195. Теорема об изменении количества движения. Сложив уравнения (3) п. 193 и учтя постоянство масс $m_{
u}$, получим равенство
\[
\Delta\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{v}_{
u}\right)=\sum_{
u=1}^{N} I_{
u}^{(e)}+\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{I}_{
u}^{(i)}
\]
или
\[
\Delta \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{S}^{(e)},
\]
т. е. изменение количества движения системы при ударе равно главному вектору внешних ударных импульсов.
Так как $\boldsymbol{Q}=M \boldsymbol{v}_{C}$, где $M$ — масса системы, $M=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}=$ const, а $\boldsymbol{v}_{C}$ — скорость центра инерции, то равенство (1) можно переписать в таком виде:
\[
M \Delta \boldsymbol{v}_{C}=\boldsymbol{S}^{(e)},
\]
т. е. импульсивное движение центра инерции системы происходит так же, как импульсивное движение материальной точки, масса которой равна массе системы и к которой приложены все внешние ударные импульсы, действующие на систему.
ПРимер 1. Снаряд, летевший со скоростью $v$, разорвался в воздухе на два осколка равных масс. Скорость первого осколка направлена под углом $\alpha$ к направлению первоначального движения и имеет величину $2 v$. Найти скорость второго осколка.
Так как внешних ударных импульсов нет, то вектор первоначального количества движения снаряда равен сумме векторов количеств движения осколков. Пусть $m$ — масса снаряда, а $\beta$ — угол между вектором $\boldsymbol{v}_{2}$ скорости второго осколка и направлением движения снаряда. Из рис. 144 легко получить, что $v_{2}=$ $=4 v \sin \frac{\alpha}{2}, \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}$.
Рис. 144
Заметим, что при решении не потребовалось предположения об отсутствии аэродинамических сил и силы тяжести, потому что эти силы не являются ударными.
196. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть $A$ — произвольная точка пространства, подвижная или неподвижная, а $\rho_{
u}$ — радиус-вектор точки $P_{
u}$ системы относительно $A$. Умножим обе части равенства (3) п. 193 слева векторно на $\rho_{
u}$ и результаты просуммируем. Тогда, учитывая постоянство $m_{
u}$ и тот факт, что $\rho_{
u}$ не меняется во время удара, получаем соотношение
\[
\Delta\left(\sum_{
u=1}^{N} \rho_{
u} \times m_{
u} \boldsymbol{v}_{
u}\right)=\sum_{
u=1}^{N} \rho_{
u} \times \boldsymbol{I}_{
u}^{(e)}+\sum_{
u=1}^{N} \rho_{
u} \times \boldsymbol{I}_{
u}^{(i)} .
\]
Сумма в левой части представляет собой абсолютный кинетический момент $\boldsymbol{K}_{A}$ системы относительно центра $A$. Поэтому, учитывая равенства (5) и (6) из п. 193, последнее соотношение можно записать в виде
\[
\Delta \boldsymbol{K}_{A}=\boldsymbol{L}_{A}^{(e)},
\]
т. е. изменение кинетического момента системы относительно любого центра равно главному моменту внешних ударных импульсов относительно этого центра.
ПРимеР 1. Два шкива радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ вращаются вокруг параллельных осей с угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ (рис. 145), причем $\omega_{1} r_{1}>\omega_{2} r_{2}$. На шкивы намотана ненатянутая лента. В некоторый момент лента натягивается, вследствие чего происходит удар. Требуется определить послеударные угловые скорости $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ шкивов и величину I ударного импульса силы натяжения ленты, считая, что после удара лента остается натянутой. Моменты инерции шкивов относительно их осей вращения равны $J_{1}$ и $J_{2}$.
Применяя формулу (3) к вращению первого шкива и учитывая, что ударный импульс реакции оси вращения не создает момента относительно этой оси, имеем
\[
J_{1}\left(\Omega_{1}-\omega_{1}\right)=-I r_{1} .
