155. Уравнения движения с множителями связей. Пусть на систему наложено $s$ дифференциальных неинтегрируемых связей, заданных равенствами (26) п. 16:
\[
\sum_{j=1}^{m} b_{\beta j}\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, t\right) \dot{q}_{j}+b_{\beta}\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, t\right)=0 \quad(\beta=1,2, \ldots, s) .
\]

Тогда в общем уравнении динамики (см. п. 137)
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}-Q_{j}\right) \delta q_{j}=0
\]

величины $\delta q_{j}$ не могут быть произвольными. Они связаны $s$ независимыми соотношениями
\[
\sum_{j=1}^{m} b_{\beta j} \delta q_{j}=0 \quad(\beta=1,2, \ldots, s),
\]

и число степеней свободы системы равно $n=m-s$.
Для вывода уравнений движения воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Каждое из $s$ равенств (3) умножим на свой неопределенный скалярный множитель $\lambda_{\beta}$ и результаты вычтем из (2). Тогда получим
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}-Q_{j}-\sum_{\beta=1}^{s} \lambda_{\beta} b_{\beta j}\right) \delta q_{j}=0 .
\]

В силу независимости равенств (3) ранг матрицы, составленной из коэффициентов $b_{\beta j}(\beta=1,2, \ldots, s ; j=1,2, \ldots, m)$, равен $s$. Следовательно, хотя бы один из ее миноров порядка $s$ отличен от нуля. Для определенности будем считать, что
\[
\operatorname{det}\left\|b_{\beta, n+k}\right\|_{\beta, k=1}^{s}
eq 0 .
\]

Тогда величины $\delta q_{1}, \ldots, \delta q_{n}$ можно принять за независимые, а $\delta q_{n+k}$ $(k=1, \ldots, s)$ однозначно выражаются через них из равенств (3).

Выберем величины $\lambda_{\beta}(\beta=1,2, \ldots, s)$ так, чтобы коэффициенты при $\delta q_{n+1}, \ldots, \delta q_{m}$ в выражении (4) обратились в нуль. При условии (5) это сделать можно, и притом единственным способом. При таком выборе величин $\lambda_{\beta}$ в выражении (4) будут содержаться только независимые вариации $\delta q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$, и, следовательно, коэффициенты при них должны равняться нулю.
Таким образом, приходим к следующим $m$ уравнениям:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}+\sum_{\beta=1}^{s} \lambda_{\beta} b_{\beta j} \quad(j=1,2, \ldots, m) .
\]

К ним еще надо присоединить $s$ уравнений связей (1). Тогда получим систему $m+s$ уравнений для определения величин $q_{j}, \lambda_{\beta}$ $(j=1,2, \ldots, m ; \beta=1,2, \ldots, s)$. Величины $\lambda_{\beta}$ называются множителями связей. Слагаемые $\sum_{\beta=1}^{s} \lambda_{\beta} b_{\beta j}$ в уравнениях (6) представляют собой обобщенные реакции связей,
ПРимеР 1. В качестве примера рассмотрим движение конька по горизонтальной поверхности льда (см. пример 5 из п. 10 и рис. 10) в предположении, что трение отсутствует. Пусть $C$ – центр масс конька. Положение конька зададим тремя обобщенными кооринатами $x, y, \varphi$, смысл которых ясен из рис. 10. Неинтегрируемая связь задается уравнением
\[
\dot{x} \operatorname{tg} \varphi-\dot{y}=0 .
\]

Если $m$ – масса конька, а $J_{C}$ – его момент инериии относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия вычисляется по формуле
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\frac{1}{2} J_{C} \dot{\varphi}^{2} .
\]

Уравнения (6) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial T}{\partial x}=Q_{x}+\lambda \operatorname{tg} \varphi \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{y}}-\frac{\partial T}{\partial y}=Q_{y}-\lambda \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=Q_{\varphi}
\end{array}
\]

Так как трения нет, а потенциальная энергия П конька постоянна, то обобщенные силы $Q_{x}, Q_{y}, Q_{\varphi}$ равны нулю. Уравнения (9) с учетом выражения (8) запишутся в виде
\[
m \ddot{x}=\lambda \operatorname{tg} \varphi, \quad m \ddot{y}=-\lambda, \quad \ddot{\varphi}=0 .
\]

Пусть в начальный момент центр масс конька находится в начале координат и конек расположен вдоль оси $O x$, т. е. при $t=0$ имеем $x=0, y=0, \varphi=0$. Пусть, далее, в начальный момент скорость центра масс равна $v_{0}$, а угловая скорость конька $\omega_{0}$, m. е. $\dot{x}=v_{0}, \dot{\varphi}=\omega_{0}$. Из уравнения связи (7) находим тогда, что при $t=0 \dot{y}=0$. Третье уравнение системы (10) при этих начальных условиях дает
\[
\varphi=\omega_{0} t,
\]
т. е. конек движется, равномерно вращаясь вокруг вертикали.

Исключив теперь величину $\lambda$ из первых двух уравнений системы (10), получим
\[
\ddot{x}+\operatorname{tg} \omega_{0} t \ddot{y}=0 .
\]

Используя уравнение связи (7), исключаем отсюда величину $\ddot{y}$. Тогда с учетом равенства (11) получим уравнение относительно $x$ :
\[
\ddot{x}+\omega_{0} \operatorname{tg} \omega_{0} t \dot{x}=0 .
\]

Из (7), (11) и (12) с учетом начальных условий найдем
\[
x=\frac{v_{0}}{\omega_{0}} \sin \omega_{0} t, \quad y=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\left(1-\cos \omega_{0} t\right) .
\]

Отсюда следует, что центр масс конька равномерно со скоростью $v_{0}$ движется по окружности радиусом $v_{0} / \omega_{0}$, иентр которой находится на оси Оу (рис. 136).

