132. Дифференциальное уравнение движения. Пусть материальная точка $P$ переменного состава движется относительно инерциальной системы отсчета $O x y z$. Масса точки $P$ изменяется со временем вследствие одновременного отделения и присоединения к ней малых частиц материи, размерами которых можно пренебречь.

Пусть $\boldsymbol{u}_{1}$ – абсолютная скорость (скорость относительно Oxyz) частицы, которая отделяется от точки $P$ в момент времени $t^{\prime}$, а $\boldsymbol{u}_{2}$ – абсолютная скорость частицы, которая присоединяется к $P$ в этот момент. Пусть $\Delta M_{1}$ и $\Delta M_{2}$ – соответственно массы отделяющейся и присоединяющейся частиц. Тогда, применяя обозначения предыдущего пункта, имеем следующие равенства, справедливые с точностью до членов первого порядка малости включительно относительно $\Delta t$ и $\Delta M_{i}(i=1,2)$ :
\[
\Delta \boldsymbol{Q}_{1}=\Delta M_{1} \boldsymbol{u}_{1}, \quad \Delta \boldsymbol{Q}_{2}=\Delta M_{2} \boldsymbol{u}_{2},
\]

и, следовательно, согласно формулам (6) п. 130,
\[
\boldsymbol{F}_{1}=-\frac{d M_{1}}{d t} \boldsymbol{u}_{1}, \quad \boldsymbol{F}_{2}=\frac{d M_{2}}{d t} \boldsymbol{u}_{2} .
\]

Здесь, как и в п. $129, M_{1}(t)$ и $M_{2}(t)$ представляют собой суммарную массу всех частиц, отделившихся от точки $P$ и, соответственно, присоединившихся к ней за время $t$, прошедшее от момента $t=0$, когда масса точки $P$ была равна $M_{0}$.

Пусть $v$ – абсолютная скорость точки $P$. Тогда ее количество движения вычисляется по формуле
\[
\boldsymbol{Q}=M \boldsymbol{v} .
\]

Подставив (1) и (2) в уравнение (5) п. 130, получим
\[
\frac{d M}{d t} \boldsymbol{v}+M \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\boldsymbol{R}-\frac{d M_{1}}{d t} \boldsymbol{u}_{1}+\frac{d M_{2}}{d t} \boldsymbol{u}_{2},
\]

где $\boldsymbol{R}$ – равнодействующая сил, приложенных к точке $P$. Используя соотношение $M=M_{0}-M_{1}+M_{2}$, это равенство можно переписать в виде
\[
-\frac{d M_{1}}{d t} \boldsymbol{v}+\frac{d M_{2}}{d t} \boldsymbol{v}+M \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\boldsymbol{R}-\frac{d M_{1}}{d t} \boldsymbol{u}_{1}+\frac{d M_{2}}{d t} \boldsymbol{u}_{2} .
\]

Перенеся первые два слагаемых левой части в правую часть равенства, окончательно получим
\[
M \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\boldsymbol{R}-\frac{d M_{1}}{d t}\left(\boldsymbol{u}_{1}-\boldsymbol{v}\right)+\frac{d M_{2}}{d t}\left(\boldsymbol{u}_{2}-\boldsymbol{v}\right) .
\]

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением движения точки переменного состава и называется обобщенным уравнением Мещерского.

Отметим, что $\boldsymbol{u}_{1}-\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}_{1 r}$ – скорость отделяющихся частиц относительно точки $P$. Аналогично $\boldsymbol{u}_{2}-\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}_{2 r}$ – скорость присоединяющихся частиц относительно точки $P$.

Пусть имеет место только отделение частиц. Тогда $M_{2} \equiv 0$, $M(t)=M_{0}-M_{1}(t)$ и $d M / d t=-d M_{1} / d t$. В этом случае уравнение (3) принимает вид
\[
M \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\boldsymbol{R}+\frac{d M}{d t} \boldsymbol{u}_{1 r} .
\]

Уравнение (4) называется уравнением Мещерского. Из него видно, что эффект отделения частиц эквивалентен действию на точку $P$ добавочной силы $\boldsymbol{F}_{1}=\frac{d M}{d t} \boldsymbol{u}_{1 r}$ (называемой реактивной силой). Аналогично можно рассмотреть и эффект присоединения частиц к точке $P$. Реактивная сила численно равна произведению величины $d M / d t$ (называемой секундным расходом массы) на относительную скорость отделения (или присоединения) частиц к точке переменного состава $P$. В случае отделения частиц реактивная сила направлена противоположно вектору $\boldsymbol{u}_{1 r}$ относительной скорости отделяющихся частиц, а в случае присоединения частиц реактивная сила и относительная скорость $\boldsymbol{u}_{2 r}$ имеют одинаковые направления.

