115. Уравнения движения. Небесная механика изучает движение небесных объектов, естественных и искусственных, под действием сил гравитационного взаимодействия тел, сил сопротивлений, вызываемых наличием пылевых, газовых и других сред, сил светового давления и т. п. Важнейшей для приложений задачей небесной механики является задача двух тел, а точнее – задача двух материальных точек.

Задача двух тел состоит в следующем. В пустом пространстве движутся две материальные точки, притягивающиеся одна к другой по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения точек и их скорости. Требуется найти положения точек для любого последующего момента времени.
Эта задача является основной в проблеме движения планет Солнечной системы и искусственных спутников Земли, Луны и планет, так как в большинстве случаев силы взаимного притяжения планет, силы притяжения спутника Земли планетами, силы сопротивления космической среды, силы светового давления и т. п. малы по сравнению с силами гравитационного притяжения планеты и Солнца или спутника и Земли.
Замечательно то, что интегрирование дифференциальных уравнений движения в
Рис. 120 задаче двух тел сводится к квадратурам. Для получения уравнений движения введем инерциальную систему координат $O_{a} X Y Z$; ее начало совпадает, например, с центром масс Солнечной системы, а оси направлены на неподвижные звезды. Положения материальных точек $P$ и $O$ задаются их радиусами-векторами $\rho$ и $\boldsymbol{R}$ соответственно (рис. 120). С точкой $O$ свяжем поступательно движущуюся систему координат $O x y z$, оси которой параллельны соответствующим осям системы $O_{a} X Y Z$. Положение точки $P$ относительно точки $O$ задается радиусом-вектором $\boldsymbol{r}$.

Пусть $M$ и $m$ – массы точек $O$ и $P$ соответственно, а $\gamma$ – универсальная гравитационная постоянная. Со стороны точки $O$ на точку $P$ действует сила $\boldsymbol{F}$, определяемая законом всемирного тяготения:
\[
\boldsymbol{F}=-\gamma \frac{m M}{r^{3}} \boldsymbol{r} .
\]

Со стороны же точки $P$ на точку $O$ действует сила $-\boldsymbol{F}$. Радиусывекторы $\rho$ и $\boldsymbol{R}$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d^{2} \boldsymbol{\rho}}{d t^{2}}=-\gamma \frac{M}{r^{3}} \boldsymbol{r}, \quad \frac{d^{2} \boldsymbol{R}}{d t^{2}}=\gamma \frac{m}{r^{3}} \boldsymbol{r} .
\]

Так как $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{\rho}-\boldsymbol{R}$, то отсюда следует, что
\[
\frac{d^{2} \boldsymbol{r}}{d t^{2}}=-\gamma \frac{M}{r^{3}} \boldsymbol{r}-\gamma \frac{m}{r^{3}} \boldsymbol{r}=-\gamma(m+M) \frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}} .
\]

Если ввести обозначение $k=\gamma(m+M)$, то получим
\[
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}=-k \frac{r}{r^{3}} .
\]

Это уравнение определяет движение точки $P$ относительно точки $O$. Если вектор-функция $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$ найдена, то определение движения относительно системы координат $O_{a} X Y Z$ не представляет труда. Действительно, пусть $C$ – центр масс точек $P$ и $O$. Так как точки $P$ и $O$ образуют замкнутую систему, то, согласно теореме о движении центра масс, точка $C$ движется равномерно и прямолинейно; ее скорость полностью определяется начальными скоростями точек $O$ и $P$. Если $\boldsymbol{R}_{C}$ — радиус-вектор центра масс, то
\[
\boldsymbol{\rho}=\boldsymbol{R}_{C}+\frac{M}{m+M} \boldsymbol{r}, \quad \boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}_{C}-\frac{m}{m+M} \boldsymbol{r} .
\]
116. Интеграл площадей. Второй закон Кеплера. Дифференциальное уравнение (1) описывает движение точки $P$ в подвижной системе координат Oxyz. Это уравнение можно (а для дальнейшего очень удобно) интерпретировать как дифференциальное уравнение движения точки $P$ относительно неподвижного притягивающего центра $O$ под действием центральной силы, равной $-m k r / r^{3}$.

