148. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. В уравнениях Лагранжа второго рода
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

описывающих движение голономной системы в потенциальном поле сил, функция $L$ зависит от переменных $q_{i}, \dot{q}_{i}, t \quad(i=1,2, \ldots, n)$. Эти переменные задают момент времени и кинематическое состояние системы, т. е. положения и скорости ее точек. Переменные $q_{i}, \dot{q}_{i}, t$ $(i=1,2, \ldots, n)$ называют переменными Лагранжа.

Но состояние системы можно задавать и при помощи других параметров. За такие параметры можно принять величины $q_{i}, p_{i}, t$ $(i=1,2, \ldots, n)$, где $p_{i}$ — обобщенные импульсы, определяемые равенствами
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Переменные $q_{i}, p_{i}, t$ называют переменными Гамильтона.

Гессиан функции $L$ относительно переменных $\dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ отличен от нуля (см. неравенства (45), (46) п. 147). Замечая, что он равен якобиану правых частей равенств (2), на основании теоремы о неявной функции получаем, что эти равенства разрешимы относительно переменных $\dot{q}_{i}$ :
\[
\dot{q}_{i}=\varphi_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Следовательно, переменные Лагранжа могут быть выражены через переменные Гамильтона и наоборот.

Гамильтон предложил записывать уравнения движения в переменных $q_{i}, p_{i}, t$. В этих переменных уравнения Лагранжа (1) переходят в разрешенную относительно производных систему $2 n$ уравнений первого порядка, имеющую замечательно симметричную форму записи. Эти уравнения называют уравнениями Гамильтона (или каноническими уравнениями $)$. Переменные $q_{i}$ и $p_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ называются канонически сопряженными.

Прежде чем получать уравнения Гамильтона, введем некоторые вспомогательные определения. Пусть дана функция $X\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$, гессиан которой отличен от нуля:
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} X}{\partial x_{i} \partial x_{k}}\right\|_{i, k=1}^{n}
eq 0 .
\]

Перейдем от переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ к новым переменным $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ по формулам
\[
y_{i}=\frac{\partial X}{\partial x_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Iреобразованием Лежандра функции $X\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ называется функция новых переменных $Y\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$, определяемая равенством
\[
Y=\sum_{i=1}^{n} y_{i} x_{i}-X,
\]

в правой части которого переменные $x_{i}$ выражены через новые переменные $y_{i}$ при помощи уравнений (5) ${ }^{1}$.

В курсах математического анализа показывается ${ }^{2}$, что преобразование Лежандра имеет обратное, причем если $X$ при преобразовании

Лежандра переходит в $Y$, то преобразование Лежандра от $Y$ будет снова $X$.

Преобразование Лежандра функции $L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$ по переменным $\dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ есть функция
\[
H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \dot{q}_{i}-L\left(q_{j}, \dot{q}_{j}, t\right) .
\]

в которой величины $\dot{q}_{i}$ выражены через $q_{j}, p_{j}, t$ при помощи уравнений (2); при этом при проведении преобразования величины $q_{i}, t$ играют роль параметров. Функция $H$ называется функцией Гамильтона.
149. Уравнения Гамильтона. Полный дифференциал функции Гамильтона вычисляется по формуле
\[
d H=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i}+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}+\frac{\partial H}{\partial t} d t .
\]

С другой стороны, полный дифференциал правой части равенства (7), вычисленный при условиях (2), будет таким:
\[
d H=\sum_{i=1}^{n} \dot{q}_{i} d p_{i}-\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\]

Так как при переходе к новым переменным значение полного дифференциала не меняется, то правые части равенств (8) и (9) равны. Отсюда следует, что
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}, \quad \frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\dot{q}_{i}, \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

а также
\[
\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} .
\]

Но согласно (1) и (2), $\dot{p}_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}}(i=1,2, \ldots, n)$. Поэтому из (10) получаем уравнения движения
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения называются уравнениями Гамильтона (или каноническими уравнениями).

Отметим, что попутно мы получили равенство (11), означающее, что если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то и функция Гамильтона также не зависит от времени, и наоборот. Аналогично, из равенств (10) следует, что если функция $L$ не зависит от какой-либо из обобщенных координат, то и функция $H$ от этой координаты не зависит, и наоборот.
ПРимер 1. Получим гамильтонову форму уравнений движения математического маятника, рассмотренного в примере 2 п. 57. Для кинетической и потенциалной энергии имеем выражения (см. рис. 55)
\[
T=\frac{1}{2} m l^{2} \dot{\varphi}^{2}, \quad \Pi=-m g l \cos \varphi .
\]

Поэтому
\[
L=T-\Pi=\frac{1}{2} m l^{2} \dot{\varphi}^{2}+m g l \cos \varphi .
\]