Пусть имеет место только отделение частиц от точки $P$ переменного состава. Если абсолютная скорость $\boldsymbol{u}_{1}$ отделяющихся частиц равна нулю, то уравнение Мещерского (4) примет вид
\[
M \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\boldsymbol{R}-\frac{d M}{d t} \boldsymbol{v},
\]

или
\[
\frac{d(M \boldsymbol{v})}{d t}=\boldsymbol{R},
\]
т. е. если абсолютная скорость отделяющихся частиц равна нулю, то производная по времени от количества движения точки $P$ переменного состава равна равнодействующей приложенных к ней сил. Если же относительная скорость $\boldsymbol{u}_{1 r}$ отделяющихся частиц равна нулю, то из (4) получаем
\[
M \frac{d v}{d t}=\boldsymbol{R},
\]
т. е. если относительная скорость отделяющихся частиц равна нулю, то уравнение движения точки $P$ переменного состава записывается формально в том же виде, что и уравнения движения точки постоянного состава.
133. Движение ракеты вне поля сил. Пусть точка $P$ переменного состава движется в безвоздушном пространстве вне поля сил. Движение точки моделирует, например, движение ракеты в космическом пространстве, если ракету принять за точку и пренебречь силами сопротивлспил космичсской срсды, гравитациошым притляснисм, силами светового давления и т. п. Тогда $\boldsymbol{R}=0$ и из равенства (4) получаем векторное уравнение движения ракеты
\[
M \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\frac{d M}{d t} \boldsymbol{u}_{r},
\]

где $\boldsymbol{u}_{r}$ – относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива. Будем считать, что скорость $u_{r}$ постоянна и имеет направление, противоположное скорости $v$ ракеты. Тогда ракета будет двигаться по прямой линии, имеющей направление вектора $v$. Примем эту прямую за ось $O x$ (рис. 132). Проектируя обе части равенства (5) на ось $O x$, получаем
\[
M \frac{d v}{d t}=-\frac{d M}{d t} u_{r}
\]

где $u_{r}$ – величина относительной скорости $u_{r}$. Полагая, что при $t=0$ масса ракеты равна $M_{0}$, а ее скорость равна $v_{0}$, и интегрируя (6), получаем
\[
v(t)=v_{0}+u_{r} \ln \frac{M_{0}}{M(t)} .
\]

Рис. 132
0тсюда видно, что скорость ракеты в данный момент времени зависит от отношения начальной массы к текущему ее значению. Пусть $M_{\mathrm{T}}$ – начальная масса топлива, а $M_{\mathrm{K}}$ – конечная масса ракеты после того, как израсходовано все топливо (т. е. масса корпуса ракеты, полезных грузов и оборудования). Тогда $M_{0}=M_{\mathrm{K}}+M_{\mathrm{T}}$, и для скорости ракеты, которую она приобретет в конце процесса сгорания топлива, получаем из (7) следующее выражение, называемое формулой Циолковского:
\[
v_{\mathrm{K}}=v_{0}+u_{r} \ln \left(1+\frac{M_{\mathrm{T}}}{M_{\mathrm{K}}}\right) .
\]

Иэ этой формулы следует, что предельная скорость ракеты $v_{\text {к }}$ зависит только от относительного запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его сгорания. От закона изменения массы ракеты (режима работы двигателя) предельная скорость ракеты не зависит; если задано отношение $M_{\mathrm{T}} / M_{\mathrm{K}}=Z$ (называемое числом Циолковского), то предельная скорость будет вполне определенной независимо от того, быстро или медленно происходило сгорание топлива.

Путь, пройденный ракетой на активном участке траектории, зависит от закона сгорания топлива. Полагая, что $x=0$ при $t=0$, из (7) получаем
\[
x=v_{0} t+u_{r} \int_{0}^{t} \ln \frac{M_{0}}{M(t)} d t .
\]
134. Вертикальное движение ракеты в однородном поле тяжести. Пусть ракета движется вертикально вверх в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления среды. Ракету принимаем за материальную точку. Начальная скорость ракеты равна нулю, начальная масса $M_{0}$. Относительная скорость $u_{r}$ отделения продуктов сгорания топлива постоянна и направлена вертикально вниз. Требуется найти скорость ракеты и высоту ее подъема как функции времени, считая, что закон изменения массы ракеты со временем задан.