Множитель связи $\lambda$ можно найти теперь из (13) и второго из уравнений системы (10):
\[
\lambda=-m \omega_{0} v_{0} \cos \omega_{0} t .
\]

Iри известной величине $\lambda$ можно найти реакцию $\boldsymbol{R}$ связи. Для ее проекций $R_{x}, R_{y}$ из (10), (11) получаем выражения
\[
R_{x}=\lambda \operatorname{tg} \omega_{0} t, \quad R_{y}=-\lambda .
\]

Рис. 136
\[
R_{x}=\lambda \operatorname{tg} \omega_{0} t, \quad R_{y}=-\lambda .
\]

Подставив в них значение $\lambda$ из формулы (14), получим
\[
R_{x}=-m \omega_{0} v_{0} \sin \omega_{0} t, \quad R_{y}=m \omega_{0} v_{0} \cos \omega_{0} t .
\]

Реакция $\boldsymbol{R}$ имеет постоянную величину т $\omega_{0} v_{0}$ и направлена к центру окружности, по которой движется центр масс конька.
156. Уравнения Воронца. Система уравнений (1), (6) помимо функций $q_{j}(j=1,2, \ldots, m)$ содержит еще $s$ дополнительных неизвестных – множителей свнзей $\lambda_{\beta}(\beta=1,2, \ldots, s)$. Число уравнений в системе (1), (6) равно $m+s=n+2 s$, т. е. превышает число степеней свободы на удвоенное количество неинтегрируемых связей.

Большое количество уравнений в системе (1), (6) и наличие в ней множителей связей ведет к значительным сложностям при исследовании движения. К тому же, когда целью исследования является только нахождение движения, т. е. определение зависимостей $q_{j}(t)(j=1,2, \ldots, m)$, вычисление величин $\lambda_{\beta}$, позволяющих найти реакции связей, является совершенно излишней процедурой.

Для неголономных систем со связями (1) П.В.Воронец получил уравнения, которые по форме близки к уравнениям Лагранжа второго рода и свободны от упомянутых недостатков. Выведем эти уравнения, предполагая, что система склерономна.

В случае склерономной системы величины $b_{\beta}$ в уравнениях связей (1) равны нулю, а коэффициенты $b_{\beta j}$ не зависят от времени. Среди $m$ обобщенных скоростей есть $n$ независимых; пусть это будут обобщенные скорости $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Тогда из (1) находим
\[
\dot{q}_{n+k}=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{k i} \dot{q}_{i} \quad(k=1,2, \ldots, s=m-n),
\]

где $\alpha_{k i}$ – функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$.

Когда система неголономна, то величины
\[
A_{i j}^{(k)}=\left(\frac{\partial \alpha_{k i}}{\partial q_{j}}+\sum_{\mu=1}^{s} \frac{\partial \alpha_{k i}}{\partial q_{n+\mu}} \alpha_{\mu j}\right)-\left(\frac{\partial \alpha_{k j}}{\partial q_{i}}+\sum_{\mu=1}^{s} \frac{\partial \alpha_{k j}}{\partial q_{n+\mu}} \alpha_{\mu i}\right)
\]

не могут все одновременно быть тождественно равными нулю ${ }^{1}$. Уравнения движения, содержащие множители связей, запишутся в виде
\[
\begin{array}{cc}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i}-\sum_{k=1}^{s} \lambda_{k} \alpha_{k i} & (i=1,2, \ldots, n), \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}}-\frac{\partial T}{\partial q_{n+k}}=Q_{n+k}+\lambda_{k} \quad(k=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Эти уравнения должны рассматриваться совместно с уравнениями связей (15).

Обозначим $\Theta$ функцию, получающуюся в результате исключения при помощи равенств (15) величин $\dot{q}_{n+k}(k=1,2, \ldots, s)$ из выражения для кинетической энергии $T$ :
\[
T\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{m}, t\right)=\Theta\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}, t\right) .
\]

Согласно (15), справедливо равенство
\[
\frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}+\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}} \alpha_{k i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Следовательно,
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}+\sum_{k=1}^{s} \alpha_{k i} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}}+\sum_{k=1}^{s} \frac{d \alpha_{k i}}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}} .
\]

Заменив здесь величины $\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}$ и $\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}}$ на их выражения из уравнений (17), получим, что члены, содержащие множители связей, взаимно уничтожаются, и равенство (18) запишется в виде
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i}+\sum_{k=1}^{s} \alpha_{k i} \frac{\partial T}{\partial q_{n+k}}+\sum_{k=1}^{s} \alpha_{k i} Q_{n+k}+\sum_{k=1}^{s} \frac{d \alpha_{k i}}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}} .
\]

Учитывая, что в соответствии с (15)
\[
\frac{\partial \Theta}{\partial q_{l}}=\frac{\partial T}{\partial q_{l}}+\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}}\left(\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \alpha_{k j}}{\partial q_{l}} \dot{q}_{j}\right) \quad(l=1,2, \ldots, n),
\]

