33. Постановка задачи. Пусть твердое тело движется относительно системы координат $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$, которая, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат $O_{a}XYZ$. Тогда говорят, что по отношению к системе $O_{a}XYZ$ тело совершает сложное движение, которое состоит из названных двух составляющих движений. Аналогично определяется сложное движение из произвольного числа $n$ составляющих движений.

Задача изучения сложного движения тела состоит в нахождении зависимостей между основными кинематическими характеристиками составляющих движений и сложного движения. Мы будем рассматривать только зависимости между скоростями поступательных движений и между угловыми скоростями. Для простоты ограничимся только случаем двух составляющих движений.
34. Сложение мгновенно поступательных движений. Пусть $v_1$ — скорость мгновенно поступательного движения тела относительно системы координат $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$, а ${\mathit{v}}_2$ — скорость мгновенно поступательного движения системы $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$ относительно $O_{a}XYZ$. Возьмем произвольную точку $P$ тела и найдем ее абсолютную скорость ${\mathit{v}}_a$. По теореме о сложении скоростей (п. 31)
$${\mathit{v}}_a={\mathit{v}}_e+{\mathit{v}}_r.$$

Для любой точки $P$ тела переносной скоростью ${\mathit{v}}_e$ будет скорость ${\mathit{v}}_2$, а относительной скоростью $v_r$ будет скорость $v_1$. Поэтому любая точка $P$ имеет скорость
$$v_a=v_1+v_2.$$

Так как все точки тела имеют в данный момент времени одинаковые скорости, то сложное движение тела является мгновенно поступательным.

Для случая $n$ составляющих движений аналогично получим мгновенно поступательное движение со скоростью
$$v=\sum _{i=1}^n{\mathit{v}}_i.$$
35. Сложение мгновенных вращений вокруг пересекающихся осей. Пусть твердое тело совершает относительно системы координат $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$ мгновенное вращение с угловой скоростью ${\omega }_1$, а система $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$ вращается относительно системы $O_{a}XYZ$ с мгновенной угловой скоростью ${\omega }_2$. Предположим, что оси составляющих мгновенных вращений пересекаются в точке $A$ (рис. 38 ).

Точка $A$ имеет в данный момент времени скорость, равную нулю. Следовательно, сложное мгновенное движение представляет собой вращение во-

Рис. 38 круг оси, проходящей через точку $A$. Найдем его угловую скорость $\mathrm{\Omega }$. Возьмем произвольную точку $P$ твердого тела. Для нахождения ее скорости надо в (1) положить ${\mathit{v}}_e={\mathit{\omega }}_2\times \overline{AP}$, ${\mathit{v}}_r={\mathit{\omega }}_1\times \overline{AP}$. Поэтому абсолютная скорость ${\mathit{v}}_a$ точки $P$ равна
$${\mathit{v}}_a={\mathit{\omega }}_1\times \overline{AP}+{\omega }_2\times \overline{AP}=({\omega }_1+{\omega }_2)\times \overline{AP}.$$

С другой стороны,
$${\mathit{v}}_a=\mathbf{\Omega }\times \overline{AP}.$$

Из (2) и (3) в силу произвольности $\overline{AP}$ следует, что
$$\mathbf{\Omega }={\mathit{\omega }}_1+{\mathit{\omega }}_2.$$

Таким образом, в смысле распределения скоростей точек твердого тела совокупность двух мгновенных вращений вокруг пересекающихся осей эквивалентна одному мгновенному вращению с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений.

