

Ударный импульс $\boldsymbol{I}^{\prime}$ реакции в точке $O$ определяется первым из уравнений (1), которое в рассматриваемом случае принимает вид
\[
m \Delta \boldsymbol{v}_{G}=\boldsymbol{S}+\boldsymbol{I}^{\prime} .
\]

Так как положение центра масс при ударе не меняется, то $\Delta \boldsymbol{v}_{G}=\Delta \boldsymbol{\omega} \times \overline{O G}$. Поэтому на основании уравнения (8) заключаем, что
\[
\boldsymbol{I}^{\prime}=m \Delta \boldsymbol{\omega} \times \overline{O G}-\boldsymbol{S} .
\]

Рассмотрим частный случай, когда на тело действует единственный активный ударный импульс $\boldsymbol{I}$, приложенный в точке $P$. Тогда $\boldsymbol{S}=\boldsymbol{I}$, а $\boldsymbol{L}=\overline{O P} \times \boldsymbol{I}$. Поставим следующий вопрос: возможно ли, и при каких условиях, чтобы заданный активный импульс $\boldsymbol{I}$ не вызывал ударной рсагции свлзи. Этот вопрос трсбуст отвста, гогда, папримср, необходимо посредством удара привести тело в движение вокруг неподвижной точки, но нет уверенности в достаточной прочности связи.

Пусть $x_{G}, y_{G}, z_{G}$ – известные координаты центра масс, а $x, y, z$ координаты точки $P$ приложения неизвестного импульса $\boldsymbol{I}$. При $\boldsymbol{I}^{\prime}=0$ из (9) и (3) получим три уравнения:
\[
\begin{aligned}
\frac{z_{G}}{B}\left(z I_{x}-x I_{z}\right)-\frac{y_{G}}{C}\left(x I_{y}-y I_{x}\right) & =\frac{I_{x}}{m}, \\
\frac{x_{G}}{C}\left(x I_{y}-y I_{x}\right)-\frac{z_{G}}{A}\left(y I_{z}-z I_{y}\right) & =\frac{I_{y}}{m}, \\
\frac{y_{G}}{A}\left(y I_{z}-z I_{y}\right)-\frac{x_{G}}{B}\left(z I_{x}-x I_{z}\right) & =\frac{I_{z}}{m} .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения линейны и однородны относительно неизвестных проекций импульса $I$, поэтому величина $I$ этого импульса может быть произвольной. Кроме того, $\boldsymbol{I}$ определяется еще с точностью до изменения его направления на противоположное.
Так как по смыслу задачи $I
eq 0$, то определитель системы (10)

должен равняться нулю:
\[
D=\left|\begin{array}{ccc}
\frac{y y_{G}}{C}+\frac{z z_{G}}{B}-\frac{1}{m} & -\frac{x y_{G}}{C} & -\frac{x z_{G}}{B} \\
-\frac{y x_{G}}{C} & \frac{z z_{G}}{A}+\frac{x x_{G}}{C}-\frac{1}{m} & -\frac{y z_{G}}{A} \\
-\frac{z x_{G}}{B} & -\frac{z y_{G}}{A} & \frac{x x_{G}}{B}+\frac{y y_{G}}{A}-\frac{1}{m}
\end{array}\right|=0 .
\]

Отсюда следует, что геометрическим местом возможного положения точек $P$ в общем случае является поверхность третьего порядка. Импульс, приложенный в любой точке этой поверхности, не вызывает ударной реакции связи. Линия действия импульса $I$ определяется из уравнений (10), если в них подставить координаты $x, y, z$ выбранной точки указанной поверхности.

В некоторых частных случаях поверхность (11) может вырождаться в более простые поверхности. Пусть, например, ось $O G$, проходящая через неподвижную точку $O$ и центр масс тела, будет главной осью инерции. Если ее принять за ось $O z$, то $x_{G}=y_{G}=0$, и уравнение (11) получит вид
\[
D=-\frac{1}{m}\left(\frac{z z_{G}}{B}-\frac{1}{m}\right)\left(\frac{z z_{G}}{A}-\frac{1}{m}\right)=0,
\]
т. е. точка $P$ должна лежать на одной из двух плоскостей, перпендикулярных главной оси инерции $O z$ и расположенных по ту же сторону от точки $O$, что и центр масс:
\[
z=\frac{B}{m z_{G}}, \quad z=\frac{A}{m z_{G}} .
\]

Из уравнений (10) тогда следует, что (при $A
eq B$ ) импульс $\boldsymbol{I}$ должен быть параллелен оси $O x$ в первом случае и оси $O y$ во втором. Для динамически симметричного тела ( $A=B$ ) плоскости (12) сливаются в одну, а импульс $I$ имеет произвольное направление в этой плоскости.
ПРимер 1. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О. В некоторый момент времени, когда угловая скорость тела равна $\omega^{-}$, в нем внезапно закрепляется вторая точка $O_{1}$, так, что после этого тело может только вращаться вокруг оси и, проходящей через точки $O$ и $O_{1}$. Найти угловую скорость тела в зтом вращении.