из равенства (19) получаем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial \Theta}{\partial q_{i}}-\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}}\left(\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \alpha_{k j}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{j}\right)+Q_{i}+\sum_{k=1}^{s} \alpha_{k i} \frac{\partial \Theta}{\partial q_{n+k}}- \\
-\sum_{\mu=1}^{s} \alpha_{\mu i}\left(\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}}\left(\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \alpha_{k j}}{\partial q_{n+\mu}} \dot{q}_{j}\right)\right)+\sum_{k=1}^{s} \alpha_{k i} Q_{n+k}+\sum_{k=1}^{s} \frac{d \alpha_{k i}}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}}
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial \Theta}{\partial q_{i}}=Q_{i}+\sum_{k=1}^{s} \alpha_{k i}\left(Q_{n+k}+\frac{\partial \Theta}{\partial q_{n+k}}\right)+ \\
+\sum_{k=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}}\left[\frac{d \alpha_{k i}}{d t}-\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \alpha_{k j}}{\partial q_{i}}+\sum_{\mu=1}^{s} \frac{\partial \alpha_{k j}}{\partial q_{n+\mu}} \alpha_{\mu i}\right) \dot{q}_{j}\right] .
\end{array}
\]

Замечая, что выражение, заключенное в квадратные скобки в соотношении (21), тождественно равно величине
\[
\sum_{j=1}^{n} A_{i j}^{(k)} \dot{q}_{j} \quad(i=1,2, \ldots, n ; k=1,2, \ldots, s),
\]

где величины $A_{i j}^{(k)}$ определены равенствами (16), и вводя для импульсов обозначение
\[
\theta_{k}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n+k}} \quad(k=1,2, \ldots, s),
\]

получаем окончательно уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial \Theta}{\partial q_{i}}=Q_{i}+\sum_{k=1}^{s} \alpha_{k i}\left(Q_{n+k}+\frac{\partial \Theta}{\partial q_{n+k}}\right)+ \\
+\sum_{k=1}^{s} \theta_{k}\left(\sum_{j=1}^{n} A_{i j}^{(k)} \dot{q}_{j}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Эти уравнения называются уравнениями Воронца. Они должны рассматриваться совместно с уравнениями связей (15). Полученная система уравнений движения неголономной системы не содержит множителей связей. Число уравнений равно $n+s$, т. е. совпадает с числом обобщенных координат.
157. Уравнения Чаплыгина. Пусть кинетическая энергия $T$, коэффициенты $\alpha_{k i}(k=1,2, \ldots, s ; i=1,2, \ldots, n)$ в уравнениях связей и обобщенные силы $Q_{l}(l=1,2, \ldots, m)$ не зависят от обобщенных координат $q_{n+k}(k=1,2, \ldots, s)$. Тогда уравнения ( 23 ) запишутся в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial \Theta}{\partial q_{i}}=Q_{i}+\sum_{k=1}^{s} \alpha_{k i} Q_{n+k}+\sum_{k=1}^{s} \theta_{k}\left(\sum_{j=1}^{n} A_{i j}^{(k)} \dot{q}_{j}\right) \\
(i=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где
\[
A_{i j}^{(k)}=\frac{\partial \alpha_{k i}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial \alpha_{k j}}{\partial q_{i}} \quad(i, j=1,2, \ldots, n ; k=1,2, \ldots, s) .
\]

Если в выраженинх для обобщенных сил $Q_{l}(l=1,2, \ldots, m)$ и импульсов $\theta_{k}(k=1,2, \ldots, s)$ при помощи уравнений связей (15) исключить обобщенные скорости $\dot{q}_{n+k}(k=1,2, \ldots, s)$, то получим систему уравнений относительно $q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$, которую можно интегрировать независимо от уравнений связей (15). Эти уравнения впервые были получены Чаплыгиным и носят его имя.

После интегрирования уравнений (24) остальные координаты $q_{n+1}, \ldots, q_{m}$ найдутся из (15) при помощи квадратур.

Если обобщенные силы потенциальны и потенциал П не зависит от обобщенных координат $q_{n+k}$, то уравнения (24) примут вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial \Theta}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}+\sum_{k=1}^{s} \theta_{k}\left(\sum_{j=1}^{n} A_{i j}^{(k)} \dot{q}_{j}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

ПРИМЕР 1 (КАЧЕНИЕ ДИСКА По НЕПОДВИЖНОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСкости). Пусть однородный круговой диск катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, опираясь на нее одной точкой своего края. Движение отнесем к неподвижной системе координат $O X Y Z$ с началом в некоторой точке $O$ опорной плоскости; ось $O Z$ направлена вертикально вверх (рис. 137). Пусть GXYZ – поступательно движущаяся система координт, оси которой параллельны соответствующим осям системы $O X Y X$. Система координат Gхуz
жестко связана с диском: ее ось $G z$ перпендикулярна плоскости диска. За обобщенные координаты примем три угла Эйлера и две координаты $x$, $y$ проекции $Q$ центра тяжести $G$ на опорную плоскость в системе $O X Y Z$. Третья координата $z$ центра тяжести есть его расстояние до опорной плоскости. Из рис. 137 видно, что
\[
z=\rho \sin \theta,
\]

где $\rho-$ радиус диска.
Кинетическая и потенциальная энергия диска определяются выражениями
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right), \quad \Pi=m g \rho \sin \theta,
\]

где $m$ – масса диска, $g$ – ускорение свободного падения, $p, q, r$ проекция угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ диска на оси $G x, G y, G z$, являющиеся его главными центральными осями инерции, $A, B, C$ – моменты инерции диска относительно осей $G x, G y, G z$, причем
\[
A=B=\frac{1}{4} m \rho^{2}, \quad C=\frac{1}{2} m \rho^{2},
\]

а $p, q, r$ задаются кинематическими уравнениями Эйлера
\[
\begin{array}{l}
p=\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi+\dot{\theta} \cos \varphi, \\
q=\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi-\dot{\theta} \sin \varphi, \\
r=\dot{\psi} \cos \theta+\varphi .
\end{array}
\]

Принимая во внимание, что, согласно (27),
\[
\dot{z}=\rho \dot{\theta} \cos \theta,
\]

выражение для кинетической энергии диска можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
T= & \frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\frac{1}{8} m \rho^{2}\left(1+4 \cos ^{2} \theta\right) \dot{\theta}^{2}+ \\
& +\frac{1}{8} m \rho^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}+\frac{1}{4} m \rho^{2}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})^{2} .
\end{aligned}
\]

Уравнения связей получим из условия отсутствия скольжения. Если скольжения нет, то скорость $\boldsymbol{v}_{D}$ точки диска, которой он касается опорной плоскости, равна нулю. Поэтому
\[
\boldsymbol{v}_{G}+\boldsymbol{\omega} \times \overline{G D}=0,
\]

где $\boldsymbol{v}_{G}$ – скорость центра тяжести, $\overline{G D}$ – радиус-вектор точки $D$ относительно $G$.