\]
Для второго шкива получим
\[
J_{2}\left(\Omega_{2}-\omega_{2}\right)=I r_{2} .
\]
Но так как лента остается натянутой, то
\[
\Omega_{1} r_{1}=\Omega_{2} r_{2} .
\]
Из (4)-(6) находим
\[
\frac{\Omega_{1}}{r_{2}}=\frac{J_{1} r_{2} \omega_{1}+J_{2} r_{1} \omega_{2}}{J_{1} r_{2}^{2}+J_{2} r_{1}^{2}}=\frac{\Omega_{2}}{r_{1}}, I=\frac{J_{1} J_{2}\left(\omega_{1} r_{1}-\omega_{2} r_{2}\right)}{J_{1} r_{2}^{2}+J_{2} r_{1}^{2}} .
\]
Если шкивы первоначально вращаются в противоположные стороны, то в результате натяжения ленты возможно прекращение их вращения, причем одновременное. Это произойдет, если выполнено равенство $J_{1} r_{2} \omega_{1}+J_{2} r_{1} \omega_{2}=0$
ПРимеР 2. Находящемуся в покое тонкому однородному стержню массы $m$ и длины l при помощи удара по одному из его концов сообщен импульс I в перпендикулярном к стержню направлении (рис. 146). Найти послеударное кинематическое состояние стержня.
Пусть $v_{0}$ — скорость центра масс стержня, а $\omega$ — его угловая скорость после удара. Из формул (2)
и (3) получаем два уравнения
\[
m v_{0}=I, \quad \frac{1}{12} m l^{2} \omega=I \frac{l}{2},
\]
Рис. 146
отсюда находим
\[
v_{0}=\frac{I}{m}, \quad \omega=\frac{6 I}{m l} .
\]
ПРимеР 3. Найти послеударное кинематическое состояние стержня предыдущего примера, если один из его концов шарнирно закреплен (рис. 147).
В этом случае после удара стержень вращается вокруг точки А. Из формулы (3) получаем уравнение для нахождения угловой скорости вращения $\omega:$
\[
\frac{1}{3} m l^{2} \omega=I l,
\]
отсюда
Рис. 147
\[
\omega=\frac{3 I}{m l} .
\]
Можно найти и неизвестный ударный импульс $I_{A}$ шарнира. Из (2) имеeм
\[
m v_{0}=I+I_{A},
\]
но $v_{0}=\omega \frac{l}{2}=\frac{3 I}{2 m}$. Поэтому $I_{A}=m v_{0}-I=\frac{1}{2} I$.
197. Теорема об изменении кинетической энергии. Пусть $T^{-}$ и $T^{+}$- величины кинетической энергии системы до и после удара:
\[
T^{-}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{v}_{
u}^{-2}, \quad T^{+}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{v}_{
u}^{+2} .
\]
Имеет место следующая
Теорема. Изменеие кинетической энергии при импльсивном движении равно сумме скалярных произведений каждого ударного импульа на полусумм скоростей точки его приложения непосредственно перед ударом и после него:
\[
T^{+}-T^{-}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{I}_{
u}^{(e)} \cdot \frac{\boldsymbol{v}_{
u}^{-}+\boldsymbol{v}_{
u}^{+}}{2}+\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{I}_{
u}^{(i)} \cdot \frac{\boldsymbol{v}_{
u}^{-}+\boldsymbol{v}_{
u}^{+}}{2} .
\]
Доказательство.
Умножим каждое из уравнений (3) п. 193 скалярно на $\boldsymbol{v}_{
u}^{+}$. Получим равенства
\[
m_{
u}\left(\boldsymbol{v}_{
u}^{+}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{
u}^{+}=\boldsymbol{I}_{
u}^{(e)} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}^{+}+\boldsymbol{I}_{
u}^{(i)} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}^{+} \quad(
u=1,2, \ldots, N) .