Для случая $n$ составляющих мгновенных вращений вокруг пересекающихся осей аналогично можно получить одно эквивалентное вращение с угловой скоростью
$$\mathbf{\Omega }=\sum _{i=1}^n{\mathit{\omega }}_i.$$

Рис. 39
Рис. 40

ЗАМЕчАниЕ 5. Если два составляющих вращения происходят вокруг одной и той же оси с одинаковыми по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями, то ${\omega }_1+{\omega }_2=0$ и наличие этих вращений не влияет на скорости точек тела, участвующего в сложном движении. Отсюда, в частности, следует, что $\mathit{\omega }$ — скользящий вектор, т. е. его начало можно перемещать в любую точку линии его действия и от этого скорости точек тела не изменятся. Действительно, пусть тело вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью $\mathit{\omega }$. Вектор $\mathit{\omega }$ приложен в точке $A$ оси вращения (рис. 39). От точки $B$ оси отложим два вектора ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ такие, что $\mathit{\omega }={\mathit{\omega }}_1=-{\mathit{\omega }}_2$, и рассмотрим сложное вращение тела вокруг одной оси с тремя угловыми скоростями $\mathit{\omega },{\mathit{\omega }}_1,{\mathit{\omega }}_2$. Согласно сказанному выше, совокупность двух вращений с угловыми скоростями $\mathit{\omega }$ и ${\omega }_2$ не влияет на скорости точек тела; эти вращения могут быть исключены из системы трех вращений. Таким образом, вектор $\mathit{\omega }$ оказался сдвинутым вдоль оси вращения на отрезок АВ без изменения скоростей точек тела.
36. Кинематические уравнения Эйлера. Получим выражения проекций мгновенной угловой скорости твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, через углы Эйлера (п. 19) и их производные. Рассматриваемое тело участвует в сложном движении, состоящем из трех вращений: с угловой скоростью $\dot{\psi }$ вокруг оси $OZ$, с угловой скоростью $\dot{\theta }$ вокруг линии узлов $ON$ и с угловой скоростью $\dot{\phi }$ вокруг оси $Oz$ (рис. 40). Мгновенная угловая скорость тела $\mathit{\omega }$ равна сумме угловых скоростей составляющих вращений. Пусть $p,q,r$ — проекции $\mathit{\omega }$ соответственно на оси $Ox,Oy,Oz$, жестко связанные с телом. Выражения для $p,q,r$ через углы Эйлера и их производные легко по-

лучить из рис. 40, на котором вспомогательная прямая $OM$ лежит в плоскости $Oxy$ и перпендикулярна линии узлов. Имеем
$$\begin{array}{rl}p& =\dot{\psi }\sin \theta \sin \phi +\dot{\theta }\cos \phi \\ q& =\dot{\psi }\sin \theta \cos \phi -\dot{\theta }\sin \phi \\ r& =\dot{\psi }\cos \theta +\dot{\phi }\end{array}$$

Соотношения (4) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они широко применяются при исследовании движения твердого тела.
Рис. 41
Рис. 42
37. Сложение мгновенных вращений вокруг параллельных осей. Пусть твердое тело совершает мгновенное вращение относительно системы координат $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$ с угловой скоростью ${\mathit{\omega }}_1$, а система координат $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$ вращается относительно абсолютной системы координат $O_{a}XYZ$ с угловой скоростью ${\mathit{\omega }}_2$ и оси вращения параллельны. В этом случае очевидно, что в мгновенном сложном движении скорости точек тела будут такими же, как в плоском движении. Если взять какую-либо прямую в теле, параллельную мгновенным осям вращения составляющих движений, то скорости всех ее точек в данный момент времени будут одинаконы. Поэтому достаточно рассмотреть скорости точек тела, лежащих в какой-либо плоскости, перпендикулярной ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$. Пусть эта плоскость пересекает плоскость, в которой лежат ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$, по прямой $AB$ (рис. 41 и 42 ).