На рис. 137 прямая DE является касательной к диску в точке D. Она параллельна линии узлов $G N$. Прямая $D G$ перпендикулярна $D E$, лежит в плоскости, проходящей через оси $G Z$ и $G z$, и составляет угол $\varphi$ с осью Gy. В системе координат $O X Y Z$
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_{G}^{\prime} & =(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}), \\
\overline{G D} & =\rho(\cos \theta \sin \psi,-\cos \theta \cos \psi,-\sin \theta), \\
\boldsymbol{\omega}^{\prime} & =(\dot{\theta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \psi \sin \theta, \dot{\theta} \sin \psi-\dot{\varphi} \cos \psi \sin \theta, \dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta) .
\end{aligned}
\]

Третья компонента векторной правой части равенства (31) тождественно равна нулю в силу равенства (29). Приравнивание нулю первых компонент дает уравнения связей
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\rho[\dot{\theta} \sin \psi \sin \theta-(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}) \cos \psi], \\
\dot{y}=-\rho[\dot{\theta} \cos \psi \sin \theta+(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}) \sin \psi] .
\end{array}
\]

Так как П, Т и уравнения связей не содержат обобщенных координат $x, y$, то уравнения движения диска могут быть записаны в форме уравнений Чаплыгина.
Для удобства вычислений введем временно обозначения
\[
q_{1}=\theta, q_{2}=\varphi, q_{3}=\psi, q_{4}=x, q_{5}=y .
\]

Тогда в обозначениях n. 156, 157 имеем
\[
\begin{array}{ll}
\alpha_{11}=\rho \sin q_{1} \sin q_{3}, & \alpha_{12}=-\rho \cos q_{3}, \\
\alpha_{13}=-\rho \cos q_{1} \cos q_{3}, & \alpha_{21}=-\rho \sin q_{1} \cos q_{3}, \\
\alpha_{22}=-\rho \sin q_{3}, & \alpha_{23}=-\rho \cos q_{1} \sin q_{3} .
\end{array}
\]

Отсюда и из (25) следует, что
\[
A_{23}^{(1)}=-A_{32}^{(1)}=\rho \sin q_{3}, \quad A_{23}^{(2)}=-A_{32}^{(2)}=-\rho \cos q_{3} .
\]

Остальные величины $A_{i j}^{(k)}(i, j=1,2,3 ; k=1,2)$ тождественно равны нулю.
Для обобщенных импульсов $\theta_{1}, \theta_{2}$ имеем выражения
\[
\begin{array}{l}
\theta_{1}=m \dot{x}=m \rho\left(\sin q_{1} \sin q_{3} \dot{q}_{1}-\cos q_{3} \dot{q}_{2}-\cos q_{1} \cos q_{3} \dot{q}_{3}\right), \\
\theta_{2}=m \dot{y}=-m \rho\left(\sin q_{1} \cos q_{3} \dot{q}_{1}+\sin q_{3} \dot{q}_{2}+\cos q_{1} \sin q_{3} \dot{q}_{3}\right) .
\end{array}
\]

Если теперь возвратиться к исходным обозначениям, то уравнения Чаплыгина запишутся в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial \Theta}{\partial \theta}=-m g \rho \cos \theta \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial \Theta}{\partial \varphi}=m \rho^{2} \sin \theta \dot{\theta} \dot{\psi} \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Theta}{\partial \dot{\psi}}-\frac{\partial \Theta}{\partial \psi}=-m \rho^{2} \sin \theta \dot{\theta} \dot{\varphi}
\end{array}
\]

Здесь $\Theta$ есть кинетическая энергия (30), в которой величины $\dot{x}, \dot{y}$ исключены при помощи уравнений связей (33):
\[
\Theta=\frac{5}{8} m \rho^{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{8} m \rho^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}+\frac{3}{4} m \rho^{2}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})^{2} .
\]

Подставив функцию $\Theta$ в (34), получим систему уравнений движения
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\theta}+\sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2}+\frac{6}{5} \sin \theta \dot{\varphi} \dot{\psi}+\frac{4}{5} \frac{g}{\rho} \cos \theta=0, \\
\frac{d}{d t}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})=\frac{2}{3} \sin \theta \dot{\theta} \dot{\psi} \\
\frac{d}{d t}\left[(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}) \cos \theta+\frac{1}{6} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}\right]=-\frac{2}{3} \sin \theta \dot{\theta} \dot{\varphi} .
\end{array}
\]

Если эта система проинтегрирована, то движение центра тяжести диска найдется при помощи конечного соотношения (27) и двух квадратур из (33).