\]
Если в левых частях этих равенств сомножитель $\boldsymbol{v}_{
u}^{+}$представить в виде
\[
v_{
u}^{+}=\frac{1}{2}\left[\left(v_{
u}^{+}+v_{
u^{\prime}}^{-}\right)+\left(v_{
u}^{+}-v_{
u}^{-}\right)\right],
\]
а затем произвести суммирование равенств по $
u$, то после простых преобразований и учета обозначений (9) придем к соотношению
\[
T^{-}-T^{+}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\boldsymbol{v}_{
u}^{-}-\boldsymbol{v}_{
u}^{+}\right)^{2}-\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{I}_{
u}^{(e)} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}^{+}-\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{I}_{
u}^{(i)} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}^{+} .
\]
Теперь умножим уравнения (3) п. 193 на $\boldsymbol{v}_{
u}^{-}$, в левых частях получающихся равенств представим сомножитель $\boldsymbol{v}_{
u}^{-}$в виде
\[
\boldsymbol{v}_{
u}^{-}=\frac{1}{2}\left[\left(v_{
u}^{+}+v_{
u}^{-}\right)-\left(v_{
u}^{+}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}\right)\right]
\]
и произведем суммирование по $
u$. Тогда получим такое соотношение:
\[
T^{+}-T^{-}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\boldsymbol{v}_{
u}^{+}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}\right)^{2}+\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{I}_{
u}^{(e)} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}^{-}+\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{I}_{
u}^{(i)} \cdot \boldsymbol{v}_{
u}^{-} .
\]
После вычитания равенства (11) из равенства (12) и деления на 2 приходим к доказываемому соотношению (10).
ПРимер 1. Найдем изменение кинетической энергии стержня в примерах 2 и 3 предыдущего параграфа.
Учитывая, что в твердом теле внутренние силы не совершают работы и что перед ударом стержень покоился, из (10) получаем $T^{+}=\frac{1}{2} I v$, где $v-$ величина послеударной скорости той точки стержня, к которой приложена ударная сила.
\[
\text { В примере } 2 \text { получаем } v=v_{0}+\omega \frac{l}{2}=\frac{I}{m}+\frac{6 I}{m l} \frac{l}{2}=\frac{4 I}{m} \text { и } T^{+}=\frac{2 I^{2}}{m} .
\]
$В$ примере же 3 имеем $v=\omega l=\frac{3 I}{m l} l=\frac{3 I}{m} u T^{+}=\frac{3 I^{2}}{2 m}$.
Замечание 1. Равенства (11) и (12) по существу представляют собой еще две различные формы теоремы об изменении кинетической энергии при импульсивном движении.
Дадим их словесное выражение.
Векторы $\boldsymbol{v}_{
u}^{-}-\boldsymbol{v}_{
u}^{+}$и $\boldsymbol{v}_{
u}^{+}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}$называют соответственно потерянной и приобретенной скоростями, а величину
\[
T_{*}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\boldsymbol{v}_{
u}^{-}-\boldsymbol{v}_{
u}^{+}\right)^{2}=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(\boldsymbol{v}_{
u}^{+}-\boldsymbol{v}_{
u}^{-}\right)^{2}
\]
— кинетической энергией потерянных (или приобретенных) скоростей. Приращение $T^{+}-T^{-}$называют еще приобретенной, а величину $T^{-}-T^{+}$ — потерянной кинетической энергией при импульсивном движении. Используя эту терминологию, соотношение (11) можно прочитать следующим образом: потеря кинетической энергии равна кинетической энергии потерянных скоростей, уменьшенной на сумму работ внешних и внутренних ударных сил, если считать, что точки их приложения имеют в течение всего времени удара постоянные скорости, равные их послеударным скоростям.
А соотношение (12) означает, что приобретенная кинетическая энергия равна кинетической энергии приобретенных скоростей, увеличенной на сумму работ внешних и внутренних ударных сил, если считать, что точки их приложения илеют в течение всего времени удара постоянные скорости, равные их доударным скоростям.
