224. Устойчивость равновесия. Рассмотрим голономную консервативную систему, положение которой задается обобщенными координатами $q_{1}, \ldots, q_{n}$ ( $n$ — число степеней свободы). Как показано в п. 63 , некоторое положение системы тогда и только тогда является ее положением равновесия, когда в этом положении все обобщенные силы равны нулю:
\[
Q_{i}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где П — потенциальная энергия системы, которая в случае консервативной системы явно от времени не зависит. Без ограничения общности будем считать, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю.

Если систему вывести из положения равновесия, сообщив ее точкам какие-то малые начальные отклонения от положений равновесия и малые начальные скорости, то в последующем движении точки системы либо все время остаются вблизи положений равновесия, либо удаляются от этих положений. В первом случае положение равновесия будет устойчивым, а во втором — неустойчивым.

Дадим строгое определение устойчивого положения равновесия. Положение равновесия $q_{1}=q_{2}=\ldots=0$ называется устойчивым, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)$, что для всех $t>t_{0}$ выполняются неравенства
\[
\left|q_{i}(t)\right|<\varepsilon, \quad\left|\dot{q}_{i}(t)\right|<\varepsilon \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

при условии, что в начальный момент $t=t_{0}$
\[
\left|q_{i}\left(t_{0}\right)\right|<\delta, \quad\left|\dot{q}_{i}\left(t_{0}\right)\right|<\delta .
\]

Это определение удобно геометрически интерпретировать в $2 n$-мерном пространстве состояний $q_{i}, \dot{q}_{i}$. На рис. 172 для случая $n=1$ изображены две окрестности, задаваемые неравенствами (2) и (3). В случае устойчивости любое движение, начинающееся в момент $t=t_{0}$ внутри квадрата со стороной $2 \delta$, будет происходить все время внутри квадрата со стороной $2 \varepsilon$.

Устойчивость положения равновесия Рис. 172 можно исследовать, зная потенциальную энергию системы.
225. Теорема Лагранжа. Достаточные условия устойчивости положения равновесия консервативной системы дает теорема Лагранжа.
Теорема. Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий локальный миниму.м, то это положение равновесия устойчиво.

Доказательство.
Как уже отмечалось, без ограничения общности можно считать, что в положении равновесия $q_{1}=q_{2}=\ldots=q_{n}=0$. В силу того что потенциальная энергия $\Pi\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, примем, что $\Pi(0, \ldots, 0)=0$. Так как в положении равновесия функция П имеет строгий локальный минимум, то существует такое число $\eta>0$, что в окрестности
\[
\left|q_{i}\right|<\eta \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

выполняется строгое неравенство
\[
\Pi\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)>\Pi(0, \ldots, 0)=0,
\]

если хотя бы одна из величин $q_{i}$ не равна нулю.
Будем предполагать также, что за обобщенные координаты $q_{1}, \ldots, q_{n}$ приняты такие независимые параметры, определяющие положение системы, что определитель (18) п. 139 (при $m=n$ ) отличен от нуля для всех $q_{i}$ из окрестности (4), если $\eta$ — достаточно малая величина. Тогда кинетическая энергия
\[
T=T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{n} a_{i k}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}
\]

является определенно положительной функцией обобщенных скоростей, и, следовательно, полная механическая энергия системы
\[
E=T+\Pi
\]

при выполнении неравенства (4) строго положительна, если только не все величины $q_{i}, \dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ равны нулю. А так как при $q_{i}=\dot{q}_{i}=0(i=1,2, \ldots, n)$ имеем $\mathrm{E}=0$, то функция $\mathrm{E}$ в начале координат $2 n$-мерного пространства состояний $q_{i}, \dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ имеет строгий локальный минимум, равный нулю.

Пусть $\varepsilon$ — любое число, удовлетворяющее ограничениям $0<\varepsilon<\eta$. Рассмотрим окрестность, задаваемую неравенствами (2). Граница этой окрестности является замкнутым множеством точек, и непрерывная функция $E$ достигает на ней своей точной нижней грани $a$. Так как, кроме того, на границе окрестности (2) все значения $E$ положительны, то на ней
\[
E \geqslant a>0 .
\]

В силу того что в начале координат $q_{i}=0, \dot{q}_{i}=0(i=1,2, \ldots, n)$ непрерывная функция $E$ имеет строгий локальный минимум, равный нулю, можно найти такое $\delta(0<\delta \leqslant \varepsilon)$, что в окрестности
\[
\left|q_{i}\right|<\delta, \quad\left|\dot{q}_{i}\right|<\delta \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