Согласно теореме об изменении кинетического момента, момент количества движения точки $P$ относительно точки $O$ остается постоянным. Отсюда следует, что
\[
r \times v=\boldsymbol{c} .
\]

Это соотношение носит название интеграла площадей. В нем $\boldsymbol{v}=\dot{r}-$ скорость точки $P$ относительно точки $O, \boldsymbol{c}$ – векторная константа интеграла площадей.

Проекции вектора $\boldsymbol{c}$ на оси системы координат $O x y z$ определяются по формулам
\[
c_{x}=y \dot{z}-\dot{y} z, \quad c_{y}=z \dot{x}-\dot{z} x, \quad c_{z}=x \dot{y}-\dot{x} y,
\]

в которых правые части вычисляются для любого (например, начального) момента времени.

Если $c_{x}=c_{y}=c_{z}=0$, то, очевидно, движение точки $P$ происходит по прямой, проходящей через точку $O$. Если же хотя бы одна из величин (3) отлична от нуля, то вектор $\boldsymbol{r}$ во все время движения лежит в одной и той же фиксированной плоскости, которая перпендикулярна вектору $\boldsymbol{c}$. Уравнение этой плоскости имеет вид
\[
c_{x} x+c_{y} y+c_{z} z=0 .
\]

Таким образом, орбита точки $P$ является плоской кривой. Плоскость орбиты однозначно определяется вектором $\boldsymbol{c}$, или начальным положением $\boldsymbol{r}_{0}$ и скоростью $\boldsymbol{v}_{0}$ точки $P$ относительно точки $O$.

Выясним геометрический смысл интеграла площадей. Введем систему координат $O \tilde{x} \tilde{y} \tilde{z}$, совместив плоскость $O \tilde{x} \tilde{y}$ с плоскостью орбиты. Тогда $c_{\tilde{x}}=c_{\tilde{y}}=0, c_{\tilde{z}}=\tilde{x} \dot{\tilde{y}}-\dot{\tilde{x}} \tilde{y}\left(c=\sqrt{c_{x}^{2}+c_{y}^{2}+c_{z}^{2}}=\left|c_{\tilde{z}}\right|\right)$. Пусть $\theta-$ угол, который радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ составляет с осью $O \tilde{x}$. Тогда
\[
\begin{array}{llrl}
\tilde{x} & =r \cos \theta, & & \tilde{y}=r \sin \theta, \\
\dot{\tilde{x}} & =\dot{r} \cos \theta-\dot{\theta} r \sin \theta, & \tilde{\tilde{y}}=\dot{r} \sin \theta+\dot{\theta} r \cos \theta .
\end{array}
\]

Отсюда и из выражения для $c_{\tilde{z}}$ получаем полярную форму интеграла площадей:
\[
r^{2} \frac{d \theta}{d t}=c_{z} .
\]

Пусть теперь $P$ и $P^{\prime}$ (рис. 121) – положения, которые занимает точка $P$ в моменты $t$ и $t+\Delta t$, где $\Delta t$ – малая величина. Для площади криволинейного треугольника $O P P^{\prime}$ с точностью до величин первого порядка малости включительно относительно $\Delta \theta$ имеем выражение
\[
\Delta S=\frac{1}{2} r^{2} \Delta \theta .
\]

Разделив обе части этого равенства на $\Delta t$ и устремив $\Delta t$ к нулю, получим
\[
\frac{d S}{d t}=\frac{1}{2} r^{2} \frac{d \theta}{d t} .
\]

Производная $d S / d t$ в механике называется секторной скоростью. Из (5) и (6) для нее получаем выражение
\[
\frac{d S}{d t}=\frac{1}{2} c_{\tilde{z}} .
\]

Таким образом, секторная скорость точки $P$ постоянна. В этом состоит геометрический смысл интеграла площадей.