Уравнения движения (36) допускают частные решения, для которых $\theta=\theta_{0}=$ const. При этом
\[
\dot{\varphi}=\omega_{1}=\text { const }, \quad \dot{\psi}=\omega_{2}=\text { const },
\]

а угол $\theta_{0}$ удовлетворяет следующему соотношению, вытекающему из первого уравнения системы (36):
\[
\cos \theta_{0} \sin \theta_{0} \omega_{2}^{2}+\frac{6}{5} \sin \theta_{0} \omega_{1} \omega_{2}+\frac{4}{5} \frac{g}{\rho} \cos \theta_{0}=0 .
\]

Если $\theta_{0}=\pi / 2$, то это уравнение переходит в условие $\omega_{1} \omega_{2}=0$. Отсюда следует, что существуют следующие движения диска:
\[
\begin{array}{lll}
\theta_{0}=\pi / 2, & \omega_{1}=0, & \omega_{2}
eq 0, \\
\theta_{0}=\pi / 2, & \omega_{1}
eq 0, & \omega_{2}=0, \\
\theta_{0}=\pi / 2, & \omega_{1}=0, & \omega_{2}=0,
\end{array}
\]

В движении (39) диск вращается с произвольной постоянной угловой скоростью $\omega_{2}$ вокруг одного из своих диаметров, который неподвижен и занимает вертикальное положение. В движении (40) диск катится по прямой, при этом плоскость диска вертикальна, а центр тяжести движется с произвольной постоянной скоростью $\left|\omega_{1} \rho\right|$. Движение (41) соответствует покою диска в вертикальной плоскости.

В общем случае, когда $\theta_{0}
eq \pi / 2$, величины $\omega_{1}, \omega_{2}, \theta_{0}$ связаны между собой соотношением (38), которое, следовательно, определяет двухпараметрическое семейство движений диска. Для этих движений из уравнений связей (33) получаем
\[
x=\alpha-\rho \frac{\omega_{2} \cos \theta_{0}+\omega_{1}}{\omega_{2}} \sin \psi, \quad y=\beta+\rho \frac{\omega_{2} \cos \theta_{0}+\omega_{1}}{\omega_{2}} \cos \psi,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям, а $\psi=\omega_{2} t+\psi_{0}$. Отсюда и из (27) следует, что центр тяжести диска движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей центр в точке $\left(\alpha, \beta, \rho \sin \theta_{0}\right)$; радиус этой окружности
\[
R=\rho\left|\frac{\omega_{2} \cos \theta_{0}+\omega_{1}}{\omega_{2}}\right| .
\]

Отсюда и из рис. 137 следует, что точка $D$ касания во время движения диска описывает на опорной плоскости $О X Y$ окружность с центром в точке $(\alpha, \beta)$ и радиусом, равным $\rho\left|\omega_{1} / \omega_{2}\right|$.

В самом общем случае аналитическое исследование движения диска приводится к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка и квадратурам. Чтобы показать это, заметим, что $\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}=r$, , рассматривая промежуток времени, на котором $\dot{\theta}
eq 0$, перейдем во втором и третьем уравнениях системы (36)

к новой независимой переменной $\theta$. Тогда получим
\[
\frac{d r}{d \theta}=\frac{2}{3} \sin \theta \dot{\psi}, \quad \frac{d}{d \theta}\left(r \cos \theta+\frac{1}{6} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}\right)=-\frac{2}{3} \sin \theta(r-\dot{\psi} \cos \theta) .
\]

Исключив из этих уравнений величину $\dot{\psi}$, приходим к дифференциальному уравнению
\[
\frac{d^{2} r}{d \theta^{2}}+\operatorname{ctg} \theta \frac{d r}{d \theta}-\frac{4}{3} r=0,
\]

которое, если положить $u=\cos ^{2} \theta$, принимат вид
\[
u(1-u) \frac{d^{2} r}{d u^{2}}+\frac{1}{2}(1-3 u) \frac{d r}{d u}-\frac{1}{3} r=0 .
\]

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой известное из теории дифференциальных уравнении гипергеометрическое уравнение Гаусса. Его интегрирование дает величину $r$ как функцию угла $\theta$. Из первого уравнения системы (42) и равенства $\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}=r$ определяются затем $\dot{\psi}$ и $\dot{\varphi}$ как функции угла $\theta$. Таким образом, задача нахождения углов Эйлера сводится к нахождению $\theta$ как функции времени, так как $\psi(t)$ и $\varphi(t)$ найдутся при известной функции $\theta(t)$ посредством квадратур.

Зависимость $\theta(t)$ также получается посредством квадратур. Действительно, уравнения (34) имеют интеграл энергии
\[
\Theta+\Pi=h=\text { const. }
\]

Это следует из того (см. п. 143), что уравнения (34) можно рассматривать как уравнения движения склерономной системы под действием гироскопических сил $Q_{\varphi}=m \rho^{2} \sin \theta \dot{\theta} \dot{\psi}, Q_{\psi}=-m \rho^{2} \sin \theta \dot{\theta} \dot{\varphi}$ и потенциальной силы $Q_{\theta}=-m g \rho \cos \theta$ с потенциалом, не зависящим от времени.

Подставив в равенство (43) величины $\dot{\psi}, \dot{\varphi}$ как функции угла $\theta$ и разрешив его относительно $\dot{\theta}$, получим $\dot{\theta}$ как функцию $\theta$. Отсюда $t$ выразится через $\theta$ при помощи одной квадратуры, обратив которую найдем $\theta=\theta(t)$.
158. Уравнения Аппеля. Аппель предложил уравнения движения, которые не содержат множителей связей и применимы как к голономным, так и к неголономным системам с неинтегрируемыми связями вида (1). Получим эти уравнения в псевдокоординатах (см. п. 17). Пусть псевдоскорости $\dot{\pi}_{i}$ определены по формулам (29) п. 17:
\[
\dot{\pi}_{i}=\sum_{j=1}^{m} c_{i j}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, t\right) \dot{q}_{j} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Для получения уравнений Аппеля выразим в псевдокоординатах общее уравнение динамики
\[
\sum_{
u=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{
u}-m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}\right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=0 .
\]

