Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
115. Уравнения движения. Небесная механика изучает движение небесных объектов, естественных и искусственных, под действием сил гравитационного взаимодействия тел, сил сопротивлений, вызываемых наличием пылевых, газовых и других сред, сил светового давления и т. п. Важнейшей для приложений задачей небесной механики является задача двух тел, а точнее — задача двух материальных точек. Задача двух тел состоит в следующем. В пустом пространстве движутся две материальные точки, притягивающиеся одна к другой по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения точек и их скорости. Требуется найти положения точек для любого последующего момента времени. Пусть $M$ и $m$ — массы точек $O$ и $P$ соответственно, а $\gamma$ — универсальная гравитационная постоянная. Со стороны точки $O$ на точку $P$ действует сила $\boldsymbol{F}$, определяемая законом всемирного тяготения: Со стороны же точки $P$ на точку $O$ действует сила $-\boldsymbol{F}$. Радиусывекторы $\rho$ и $\boldsymbol{R}$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям Так как $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{\rho}-\boldsymbol{R}$, то отсюда следует, что Если ввести обозначение $k=\gamma(m+M)$, то получим Это уравнение определяет движение точки $P$ относительно точки $O$. Если вектор-функция $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$ найдена, то определение движения относительно системы координат $O_{a} X Y Z$ не представляет труда. Действительно, пусть $C$ — центр масс точек $P$ и $O$. Так как точки $P$ и $O$ образуют замкнутую систему, то, согласно теореме о движении центра масс, точка $C$ движется равномерно и прямолинейно; ее скорость полностью определяется начальными скоростями точек $O$ и $P$. Если $\boldsymbol{R}_{C}$ — радиус-вектор центра масс, то Согласно теореме об изменении кинетического момента, момент количества движения точки $P$ относительно точки $O$ остается постоянным. Отсюда следует, что Это соотношение носит название интеграла площадей. В нем $\boldsymbol{v}=\dot{r}-$ скорость точки $P$ относительно точки $O, \boldsymbol{c}$ — векторная константа интеграла площадей. Проекции вектора $\boldsymbol{c}$ на оси системы координат $O x y z$ определяются по формулам в которых правые части вычисляются для любого (например, начального) момента времени. Если $c_{x}=c_{y}=c_{z}=0$, то, очевидно, движение точки $P$ происходит по прямой, проходящей через точку $O$. Если же хотя бы одна из величин (3) отлична от нуля, то вектор $\boldsymbol{r}$ во все время движения лежит в одной и той же фиксированной плоскости, которая перпендикулярна вектору $\boldsymbol{c}$. Уравнение этой плоскости имеет вид Таким образом, орбита точки $P$ является плоской кривой. Плоскость орбиты однозначно определяется вектором $\boldsymbol{c}$, или начальным положением $\boldsymbol{r}_{0}$ и скоростью $\boldsymbol{v}_{0}$ точки $P$ относительно точки $O$. Выясним геометрический смысл интеграла площадей. Введем систему координат $O \tilde{x} \tilde{y} \tilde{z}$, совместив плоскость $O \tilde{x} \tilde{y}$ с плоскостью орбиты. Тогда $c_{\tilde{x}}=c_{\tilde{y}}=0, c_{\tilde{z}}=\tilde{x} \dot{\tilde{y}}-\dot{\tilde{x}} \tilde{y}\left(c=\sqrt{c_{x}^{2}+c_{y}^{2}+c_{z}^{2}}=\left|c_{\tilde{z}}\right|\right)$. Пусть $\theta-$ угол, который радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ составляет с осью $O \tilde{x}$. Тогда Отсюда и из выражения для $c_{\tilde{z}}$ получаем полярную форму интеграла площадей: Пусть теперь $P$ и $P^{\prime}$ (рис. 121) — положения, которые занимает точка $P$ в моменты $t$ и $t+\Delta t$, где $\Delta t$ — малая величина. Для площади криволинейного треугольника $O P P^{\prime}$ с точностью до величин первого порядка малости включительно относительно $\Delta \theta$ имеем