Отсюда следует второй закон Кеплера: площади, заметенные радиусом-вектором, идущим от Солнца к планете, пропорциональны промежуткам времени, в которые они были заметены.
117. Интеграл энергии в задаче двух тел. Кинетическая и потенциальная энергия точки $P$ в ее движении относительно притягивающего центра $O$ определяются равенствами
\[
T=\frac{1}{2} m v^{2}, \quad \Pi=-\frac{m k}{r} .
\]

Так как других сил, помимо потенциальных, нет и потенциал II не зависит от времени, то полная механическая энергия $E=T+\Pi$ постоянна. Таким образом, в задаче двух тел существует интеграл энергии, который запишем в виде
\[
v^{2}-\frac{2 k}{r}=h \quad(h=\text { const }) .
\]

Константа энергии $h$ определяется начальным положением и скоростью точки $P$ :
\[
h=v_{0}^{2}-\frac{2 k}{r_{0}} .
\]

Из интеграла (7) следует, что при удалении точки $P$ от точки $O$ ее скорость убывает, а при приближении к точке $O$ – возрастает. Если $h \geqslant 0$, то точка $P$ может уйти от точки $O$ на сколь угодно большое расстояние. Если же $h<0$, то, как следует из (7), расстояние $r$ между точками $P$ и $O$ не может превзойти величину $2 k /|h|$, т. е. движение точки $P$ происходит в ограниченной части пространства.
118. Интеграл Лапласа. Из (1) и (2) следует равенство
\[
\boldsymbol{c} \times \ddot{\boldsymbol{r}}=-\frac{k}{r^{3}}(\boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{r}}) \times \boldsymbol{r} .
\]

Но так как
\[
\boldsymbol{c} \times \ddot{\boldsymbol{r}}=\frac{d}{d t}(\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{v})
\]

и
\[
(\boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{r}}) \times \boldsymbol{r}=\dot{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{r})-\boldsymbol{r}(\boldsymbol{r} \cdot \dot{\boldsymbol{r}})=\dot{\boldsymbol{r}} r^{2}-\boldsymbol{r} r \dot{\boldsymbol{r}}=r^{3} \frac{\boldsymbol{r} \dot{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{r} \dot{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}=r^{3} \frac{d}{d t}\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r}\right),
\]

равенство (8) можно представить в виде
\[
\frac{d}{d t}(\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{v})=-k \frac{d}{d t}\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r}\right) .
\]

Отсюда следует, что
\[
\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{v}+k \frac{\boldsymbol{r}}{r}=-\boldsymbol{f} .
\]

Соотношение (9) называется интегралом Лапласа, а вектор $f$ – вектором Лапласа. Знак минус в правой части (9) введен для удобства дальнейшего использования интеграла (9).
Из соотношения (9) сразу следует, что
\[
c \cdot f=0,
\]
т.е. вектор Лапласа ортогонален векторной константе площадей и, следовательно, лежит в плоскости орбиты.

Модуль вектора Лапласа можно выразить через величину $k$ и постоянные $h, c$ интегралов энергии и площадей. В самом деле, учитывая ортогональность векторов $\boldsymbol{c}$ и $\boldsymbol{v}$, из (9) имеем
\[
f^{2}=k^{2} \frac{\boldsymbol{r}^{2}}{r^{2}}+c^{2} v^{2}+\frac{2 k}{r}(\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{r} .
\]

Используя свойства смешанного произведения векторов и равенство (2), получаем
\[
(\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{r}=-(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{c}=-\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{c}=-c^{2} .
\]

Отсюда и из (7) следует, что соотношение (11) может быть записано в виде
\[
f^{2}=k^{2}+h c^{2} .
\]
119. Уравнение орбиты. Первый закон Кеплера. При помощи интеграла Лапласа и интеграла площадей можно получить уравнение орбиты точки $P$.

