74. Центр масс. Рассмотрим систему материальных точек $P_{
u}$ $(
u=1,2, \ldots, N)$. Пусть $m_{
u}$ – масса, а $\boldsymbol{r}_{
u}$ – радиус-вектор точки $P_{
u}$ относительно начала некоторой системы координат Oxyz.
Центром масс системы называется геометрическая точка $C$ пространства, определяемая радиусом-вектором
\[
\boldsymbol{r}_{C}=\frac{\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{r}_{
u}}{M},
\]
где $M$ – масса системы,
\[
M=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} .
\]
Центр масс системы называют также ее центром инерции.
75. Момент инерции системы относительно оси. Радиус инерции. Пусть расстояние точки $P_{
u}$ до некоторой оси $u$ равно $\rho_{
u}$. Тогда величина
\[
J_{u}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \rho_{
u}^{2}
\]
называется моментом инериии системы относительно оси и.
Момент инерции $J_{u}$ можно записать в виде $M \rho^{2}$; положительная величина $\rho$ называется радиусом инерции системы относительно оси $u$. Замечание 1. В конкретных задачах при нахождении центра масс и моментов инерции сплошных тел суммы в выражениях для $r_{C}, M, J_{u}$ переходят в интегралы.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Полярным моментом инериии относительно точки $O$ называется величина
\[
J_{0}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} r_{
u .}^{2}
\]
Показать, что центр масс системы можно определить как такую точку пространства, для которой полярный момент инерции наименьший. $O_{T}$ сюда, в частности, следует, что положение центра масс в пространстве не зависит от конкретного выбора системы координат.
ПРимеР 1. Вычислим моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда массой $m$ со сторонами $a, b$, с относительно прямых, проходящих через центр и параллельных ребрам.
Выберем систему координат Охуz с началом в центре параллелепипеда, оси которой параллельны соответствующим ребрам (рис. 75). Разобьем паральелепипед на ряд элементарных масс $d m$ в форме прямоугольных параллелепипедов со сторонами $d x, d y, d z$. Тогда
\[
d m=\frac{m}{a b c} d x d y d z .
\]
Пусть $x, y, z$ – координаты одной из таких элементарных масс.
Рис. 75
Предварительно вычисляем интегралы:
\[
\int x^{2} d m=\frac{m}{a b c} \int_{-\frac{c}{2}}^{\frac{c}{2}} \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^{2} d x d y d z=\frac{m}{a b c} \cdot c \cdot b \cdot \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^{2} d x=\frac{1}{12} m a^{2} ;
\]
аналогично
\[
\int y^{2} d m=\frac{1}{12} m b^{2} \quad u \quad \int z^{2} d m=\frac{1}{12} m c^{2} .
\]
Поэтому для искомых моментов инерии получаем
\[
\begin{array}{l}
J_{x}=\int\left(y^{2}+z^{2}\right) d m=\frac{1}{12} m\left(b^{2}+c^{2}\right), \\
J_{y}=\int\left(z^{2}+x^{2}\right) d m=\frac{1}{12} m\left(c^{2}+a^{2}\right), \\
J_{z}=\int\left(x^{2}+y^{2}\right) d m=\frac{1}{12} m\left(a^{2}+b^{2}\right) .
\end{array}
\]
Чтобы получить момент инерции тонкого однородного стержня длиной а относительно оси $z$, перпендикулярной стержню и проходящей
через его середину, можно взять третье из этих равенств и положить в нем $b=0$. Получим
\[
J_{z}=m a^{2} / 12 .
\]
ПРимер 2. Определим момент инерции относительно оси вращения однородной цилиндрической круговой трубки массой $m$, внутренний радиус которой равен $r$, а внешний $R$ (рис. 76).
За элементарную массу $d m$ примем массу цилиндрического слоя, образуемую двумя коаксиальными цилиндрами радиусов $\rho$ и $\rho+d \rho$. Имеем
\[
\begin{array}{c}
d m=\frac{m}{\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) H} 2 \pi \rho H \cdot d \rho=\frac{2 m \rho d \rho}{R^{2}-r^{2}}, \\
J_{z}=\int \rho^{2} d m=\frac{2 m}{R^{2}-r^{2}} \int_{r}^{R} \rho^{3} d \rho=\frac{1}{2} m\left(R^{2}+r^{2}\right) .