будет выполняться неравенство
\[
E<a .
\]

Пусть теперь функции $q_{i}=q_{i}(t)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям движения системы. Если начальные данные удовлетворяют неравенствам (3), то во все время движения выполняются неравенства (2). Действительно, при условии (3) начальная полная энергия $E_{0}<a$, а так как при движении консервативной системы ее полная энергия постоянна, то при всех $t \geqslant t_{0}$ имеем $E<a$. Поэтому точка $q_{i}(t), \dot{q}_{i}(t)$, изображающая движение системы в пространстве $q_{i}, \dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$, не может достигнуть границы окрестности (2), на которой $E \geqslant a$, а поэтому всегда остается внутри этой окрестности. Теорема доказана.

Отметим, что приведенные выше доказательства следуют соображениям, содержащимся в первом строгом и полном доказательстве теоремы Лагранжа, предложенном Дирихле. Эти соображения послужили одним из основных источников для решения общей задачи об устойчивости движения ${ }^{1}$.

ЗАмЕчаниЕ 1. Предположим, что изучаемая механическая система неконсервативна, но получается из консервативной добавлением гироскопических или диссипативных сил или тех и других вместе. Пусть им отвечают обобщенные силы $Q_{i}^{*}\left(q_{j}, \dot{q}_{j}\right)$. Тогда мощность непотенцильных сил
\[
N^{*}=\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{*}\left(q_{j}, \dot{q}_{j}\right) \dot{q}_{i} \leqslant 0 .
\]

Покажем, что обобщенные силы $Q_{i}^{*}$, удовлетворяющие условию (10), обращаются в нуль, когда все обобщенные скорости равны нулю. Действительно, пусть при каких-либо значениях $q_{i 0}(i=1,2, \ldots, n)$ обобщенных координат хотя бы одна из обобщенных сил $Q_{k}^{*}$ не равна нулю, т. е. $Q_{k}^{*}\left(q_{i 0}, 0\right)
eq 0$. Но тогда в силу непрерывности существовала бы окрестность точки $q_{i}=q_{i 0}, \dot{q}_{i}=0$, в которой функция $Q_{k}^{*}\left(q_{j}, \dot{q}_{j}\right)$ не была бы равной нулю и, следовательно, ее значения имели бы один и тот же знак. Но ввиду независимости величин $q_{i}$ и $\dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ их значения в указанной окрестности можно выбрать так, что
\[
\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{*}\left(q_{j}, \dot{q}_{j}\right) \dot{q}_{i}>0
\]

а это противоречит условию (10). Из сказанного, в частности, следует, что при наличии гироскопических и диссипативных сил положение равновесия сохранится.

Так как интеграл энергии $E=T+\Pi=$ const существует и при гироскопических силах (в отсутствие диссипативных сил; см. п. 142), то приведенное выше доказательство теоремы Лагранжа остается без изменений и при наличии гироскопических сил. Если же существуют диссипативные силы (или диссипативные и гироскопические силы одновременно), то, согласно п. 142,
\[
\frac{d E}{d t}=N^{*} \leqslant 0,
\]
т. е. при движении системы ее полная энергия $E$ не превосходит своего начального значения $E_{0}$. Но если $E_{0}<a$, то во все время движения $E<a$ и опять при всех $t \geqslant t_{0}$ справедливы неравенства (2).

Таким образом, при добавлении к консервативной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа остается справедливoй.
226. Теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы. Теорема Лагранжа дает достаточные условия устойчивости положения равновесия. Вопрос о том,

будет ли неустойчивым положение равновесия консервативной системы, если в этом положении потенциальная энергия не имеет минимума, является очень сложным, и до сих пор на него не получено исчерпывающего ответа ${ }^{1}$. Первые строгие результаты в решении этого вопроса получены Ляпуновым. Дадим без доказательства две его теоремы ${ }^{2}$. Функцию $\Pi\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ предполагаем аналитической в окрестности положения равновесия.
Теорема 1. Если потенциальная энергия консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и это узнается уже по членам второго порядка в разложении функции П в ряд в окрестности положения равновесия без необходимости рассматривания членов высших порядков, то положение равновесия неустойчиво.

Теорема 2. Если в положении равновесия потенцильная энергия имеет максимум и это узнается по членам наименее высокого порядка, которые действительно присутствуют в разложении этой функции в ряд в окрестности положения равновесия, то это положение равновесия неустойчиво ${ }^{3}$.