Из (9) сразу следует, что при $\boldsymbol{c}=0$ орбита точки будет прямолинейной: $\boldsymbol{r}=-\frac{r}{k} \boldsymbol{f}$. Пусть $\boldsymbol{c}
eq 0$. Умножим обе части интеграла Лапласа (9) скалярно на $r$. Получим равенство
\[
\boldsymbol{r} \cdot(\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{v})+\frac{k}{r}(r \cdot \boldsymbol{r})=-(\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{r}) .
\]

Но, так как $\boldsymbol{r} \cdot(\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{v})=-c^{2}$, это равенство можно записать в виде
\[
-c^{2}+k r=-f r \cos
u,
\]

где $
u$ – угол между радиусом-вектором $\boldsymbol{r}$ точки $P$ и вектором Лапласа $f$ (рис. 122). Угол $
u$ называется истинной аномалией.
Если ввести обозначения
\[
e=\frac{f}{k}, \quad p=\frac{c^{2}}{k},
\]

то из (13) получим уравнение орбиты точки $P$ в виде
\[
r=\frac{p}{1+e \cos
u} .
\]

Рис. 122
Соотношение (15) представляет собой уравнение конического сечения, фокус которого находится в точке $O$. Величина $p$ – параметр, $e$ эксцентриситет орбиты. Орбита точки $P$ относительно точки $O$ будет либо эллипсом ( $e<1$ ), либо параболой ( $e=1$ ), либо гиперболой ( $e>1$ ). При е $=0$ орбита будет окружностью.

Для орбит планет справедлив первый закон Кеплера: планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
120. Зависимость характера орбиты от величины начальной скорости. Первая и вторая космические скорости. Пусть орбита точки $P$ не является прямолинейной, т. е. $c
eq 0$. Если задано начальное расстояние $r_{0}$ точки $P$ от точки $O$, то характер орбиты точки $P$ вполне определяется величиной ее скорости $v_{0}$. Рассмотрим зависимость эксцентриситета орбиты от величины $v_{0}$.
Из (12) и (14) получаем выражение для эксцентриситета
\[
e=\sqrt{1+h \frac{c^{2}}{k^{2}}} .
\]

Но константа энергии $h$ равна $v_{0}^{2}-2 k / r_{0}$. Отсюда следует, что орбита будет эллиптической ( $\mathrm{<}<1$ ), если $h<0$. Это означает, что $v_{0}<\sqrt{2 k / r_{0}}$. Скорости, удовлетворяющие этому неравенству, называются эллиптическими скоростями.

Если $h=0$, т. е. $v_{0}=\sqrt{2 k / r_{0}}$, то $e=1$, и орбита будет параболой. Скорость $v_{0}=\sqrt{2 k / r_{0}}$ называется параболической. Она является наименьшей скоростью, которую надо сообщить точке $P$, находящейся на расстоянии $r_{0}$ от точки $O$, чтобы она удалилась на сколь угодно большое расстояние от точки $O$.

Орбита будет гиперболической ( $e>1$ ), если $h>0$, т. е. $v_{0}>\sqrt{2 k / r_{0}}$. Такие скорости называются гиперболическими.

Первая космическая скорость $v_{I}$ – это круговая скорость у поверхности Земли. Найдем ее величину. Пусть $m$ – масса спутника, $M$ – масса Земли, $\gamma$ – универсальная гравитационная постоянная, $g_{0}$ ускорение свободного падения у поверхности Земли. Тогда
\[
\frac{m v_{I}^{2}}{r_{0}}=m g_{0}=\gamma \frac{m M}{r_{0}^{2}} .
\]

Так как $m \ll M$, то можно считать, что $k=\gamma(m+M) \simeq \gamma M$. Поэтому из (16) следует, что приближенно
\[
v_{I}=\sqrt{g_{0} r_{0}}=\sqrt{\frac{k}{r_{0}}} .
\]

Принимая радиус Земли $r_{0}$ равным 6371 км, а величину $g_{0}$ равной $9,82 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$, получим, что $v_{I} \simeq 7,91 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.

