48. Главный вектор системы сил. Обозначим $\boldsymbol{F}_{
u}$ равнодействующую всех сил (активных и реакций связей), приложенных к точке $P_{
u}$. Сумма
\[
\boldsymbol{R}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u}
\]

называется главным вектором этой системы сил. Пусть $F_{
u x}, F_{
u y}, F_{
u z}-$ компоненты силы $\boldsymbol{F}_{
u}$ в декартовой системе координат $O x y z$. Тогда компоненты $R_{x}, R_{y}, R_{z}$ главного вектора и его направление определяются в соответствии с формулами
\[
\begin{array}{c}
R_{x}=\sum_{
u=1}^{N} F_{
u x}, \quad R_{y}=\sum_{
u=1}^{N} F_{
u y}, \quad R_{z}=\sum_{
u=1}^{N} F_{
u z} \\
\cos (\boldsymbol{R}, \boldsymbol{i})=\frac{R_{x}}{R}, \quad \cos (\boldsymbol{R}, \boldsymbol{j})=\frac{R_{y}}{R}, \quad \cos (\boldsymbol{R}, \boldsymbol{k})=\frac{R_{z}}{R}, \\
R=\sqrt{R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}} .
\end{array}
\]

Здесь $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ — орты осей $O x, O y, O z$.
Сила $\boldsymbol{F}_{
u}$ является суммой равнодействующих всех внешних $\boldsymbol{F}_{
u}^{(e)}$ и всех внутренних сил $\boldsymbol{F}_{
u}^{(i)}$, т. е.
\[
\boldsymbol{F}_{
u}=\boldsymbol{F}_{
u}^{(e)}+\boldsymbol{F}_{
u}^{(i)} \quad(
u=12, \ldots, N) .
\]

Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют две точки системы, равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Поэтому когда мы подставим выражения (4) в (1), то в получившейся сумме внутренние силы взаимно

уничтожаются. Таким образом, главный вектор внутренних сил обратится в нуль и
\[
\boldsymbol{R}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u}^{(e)},
\]
т. е. главный вектор $\boldsymbol{R}$ системы сил равен главному вектору $\boldsymbol{R}^{(e)}$ внешних сил.
49. Момент силы относительно точки и оси. Моментом силы $\boldsymbol{F}$ относительно точки $O$ называется вектор
\[
\boldsymbol{m}_{O}(\boldsymbol{F})=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F},
\]

где $\boldsymbol{r}$ — радиус-вектор точки приложения силы $\boldsymbol{F}$ относительно точки $O$. Из свойств векторного произведения следует, что модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы на ее плечо, т. е. на расстояние от точки $O$ до линии действии силы $\boldsymbol{F}$. Направлен момент по нормали к плоскости, проходящей через точку $O$ и линию действия силы $\boldsymbol{F}$, в ту сторону, откуда «вращение», вызванное силой, происходило бы против часовой стрелки. Линией действия силы $\boldsymbol{F}$ мы называем прямую, на которой лежит вектор $\boldsymbol{F}$.
Моментом силы $\boldsymbol{F}$ относительно оси и называет-
Рис. 46 ся проекция на эту ось момента силы $\boldsymbol{F}$ относительно точки, взятой на этой оси. Момент силы $\boldsymbol{F}$ относительно оси $u$ обозначается $m_{u}(\boldsymbol{F})$.

Пусть $e$ — единичный вектор оси $u$ (рис. 46). Возьмем на этой оси точки $O_{1}$ и $O_{2}$. Тогда, согласно определению, $m_{u}(\boldsymbol{F})=\left(\boldsymbol{r}_{1} \times \boldsymbol{F}\right) \cdot \boldsymbol{e}$, а также $m_{u}(\boldsymbol{F})=\left(\boldsymbol{r}_{2} \times \boldsymbol{F}\right) \cdot \boldsymbol{e}$. Составим разность $\left(\boldsymbol{r}_{1} \times \boldsymbol{F}\right) \cdot \boldsymbol{e}-\left(\boldsymbol{r}_{2} \times \boldsymbol{F}\right) \cdot \boldsymbol{e}$. Она равна нулю, так как $\left(\boldsymbol{r}_{1} \times \boldsymbol{F}\right) \cdot \boldsymbol{e}-\left(\boldsymbol{r}_{2} \times \boldsymbol{F}\right) \cdot \boldsymbol{e}=\left(\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right) \times\right.$ $\times \boldsymbol{F}) \cdot \boldsymbol{e}=\left(\overline{O_{1} O_{2}} \times \boldsymbol{F}\right) \cdot \boldsymbol{e}$, а векторы $\overline{O_{1} O_{2}} \times \boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{e}$ ортогональны. Тем самым показана независимость величины $m_{u}(\boldsymbol{F})$ от выбора точки на оси.