выражение Разделив обе части этого равенства на $\Delta t$ и устремив $\Delta t$ к нулю, получим Производная $d S / d t$ в механике называется секторной скоростью. Из (5) и (6) для нее получаем выражение Таким образом, секторная скорость точки $P$ постоянна. В этом состоит геометрический смысл интеграла площадей. Отсюда следует второй закон Кеплера: площади, заметенные радиусом-вектором, идущим от Солнца к планете, пропорциональны промежуткам времени, в которые они были заметены. Так как других сил, помимо потенциальных, нет и потенциал II не зависит от времени, то полная механическая энергия $E=T+\Pi$ постоянна. Таким образом, в задаче двух тел существует интеграл энергии, который запишем в виде Константа энергии $h$ определяется начальным положением и скоростью точки $P$ : Из интеграла (7) следует, что при удалении точки $P$ от точки $O$ ее скорость убывает, а при приближении к точке $O$ — возрастает. Если $h \geqslant 0$, то точка $P$ может уйти от точки $O$ на сколь угодно большое расстояние. Если же $h<0$, то, как следует из (7), расстояние $r$ между точками $P$ и $O$ не может превзойти величину $2 k /|h|$, т. е. движение точки $P$ происходит в ограниченной части пространства. Но так как и равенство (8) можно представить в виде Отсюда следует, что Соотношение (9) называется интегралом Лапласа, а вектор $f$ — вектором Лапласа. Знак минус в правой части (9) введен для удобства дальнейшего использования интеграла (9). Модуль вектора Лапласа можно выразить через величину $k$ и постоянные $h, c$ интегралов энергии и площадей. В самом деле, учитывая ортогональность векторов $\boldsymbol{c}$ и $\boldsymbol{v}$, из (9) имеем Используя свойства смешанного произведения векторов и равенство (2), получаем Отсюда и из (7) следует, что соотношение (11) может быть записано в виде Из (9) сразу следует, что при $\boldsymbol{c}=0$ орбита точки будет прямолинейной: $\boldsymbol{r}=-\frac{r}{k} \boldsymbol{f}$. Пусть $\boldsymbol{c} Но, так как $\boldsymbol{r} \cdot(\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{v})=-c^{2}$, это равенство можно записать в виде где $ то из (13) получим уравнение орбиты точки $P$ в виде Рис. 122 Для орбит планет справедлив первый закон Кеплера: планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Но константа энергии $h$ равна $v_{0}^{2}-2 k / r_{0}$. Отсюда следует, что орбита будет эллиптической ( $\mathrm{<}<1$ ), если $h<0$. Это означает, что $v_{0}<\sqrt{2 k / r_{0}}$. Скорости, удовлетворяющие этому неравенству, называются эллиптическими скоростями. Если $h=0$, т. е. $v_{0}=\sqrt{2 k / r_{0}}$, то $e=1$, и орбита будет параболой. Скорость $v_{0}=\sqrt{2 k / r_{0}}$ называется параболической. Она является наименьшей скоростью, которую надо сообщить точке $P$, находящейся на расстоянии $r_{0}$ от точки $O$, чтобы она удалилась на сколь угодно большое расстояние от точки $O$. Орбита будет гиперболической ( $e>1$ ), если $h>0$, т. е. $v_{0}>\sqrt{2 k / r_{0}}$. Такие скорости называются гиперболическими. Первая космическая скорость $v_{I}$ — это круговая скорость у поверхности Земли. Найдем ее величину. Пусть $m$ — масса спутника, $M$ — масса Земли, $\gamma$ — универсальная гравитационная постоянная, $g_{0}$ ускорение свободного падения у поверхности Земли. Тогда Так как $m \ll M$, то можно считать, что $k=\gamma(m+M) \simeq \gamma M$. Поэтому из (16) следует, что приближенно Принимая радиус Земли $r_{0}$ равным 6371 км, а величину $g_{0}$ равной $9,82 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$, получим, что $v_{I} \simeq 7,91 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$. Вторая космическая скорость $v_{I I}$ — это параболическая скорость у поверхности Земли, т. е. Ближайшая к фокусу точка эллиптической орбиты называется перицентром, а наиболее удаленная от фокуса — anoцентром. Перицентр