Вторая космическая скорость $v_{I I}$ – это параболическая скорость у поверхности Земли, т. е.
\[
v_{I I}=\sqrt{\frac{2 k}{r_{0}}}=\sqrt{2} v_{I} \simeq 11,2 \mathrm{\kappa m} / \mathrm{c} .
\]
121. Третий закон Кеплера. Пусть орбита точки $P$ представляет собой эллипс с полуосями $a$ и $b$. Из аналитической геометрии известно, что величины $a$ и $b$ выражаются через параметр эллипса и его эксцентриситет посредством формул
\[
a=\frac{p}{1-e^{2}}, \quad b=\frac{p}{\sqrt{1-e^{2}}} .
\]

Ближайшая к фокусу точка эллиптической орбиты называется перицентром, а наиболее удаленная от фокуса – anoцентром. Перицентр и апоцентр обозначены на рис. 123 буквами $\pi$ и $\alpha$.

За время, равное периоду $T$ обращения точки $P$ по орбите, радиус-вектор $\overline{F P}$ Рис. 123 заметет всю площадь эллипса. Учитывая, что площадь эллипса равна $\pi a b$ и что, согласно интегралу площадей, секторная скорость точки $P$ постоянна и равна $\mathrm{c} / 2$, получаем равенство
\[
\pi a b=\frac{1}{2} c T .
\]

Но из (14) и (17) следует, что $c=\sqrt{p k}$ и $p=b^{2} / a$. Поэтому из равенства (18) вытекает следующее выражение для периода обращения точки $P$ :
\[
T=\frac{2 \pi a^{3 / 2}}{\sqrt{k}} .
\]

Величина $n=2 \pi / T$ является средней угловой скоростью вращения радиуса-вектора $\overline{F P}$, в астрономии ее называют средним движением. Согласно (19),
\[
n=\frac{\sqrt{k}}{a^{3 / 2}} .
\]

Рассмотрим две точки $P_{1}$ и $P_{2}$ массой $m_{1}$ и $m_{2}$. Если пренебречь взаимным притяжением этих точек, то каждая из них будет двигаться вокруг точки $O$ по коническому сечению. Пусть орбиты точек будут эллиптическими. Тогда для периодов их обращения имеем выражения
\[
T_{1}=\frac{2 \pi a_{1}^{3 / 2}}{\sqrt{\gamma\left(m_{1}+M\right)}}, \quad T_{2}=\frac{2 \pi a_{2}^{3 / 2}}{\sqrt{\gamma\left(m_{2}+M\right)}} .
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}=\frac{m_{2}+M}{m_{1}+M} \frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}} .
\]

При $m_{1} \ll M$ и $m_{2} \ll M$ это соотношение переходит в следующее приближенное равенство:
\[
\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}=\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}} .
\]

Равенство (22) выражает третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их больших полуосей.
122. Время в кеплеровском движении. Уравнение Кеплеpa. В предыдущих пунктах определен геометрический характер орбиты точки $P$. Орбита является коническим сечением и находится в плоскости, перпендикулярной векторной константе площадей $\boldsymbol{c}$. Положение самой орбиты в этой плоскости однозначно определяется вектором Лапласа $f$, который проходит через точку $O$, являющуюся фокусом конического сечения, и направлен на перицентр $\pi$.

Чтобы закончить решение задачи двух тел, осталось найти закон движения точки $P$ по ее орбите. Будем считать, что орбита является эллиптической. Из интеграла площадей имеем $r^{2} \dot{
u}=c$. Отсюда, из уравнения орбиты (15) и равенств $(14),(17)$ и (20) получаем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d
u}{d t}=\frac{c}{r^{2}}=\frac{c}{p^{2}}(1+e \cos
u)^{2}=\frac{\sqrt{k}}{p^{3 / 2}}(1+e \cos
u)^{2}= \\
=\frac{n}{\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}}(1+e \cos
u)^{2} .
\end{array}
\]

Пусть $\tau$ – время прохождения точки $P$ через перицентр. Тогда из последнего уравнения получаем неявную зависимость $
u=
u(t)$ :
\[
\int_{0}^{
u} \frac{d
u}{(1+e \cos
u)^{2}}=\frac{n}{\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}}(t-\tau) .
\]

Если отсюда найдена функция $
u=
u(t)$, то закон движения точки по орбите известен.

