231. Уравнения возмущенного движения. Определение устойчивости. Пусть уравнения движения механической системы представлены в виде системы дифференциальных уравнений
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, m),
\]

правые части которых удовлетворяют условиям существования и единственности решения.

Рассмотрим движение механической системы, которому отвечает некоторое частное решение системы (1)
\[
y_{i}^{*}=\int_{i}(\iota) \quad(i=1,2, \ldots, m)
\]

при начальных условиях
\[
y_{i 0}=f_{i}\left(t_{0}\right) \quad(i=1,2, \ldots, m) .
\]

Нас интересует вопрос о движении системы при отклонении начальных условий $y_{i 0}$ от значений (3). Решением этого вопроса занимается теория устойчивости движения, элементы которой излагаются в этой главе.

Движение системы, описываемое функциями (2), будем называть невозмущенным движением. Все другие движения механической системы, возможные для нее при тех же силах, что и рассматриваемое движение, описываемое формулами (2), будем называть возмущенными движениями. Разности
\[
x_{i}=y_{i}-f_{i}(t) \quad(i=1,2, \ldots, m)
\]

значений $y_{i}$ для возмущенного и невозмущенного движений называются возмущениями.

Если в уравнениях (1) сделать замену переменных по формулам (4), то получим уравнения
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, m),
\]

которые называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Очевидно, что
\[
\begin{aligned}
X_{i}= & Y_{i}\left(x_{1}+f_{1}(t), x_{2}+f_{2}(t), \ldots, x_{m}+f_{m}(t), t\right)- \\
& -Y_{i}\left(f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots, f_{m}(t), t\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнения (5) имеют частное решение $x_{i} \equiv 0(i=1,2, \ldots, m)$, отвечающее невозмущенному движению (2). Если функции $X_{i}$ явно не зависят от $t$, то невозмущенное движение будем называть установившимся, в противном случае — неустановившимся.

Примем следующее определение Ляпунова. Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению $к$ переменным $y_{i}$ $(i=1,2, \ldots, m)$, если для любого сколь угодно малого числа $\varepsilon>0$ существует положительное число $\delta=\delta(\varepsilon)$ такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени $t_{0}$ выполняются неравенства
\[
\left|x_{i}\left(t_{0}\right)\right|<\delta \quad(i=1,2, \ldots, m),
\]

при всех $t>t_{0}$ выполняются неравенства
\[
\left|x_{i}(t)\right|<\varepsilon \quad(i=1,2, \ldots, m) .
\]

Дадим еще определение асимптотической устойчивости в смысле Ляпунова. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым по отношению к переменным $y_{i}(i=1,2, \ldots, m)$, если оно устойчиво и число $\delta$ можно выбрать настолько малым, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих неравенствам (6), будут выполняться условия
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x_{i}(t)=0 \quad(i=1,2, \ldots, m) .
\]
232. Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций $V$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, t$ и изучением свойств самих этих функций и их производных. Функции $V$ будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. n. 225).

Для простоты будем изучать только установившиеся движения. Функции $X_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)$ в уравнениях возмущенного движения (5) считаем непрерывными в области
\[
\left|x_{i}\right|<H \quad(i=1,2, \ldots, m),
\]

где $H$ — некоторая постоянная, и такими, что уравнения (5) при начальных значениях $x_{i 0}$ из области (9) допускают единственное решение.

В области $\left|x_{i}\right|<h(i=1,2, \ldots, m)$, где $h$ — достаточно малое положительное число, будем рассматривать функции $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)$, предполагая их непрерывно дифференцируемыми, однозначными и обращающимися в нуль в начале координат $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}=0$.

Производной $d V / d t$ функции $V$ в силу уравнений возмущенного движения (5) называется выражение
\[
\frac{d V}{d t}=\sum_{i=1}^{m} \frac{\partial V}{\partial x_{i}} X_{i} .
\]

Следовательно, $d V / d t$ будет также функцией переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$, которая непрерывна в области $\left|x_{i}\right|<h$ и обращается в нуль при $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}=0$.

Кроме того, функции $V$ могут обладать более специальными свойствами. Введем некоторые определения.

Функцию $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)$ назовем определенно-положительной в области $\left|x_{i}\right|<h$, если всюду в этой области, кроме начала координат (где функция $V$ равна нулю), выполняется неравенство $V>0$. Если же выполняется неравенство $V<0$, то функция $V$ называется определенно-отрицательной. В том и другом случае функция $V$ называется знакоопределенной.

Если в области $\left|x_{i}\right|<h$ функция $V$ может принимать значения только одного знака ( $V \geqslant 0$ или $V \leqslant 0$ ), но может обращаться в нуль не только в начале координат, то она называется знакопостоянной (положительной или отрицательной).

Если в области $\left|x_{i}\right|<h$ функция $V$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной в этой области.

Например, при $m=2$ функция $V=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$ знакопеременна, а функция $V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ определенно-положительна; функция же $V=x_{1}^{2}$ знакопостоянна, так как она обращается в нуль на оси $O x_{2}$, а вне этой оси положительна.

Как узнать, будет функция $V$ знакоопределенной или нет? Если $V$ представляет собой квадратичную форму, то знакоопределенность ее

можно установить при помощи известного критерия Сильвестра. Если $V$ — форма нечетной степени, то она, очевидно, будет знакопеременной функцией. В приложениях $V$ часто бывает аналитической функцией в области $\left|x_{i}\right|<h$, если $h$ — достаточно малая величина. В таких случаях при решении вопроса о знакоопределенности функции бывает полезно следующее легко доказываемое утверждение ${ }^{1}$ : если величина $h$ достаточно мала, то в области $\left|x_{i}\right|<h$ знакоопределенность и знакопеременность формы сохраняются при добавлении к ней любой совокупности членов более высокого порядка.

При достаточно малых значениях $|c|$ поверхность $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}\right)=c$, где $V$ — знакоопределенная функция, является замкнутой поверхностью, содержащей внутри себя начало координат. Для доказательства примем для определенности, что $V$ определенно-положительна, и обозначим $a$ точную нижнюю грань функции $V$ на границе области $\left|x_{i}\right|<h$. Так как функция $V$

Рис. 174 определенно-положительна, то $a>0$. Итак, на границе области $\left|x_{i}\right|<h$ $V \geqslant a$. Рассмотрим теперь значения функции $V$ на непрерывной кривой, соединяющей начало координат с какой-либо точкой, лежащей на границе области $\left|x_{i}\right|<h$. В начале этой кривой $V=0$, а в конце кривой значения функции не меньше чем $a$. В силу непрерывности функции $V$ в некоторой точке рассматриваемой кривой $V$ обязательно принимает значение $c$, если только $c<a$, что и будем предполагать. Это означает, что выбранная кривая пересекает поверхность $V=c$. Так как рассматриваемая кривая может быть произвольной, то отсюда следует, что поверхность $V=c$ замкнута и окружает начало координат.

Если $V$ — определенно-положительная функция и $c_{1}>c_{2}$, то поверхность $V=c_{2}$ находится внутри поверхности $V=c_{1}$, причем, в силу однозначности функции $V$, эти поверхности не имеют общих точек (рис. 174). Если $c \rightarrow 0$, то семейство замкнутых поверхностей $V=c$ стягивается в точку, совпадающую с началом координат.

Отметим, что если $V$ будет знакопостоянной или знакопеременной функцией, то поверхности $V=c$ при достаточно малых $c$ разомкнуты.