\end{array}
\]
При $r=0$ отсюда следует формула для момента инерции сплошного цилиндра относительно его оси:
Рис. 76
\[
J_{z}=m R^{2} / 2 .
\]
Пример 3. Вычислим момент инерции однородного шара массой $m$ и радиусом $R$ относительно диаметра.
Поместив начало системы координат Охуz в центре шара, из симметрии фигуры заключаем, что $J_{x}=J_{y}=J_{z}$. Обозначим этот одинаковый для всех диаметров момент инериии шара через $J$. Тогда
\[
3 J=J_{x}+J_{y}+J_{z}=2 \int\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d m .
\]
За элементарную массу $d m$ примем массу сферического слоя, образуемого двумя концентрическими сферами радиусов $\rho$ и $\rho+d \rho$. Тогда
\[
d m=\frac{m}{4 / 3 \pi R^{3}} 4 \pi \rho^{2} d \rho=\frac{3 m}{R^{3}} \rho^{2} d \rho .
\]
Поэтому
\[
J=\frac{2}{3} \int\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d m=\frac{2}{3} \cdot \frac{3 m}{R^{3}} \int_{0}^{R} \rho^{4} d \rho=\frac{2}{5} m R^{2} .
\]
ПРимер 4. Найдем момент инерции конуса относительно его оси. Масса конуса равна $m$, радиус основания $R$.
Рис. 77
Рис. 78
За элементарную массу $d m$ примем массу тонкого диска толщиной $d z$, плоскость которого параллельна основанию конуса и отстоит от него на расстоянии $z$ (рис. 77 ). Тогда
\[
d m=\frac{m}{1 / 3 \pi R^{2} h} \cdot \pi\left[\frac{(h-z) R}{h}\right]^{2} d z=\frac{3 m}{h^{3}}(h-z)^{2} d z
\]
и для искомого момента инериии получаем
\[
J_{z}=\int \frac{1}{2}\left[\frac{(h-z) R}{h}\right]^{2} d m=\frac{3 m R^{2}}{2 h^{5}} \int_{0}^{h}(h-z)^{4} d z=\frac{3}{10} m R^{2} .
\]
76. Моменты инерции относительно параллельных осей. Момент инерции, очевидно, зависит от выбора оси $u$. Найдем зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей. Сначала покажем, что если известен момент инерции $J_{C}$ относительно некоторой оси, проходящей через центр масс системы, то момент инерции $J_{u}$ относительно любой параллельной оси может быть найден по формуле
\[
J_{u}=J_{C}+M d^{2},
\]
где $d$ – расстояние между осями ${ }^{1}$.
Действительно, поместим начало координат в центре масс $C$, направив ось $C z$ по оси, относительно которой известен момент инерции $J_{C}$, а ось $C y$ так, чтобы она пересекала ось $u$, параллельную оси $C z$
(рис. 78).
Тогда
\[
\begin{array}{c}
J_{u}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left[x_{
u}^{2}+\left(y_{
u}-d\right)^{2}\right]=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right)- \\
-2 d \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} y_{
u}+\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\right) d^{2} .
\end{array}
\]
Первая сумма в полученном выражении есть $J_{c}$, вторая сумма обращается в нуль, так как она равна $M y_{c}$, а для выбранной системы координат $y_{c}=0$, третья сумма равна массе системы $M$. Справедливость формулы (2) доказана.
Из формулы (2) следует соотношение между моментами инерции относительно любых параллельных осей $u_{1}$ и $u_{2}$.
\[
J_{u_{1}}=J_{u_{2}}+M\left(d_{1}^{2}-d_{2}^{2}\right),
\]
где $d_{1}$ и $d_{2}$ – расстояния осей $u_{1}$ и $u_{2}$ от центра масс.
ПРИмер 1. Подсчитаем момент инериии тонкого однородного стержня длиной а и массой $m$ относительно оси $z$, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец (рис. 79).
Так как (см. пример 1 п. 75) $J_{C}=m a^{2} / 12$, то
\[
J_{z^{\prime}}=J_{C}+m(a / 2)^{2}=m a^{2} / 3 .
\]