ПРИМЕР 1 (УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА НА АБСОЛЮТНО ГЛАДКОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОскостИ). Пусть тело ограничено произвольной выпуклой поверхностью $\sigma$ и общая нормаль (вертикаль) к горизонтальной плоскости и к поверхности $\sigma$ в некоторой ее точке $D^{*}$ содержит центр тяжести тела $G$. Тогда тело на плоскости может находиться в состоянии равновесия, причем в точке $D^{*}$ поверхность тела соприкасается с плоскостью.

Обозначим Gхуz жестко связанную с телом систему координат, ось $G z$ которой содержит отрезок прямой $D^{*} G$, а оси $G x$ и $G y$ направлены параллельно линиям кривизны поверхности тела в точке $D^{*}$. Тогда уравнение поверхности тела в окрестности точки $D^{*}$ запишется в виде
\[
f \equiv-h-z+\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{r_{1}}+\frac{y^{2}}{r_{2}}\right)+\cdots=0 .
\]

Здесь $x, y, z$ — координаты точки $D$ поверхности $\sigma$, которой тело касается плоскости при малом его отклонении от положения равновесия (рис. 119), $h$ — расстояние центра тяжести тела от опорной горизонтальной плоскости в положении равновесия ( $x=y=0, z=-h), r_{1}$ и $r_{2}$ — главные радиусы кривизны поверхности тела в точке $D^{*}$; так как поверхность $\sigma$ выпуклая и целиком находится выше опорной плоскости, то величины $r_{1}, r_{2}$ положительны. Многоточие в уравнении (11) обозначает совокупность членов, порядок которых относительно $x, y$ выше порядка членов, выписанных явно.
Потенциальная энергия тела вычисляется по формуле
\[
\Pi=m g l,
\]

где $l=-(\boldsymbol{n} \cdot \overline{G D})-$ расстояние от центра тяжести до касательной плоскости к поверхности тела, а $n$ — единичная внутренняя нормаль в точке D. Из уравнения (11) и формулы (25) n. 114 имеем следующие выражения для компонент вектора $n$ :
\[
\gamma_{1}=-\frac{x}{r_{1}}+\cdots, \quad \gamma_{2}=-\frac{y}{r_{2}}+\cdots, \quad \gamma_{3}=1-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{r_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{r_{2}^{2}}\right)+\cdots
\]

Учитывая, что $\overline{G D^{\prime}}=(x, y, z)$, и пренебрегая в выражении для П несущественной аддитивной постоянной $m g h$, получаем из (11)-(13)
\[
\Pi=\frac{1}{2} m g\left(\frac{r_{1}-h}{r_{1}^{2}} x^{2}+\frac{r_{2}-h}{r_{2}^{2}} y^{2}\right)+\cdots
\]

Отсюда и из теоремы Лагранжа следует, что если центр тяжести тела находится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью, то положение равновесия устойчиво. Если же центр тяжести лежит выше хотя бы одного из главных центров кривизны, то, согласно теоремам 1 и 2 Ляпунова, имеет место неустойчивость.
227. Стационарные движения консервативной системы с циклическими координатами и их устойчивость. Пусть в голономной системе с $n$ степенями свободы обобщенные координаты $q_{\alpha}(\alpha=k+1, \ldots, n)$ являются циклическими. Остальные обобщенные координаты $q_{i}(i=1,2, \ldots, k)$ называются (при наличии циклических координат) позиционными. Потенциальная энергия П и коэффициенты $a_{i k}$ кинетической энергии
\[
T=T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}
\]

будут функциями только от позиционных координат.
Согласно п. 164, существуют первые интегралы, отвечающие циклическим координатам:
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}=\frac{\partial T_{2}}{\partial \dot{q}_{\alpha}}=c_{\alpha}=\mathrm{const} \quad(\alpha=k+1, \ldots, n),
\]

где $L=T-\Pi-$ функция Лагранжа.
Считая, что гессиан (6) п. 165 отличен от нуля, составим функцию Payca
\[
R=\sum_{\alpha=k+1}^{n} c_{\alpha} \dot{q}_{\alpha}-L
\]

и выразим ее через позиционные координаты $q_{i}$, их производные $\dot{q}_{i}$ $(i=1,2, \ldots, k)$ и постоянные $c_{\alpha}(\alpha=k+1, \ldots, n)$. Введем обозначение
\[
R^{*}=-R+\Pi .
\]

Тогда уравнения Рауса запишутся в виде
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R^{*}}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial R^{*}}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, k) .
\]

Функция $R^{*}$ может быть представлена в виде суммы
\[
R^{*}=R_{2}^{*}+R_{1}^{*}+R_{0}^{*},
\]