Из равенства
\[
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=m l^{2} \dot{\varphi}
\]

находим
\[
\dot{\varphi}=\frac{1}{m l^{2}} p_{\varphi} .
\]

Используя формулу (7), находим функцию Гамильтона
\[
H=p_{\varphi} \dot{\varphi}-L=\frac{1}{2 m l^{2}} p_{\varphi}^{2}-m g l \cos \varphi .
\]

Канонические уравнения (12) имеют вид
\[
\frac{d \varphi}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{1}{m l^{2}} p_{\varphi}, \quad \frac{d p_{\varphi}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \varphi}=-m g l \sin \varphi .
\]
150. Физический смысл функции Гамильтона. Пусть система натуральна. Тогда $L=L_{2}+L_{1}+L_{0}$ и, согласно формулам (2) и (7),
\[
H=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial\left(L_{2}+L_{1}+L_{0}\right)}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}-\left(L_{2}+L_{1}+L_{0}\right),
\]

но по теореме Эйлера об однородных функциях
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L_{2}}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}=2 L_{2}, \quad \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}=L_{1},
\]

поэтому
\[
H=\left(2 L_{2}+L_{1}\right)-\left(L_{2}+L_{1}+L_{0}\right)=L_{2}-L_{0} .
\]

Пусть $T=T_{2}+T_{1}+T_{0}$. Если силы имеют обычный потенциал П, то $L_{0}=T_{0}-\Pi$ и, согласно (13),
\[
H=T_{2}-T_{0}+\Pi .
\]

Если же силы имеют обобщенный потенциал $V=V_{1}+V_{0}$, то $L_{0}=$ $=T_{0}-V_{0}$ и
\[
H=T_{2}-T_{0}+V_{0} .
\]

Пусть система натуральна и склерономна; тогда $T_{1}=0, T_{0}=0$ и $T=T_{2}$. В том случае, когда силы имеют обычный потенциал,
\[
H=T+\Pi,
\]
т. е. для натуральной склерономной системы с обычным потенциалом сил функция Гамильтона $H$ представляет собой полную механическую энергию. В этом и состоит физический смысл функции Гамильтона.

Отмстим также, что в случас склсрономной натуральной систсмы с обобщенным потенциалом сил
\[
H=T+V_{0} .
\]
151. Интеграл Якоби. Найдем полную производную функции Гамильтона по времени. Используя уравнения (12), получим тождество
\[
\begin{aligned}
\frac{d H}{d t} & =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \dot{p}_{i}\right)+\frac{\partial H}{\partial t}= \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t},
\end{aligned}
\]
т. е. полная производная функции Гамильтона по времени тождественно равна ее частной производной:
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Система называется обобщенно консервативной, если ее функция Гамильтона не зависит явно от времени. В этом случае $\partial H / \partial t \equiv 0$ и в силу тождества (18) $d H / d t \equiv 0$, т. е. при движении системы
\[
H\left(q_{i}, p_{i}\right)=h,
\]

где $h$ — произвольная постоянная. Функцию $H$ называют обобщенной полной энергией, а равенство (19) — обобщенным интегралом энергии.

В случае натуральной системы с обычным потенциалом сил функция Гамильтона вычисляется по формуле (14) и, если она не зависит от времени,
\[
T_{2}-T_{0}+\Pi=h .
\]

Соотношение (20), где $h$ — произвольная постоянная, называют интегралом Якоби.

Если система консервативна, т. е. она склерономна и силы имеют потенциал, не зависящий от времени, то $T_{0}=0, T_{1}=0, T=T_{2}$ и интеграл Якоби запишется в виде
\[
E=T+\Pi=h .
\]

Таким образом, консервативная система является частным случаем обобщенно консервативной и в рассматриваемом частном случае обобщенный интеграл энергии переходит в обычный.
ПРимер 1. Гладкая трубка вращается Рис. 135 в горизонтальной плоскости с заданной постоянной угловой скоростью $\omega$. Внутри трубки движется шарик масcoй $m$.

Будем считать, что шарик можно принять за материальную точку. Угол $\varphi$, который составляет ось трубки с некоторым неизменным направлением в горизонтальной плоскости, известен ( $\varphi=\omega t)$. Положение шарика будем задавать коорднатой $r$ — расстоянием до оси вращения трубки (рис. 135).