Найденное решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных. За них могут быть приняты константа $\tau$ и пять из семи констант $c_{x}, c_{y}, c_{z}, h, f_{x}, f_{y}, f_{z}$, связанных двумя соотношениями (10) и (12).

Нахождение зависимости $
u=
u(t)$ из трансцендентного уравнения (23) представляет собой довольно трудную задачу. Введем вместо $
u$ новую переменную $E$, через которую $
u$ выражается очень просто, а зависимость $E=E(t)$ определяется уравнением, хотя тоже трансцендентным, но значительно более простым, нежели уравнение (23).
Рис. 124
Рис. 125

Связь между $E$ и $
u$ зададим равенством
\[
\operatorname{tg} \frac{E}{2}=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \operatorname{tg} \frac{
u}{2}
\]

Величина $E$ называется эксцентрической аномалией. Можно показать, что она имеет следующий геометрический смысл. Через точку $P$ проведем (рис. 124) перпендикуляр к большой полуоси орбиты до его пересечения в точке $Q$ с окружностью, построенной на большой оси как на диаметре. Угол, который составляет отрезок, соединяющий центр эллипса и точку $Q$, с большой полуосью орбиты и будет эксцентрической аномалией $E$. Зависимость $E$ от $
u$ представлена на рис. 125. Из (24) следует, что
\[
d
u=\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{1-e \cos E} d E, \quad 1+e \cos
u=\frac{1-e^{2}}{1-e \cos E} .
\]

Используя эти соотношения, получаем такое выражение для интеграла из левой части равенства (23):
\[
\begin{aligned}
\int_{0}^{
u} \frac{d
u}{(1+e \cos
u)^{2}} & =\frac{1}{\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}} \int_{0}^{E}(1-e \cos E) d E= \\
& =\frac{1}{\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}}(E-e \sin E) .
\end{aligned}
\]

Введем обозначение $n(t-\tau)=M$; величину $M$ в астрономии называют средней аномалией. Тогда из (23) и (25) имеем следующее уравнение:
\[
E-e \sin E=M \text {. }
\]

Оно называется уравнением Кеплера.
123. Кеплеровские элементы орбиты. Решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, определяемых начальными условиями движения. Их можно вводить по-разному и не обязательно именно так, как это было сделано в предыдущих пунктах в процессе решения задачи двух тел. Рассмотрим произвольные постоянные, которые носят название кеплеровских элементов орбиты и очень широко используются в небесной механике. За кеплеровские элементы принимаются следующие шесть величин, однозначно определяемых по начальным условиям: $\Omega, i, p, e, \omega, \tau$.

Смысл величин $p, e, \tau$ ясен из предыдущих пунктов: $p$ – параметр орбиты, $e$ – ее эксцентриситет, $\tau$ – время прохождения через перицентр. Величина $\Omega$ – это угол, который составляет с осью $O x$ линия пересечения плоскости орбиты с плоскостью $O x y$ (рис. 126); величина $\Omega$ называется долготой восходящего узла. Элемент $i$ представляет собой угол между плоскостью орбиты и плосРис. 126 костью $O x y$; величину $i$ называют наклонением орбиты. Параметр $\omega$ определяет положение орбиты в ее плоскости, он называется угловым расстоянием перицентра от узла и равен углу между направлением из точки $O$ на перицентр и линией пересечения плоскости орбиты с плоскостью $O x y$.
124. 0 задаче трех и более тел. Задача $n$ тел ( $n \geqslant 2)$ состоит в следующем. В пустоте находятся $n$ материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Эта задача не решена до сих пор. Более того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифференциальные уравнения движения не имеют других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей точек.

Для небесной механики и космодинамики наиболее важна так называемая ограниченная задача трех тел. Она состоит в изучении движения точки малой массы под действием притяжения двух конечных масс в предположении, что точка малой массы не влияет на движение точек конечных масс. Тем самым в ограниченной задаче трех тел точки конечных масс движутся по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тол сводится к исследованию движения только одной точки малой массы. Конечно, эта задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тел. Но и она не интегрируется (точнее, не проинтегрирована) в квадратурах.