где $R_{2}^{*}$ — квадратичная форма производных позиционных координат ${ }^{1}$,
\[
R_{2}^{*}=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{k} a_{i j}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \dot{q}_{i} \dot{q}_{j} .
\]

Функция $R_{1}^{*}$ линейна относительно $\dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, k)^{2}$ :
\[
R_{1}^{*}=\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{*}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, c_{\alpha}\right)=\dot{q}_{i} \quad(\alpha=k+1, \ldots, n),
\]

$R_{0}^{*}$ зависит только от позиционных координат и величин $c_{\alpha}$.
Используя представление (19), запишем уравнения Рауса (18) в виде
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R_{2}^{*}}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial R_{2}^{*}}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial\left(\Pi-R_{0}^{*}\right)}{\partial q_{i}}-\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial R_{1}^{*}}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial R_{1}^{*}}{\partial q_{i}}\right) \quad(i=1,2, \ldots, k) .
\]

Из равенства (21) следует, что
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R_{1}^{*}}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial R_{1}^{*}}{\partial q_{i}}=\sum_{j=1}^{k} \gamma_{i j}^{*} \dot{q}_{j} \quad(i=1,2, \ldots, k),
\]

где
\[
\gamma_{i j}^{*}=\frac{\partial a_{i}^{*}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial a_{j}^{*}}{\partial q_{i}}, \quad \gamma_{i j}^{*}=-\gamma_{j i}^{*} \quad(i, j=1,2, \ldots, k),
\]
т. е. выражение во второй круглой скобке правой части (22) приводит к появлению гироскопических сил, линейных относительно позиционных скоростей.

Итак, уравнения (22) можно рассматривать как дифференциальные уравнения движения некоторой приведенной системы с $k$ степенями свободы, кинетическая энергия которой равна $R_{2}^{*}$, а обобщенные силы состоят из гироскопических сил и потенциальных сил, производных от потенциала $\Pi^{*}=\Pi-R_{0}^{*}$. Потенциал $\Pi^{*}$ приведенной системы называют приведенным потенциалом (приведенной потенциальной энергией), или потенциалом Рауса. Если исходная система является гироскопически несвязанной, то в приведенной системе гироскопические силы отсутствуют.

Стационарными движениями исходной консервативной системы с циклическими координатами называются такие ее движения, при которых позиционные координаты $q_{i}(i=1,2, \ldots, k)$ и циклические скорости $\dot{q}_{\alpha}(\alpha=k+1, \ldots, n)$ постоянны. Из (15) и (22) следует, что стационарные движения существуют в том и только в том случае, когда отвечающие им значения позиционных координат удовлетворяют уравнениям
\[
\frac{\partial \Pi^{*}}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, k),
\]
т. е. стационарные движения исходной системы соответствуют положениям равновесия приведенной системы.

Пусть для каких-либо значений постоянных $c_{\alpha}=c_{\alpha 0}$ система уравнений (25) имеет решение $q_{i}=q_{i 0}=$ const. Тогда в стационарном движении $q_{i}=q_{i 0}, \dot{q}_{i} \equiv 0(i=1,2, \ldots, k), c_{\alpha}=c_{\alpha 0}(\alpha=k+1, \ldots n)$. Допустим, что в начальный момент времени $t=t_{0}$ величины $q_{i}, \dot{q}_{i}$ мало отличаются от их значений, отвечающих стационарному движению. Будут ли тогда величины $q_{i}-q_{i 0}, \dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, k)$ оставаться малыми для всех $t \geqslant t_{0}$ ? Иными словами, будет ли рассматриваемое стационарное движение устойчиво по отношению к переменным $q_{i}, \dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, k)$ ? Ответ на этот вопрос можно получить, используя теорему Лагранжа.

Так как наличие гироскопических сил не нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл $E^{*}=R_{2}^{*}+\Pi^{*}$. Если теперь в п. 225 заменить $E$ на $E^{*}$ и повторить рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами.
Теорема. Если в стационарном движении потенциальная энергия $\Pi^{*}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, c_{\alpha 0}\right)$ приведенной системы имеет строгий локальный минимум, то это движение устойчиво по отношению $к$ переменным $q_{i}, \dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, k)$.