Подставив в равенство
\[
\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=\sum_{j=1}^{m} Q_{j} \delta q_{j}
\]

где $Q_{j}$ – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате $q_{j}$, вместо величин $\delta q_{j}$ их выражения через $\delta \pi_{i}$ по формулам (32) п. 17 , получим элементарную работу активных сил в виде
\[
\delta A=\sum_{
u=1}^{N} \boldsymbol{F}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=\sum_{j=1}^{m} Q_{j} \sum_{i=1}^{n} d_{i j} \delta \pi_{i}=\sum_{i=1}^{n} \Pi_{i} \delta \pi_{i},
\]

где
\[
\Pi_{i}=\Pi_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, \dot{\pi}_{i}, \ldots, \dot{\pi}_{n}, t\right)=\sum_{j=1}^{m} d_{i,} Q_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Величины $\Pi_{i}$ называются обобщенными силами, соответствующими псевдокоординатам $\pi_{i}(i=1,2, \ldots, n)$.

Для получения элементарной работы сил инерции в псевдокоординатах получим, при помощи равенств (35) п. 17, следующее выражение:
\[
\begin{aligned}
-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u} & =-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u} \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \boldsymbol{w}_{
u}}{\partial \ddot{\pi}_{i}} \delta \pi_{i}= \\
& =-\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{w}_{
u}}{\partial \ddot{\pi}_{i}}\right) \delta \pi_{i} .
\end{aligned}
\]

Если ввести функцию $S$ по формуле
\[
S=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}^{2},
\]

то равенство (48) можно записать так:
\[
-\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{
u}=-\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{i}} \delta \pi_{i} .
\]

Функция $S$ называется энергией ускорений. В общем случае она является функцией от $q_{1}, \ldots, q_{m}, \dot{\pi}_{1}, \ldots, \dot{\pi}_{n}, \ddot{\pi}_{1}, \ldots, \ddot{\pi}_{n}, t$.

Из равенств (46) и (50) следует, что общее уравнение динамики (45) в псевдокоординатах имеет вид
\[
\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{i}}-\Pi_{i}\right) \delta \pi_{i}=0
\]

Так как величины $\delta \pi_{i}$ могут принимать произвольные значения, то отсюда следуют уравнения
\[
\frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{i}}=\Pi_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения называются уравнениями Аппеля. Они должны рассматриваться совместно с $s$ уравнениями связей (1) и $n$ соотношениями (44), вводящими псевдоскорости.

Аналогично тому, как в п. 140 доказана разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений $\ddot{q}_{i}$, можно показать, что уравнения Аппеля (52) разрешимы относительно псевдоускорений $\ddot{\pi}_{i}(i=1,2, \ldots, n)$. Кроме того, уравнения (1) и (44), по самому выбору псевдоскоростей, разрешимы относительно $\dot{q}_{j}(j=1,2, \ldots, m)$ (см. уравнения (30) п. 17). Таким образом, приходим к $m+n$ уравнениям, разрешенным относительно производных неизвестных функций $q_{1}, \ldots, q_{m}, \quad \dot{\pi}_{1}, \ldots, \dot{\pi}_{n}$. Если заданы начальные значения $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}, \dot{\pi}_{1}^{0}, \ldots, \dot{\pi}_{n}^{0}$, то, при не очень обременительных для механики условиях на силы, дальнейшее движение системы будет однозначно определено. Но по величинам $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}, \dot{\pi}_{1}^{0}, \ldots, \dot{\pi}_{n}^{0}$ из формул (30) п. 17 однозначно определяются совместимые со связями (1) начальные значения обобщенных скоростей $\dot{q}_{1}^{0}, \ldots, \dot{q}_{m}^{0}$. А по величинам $q_{j}^{0}, \dot{q}_{j}^{0}(j=1,2, \ldots, m)$ однозначно определяются совместимые со связями начальные положения и начальные скорости точек системы в декартовой системе координат. Отсюда следует, что если заданы не противоречащие конечным и дифференциальным связям положения и скорости точек системы, то дальнейшее их движение однозначно определено.

Если в качестве величин $\dot{\pi}_{i}$ приняты обобщенные скорости $\dot{q}_{i}$ $(i=1,2, \ldots, n)$, то соответствующие обобщенные силы $\Pi_{i}$ равны величинам $Q_{i}^{\prime}$, вычисляемым по формулам (13) п. 63. Энергия ускорений $S$ в этом случае будет функцией от $q_{1}, \ldots, q_{m}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}$, $\ddot{q}_{1}, \ldots, \ddot{q}_{n}, t$, и уравнения Аппеля
\[
\frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{i}}=Q_{i}^{\prime} \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

вместе с уравнениями связей (1) образуют систему уравнений, определяющих движение рассматриваемой неголономной системы. Число уравнений равно $n+s=m$, т. е., как и в случае уравнений Воронца, совпадает с числом обобщенных координат. Если система голономна, то $m=n, Q_{i}^{\prime}=Q_{i}$, и уравнения (53) будут просто другой формой записи уравнений Лагранжа второго рода.

Для получения уравнений Аппеля нужно вычислить функцию $S$ – энергию ускорений, определяемую по формуле (49). Это довольно громоздкая процедура. Поэтому, как правило, выписывание уравнений Аппеля является более трудоемкой процедурой по сравнению с получением уравнений Воронца и Чаплыгина, где вместо $S$ надо вычислять кинетическую энергию $T$.

В качестве примера используем уравнения Аппеля для доказательства достаточности условий принципа виртуальных перемещений для равновесия системы (п. 62).