и апоцентр обозначены на рис. 123 буквами $\pi$ и $\alpha$. За время, равное периоду $T$ обращения точки $P$ по орбите, радиус-вектор $\overline{F P}$ Рис. 123 заметет всю площадь эллипса. Учитывая, что площадь эллипса равна $\pi a b$ и что, согласно интегралу площадей, секторная скорость точки $P$ постоянна и равна $\mathrm{c} / 2$, получаем равенство Но из (14) и (17) следует, что $c=\sqrt{p k}$ и $p=b^{2} / a$. Поэтому из равенства (18) вытекает следующее выражение для периода обращения точки $P$ : Величина $n=2 \pi / T$ является средней угловой скоростью вращения радиуса-вектора $\overline{F P}$, в астрономии ее называют средним движением. Согласно (19), Рассмотрим две точки $P_{1}$ и $P_{2}$ массой $m_{1}$ и $m_{2}$. Если пренебречь взаимным притяжением этих точек, то каждая из них будет двигаться вокруг точки $O$ по коническому сечению. Пусть орбиты точек будут эллиптическими. Тогда для периодов их обращения имеем выражения Отсюда следует, что При $m_{1} \ll M$ и $m_{2} \ll M$ это соотношение переходит в следующее приближенное равенство: Равенство (22) выражает третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их больших полуосей. Чтобы закончить решение задачи двух тел, осталось найти закон движения точки $P$ по ее орбите. Будем считать, что орбита является эллиптической. Из интеграла площадей имеем $r^{2} \dot{ Пусть $\tau$ — время прохождения точки $P$ через перицентр. Тогда из последнего уравнения получаем неявную зависимость $ Если отсюда найдена функция $ Найденное решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных. За них могут быть приняты константа $\tau$ и пять из семи констант $c_{x}, c_{y}, c_{z}, h, f_{x}, f_{y}, f_{z}$, связанных двумя соотношениями (10) и (12). Нахождение зависимости $ Связь между $E$ и $ Величина $E$ называется эксцентрической аномалией. Можно показать, что она имеет следующий геометрический смысл. Через точку $P$ проведем (рис. 124) перпендикуляр к большой полуоси орбиты до его пересечения в точке $Q$ с окружностью, построенной на большой оси как на диаметре. Угол, который составляет отрезок, соединяющий центр эллипса и точку $Q$, с большой полуосью орбиты и будет эксцентрической аномалией $E$. Зависимость $E$ от $ Используя эти соотношения, получаем такое выражение для интеграла из левой части равенства (23): Введем обозначение $n(t-\tau)=M$; величину $M$ в астрономии называют средней аномалией. Тогда из (23) и (25) имеем следующее уравнение: Оно называется уравнением Кеплера. Смысл величин $p, e, \tau$ ясен из предыдущих пунктов: $p$ — параметр орбиты, $e$ — ее эксцентриситет, $\tau$ — время прохождения через перицентр. Величина $\Omega$ — это угол, который составляет с осью $O x$ линия пересечения плоскости орбиты с плоскостью $O x y$ (рис. 126); величина $\Omega$ называется долготой восходящего узла. Элемент $i$ представляет собой угол между плоскостью орбиты и плосРис. 126 костью $O x y$; величину $i$ называют наклонением орбиты. Параметр $\omega$ определяет положение орбиты в ее плоскости, он называется угловым расстоянием перицентра от узла и равен углу между направлением из точки $O$ на перицентр и линией пересечения плоскости орбиты с плоскостью $O x y$. Для небесной механики и космодинамики наиболее важна так называемая ограниченная задача трех тел. Она состоит в изучении движения точки малой массы под действием притяжения двух конечных масс в предположении, что точка малой массы не влияет на движение точек конечных масс. Тем самым в ограниченной задаче трех тел точки конечных масс движутся по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тол сводится к исследованию движения только одной точки малой массы. Конечно, эта задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тел. Но и она не интегрируется (точнее, не проинтегрирована) в квадратурах.
|
1 |
Оглавление
|