Обозначим через $\alpha, \beta, \gamma$ косинусы углов, ообразуемых осью и с осями $O x, O y, O z$. Кинетический момент тела относительно оси и перед

закреплением точки $O_{1}$ равен $\mathrm{Ap}^{-} \alpha+B q^{-} \beta+C r^{-} \gamma$, а после закрепления имеет (см. п. 77,82 ) величину $\left(A \alpha^{2}+B \beta^{2}+C \gamma^{2}\right) \omega^{+}$. Но ударные импульсы реакций в точках $O$ и $O_{1}$ не создают момента относительно оси и. Следовательно, кинетический момент тела относительно этой оси не изменяется во время удара. Поэтому
\[
\omega^{+}=\frac{A p^{-} \alpha+B q^{-} \beta+C r^{-} \gamma}{A \alpha^{2}+B \beta^{2}+C \gamma^{2}} .
\]
200. Удар по телу с неподвижной осью. Пусть твердое тело вращается вокруг оси, проходящей через его неподвижные точки $O$ и $O_{1}$ (рис. 150). К телу прикладывается ударная сила с импульсом $\boldsymbol{I}$. Требуется найти изменение угловой скорости вращения тела, а также ударные импульсы реакций в точках $O$ и $O_{1}$.

Пусть $O x y z$ – система координат с началом в точке $O$, ось $O z$ которой направлена по оси вращения, а ось $O x$ перпендикулярна направлснию ударного импульса, так что
Рис. 150
вектор $\boldsymbol{I}$ задается компонентами $0, I_{y}, I_{z}$. Центр масс $G$ и точка $P_{*}$ приложения импульса имеют соответственно координаты $x_{G}, y_{G}, z_{G}$ и $x_{*}, y_{*}, z_{*}$, вектор угловой скорости $\omega$ задается компонентами $0,0, r$. Для компонентов ударных импульсов $\boldsymbol{I}^{\prime}$ и $\boldsymbol{I}^{\prime \prime}$ реакций в точках $O$ и $O_{1}$ примем обозначения $I_{x}^{\prime}, I_{y}^{\prime}, I_{z}^{\prime}$ и $I_{x}^{\prime \prime}, I_{y}^{\prime \prime}, I_{z}^{\prime \prime}$ соответственно. Матрица $\mathbf{J}$ тензора инерции тела для точки $O$ имеет вид (4) п. 77. Расстояние между точками $O$ и $O_{1}$ обозначим через $h$.

Из теорем об изменении кинетического момента и количества движения имеем
\[
m \Delta \boldsymbol{\omega} \times \overline{O G}=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{I}^{\prime}+\boldsymbol{I}^{\prime \prime}, \quad \mathbf{J} \Delta \boldsymbol{\omega}=\overline{O P_{*}} \times \boldsymbol{I}+\overline{O O_{1}} \times \boldsymbol{I}^{\prime \prime} .
\]

В скалярной форме эти соотношения запишутся в виде следующих шести уравнений:
\[
\begin{aligned}
-m y_{G} \Delta r & =I_{x}^{\prime}+I_{x}^{\prime \prime}, \\
m x_{G} \Delta r & =I_{y}+I_{y}^{\prime}+I_{y}^{\prime \prime}, \\
0 & =I_{z}+I_{z}^{\prime}+I_{z}^{\prime \prime}, \\
-J_{x z} \Delta r & =y_{*} I_{z}-z_{*} I_{y}-h I_{y}^{\prime \prime}, \\
-J_{y z} \Delta r & =-x_{*} I_{z}+h I_{x}^{\prime \prime}, \\
J_{z} \Delta r & =x_{*} I_{y} .
\end{aligned}
\]

Из последнего уравнения определяется изменение угловой скорости $\Delta r$. Если ударный импульс $\boldsymbol{I}$ и ось вращения тела не лежат в одной плоскости, то величина $\Delta r$ отлична от нуля. Остальные пять уравнений $(13)-(17)$ служат для нахождения шести проекций ударных импульсов реакций в точках $O$ и $O_{1}$. Эта задача является неопределенной: нельзя найти отдельно величины $I_{z}^{\prime}$ и $I_{z}^{\prime \prime}$, а можно определить только их сумму.