Пусть $F_{x}, F_{y}, F_{z}$ и $x, y, z$ — компоненты силы $\boldsymbol{F}$ и радиусавектора $\boldsymbol{r}$ точки ее приложения соответственно в декартовой прямоугольной системе координат $O x y z$ с началом в точке $O$. Тогда из (6) следует, что момент силы $\boldsymbol{F}$ относительно точки $O$ задается в этой системе координат компонентами
\[
m_{x}(\boldsymbol{F})=y F_{z}-z F_{y}, \quad m_{y}(\boldsymbol{F})=z F_{x}-x F_{z}, \quad m_{z}(\boldsymbol{F})=x F_{y}-y F_{x} .
\]

Величины $m_{x}(\boldsymbol{F}), m_{y}(\boldsymbol{F})$ и $m_{z}(\boldsymbol{F})$ — моменты силы $\boldsymbol{F}$ относительно осей $O x, O y$ и $O z$. Из (7) сразу следует, что момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось лежат в одной плоскости.
50. Главный момент системы сил. Пусть снова $\boldsymbol{F}_{
u}$ — равнодействующая всех сил, приложенных к точке $P_{
u}$ механической системы, а $\boldsymbol{r}_{
u}$ — радиусы-векторы точек $P_{
u}$ относительно точки $O$. Главным моментом $\boldsymbol{M}_{0}$ этой системы сил относительно точки $O$ называется сумма
\[
\boldsymbol{M}_{O}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{m}_{O}\left(\boldsymbol{F}_{
u}\right)=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{r}_{
u} \times \boldsymbol{F}_{
u} .
\]

Так же, как и для главного вектора, можно показать, что главный момент внутренних сил равен нулю и $\boldsymbol{M}_{O}=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{m}_{O}\left(\boldsymbol{F}_{
u}^{(e)}\right)$, т. е. главный момент всех сил системы равен главному моменту $\boldsymbol{M}_{O}^{(e)}$ ее внешних сил.

Главным моментом $M_{u}$ системы сил относительно оси и называется проекция на эту ось главного момента $\boldsymbol{M}_{O}$, вычисленного для какой-либо точки оси. Независимость величины $M_{u}$ от выбора точки на оси доказывается так же, как и в случае одной силы в п. 49.

В декартовой системе координат $O x y z$ главный момент $\boldsymbol{M}_{O}$ имеет компоненты, вычисляемые по формулам
\[
\begin{aligned}
M_{x} & =\sum_{
u=1}^{N}\left(y_{
u} F_{
u z}-z_{
u} F_{
u y}\right), \\
M_{y} & =\sum_{
u=1}^{N}\left(z_{
u} F_{
u x}-x_{
u} F_{
u z}\right), \\
M_{z} & =\sum_{
u=1}^{N}\left(x_{
u} F_{
u y}-y_{
u} F_{
u x}\right) .
\end{aligned}
\]

Величины $M_{x}, M_{y}$ и $M_{z}$ — главные моменты сил относительно осей $O x, O y$ и $O z$.
Направление главного момента определяется формулами
\[
\begin{array}{c}
\cos \left(\boldsymbol{M}_{O}, \boldsymbol{i}\right)=\frac{M_{x}}{M_{O}}, \quad \cos \left(\boldsymbol{M}_{O}, \boldsymbol{j}\right)=\frac{M_{y}}{M_{O}}, \quad \cos \left(\boldsymbol{M}_{O}, \boldsymbol{k}\right)=\frac{M_{z}}{M_{O}}, \\
M_{O}=\sqrt{M_{x}^{2}+M_{y}^{2}+M_{z}^{2}} .
\end{array}
\]