Потенциальная энергия шарика постоянна; примем, что $\Pi=0$. Для кинетической энергии шарика имеем выражение
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+\omega^{2} r^{2}\right),
\]
m. e.
\[
T_{2}=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}, \quad T_{1}=0, \quad T_{0}=\frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2} .
\]

Имеет место интеграл Якоби (20), который в рассматриваемом примере запишется в виде
\[
H=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}-\frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2}=h=\text { const. }
\]

Было бы ошибкой принять за интеграл полную механическую энергию $E=T+\Pi$, так как рассматриваемая система (шарик во вращающейся трубке) не является консервативной.
152. Уравнения Уиттекера и Якоби. Пусть движение системы описывается каноническими уравнениями (12). Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то существует обобщенный интеграл энергии
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)=h,
\]

где $h$ — произвольная постоянная, определяемая начальными условиями, $h=H\left(q_{1}^{0}, \ldots, q_{n}^{0}, p_{1}^{0}, \ldots, p_{n}^{0}\right)$. В $2 n$-мерном пространстве $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n} 1$ уравнение (22) задает гиперповерхность. Будем рассматривать только такие движения, которые соответствуют этой гиперповерхности. Иначе говоря, рассмотрим движение системы на фиксированном изоэнергетическом уровне $H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)=h$.

Покажем, что движение изучаемой системы на изоэнергетическом уровне описывается системой дифференциальных уравнений, порядок которой равен $2 n-2$, причем эта система уравнений может быть записана в виде канонических уравнений. Предположим, что в некоторой области фазового пространства выполняется неравенство $\partial H / \partial p_{1}
eq 0$. Тогда в этой области равенство (22) разрешимо относительно $p_{1}$ :
\[
p_{1}=-K\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \quad p_{2}, \ldots, p_{n}, h\right) .
\]

Перепишем систему уравнений (12), отделив два уравнения, соответствующих значению $i$, равному единице, от остальных $(2 n-2)$-х уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad \frac{d q_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}} \\
\frac{d q_{j}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{j}}, \quad \frac{d p_{j}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{j}}, \quad(j=2,3, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Разделив почленно уравнения (25) на первое из уравнений (24), получим
\[
\frac{d q_{j}}{d q_{1}}=\frac{\frac{\partial H}{\partial p_{j}}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}, \quad \frac{d p_{j}}{d q_{1}}=-\frac{\frac{\partial H}{\partial q_{j}}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}, \quad(j=2,3, \ldots, n)
\]

Подставив величину $p_{1}$, задаваемую равенством (23), в левую часть интеграла (22) и продифференцировав полученное тождество по переменной $q_{j}$, получим
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{j}}-\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial K}{\partial q_{j}}=0 \quad(j=2,3, \ldots, n) .
\]

Аналогично получим, что
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{j}}-\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial K}{\partial p_{j}}=0 \quad(j=2,3, \ldots, n) .
\]

Преобразуя правые части уравнений (26) с использованием равенств (27) и (28), находим окончательно
\[
\frac{d q_{j}}{d q_{1}}=\frac{\partial K}{\partial p_{j}}, \quad \frac{d p_{j}}{d q_{1}}=-\frac{\partial K}{\partial q_{j}}, \quad(j=2,3, \ldots, n) .
\]

Уравнения (29) описывают движение системы при $H=h=$ const и называются уравнениями Уиттекера. Они имеют форму канонических уравнений; роль функции Гамильтона играет функция $K$ из (23), а роль времени — координата $q_{1}$.
Интегрирование уравнений Уиттекера (29) дает
\[
\begin{array}{c}
q_{j}=q_{j}\left(q_{1}, h, c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}\right), \\
p_{j}=p_{j}\left(q_{1}, h, c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}\right), \quad(j=2,3, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}$ — произвольные постоянные. Если эти выражения для $q_{j}, p_{j}$ подставить в равенство (23), то получим
\[
p_{1}=f_{1}\left(q_{1}, h, c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}\right),
\]

Равенства $(30),(31)$ задают геометрический характер движения: они определяют уравнения траекторий в фазовом пространстве (точнее, на гиперповерхности фазового пространства $H=h$ ). Чтобы найти зависимость движения от времени, воспользуемся первым из двух уравнений (24). Если в его правую часть подставить величины $p_{1}, q_{j}, p_{j}$ из (30) и (31), то получим
\[
\frac{d q_{1}}{d t}=g_{1}\left(q_{1}, h, c_{1}, \ldots, c_{2 n-2}\right),
\]

откуда
\[
t=\int \frac{d q_{1}}{g_{1}}+c_{2 n-1} .
\]

Разрешив уравнение (32) относительно $q_{1}$, получим
\[
q_{1}=q_{1}\left(t, h, c_{1}, \ldots, c_{2 n-1}\right) .
\]

Уравнения Уиттекера (29) имеют структуру уравнений Гамильтона. Их можно записать в виде уравнений типа Лагранжа. Пусть гессиан функции $K$ по переменным $p_{j}$ отличен от нуля:
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} K}{\partial p_{j} \partial p_{l}}\right\|_{j, l=2}^{n}
eq 0
\]

Пусть $P$ — преобразование Лежандра функции $K$ по переменным $p_{j}(j=2,3, \ldots, n)$. Тогда
\[
P=P\left(q_{2}, \ldots, q_{n}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, q_{1}, h\right)=\sum_{j=2}^{n} q_{j}^{\prime} p_{j}-K,
\]

где $q_{j}^{\prime}=d q_{j} / d q_{1}$. Величины $p_{j}$ в (35) выражаются через $q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$ из уравнений
\[
q_{j}^{\prime}=\frac{\partial K}{\partial p_{j}} \quad(j=2,3, \ldots, n),
\]
т. е. из первых $n-1$ уравнений системы (29).