Полагая, что $\Delta r
eq 0$, рассмотрим задачу об определении условий, при выполнении которых ударные импульсы реакций в точках $O$ и $O_{1}$ не возникают. При $\boldsymbol{I}^{\prime}=\boldsymbol{I}^{\prime \prime}=0$ из (15) следует, что $I_{z}=0$, т. е. направление ударного импульса параллельно оси $O y$. А из (13) получаем, что $y_{G}=0$. Следовательно, центр масс лежит в плоскости, проходящей через ось вращения и перпендикулярную направлению импульса. Если $x_{G}=0$, т. е. центр масс лежит на оси вращения, то (см. (14)) поставленная задача не имеет решения: при $\boldsymbol{I}
eq 0$ всегда будут возникать ударные реакции.
Пусть $x_{G}
eq 0$. Из (14) и (16) имеем $J_{x z}-m x_{G} z_{*}=0$, или
\[
\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u}\left(z_{
u}-z_{*}\right)=0 .
\]

А из (17) следует равенство $J_{y z}=0$, что в сочетании с условием $y_{G}=0$ дает соотношение
\[
\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} y_{
u}\left(z_{
u}-z_{*}\right)=0 .
\]

Равенства (19) и (20) означают (см. п. 78), что ось вращения является главной осью инерции тела для своей точки с координатами $0,0, z_{*}$.

Таким образом, произвольный по величине ударный импульс не вызывает ударных импульсов реакций в точках $O$ и $O_{1}$ только тогда, когда ось вращения является главной осью инерции тела. Если это условие выполнено, то импульс должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела, причем он должен лежать в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через ту ее точку, для которой она является главной осью инерции.
Наконец из (14) и (18) находим
\[
x_{*}=\frac{J_{z}}{m x_{G}},
\]

что окончательно определяет линию действия ударного импульса. Ее называют осью удара, а точку, в которой она пересекает плоскость, проходящую через ось вращения и центр масс – центром удара.

ПРимер 1 (Случай ПлаСтинКи). Рассмотрим плоскую фигуру, которая может вращаться вокруг некоторой оси $O z$, лежащей в ее плоскости (рис. 151). Для любой оси $O z$ можно найти центр удара. Это следует из того, что ось $O z$ всегда является главной осью инериии для одной из своих точек. Чтобы показать справедливость сказанного, перейдем к системе координат $O^{\prime} x^{\prime} y^{\prime} z$, смещенной относительно исходной системы Охуд на вектор $\overline{O O^{\prime}}$, имеющий в системе Охуz компоненты $0,0, z_{*}$. Ось $O x$

Рис. 151 ( и ось $O^{\prime} x^{\prime}$ ) лежит в плоскости пластинки. Тогда $J_{y^{\prime} z}=0$, так как для каждой частицы $P_{
u}$ тела имеем $y_{
u}^{\prime}=0$. Величина же $J_{x^{\prime} z}$ будет равна нулю, если $z_{*}$ выбрать в соответствии с формулой (19): $z_{*}=\frac{J_{x z}}{m x_{G}}$.

Теперь, если импульс I перпендикулярен плоскости пластинки и точка $Q$ его приложения лежит на оси $O^{\prime} x^{\prime}$, причем абсцисса $x^{\prime}$ точки $Q$ определяется (в соответствии с формулой (21)) равенством $x^{\prime}=\frac{J_{z}}{m x_{G}}$, то $Q-$ центр удара. Например, для однородной двери ширины а центр удара находится на середине высоты на расстоянии $\frac{2}{3}$ а от оси.
ПРимЕР 2. Тяжелый однородный параллелепипед с ребрами $a, b$, с скользит по гладкой горизонтальРис. 152 ной плоскости так, что ребро длины с вертикально (рис. 152). Направление скоольжения перпендикулярно ребру длины $b$. Внезапно это ребро задерживается препятствием и становится неподвижным. Найдем, при какой скорости движения $v$ произойдет опрокидывание параллелепипеда.

