153. Функция Payca. Для описания состояния голономной системы в данный момент времени $t$ Раус предложил комбинацию переменных Лагранжа и Гамильтона. Переменными Рауса являются величины
\[
q_{i}, \dot{q}_{i} ; \quad q_{\alpha}, p_{\alpha} ; \quad t \quad(i=1,2, \ldots, k ; \quad \alpha=k+1, \ldots, n),
\]

где $k$ – произвольное фиксированное число, меньшее $n$. Предположим, что гессиан функции Лагранжа по переменным $\dot{q}_{\alpha}$ $(\alpha=k+1, \ldots, n)$ отличен от нуля:
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{\alpha} \partial \dot{q}_{\beta}}\right\|_{\alpha, \beta=k+1}^{n}
eq 0 .
\]

Для натуральной системы
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{\alpha} \partial \dot{q}_{\beta}}\right\|_{\alpha, \beta=k+1}^{n}=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} T_{2}}{\partial \dot{q}_{\alpha} \partial \dot{q}_{\beta}}\right\|_{\alpha, \beta=k+1}^{n}=\operatorname{det}\left\|a_{\alpha \beta}\right\|_{\alpha, \beta=k+1}^{n} .
\]

Последний определитель в равенстве (2) отличен от нуля (положителен), так как $T_{2}$ – определенно-положительная квадратичная форма от обобщенных скоростей и к ней применим критерий Сильвестра. Следовательно, для натуральной системы неравенство (1) всегда выполнено. В случае ненатуральной системы это неравенство является дополнительным к условию (46) п. 147 ограничением на функцию $L$.

Обобщенные импульсы $p_{\alpha}$ определяются обычным образом при помощи равенств
\[
p_{\alpha}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \quad(\alpha=k+1, \ldots, n) .
\]

Функцией Рауса $R\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, q_{k+1}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{k}, p_{k+1}, \ldots, p_{n}, t\right)$ называется преобразование Лежандра функции $L$ по переменным $\dot{q}_{k+1}, \ldots \dot{q}_{n}$, т. e.
\[
R=\sum_{\alpha=k+1}^{n} p_{\alpha} \dot{q}_{\alpha}-L\left(q_{i}, q_{\alpha}, \dot{q}_{i}, \dot{q}_{\alpha}, t\right),
\]

где $\dot{q}_{\alpha}(\alpha=k+1, \ldots, n)$ выражены через $q_{i}, q_{\alpha}, \dot{q}_{i}, p_{\alpha}, t$ из уравнений (3).
154. Уравнения Payca. Полный дифференциал функции Рауса вычисляется по формуле
\[
d R=\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{\partial R}{\partial q_{i}} d q_{i}+\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}} d \dot{q}_{i}\right)+\sum_{\alpha=k+1}^{n}\left(\frac{\partial R}{\partial q_{\alpha}} d q_{\alpha}+\frac{\partial R}{\partial p_{\alpha}} d p_{\alpha}\right)+\frac{\partial R}{\partial t} d t .
\]

С другой стороны, вычислив полный дифференциал правой части равенства (4) при условии (3), получим
\[
d R=-\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d \dot{q}_{i}\right)+\sum_{\alpha=k+1}^{n}\left(\dot{q}_{\alpha} d p_{\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} d q_{\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\]

Сравнение правых частей равенств (5) и (6) приводит к равенствам
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial R}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}, \quad \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}}=-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, k), \\
\frac{\partial R}{\partial q_{\alpha}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}, \quad \frac{\partial R}{\partial p_{\alpha}}=\dot{q}_{\alpha} \quad(\alpha=k+1, \ldots, n), \\
\frac{\partial R}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} .
\end{array}
\]

Но для нашей системы справедливы уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0 \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

Из (7) и (10) следует, что
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial R}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, k),
\]

а равенства $(3),(8)$ и (10) дают:
\[
\frac{d q_{\alpha}}{d t}=\frac{\partial R}{\partial p_{\alpha}}, \quad \frac{d p_{\alpha}}{d t}=-\frac{\partial R}{\partial q_{\alpha}} \quad(\alpha=k+1, \ldots, n) .
\]

Совокупность уравнений (11) и (12) образует систему уравнений Payca. Она состоит из $k$ уравнений (11) второго порядка, имеющих структуру уравнений Лагранжа второго рода, и $2(n-k)$ уравнений (12) первого порядка, обладающих структурой уравнений Гамильтона.

Уравнения Рауса находят широкое применение при исследовании движения систем с циклическими координатами (см. далее п. 165).