При помощи функции $P$ уравнения (29) могут быть записаны в следующей эквивалентной форме:
\[
\frac{d}{d q_{1}} \frac{\partial P}{\partial q_{j}^{\prime}}-\frac{\partial P}{\partial q_{j}}=0 \quad(j=2,3, \ldots, n) .
\]

Это уравнения типа Лагранжа. Они называются уравнениями Якоби. Роль функции Лагранжа в уравнениях Якоби играет функция $P$, а роль времени, как и в уравнениях Уиттекера (29), — координата $q_{1}$.

Преобразуем выражение (35) для функции $P$, учитывая равенства $(7),(23)$ и соотношение $q_{1}^{\prime} \equiv 1$ :
\[
P=\sum_{j=2}^{n} p_{j} q_{j}^{\prime}+p_{1}=\sum_{i=1}^{n} p_{i} q_{i}^{\prime}=\frac{1}{\dot{q}_{1}} \sum_{i=1}^{n} p_{i} \dot{q}_{i}=\frac{1}{\dot{q}_{1}}(L+H) .
\]

Пусть система консервативна. Тогда $L=T-\Pi, H=T+\Pi$ и из (37) следует, что
\[
P=\frac{2 T}{\dot{q}_{1}} .
\]

Но в консервативной системе
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}=\dot{q}_{1}^{2} G\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}\right),
\]

где
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} q_{i}^{\prime} q_{k}^{\prime} .
\]

Из интеграла энергии $T+\Pi=h$ и равенства (39) находим, что
\[
\dot{q}_{1}=\sqrt{\frac{h-\Pi}{G}} .
\]

И из $(38),(39)$ получаем окончательное выражение для функции $P$ в случае консервативной системы:
\[
P=2 \sqrt{(h-\Pi) G} .
\]

ПРимер 1. Найдем уравнения Уиттекера и Якоби, описывающие движение точки массой $т$ в однородном поле тяжести. Пусть ось $O z$ неподвижной системы координат Охуz направлена вертикально вверх. Тог$\partial a$
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right), \quad \Pi=m g z, \\
L & =\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-m g z, \\
p_{x} & =m \dot{x}, \quad p_{y}=m \dot{y}, \quad p_{z}=m \dot{z}, \\
H & =\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+m g z .
\end{aligned}
\]

Считая величину $\dot{x}$ положительной, из уравнения $H=h$ получаем $p_{x}=-K$, где
\[
K=-\sqrt{2 m(h-m g z)-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}} .
\]

Уравнения Уиттекера (29) будут такими:
\[
\begin{aligned}
\frac{d y}{d x} & =\frac{p_{y}}{\sqrt{2 m(h-m g z)-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}}} \\
\frac{d z}{d x} & =\frac{p_{z}}{\sqrt{2 m(h-m g z)-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}}}, \quad \frac{d p_{y}}{d x}=0, \\
\frac{d p_{z}}{d x} & =-\frac{m^{2} g}{\sqrt{2 m(h-m g z)-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}}}
\end{aligned}
\]

Так как рассматриваемая система консервативна, то функция $P$ может быть вычислена по формуле (40). Получаем
\[
G=\frac{1}{2} m\left(1+{y^{\prime}}^{2}+{z^{\prime}}^{2}\right) .
\]

Тогда
\[
P=\sqrt{2 m(h-m g z)\left(1+{y^{\prime}}^{2}+{z^{\prime}}^{2}\right),}
\]

и уравнения Якоби (36) запишутся в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d x}\left(\sqrt{\frac{h-m g z}{1+{y^{\prime}}^{2}+{z^{\prime}}^{2}}} \cdot y^{\prime}\right)=0, \\
\frac{d}{d x}\left(\sqrt{\frac{h-m g z}{1+{y^{\prime}}^{2}+{z^{\prime}}^{2}}} \cdot z^{\prime}\right)+\frac{m g}{2} \sqrt{\frac{1+{y^{\prime}}^{2}+{z^{\prime}}^{2}}{h-m g z}}=0 . \\
\end{array}
\]