Замечание 2. Применяя теорему Лагранжа, мы фиксировали постоянные $c_{\alpha}$, оставляя их такими же, как и в самом стационарном движении. Ляпунову принадлежит существенное дополнение к теореме Рауса, которое допускает малое изменении постоянных $c_{\alpha}$. Именно, если $\Pi^{*}$ имеет минимум как при $c_{\alpha}=c_{\alpha 0}$, так и при значениях $c_{\alpha}=c_{\alpha 0}+\mu_{\alpha}\left(\left|\mu_{\alpha}\right| \ll 1, \alpha=k+1, \ldots, n\right)$, причем позиционные координаты $q_{i 0}\left(c_{\alpha}\right)$ в точке минимума $\Pi^{*}$ непрерывны как функции $c_{\alpha}$, то стационарное движение устойчиво по отношению к возмущениям величин $q_{i}, \dot{q}_{i}(i=1,2, \ldots, k)^{1}$.

ПРИМЕР 1 (УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ДИСКА ВОКРУГ ВЕРТИКАЛИ). Пусть круговой однородный диск радиусом $\rho$ и массой $m$ движется в однородном поле тяжести по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, касаясь ее одной точкой своего края. Как отмечалось в п. 114, при движении твердого тела по абсолютно гладкой плоскости проекция его центра масс на плоскость движется равномерно и прямолинейно. Без ограничения общности можно считать ее неподвижной; тогда центр масс тела будет двигаться по заданной вертикали. Ориентацию диска относительно неподвижной системы координат зададим при по-

мощи углов Эйлера (рис. 137). Кинетическая и потенциальная энергия диска определяются формулами (см. п. 157)
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{8} m \rho^{2}\left(1+4 \cos ^{2} \theta\right) \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{8} m \rho^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}+\frac{1}{4} m \rho^{2}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})^{2}, \\
\Pi=m g \rho \sin \theta .
\end{array}
\]

Переменные $\psi$ и будут циклическими координатами. Им соответствуют первые интегралы ( $L=T-\Pi)$ :
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}=\frac{1}{4} m \rho^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+\frac{1}{2} m \rho^{2}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}) \cos \theta=c_{\psi}=\mathrm{const}, \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{1}{2} m \rho^{2}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})=c_{\varphi}=\mathrm{const} .
\end{array}
\]

Приведенная система имеет одну степень свободы, а функция (19) имеет вид
\[
R^{*}=\frac{1}{8} m \rho^{2}\left(1+4 \cos ^{2} \theta\right) \dot{\theta}^{2}-2 \frac{\left(c_{\psi}-c_{\varphi} \cos \theta\right)^{2}}{m \rho^{2} \sin ^{2} \theta}-\frac{c_{\varphi}^{2}}{m \rho^{2}} .
\]

Если отбросить последнее слагаемое, несущественное для уравнений движения, то для потенциальной энергии приведенной системы имеем выражение
\[
\Pi^{*}=m g \rho \sin \theta+2 \frac{\left(c_{\psi}-c_{\varphi} \cos \theta\right)^{2}}{m \rho^{2} \sin ^{2} \theta} .
\]

Существует такое движение, при котором один из диаметров диска расположен вертикально, а сам диск вращается вокруг этого диаметра с произвольной по величине постоянной угловой скоростью. Для этого движения
\[
\theta=\frac{\pi}{2}, \quad \dot{\varphi}=0, \quad \dot{\psi}=\omega=\text { const },
\]

причем
\[
c_{\psi}=\frac{1}{4} m \rho^{2} \omega, \quad c_{\varphi}=0 .
\]

Подставляя в функцию П* значения постоянных $c_{\psi}$ и $c_{\varphi}$ из (30), полагая $\theta=\frac{\pi}{2}+q$ и разлагая $\Pi^{*}$ в ряд по степеням $q$, получаем (несущественную постоянную в функции П* отбрасываем)
\[
\Pi^{*}=\frac{1}{8}\left(m \rho^{2} \omega^{2}-4 m g \rho\right) q^{2}+\frac{1}{24}\left(2 m \rho^{2} \omega^{2}+m g \rho\right) q^{4}+\cdots
\]

При выполнении неравенства
\[
|\omega| \geqslant 2 \sqrt{\frac{g}{\rho}}
\]

функция П* имеет строгий локальный минимум в точке $q=0$. Поэтому, согласно теореме Рауса, при условии (32) стационарное движение диска (29) устойчиво. Если же неравенство (32) не выполняется, то функция $\Pi^{*}$ в точке $q=0$ не имеет минимума, $и$ это узнается по членам второго порядка в разложении (31). Следовательно, согласно теореме 1 Ляпунова (см. п. 226), при невыполнении неравенства (32) имеет место неустойчивость ${ }^{1}$.