Пусть условия (3) и (4) п. 62 выполнены и при $t=t_{0}$ имеем $\boldsymbol{r}_{
u}=\boldsymbol{r}_{
u 0}, \boldsymbol{v}_{
u}=0(
u=1,2, \ldots, N)$. Покажем, что тогда на всем промежутке времени $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$ система находится в состоянии равновесия, т. е. для этого промежутка времени $\boldsymbol{r}_{
u}=\boldsymbol{r}_{
u 0}(
u=1,2, \ldots, N)$.

Из (44), (46) и условия (4) п. 62 следует, что при $r_{
u} \equiv r_{
u 0}$ $\Pi_{i}\left(q_{10}, \ldots, q_{m 0} 0, \ldots, 0, t\right) \equiv 0$ для $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$ (здесь $q_{10}, \ldots, q_{m 0}-$ значения обобщенных координат, отвечающие положению равновесия, задаваемому в декартовой системе координат радиусами-векторами $\boldsymbol{r}_{
u 0}$ точек системы). С другой стороны, величины
\[
\frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{i}}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{w}_{
u}}{\partial \ddot{\pi}_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

при $\boldsymbol{r}_{
u}=\boldsymbol{r}_{
u 0}$ также равны нулю, так как тогда $\boldsymbol{w}_{
u} \equiv 0$. Следовательно, уравнения Аппеля (52) имеют частное решение $q_{j}=q_{j 0}$ $(j=1,2, \ldots, m)$, отвечающее положению равновесия $r_{
u}=r_{
u 0}$ $(
u=1,2, \ldots, N)$.

Достаточность условий принципа виртуальных перемещений следует теперь из принципа детерминированности движения Ньютона Лапласа (см. п. 45), так как, согласно этому принципу, принимаемому в классической механике, движение системы однозначно определяется положениями и скоростями ее точек в начальный момент времени.
159. Вычисление энергии ускорений. Аналог теоремы Кенига. Пусть $\boldsymbol{w}_{C}$ – абсолютное ускорение центра масс, $\boldsymbol{w}_{
u}$ – абсолютное ускорение точки $P_{
u}$ системы, а $\boldsymbol{w}_{
u r}$ – ускорение этой точки в ее движении относительно центра масс. Тогда для всех точек системы
\[
\boldsymbol{w}_{
u}=\boldsymbol{w}_{C}+\boldsymbol{w}_{
u r} .
\]

Вычислим энергию ускорений
\[
S=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N^{\prime}} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u}^{2} .
\]

Подставив (54) в формулу (55), получим
\[
S=\frac{1}{2}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\right) \boldsymbol{w}_{C}^{2}+\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u r}\right) \cdot \boldsymbol{w}_{C}+\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u r}^{2} .
\]

Так как $\sum_{
u=1}^{N} m_{
u}=M$, а $\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} \boldsymbol{w}_{
u r}=M \boldsymbol{w}_{C r}=0$, то из (56) получаем
\[
S=\frac{1}{2} M w_{C}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u} w_{
u r}^{2},
\]
т. е. энергия ускорений системы равна сумме энергии ускорений, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и энергии ускорений в движении системы относительно центра масс.

Полученное утверждение является аналогом теоремы Кенига для кинетической энергии (см. п. 83).
160. Энергия ускорений твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Пусть $O x y z$ – жестко связанная с телом система координат, начало которой совпадает с неподвижной точкой $O$ тела. Оси $O x, O y, O z$ направлены по главным осям инерции тела для точки $O$. Положение частицы $m_{
u}$ тела определяется ее радиусомвектором $\boldsymbol{r}_{
u}, \boldsymbol{r}^{\prime}{ }_{
u}=\left(x_{
u}, y_{
u}, z_{
u}\right)$. Пусть $\boldsymbol{\omega}-$ угловая скорость тела, $\boldsymbol{\omega}^{\prime}=(p, q, r)$, а $\varepsilon$ – его угловое ускорение. Так как абсолютная производная вектора $\boldsymbol{\omega}$ совпадает с его относительной производной, то
\[
\varepsilon^{\prime}=(\dot{p}, \dot{q}, \dot{r}) .
\]

Согласно п. 24 , ускорение частицы $m_{
u}$ определяется по формуле
\[
\boldsymbol{w}_{
u}=\varepsilon \times \boldsymbol{r}_{
u}+\boldsymbol{\omega} \times\left(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{
u}\right),
\]

или
\[
\boldsymbol{w}_{
u}=\varepsilon \times \boldsymbol{r}_{
u}+\boldsymbol{\omega}\left(\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}_{
u}\right)-\boldsymbol{r}_{
u} \omega^{2} .
\]

Отсюда получаем выражения для проекций ускорения $\boldsymbol{w}_{
u}$ на оси $O x, O y, O z$ :
\[
\begin{array}{l}
w_{
u x}=-x_{
u}\left(q^{2}+r^{2}\right)+y_{
u}(q p-\dot{r})+z_{
u}(p r+\dot{q}), \\
w_{
u y}=-y_{
u}\left(r^{2}+p^{2}\right)+z_{
u}(r q-\dot{p})+x_{
u}(q p+\dot{r}), \\
w_{
u z}=-z_{
u}\left(p^{2}+q^{2}\right)+x_{
u}(p r-\dot{q})+y_{
u}(r q+\dot{p}) .
\end{array}
\]

Если $N$ – число частиц, на которые мы мысленно разбили тело, то выражение для энергии ускорений имеет вид
\[
S=\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{N} m_{
u}\left(w_{
u x}^{2}+w_{
u y}^{2}+w_{
u z}^{2}\right) .
\]