Если векторы ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$ имеют одинаковые направления, то сложное движение представляет собой мгновенное вращение с модулем угловой скорости $\mathrm{\Omega }={\omega }_1+{\omega }_2$; вектор $\mathbf{\Omega }$ лежит в плоскости векторов ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$ (рис. 41), параллелен им, направлен в ту же сторону и делит расстояние между ними внутренним образом на части, обратно пропорциональные ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$, т. е.
$${\omega }_{1}AC={\omega }_{2}BC.$$

Действительно, для скорости точки $C$ имеем выражение
$${\mathit{v}}_c={\mathit{\omega }}_1\times \overline{AC}+{\mathit{\omega }}_2\times \overline{BC}.$$

Слагаемые векторы в правой части этого выражения параллельны и противоположно направлены. Но при выполнении равенства (5) они равны по модулю. Поэтому ${\mathit{v}}_c=0$. Следовательно, и все точки оси, проходящей через точку $C$ параллельно ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$, имеют нулевые скорости. Сложное движение представляет собой мгновенное вращение вокруг этой оси.

Для нахождения угловой скорости $\mathbf{\Omega }$ сложного движения достаточно рассмотреть скорость одной из точек, не лежащей на мгновенной оси вращения (скорости всех точек тела вполне определяются скоростями трех его точек, не лежащих на одной прямой; см. п. 24). Рассмотрим скорость точки $B$. С одной стороны, ${\mathit{v}}_B={\mathit{\omega }}_1\times \overline{AB}$, а с другой ${\mathit{v}}_B=\mathrm{\Omega }\times \overline{CB}$. Из равенства
$$\mathbf{\Omega }\times \overline{CB}={\mathit{\omega }}_1\times \overline{AB}$$

следует, что ${\mathit{\omega }}_1$ и $\mathbf{\Omega }$ параллельны и одинаково направлены. Для нахождения модуля вектора $\mathbf{\Omega }$ приравниваем модули обеих частей равенства $(6)$ :
$$\mathrm{\Omega }CB={\omega }_{1}AB.$$

Но, используя (5), можно получить, что
$$AB=AC+CB=\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}CB+CB=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{{\omega }_1}CB.$$

Из (7) и (8) следует, что $\mathrm{\Omega }={\omega }_1+{\omega }_2$.
Аналогично рассматривается случай противоположных направлений ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$. Примем для определенности, что ${\omega }_1>{\omega }_2$. В этом случае сложное движение представляет собой мгновенное вращение с угловой скоростью $\mathrm{\Omega }={\omega }_1-{\omega }_2$; вектор $\mathbf{\Omega }$ расположен в плоскости векторов ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$, направлен в сторону большей угловой скорости и делит расстояние между ними внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$, т. е. ${\omega }_{1}AC={\omega }_{2}BC$ (рис. 42 ).
38. Пара вращений. Пара вращений есть совокупность двух мгновенных вращений вокруг параллельных осей с равными по модулю, но противоположно направленными мгновенными угловыми скоростями.

Плоскость, в которой лежат векторы ${\mathit{\omega }}_1$, и ${\mathit{\omega }}_2({\mathit{\omega }}_1=-{\mathit{\omega }}_2)$, составляющие пару вращений, называют плоскостью пары, а расстояние $d$ между осями мгновенных вращений, соответствующими ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$, называют плечом пары (рис. 43). Вектор $\overline{AB}\times {\omega }_2$ называют моментом пары.

Покажем, что твердое тело, участвующее в паре вращений, совершает мгновенно поступательное движение со скоростью, равной моменту пары. Для этого рассмотрим произвольную точку $P$ тела и вычислим ее скорость
$$\begin{array}{c}\mathit{v}={\mathit{\omega }}_1\times \overline{AP}+{\mathit{\omega }}_2\times \overline{BP}=\overline{AP}\times {\mathit{\omega }}_2-\overline{BP}\times {\mathit{\omega }}_2=\\ =(\overline{AP}-\overline{BP})\times {\omega }_2=\overline{AB}\times {\omega }_2.\end{array}$$

Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью $\mathit{v}$, равной моменту пары. Вектор $v$ — свободный вектор, так как он может быть приложен в любой точке тела (все точки тела имеют одинаковую скорость $v$ ). Скорость $v$ перпендикулярна плоскости пары и направлена так, что наблюдатель с конца $\mathit{v}$ «видит» векторы пары ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$ указывающими на вращение плоскости пары против часовой стрелки. Если ввести обозначение $\omega =\left|{\omega }_1\right|=\left|{\omega }_2\right|$, то
Рис. 43
$$v=\omega d.$$

Наоборот, всякое мгновенно поступательное движение тела может быть (бесконечным числом способов) заменено на пару вращений, плоскость которой перпендикулярна $v$, а плечо пары $d$ и модули ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$, равные $\omega$, связаны соотношением (9). Направления ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$ выбираются так, чтобы момент эквивалентной пары был направлен так же, как вектор $v$.
39. Сложение мгновенно поступательного и вращательного движений. Пусть твердое тело совершает относительно системы координат $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$ мгновенное вращение с угловой скоростью $\mathit{\omega }$, а система координат $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$ движется относительно абсолютной системы $O_{a}XYZ$ мгновенно поступательно со скоростью $v$. Угол между векторами $\mathit{\omega }$ и $\mathit{v}$ равен $\alpha$.

Чтобы установить характер сложного мгновенного движения тела, разложим вектор $\mathit{v}$ на две составляющие ${\mathit{v}}_1$ и ${\mathit{v}}_2$. Первая составляющая направлена вдоль вектора $\mathit{\omega }$, а вторая перпендикулярна ему (рис. 44), $v_1=v\cos \alpha ,v_2=v\sin \alpha$. Согласно п. 38, мгновенно поступательное движение можно заменить парой вращений, выбрав соответствующим образом составляющие ее угловые скорости и плечо. В рассматриваемом случае заменим $v_2$ парой, составленной угловыми скоростями ${\mathit{\omega }}_1=-{\mathit{\omega }}_2=-\mathit{\omega }$, расположив ${\mathit{\omega }}_1$ и ${\mathit{\omega }}_2$ в плоскос-

Рис. 44
Рис. 45

ти, перпендикулярной ${\mathit{v}}_2$, как показано на рис. 44 . При этом, согласно (9), $v_2=v\sin \alpha =AB\cdot \omega$. Мгновенные вращения вокруг одной и той же оси, проходящей через точку $A$ с равными по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями $\mathit{\omega }$ и ${\mathit{\omega }}_1$, могут быть отброшены, так как они не влияют на скорости точек тела (см. п. 35). Останутся только мгновенное вращение с угловой скоростью ${\mathit{\omega }}_2$ и мгновенно поступательное движение со скоростью ${\mathit{v}}_1$, параллельной ${\mathit{\omega }}_2$.

Следовательно, сложное движение будет мгновенно винтовым (рис. 45). Мгновенная винтовая ось смещена параллельно угловой скорости тела на расстояние $AB=\frac{v\sin \alpha }{\omega }$. Параметр $p$ кинематического винта равен $\frac{v\cos \alpha }{\omega }$. В частном случае, когда $\alpha =0$ (вектор $\mathit{v}$ параллелен $\mathit{\omega }$ ), нет необходимости проводить указанные выше преобразования, так как уже исходная совокупность $\mathit{\omega }$ и $\mathit{v}$ образует кинематический винт. Если $\alpha =\pi /2$ (вектор $\mathit{v}$ перпендикулярен $\mathit{\omega }$ ), то параметр кинематического винта равен нулю и сложное движение будет мгновенным вращением с угловой скоростью $\mathit{\omega }$ относительно оси, проходящей через точку $B$ и смещенной параллельно $\mathit{\omega }$ от точки $A$ на расстояние $AB=v/\omega$.

В заключение отметим, что, изучая мгновенное кинематическое состояние твердого тела, мы видели, что существуют четыре простейших мгновенных движения тела: покой, поступательное движение, вращение, мгновенно винтовое движение. Разнообразные движения тела в природе и технике получаются как непрерывная упорядоченная последовательность этих простейших мгновенных движений.