Послеударное движение параллелепипеда является вращением вокруг оси и, содержащей остановленное ребро. Так как кинетический момент относительно этой оси за время удара не изменяется, то
\[
\frac{1}{2} m v c=J_{u} \omega,
\]

где $m$ – масса, $\omega-$ послеударная угловая скорость параллелепипеда,

$J_{u}$ – его момент инерции относительно оси и. Согласно $n .75,76$
\[
J_{u}=\frac{1}{3} m\left(a^{2}+c^{2}\right) .
\]

Для опрокидывания параллелепипеда необходимо и достаточно, чтобы его центр тяжести при своем движении по окружности радиуса $\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+c^{2}}$ пересек вертикальную плоскость, проходящую через ось $и$. Iри этом он поднимется над своим первоначальным положением на выcomy
\[
h=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^{2}+c^{2}}-c\right) .
\]

Опрокидывание произойдет, если
\[
\frac{1}{2} J_{u} \omega^{2}>m g h .
\]

Из (22)-(25) находим
\[
v^{2}>\frac{4 g\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(\sqrt{a^{2}+c^{2}}-c\right)}{3 c^{2}} .
\]

Пример 3. Стержень $A B$ шарнирно закреплен концом $A$, а вторым концом шарнирно соединен со стержнем BC (рис. 153). Стержни покоятся и составляют прямую линию. Определить характер послеударного движения и ударные импульсы реакций в шарнирах $A$ и $B$ вследствие импульса I, приложенного к стержню $B C$ под прямым углом на расстоянии а от шарнира В. Стержни считать тонкими и однородными, масса каждого стержня равна $m$, дилина $l$.
Рис. 153
Мысленно уберем шарнир $B$ и рассмотрим импульсивное движение каждого из стержней в отдельности под действием заданного импульса $\boldsymbol{I}$ и ударных импульсов $\boldsymbol{I}_{A}$ и $\boldsymbol{I}_{B}$ реакций в шарнирах. Обозначим через $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ послеударные скорости центров масс $G_{1}$ и $G_{2}$ стержней $A B$ и ВС соответственно, а через $\omega_{1} и \omega_{2}$ их угловые скорости. Так как послеударное движение стержня $A B$ будет вращением вокруг точки $A$,

то вектор $v_{1}$ перпендикулярен стержню, причем $v_{1}=\frac{\omega_{1} l}{2}$. Упомянутые векторные величины показаны на рис. 153 их компонентами в системе координат Аху, ось Ах которой направлена вдоль стержней.

Из теорем об изменении количества движения и кинетического момента, примененных к каждому из стержней, получаем следующие шесть уравнений:
\[
\begin{array}{c}
I_{A x}-I_{B x}=0, \quad \frac{1}{2} m \omega_{1} l=I_{A y}-I_{B y}, \quad \frac{1}{3} m l^{2} \omega_{1}=-I_{B y} l \\
m v_{2 x}=I_{B x}^{\prime}, \quad m v_{2 y}=I+I_{B y}^{\prime}, \quad \frac{1}{12} m l^{2} \omega_{2}=-I\left(\frac{l}{2}-a\right)-I_{B y}^{\prime} \frac{l}{2} .
\end{array}
\]

Еще два уравнения получим, приравняв векторы послеударной скорости шарнира, рассматривая его как точку, принадлежащую с одной стороны стержню $A B$, а с другой – стержню ВC:
\[
0=v_{2 x}, \quad \omega_{1} l=v_{2 y}-\frac{1}{2} \omega_{2} l .
\]

Но так как
\[
I_{B x}^{\prime}=I_{B x}, \quad I_{B y}^{\prime}=I_{B y},
\]

то имеем систему десяти уравнений (26)-(28) для нахождения десяти неизвестных. Решив эту систему, получим
\[
\begin{array}{c}
\omega_{1}=\frac{6 I(2 l-3 a)}{7 m l^{2}}, \omega_{2}=\frac{6 I(8 a-3 l)}{7 m l^{2}}, v_{2 x}=0, v_{2 y}=\frac{3 I(2 a+l)}{7 m l}, \\
I_{A x}=0, I_{A y}=\frac{(2 l-3 a) I}{7 l}, I_{B x}=I_{B x}^{\prime}=0, I_{B y}=I_{B y}^{\prime}=-\frac{2(2 l-3 a) I}{7 l} .
\end{array}
\]

Отсюда, в частности, видно, что: 1) если а $=\frac{5}{11} l$, то $\omega_{1}=\omega_{2}$ и в послеударном движении стержни составляют прямую линию; 2) стержень $A B$ остается в покое, если $a=\frac{2 l}{3}$, т. е. если импульс $\boldsymbol{I}$ приложен в центре удара стержня $B C$, соответствующем оси вращения, проходящей через шарнир $B$.