Подставим сюда выражения (60) и произведем некоторые преобразования с учетом того, что $O x, O y, O x$ – главные оси инерции и, следовательно,
\[
J_{x y}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u} y_{
u}=0, J_{x z}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u} z_{
u}=0, J_{y z}=\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} y_{
u} z_{
u}=0 .
\]

Если еще в $S$ отбросить несущественные для уравнений Аппеля слагаемые, не зависящие от $p, q, r$, то получим
\[
\begin{aligned}
S= & \frac{1}{2}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} x_{
u}^{2}\right)\left(\dot{r}^{2}+2 q p \dot{r}+\dot{q}^{2}-2 p r \dot{q}\right)+ \\
& +\frac{1}{2}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} y_{
u}^{2}\right)\left(\dot{p}^{2}+2 r q \dot{p}+\dot{r}^{2}-2 q p \dot{r}\right)+ \\
& +\frac{1}{2}\left(\sum_{
u=1}^{N} m_{
u} z_{
u}^{2}\right)\left(\dot{q}^{2}+2 p r \dot{q}+\dot{p}^{2}-2 r q \dot{p}\right) .
\end{aligned}
\]

или
\[
S=\frac{1}{2}\left(A \dot{p}^{2}+B \dot{q}^{2}+C \dot{r}^{2}\right)+(C-B) q r \dot{p}+(A-C) r p \dot{q}+(B-A) p q \dot{r},
\]

где $A, B, C$ – моменты инерции тела относительно осей $O x, O y, O z$ соответственно.
ПРИМЕР 1 (ВЫВОД ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА ПРИ ПОМОЩИ уравНЕНИЙ АППЕЛЯ). Пусть $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ – проекции момента $M_{O}$ внешних сил относительно точки $O$ на оси $O x, O y, O z$. В качестве

псевдоскоростей примем величины $\dot{\pi}_{1}=p, \dot{\pi}_{2}=q, \dot{\pi}_{3}=r$. Для элементарной работы внешних сил имеем выражение
\[
\delta A=\boldsymbol{M}_{O} \cdot \boldsymbol{\omega} d t=M_{x} p d t+M_{y} q d t+M_{z} r d t=M_{x} \delta \pi_{1}+M_{y} \delta \pi_{2}+M_{z} \delta \pi_{3} .
\]

Поэтому обобщенные силы $\Pi_{i}$, соответствующие псевдокоординатам $\pi_{i}$, вычисляются по формулам
\[
\Pi_{1}=M_{x}, \quad \Pi_{2}=M_{y}, \quad \Pi_{3}=M_{z} .
\]

Уравнения (52) с учетом выражений (61) и (62) непосредственно приводят к динамическим уравнениям Эйлера (см. уравнения (4) п. 97).
ПРИМЕР 2 (КАчЕНИЕ ШАРА По ПЛоскоСтИ). Пусть однородный шар движется по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Движение шара отнесем к неподвижной системе коордит $O X Y Z$ с началом в некоторой точке $O$ плоскости, ось $O Z$ направим вертикально вверх. Пусть $\omega_{X}, \omega_{Y}, \omega_{Z}$ – проекции угловой скорости шара на оси $O X, O Y, O Z, ~ а ~ p, q, r$ – проекции того же вектора на оси $G x, G y, G z$ жестко связанной с шаром системы координат с началом в центре шара.

Пусть $x, y, z$ – координаты центра шара в системе $O X Y Z ; z=a$, где а – радиус шара. Условие отсутствия скольжения (равенство нулю скорости точки $D$ шара, которой он касается плоскости) приводит к соотношениям
\[
\dot{x}=\omega_{Y} a, \quad \dot{y}=-\omega_{X} a .
\]

Момент инерии шара относительно любого диаметра равен $\frac{2}{5} m a^{2}$, где $m$ – масса шара. Из (57) и (61) получаем выражение для энергии ускорений:
\[
S=\frac{1}{2} m\left(\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}\right)+\frac{1}{5} m a^{2}\left(\dot{p}^{2}+\dot{q}^{2}+\dot{r}^{2}\right) .
\]

Введем псевдоскорости по формулам
\[
\dot{\pi}_{1}=\omega_{X}, \quad \dot{\pi}_{2}=\omega_{Y}, \quad \dot{\pi}_{3}=\omega_{Z} .
\]

Из (63) тогда получим
\[
\ddot{x}=a \ddot{\pi}_{2}, \quad \ddot{y}=-a \ddot{\pi}_{1} .
\]

Пусть $\varepsilon$ – угловое ускорение шара. Тогда, замечая, что
\[
\dot{p}^{2}+\dot{q}^{2}+\dot{r}^{2}=\varepsilon^{2}=\dot{\omega}_{X}^{2}+\dot{\omega}_{Y}^{2}+\dot{\omega}_{Z}^{2}=\ddot{\pi}_{1}^{2}+\ddot{\pi}_{2}^{2}+\ddot{\pi}_{3}^{2}
\]

и пользуясь равенствами (66), получаем из (64) такое окончательное выражение для энергии ускорений:
\[
S=\frac{1}{10} m a^{2}\left[7\left(\ddot{\pi}_{1}^{2}+\ddot{\pi}_{2}^{2}\right)+2 \ddot{\pi}_{3}^{2}\right] .
\]

Так как обобщенные силы $\Pi_{i}(i=1,2,3)$ равны нулю, то из уравнений Аппеля $\partial S / \partial \ddot{\pi}_{i}=0 \quad(i=1,2,3)$ следует, что $\ddot{\pi}_{i}=0(i=1,2,3)$, или $\omega_{X}=$ const, $\omega_{Y}=$ const, $\omega_{Z}=$ const. Таким образом, из уравнений Аппеля сразу следует, что угловая скорость при движении остается неизменной. Другим способом этот вывод получен в п. 113.