На ракету действует внешняя сила – сила тяжести, направленная вертикально вниз. Примем прямую, по которой движется ракета, за ось $O z$ (рис. 133). Проектируя обе части уравнения (4) на ось $O z$, получаем
\[
M \frac{d v}{d t}=-M g-\frac{d M}{d t} u_{r} .
\]

Интегрируя это уравнение, находим зависимость скорости ракеты от времени
\[
v=u_{r} \ln \frac{M_{0}}{M(t)}-g t .
\]

Если положить, что при $t=0 z=0$, то, проинтегрировав (10), найдем, что зависимость высоты подъема ракеты от времени задается формулой
\[
z=u_{r} \int_{0}^{t} \ln \frac{M_{0}}{M(t)} d t-\frac{g t^{2}}{2} .
\]

Пусть масса ракеты изменяется по экспоненциальному закону:
\[
M=M_{0} e^{-\alpha t},
\]

где $\alpha$ – постоянный положительный коэффициент, характеризующий быстроту сгорания топлива. Масса $M_{1}$ отброшенных продуктов сгорания возрастает по закону
\[
M_{1}=M_{0}\left(1-e^{-\alpha t}\right) .
\]

Для величины $F_{1}$ реактивной силы, согласно первой из формул (1) п. 132, получаем выражение
\[
F_{1}=\alpha M_{0} e^{-\alpha t} u_{r}=\alpha u_{r} M,
\]
т. е. величина $\alpha u_{r}$ есть ускорение, сообщаемое ракете за счет реактивной силы.
Для закона изменения массы (12) из (10) и (11) получаем
\[
v=\left(\alpha u_{r}-g\right) t, \quad z=\frac{1}{2}\left(\alpha u_{r}-g\right) t^{2} .
\]

Отсюда, в частности, следует, что вертикальный подъем ракеты возможен только при $\alpha u_{r}>g$. Это означает, что ускорение ракеты за счет реактивной силы должно быть больше ускорения свободного падения.

Пусть запас топлива $M_{T}$ задан. Из (12) найдем время $t_{K}$ сгорания топлива. Так как в конце процесса сгорания $M=M_{K}$, то из (12) получаем
\[
M_{K}=M_{0} e^{-\alpha t_{K}} .
\]

Учитывая, что $M_{0}=M_{K}+M_{T}$ и вводя обозначение $\beta=\ln \left(1+M_{T} / M_{K}\right)$, получаем отсюда
\[
t_{K}=\frac{\beta}{\alpha} .
\]

Из (13) следует, что скорость $v_{K}$ ракеты в конце процесса сгорания топлива и длина $z_{K}$ активного участка траектории ракеты определяются формулами
\[
v_{K}=\beta\left(u_{r}-\frac{g}{\alpha}\right), \quad z_{K}=\frac{\alpha u_{r}-g}{2 \alpha^{2}} \beta^{2} .
\]

После сгорания топлива, т. е. при $t>t_{K}$, масса ракеты остается постоянной, и, имея при $t=t_{K}$ скорость $v_{K}$, она пройдет до наибольшей высоты подъема расстояние
\[
s=\frac{v_{K}^{2}}{2 g}=\frac{\beta^{2}}{2 g}\left(u_{r}-\frac{g}{\alpha}\right)^{2} .
\]

Для полной высоты подъема $h=z_{K}+s$ из (15) и (16) получаем выражение
\[
h=\frac{\beta^{2} u_{r}}{2}\left(\frac{u_{r}}{g}-\frac{1}{\alpha}\right) .
\]

Отсюда следует, что при возрастании $\alpha$ растет и наибольшая высота подъема ракеты. Наибольшая высота $h_{\max }$ соответствует случаю $\alpha=\infty$, т. е. случаю мгновенного сгорания топлива. При этом
\[
h_{\max }=\frac{\beta^{2} u_{r}^{2}}{2 g} .
\]

Найдем, при каком значении $\alpha$ длина $z_{K}$ активного участка будет наибольшей. Из (15) имеем
\[
\frac{\partial z_{K}}{\partial \alpha}=\beta^{2} \frac{2 g-\alpha u_{r}}{2 \alpha^{3}}, \quad \frac{\partial^{2} z_{K}}{\partial \alpha^{2}}=\beta^{2} \frac{\alpha u_{r}-3 g}{\alpha^{4}} .
\]

Отсюда следует, что при $\alpha=2 g / u_{r}$, т. е когда ускорение, сообщаемое ракете реактивной силой, вдвое больше ускорения свободного падения, величина $z_{K}$ будет максимальной. Из (15) находим, что
\[
z_{K \max }=\frac{\beta^{2} u_{r}^{2}}{8 g} .
\]

При этом для высоты $h$ подъема ракеты, согласно (17), получаем
\[
h=\frac{\beta^{2} u_{r}^{2}}{4 g},
\]
т. е. при наибольшей длине активного участка траектории ракеты полная высота ее подъема вдвое меньше наибольшей возможной высоты, задаваемой равенством (18).